专题03 二元一次方程组的应用（十一大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

专题03 二元一次方程组的应用 【题型一 二元一次方程组的应用-方案问题】....................................................1 【题型二 二元一次方程组的应用-行程问题】....................................................8 【题型三 二元一次方程组的应用-工程问问题】................................................13 【题型四 二元一次方程组的应用-数字问题】...................................................16 【题型五 二元一次方程组的应用-分配问题】...................................................18 【题型六 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】...........................................25 【题型七 二元一次方程组的应用-和差倍分问题】...........................................31 【题型八 二元一次方程组的应用-几何问题】...................................................35 【题型九 二元一次方程组的应用-古代问题】..................................................38 【题型十 二元一次方程组的应用-其他问题】...................................................41 【题型十一 二元一次方程组的应用-图表信息问题】.......................................44 【题型一 二元一次方程组的应用-方案问题】 1．已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨 (2)共有2种租车方案：租A型车6辆，B型车2辆；租A型车2辆，B型车5辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）通过设未知数，根据两种不同的车辆组合运货量列出二元一次方程组，求解得出每辆A型车和B型车的运货量． （2）根据货物总量以及A型车和B型车的运货量关系列出二元一次方程组，再结合正整数的条件找出所有可能的租车方案． 【详解】（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨， 由题意得：， 解得：． 答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨． （2）解：由题意和（1）得：， ∵a、b均为非负整数， ∴或， ∴共有2种租车方案： 租A型车6辆，B型车2辆， 租A型车2辆，B型车5辆． 2．贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元． A种春联 B种春联 进价（元/副） 15 12 售价（元/副） 18 14.5 (1)该超市购进两种春联各多少副？ (2)由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)该超市购进A种春联120副，B种春联180副 (2)有4种购买方案，方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；方案四：购买7副A种春联，80副B种春联 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解的应用． （1）设购进副A种春联，副B种春联，根据表格信息建立方程组求解即可． （2）设购进A种春联副，B种春联副，根据题意，得，再利用方程的正整数解的含义可得答案． 【详解】（1）解：设购进副A种春联，副B种春联， 根据题意，得， 解得， 答：该超市购进A种春联120副，B种春联180副． （2）解：设购进A种春联副，B种春联副， 根据题意，得， 整理，得． 因为均为正整数， 所以满足题意的值为 所以有4种购买方案， 方案一：购买58副A种春联，20副B种春联； 方案二：购买41副A种春联，40副B种春联； 方案三：购买24副A种春联，60副B种春联； 方案四：购买7副A种春联，80副B种春联． 3．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． (2)有种购买方案，最大利润是万元． 【分析】（1）通过设、型汽车每辆进价，根据已知购进数量与总价的关系，列二元一次方程组求解． （2）设购买、型汽车的数量，根据总价列出方程，结合正整数条件确定购买方案，再根据利润公式求出最大利润． 本题主要考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际应用，熟练掌握列方程（组）解决实际问题的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． ， 解得， 答：型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型新能源汽车辆，购买型新能源汽车辆．则 ， 化简得，即． 因为、均为正整数， 所以当时，； 当时，； 当时，（不符合两种都购买，舍去）． 所以有种购买方案： 方案一：购买型辆，型辆，利润为（万元）； 方案二：购买型辆，型辆，利润为（万元）． 因为， 所以最大利润是万元． 4．年2月新冠肺炎病毒开始肆虐，市面上等防护型口罩出现热销．已知1个A型口罩和1个B型口罩共需元；6个A型口罩和5个B型口罩共需元． (1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？ (2)小红打算用元（全部用完）购买A型，B型两种口罩（要求两种型号的口罩均购买），正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中A型口罩售价上涨，B型口罩按原价出售，则小红有多少种不同的购买方案？请把方案列举出来． 【答案】(1)一个型口罩5元，一个型口罩元 (2)有2种购买方案， 型5个，型3个； 型个，型1个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列二元一次方程（组是解决本题的关键． （1）设一个型口罩的售价为元，一个型口罩的售价为元，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买型口罩个，型口罩个，根据题意列出二元一次方程，由都为正整数，求解出答案． 【详解】（1）解：设一个型口罩和一个型口罩的售价各是元和元， 根据题意，得， 解得， 一个型口罩5元，一个型口罩元． （2）设购买型口罩个，型口罩个， 根据题意，得， 即， 满足条件的，有：，或，， 小红有2种购买方案： 第一种方案：型口罩购买5个，型口罩购买3个； 第二种方案：型口罩购买个，型口罩购买1个； 5．【问题背景】 某物流公司准备租用两种型号的车运送货物，已知用2辆型车和3辆型车载满货物时一次可运货184吨，用3辆型车和4辆型车载满货物时一次可运货256吨．根据以上信息，解答下列问题： 【问题提出】 （1）求1辆型车和1辆型车都载满货物时一次可分别运货多少吨； 【问题解决】 （2）若该物流公司现有304吨货物待运，计划租用型车辆，型车辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．型车每辆需租金1000元/次，型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求租车费最少是多少元？ 【答案】（1）1辆车型车载满货物时一次可运货32吨，1辆车型车载满货物时一次可运货40吨；（2）该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用7辆型车，2辆型车；方案2：租用2辆型车，6辆型车，租车费最少是9200元． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设1辆车型车载满货物时一次可运货吨，1辆车型车载满货物时一次可运货吨，根据题意建立二元一次方程组求解即可； （2）根据题意得到二元一次方程，再根据解为非负整数，进行分类讨论求出租车费即可． 【详解】解：（1）设1辆车型车载满货物时一次可运货吨，1辆车型车载满货物时一次可运货吨， 根据题意得： 解得： 答：1辆车型车载满货物时一次可运货32吨，1辆车型车载满货物时一次可运货40吨． （2）根据题意得：， ， 又均为非负整数， 或 该物流公司共有2种租车方案， 选择方案1所需租车费用为（元）； 选择方案2所需租车费用为（元）． ， 最少租车费是9200元． 答：该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用7辆型车，2辆型车；方案2：租用2辆型车，6辆型车，租车费最少是9200元． 6．已知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货23吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货14吨．某物流公司现有45吨货物，计划租用A型车a辆，B型车b辆（一种或两种车型都可），一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出a，b的值； (3)若A型车每辆需租金110元/次，B型车每辆需租金150元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货4吨，1辆型车载满货物一次可运货5吨 (2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆型车，此时；方案2：租用5辆型车，5辆型车，此时；方案3：租用10辆型车，1辆型车，此时 (3)最省钱的租车方案为：租用10辆型车，1辆型车，最少租车费为1250元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键． （1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）根据题意可得，则可得，再根据均为自然数求解即可得； （3）根据（2）的结果，分别求出每个方案的租车费，由此即可得． 【详解】（1）解：设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨， 由题意得：， 解得， 答：1辆型车载满货物一次可运货4吨，1辆型车载满货物一次可运货5吨． （2）解：由题意得：， 则， ∵均为自然数， ∴①当时，，符合题意； ②当时，，符合题意； ③当时，，符合题意； 综上，共有3种租车方案，方案1：租用9辆型车，此时；方案2：租用5辆型车，5辆型车，此时；方案3：租用10辆型车，1辆型车，此时． （3）解：由（2）可知，方案1：租用9辆型车的租车费为（元）， 方案2：租用5辆型车，5辆型车的租车费为（元）， 方案3：租用10辆型车，1辆型车的租车费为（元）， 因为， 所以最省钱的租车方案为：租用10辆型车，1辆型车，最少租车费为1250元． 【题型二 二元一次方程组的应用-行程问题】 1．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度是，乙的速度是． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的速度为，乙的速度为，根据乙先走，甲用就能追上乙，列出方程；根据乙先走，甲只用就能追上乙，可以列出方程，联立方程组求解即可. 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， 根据题意，得， 解得， 答：甲的速度为，乙的速度为． 2．“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 【答案】(1)x的值为2，y的值为 (2)小明的妈妈应付车费元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）根据甲、乙的打车总费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用打车总费用=里程费+耗时费，即可求出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：x的值为2，y的值为； （2）（元）． 答：小明的妈妈应付车费元． 3．A，B两地相距60km，甲、乙两人从A，B两地同时出发，若同向而行则3h时甲追上乙；若相向而行则1h时相遇．甲、乙两人的平均速度各是多少？ 【答案】甲的平均速度是，乙的平均速度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的平均速度是，乙的平均速度是，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设甲的平均速度是，乙的平均速度是， 由题意，得 解得 答：甲的平均速度是，乙的平均速度是． 4．甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为，平路的速度为，下坡的速度为，那么他从甲地骑到乙地需，从乙地骑到甲地需．甲地到乙地全程是多少千米？ 【答案】甲地到乙地全程是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为，根据时间等于路程除以速度建立方程组，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解：设从甲地到乙地的上坡长为，平路长为，则从乙地到甲地的下坡长为，平路长为， 由题意得：， 解得：， 则， 答：甲地到乙地全程是． 5．小红和姐姐相距．如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？ 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设小红的平均速度是，姐姐的平均速度是，根据如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇，可列出方程；根据如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红，可列出方程；组成二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小红的平均速度是，姐姐的平均速度是， 由题意，得 解得 答：小红的平均速度是，姐姐的平均速度是． 6．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． (1)请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ (2)若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 【答案】(1)起步价5元，每千米1.5元 (2)31千米 【分析】此题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是正确分析等量关系． （1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，根据题意得到关于x、y的方程组，解方程组即可得； （2）设他这次乘车走了m千米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，由题意得： ， 解得：， 答：出租车的起步价是5元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元； （2）设他这次乘车走了m千米 根据题意得， 解得 答：他这次乘车走了31千米． 7．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”． 请根据图文信息解决下列问题： (1)求甲的赛跑速度； (2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？ 【答案】(1)甲的赛跑速度为 (2)乙获胜 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由甲的速度是乙的1.2倍，即可求解； （2）设甲用时为x秒，乙用时为y秒，由题意：甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）依题意得：甲的赛跑速度为； （2）设甲用时为秒，乙用时为秒， 依题意得：， 解得：； ， 此次赛跑中乙获胜． 【题型三 二元一次方程组的应用-工程问问题】 1．某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 【答案】甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，得： ， 解得 答：甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 2．某农产品公司现有195吨物资需要运往外地，计划安排甲、乙两种货车将全部物资一次运完（货车均满载），已知甲、乙两种货车在满载情况下的两次运输记录如下表： 甲货车（辆） 乙货车（辆） 物资（吨） 第一次 10 6 290 第二次 6 3 165 (1)甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (2)若两种货车均使用，请求出所有可行的运输方案． 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资20吨、15吨 (2)共三种可行的运输方案：①甲货车3辆，乙货车9辆；②甲货车6辆，乙货车5辆；③甲货车9辆，乙货车1辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用． （1）设甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资吨、吨，则根据题意列出方程组，求解即可； （2）设甲、乙两种货车各需要辆、辆，根据题意得到，结合均为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资吨、吨， 则根据题意，得 解得， 答：甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资20吨、15吨． （2）解：设甲、乙两种货车各需要辆、辆， 则， ， 由题意知均为正整数， ①当时，； ②当时，； ③当时，． 共三种可行的运输方案：①甲货车3辆，乙货车9辆；②甲货车6辆，乙货车5辆；③甲货车9辆，乙货车1辆． 3．某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时13天．问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华：设河道整治任务完成后，表示_____，表示_____． 根据题意，可列方程组 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数 (2)见解析，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，根据题意，得， 故答案为：，； ②小华：设河道整治任务完成后，表示甲工程队工作的天数，表示乙工程队工作的天数． 根据题意，可列方程组 故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； （2）解：选择① 解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 选择② 设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 甲整治的河道长度：(米)；乙整治的河道长度：(米)． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 4．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹 (2)快递车的总配送路程是千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 【题型四 二元一次方程组的应用-数字问题】 1．小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 【答案】 时看到的两位数是16 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，正确理解题意并列出方程组是解题的关键．设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，根据两位数之和为7可列一个方程，再根据匀速行驶，时行驶的里程数等于时行驶的里程数列出第二个方程，解方程组即可． 【详解】解：设小明12时看到的两位数，十位数为，个位数为，即为； 则13时看到的两位数为，时行驶的里程数为：； 则时看到的数为，时行驶的里程数为：； 由题意列方程组得： ， 解得：， 时看到的两位数是16． 2．算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 【答案】648 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b，根据算盘可知这个三位数的百位数字为6，则这个三位数为，十位数字与个位数字互换后的三位数为，再根据新的三位数比原三位数大36，个位数字是十位数字的2倍建立方程组求解即可． 【详解】解：设这个三位数的十位数字为a，个位数字为b， 由题意得，， 解得， 答：这个三位数为648． 3．有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为41． 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设个位数字是x，十位数字是y，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设原数的个位数字是x，十位数字是y． 根据题意，得， 解得． 故原来两位数为41． 【题型五 二元一次方程组的应用-分配问题】 1．“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． (1)笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ (2)面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 【答案】(1)甲同学答对20道题，答错1道题，未答4道题 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． （1）设甲同学答对x道题，答错y道题，则未答道题，根据甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，即可列出二元一次方程组，即可解答． （2）根据题意，求出乙同学的总得分，即可解答． 【详解】（1）解：设甲同学答对x道题，答错y道题，则未答道题． 根据题意，得， 解得， ． 答：甲同学答对20道题，答错1道题，未答4道题． （2）根据题意，乙同学答对了23道题，答错了2道题． 他的总得分． 因为乙同学的总得分为90， 所以，乙同学能被评为“消防安全小达人”． 24．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 3．为加强学生体能素质，某校计划开设球类特色课程，需购买足球、排球共个，据调查，某商城每个足球的价格为元，每个排球的价格为元，经双方议价，按折销售，学校共付款元，求购买足球、排球各多少个？ 【答案】学校共购买了个足球、个排球． 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据题意列出正确的方程组并求解． 设购买个足球、个排球，根据题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】解：设购买个足球、个排球， 根据题意得  ， 解得 ． 答：学校共购买了个足球、个排球． 4．中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 【答案】(1)3辆；116人 (2)36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆 【分析】该题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是理解题意． （1）设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人，根据“若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆，根据调配的车辆既保证每人有座，又保证每车不空座，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人， 根据题意得：， 解得：． 答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人； （2）解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴． 答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆． 5．已知：用3辆型车和2辆型车装满货物一次可运货17吨；用1辆型车和1辆型车装满货物一次可运货7吨.某物流公司现有31吨货物需要运送，计划同时租用型车辆，型车辆，可以一次运完，且恰好每辆车都装满货物. (1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若租用型车每辆需租金100元，租用型车每辆需租金120元，请选出最省钱的租车方案并求出最少租车费. 【答案】(1)1辆型车装满货物一次可运货3吨，1辆型车装满货物一次可运货4吨 (2)有3种租车方案，详见解析 (3)方案三：租用型车1辆，型车7辆，最少租车费为940元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的整数解；熟练根据题意列出相对应的方程是解题的关键． （1）根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程，求其正整数解即可； （3）根据（2）的方案分别计算租车费，然后比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨， 根据题意列方程组得， 解得， 答：1辆型车装满货物一次可运货3吨，1辆型车装满货物一次可运货4吨. （2）解：结合题意和（1）得， . ，都是正整数， 或或， 答：有3种租车方案： 方案一：租用型车9辆，型车1辆； 方案二：租用型车5辆，型车4辆； 方案三：租用型车1辆，型车7辆. （3）解：租用型车每辆需租金100元，租用型车每辆需租金120元， 方案一需租金：（元）； 方案二需租金：（元）； 方案三需租金：（元）， ， 最省钱的租车方案是方案三：租用型车1辆，型车7辆，最少租车费为940元. 6．青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 【答案】安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用；设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，根据有120名工人，且1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设名工人生产茶杯，名工人生产茶壶，    根据题意，得         解方程组.得             答：安排80名工人生产茶杯，40名工人生产茶壶. 7．春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工25人，女工65人 (2)安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设该工厂有男工x名，女工y名，根据题意列出方程组，即可得出答案； （2）设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套，根据题意列出方程组，即可得出答案． 【详解】（1）解：设该工厂有男工x名，女工y名， 根据题意，得， 解得：， 答：设该工厂有男工25人，女工65人． （2）解：设安排制作盒身的工人a名，制作盒底的工人b名，才能使每天生产的产品刚好配套， 根据题意，得， 解得：， 答：安排制作盒身的工人50名，制作盒底的工人40名，才能使每天生产的产品刚好配套． 8．某工厂用长方形铁片和正方形铁片（长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等）（如图1）加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器（如图2）．（加工时接缝材料不计） (1)现用长方形铁片90个，正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器，刚好铁片全部用完，则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个？ (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒．已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片．现有55张铁板，请你计算如何加工，才能充分利用好现有的这55张铁板，让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒，并计算可加工制作成多少个长方形铁盒？ 【答案】(1)可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个 (2)可以加工成30个铁盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设可以加工横式长方体铁容器x个，竖式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片90个、正方形铁片50个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据铁板总数为55张，裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，． 【详解】（1）解：设可以加工横式长方形铁容器x个，竖式长方形铁容器y个， 依题意，得：， 解得：． 答：可以加工横式长方体形容器22个，横式长方形铁容器6个． （2）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，根据题意得： ， 解得：， （个）， 答：可以加工成30个铁盒． 【题型六 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 1．某商场有两种旅行包，每个大旅行包进价100元，售价130元，每个小旅行包进价40元，利润率． (1)每个大旅行包的利润率为_______，每个小旅行包的售价为_______； (2)若该商场同时购进两种旅行包共50个，恰好总进价为3200元，则该商场购进两种旅行包各多少个？ (3)某公司计划从商场购进一批旅行包（两种都有）作为活动奖品发给员工，总售价为3600元，请问该公司有多少种购买方案？ 【答案】(1)，60元 (2)该商场购进20个大旅行包，30个小旅行包 (3)共有4种购买方案 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）利用每个大旅行包的利润率（售价进价）进价，可求出每个大旅行包的利润率；利用每个小旅行包的售价进价，即可求出每个小旅行包的售价； （2）设该商场购进x个大旅行包，y个小旅行包，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （3）设公司购买大旅行包m个，小旅行包n个，根据题意列出二元一次方程，然后根据m、n为正整数求解即可． 【详解】（1）每个大旅行包的利润率为， 每个小旅行包的售价为（元）； （2）设该商场购进x个大旅行包，y个小旅行包， 根据题意得：， 解得：． 答：该商场购进20个大旅行包，30个小旅行包. （3）设公司购买大旅行包m个，小旅行包n个， ∴， 整理得：， ∵m、n为正整数， ∴或或或． 答：共有4种购买方案． 2．今年春节期间，某超市购进了50盒饺子和30盒汤圆，饺子的进价是汤圆进价的1.5倍，饺子以每盒20元的价格出售，汤圆以每盒16元的价格出售，很快全部售出，超市获利640元，饺子和汤圆的进价分别是每盒多少元？ 【答案】12元；8元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；设饺子的进价是元每盒，汤圆的进价是元每盒．饺子的进价是汤圆进价的1.5倍，则；饺子以每盒20元的价格出售，汤圆以每盒16元的价格出售，很快全部售出，超市获利640元，则．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设饺子的进价是元每盒，汤圆的进价是元每盒， 由题意得：， 解得：， 答：饺子和汤圆的进价分别是每盒12元，8元． 3．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，某商场用6000元购进A，B两种“冰墩墩”“雪容融”纪念品套装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价－进价），这两种套装的进价，标价如表所示： 价格类型 A种 B种    进价（元/套） 60 100 标价（元/套） 100 160 (1)求这两种纪念品套装各自购进的套数； (2)如果A种套装按标价的8折出售，B种套装按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，此时毛利润是多少元？ 【答案】(1)A种纪念品套装购进50套，B种纪念品套装购进30套 (2)这批纪念品全部售完后，此时毛利润是1360元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A种纪念品套装购进x套，B种纪念品套装购进y套，由题意可得方程组为，然后求解即可； （2）根据（1）及题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：设A种纪念品套装购进x套，B种纪念品套装购进y套，由题意得： ， 解得：； 答：A种纪念品套装购进50套，B种纪念品套装购进30套． （2）解：由题意得： （元）； 答：这批纪念品全部售完后，此时毛利润是1360元． 4．某水果商从批发市场用12000元购进了枇杷和水蜜桃各300千克，枇杷的进价比水蜜桃的进价每千克多20元．枇杷的售价为每千克40元，水蜜桃的售价为每千克15元（利润售价进价） (1)枇杷和水蜜桃的进价分别是每千克多少元？（请用二元一次方程组解答） (2)该水果商第二次仍用12000元从批发市场购进了枇杷和水蜜桃各300千克，进价不变，但在运输过程中枇杷损耗了15%．若枇杷的售价不变，且想要第二次所获利润等于第一次所获利润的80%，水蜜桃的售价应调整为每千克多少元？ 【答案】(1)30；10 (2)18 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程： （1）设枇杷的进价为元／千克，水蜜桃的进价为元／千克．根据总花费为12000元和枇杷的进价比水蜜桃的进价每千克多20元即可列出二元一次方程组，求解即可得到答案； （2）设水蜜桃的售价应调整为元／千克，根据题意列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）设枇杷的进价为元／千克，水蜜桃的进价为元／千克． 依题意，得，解得 故枇杷和水蜜桃的进价分别是每千克30元和每千克10元； （2）设水蜜桃的售价应调整为元／千克． 依题意得：， 解得． 故水蜜桃的售价应调整为每千克18元． 5．小宇在“家家欣”超市购买A、B两种商品共三次，只有一次购买 A、B两种商品打折．其余两次均按标价购买．三次购买的数量和总费用如下表． A商品/个 B商品/个 总费用/元 第一次购买 3 2 480 第二次购买 7 1 680 第三次购买 10 1 690 (1)小宇以打折价购买的是第__________次购物． (2)求A、B两种商品的标价． (3)若A、B打同样的折，请问商场打了几折？ 【答案】(1)三 (2)种商品的标价为80元，种商品的标价为120元 (3)打了7.5折 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次方程的实际应用，正确的列出方程组和一元一次方程是解题的关键： （1）观察可知，第三次购买的数量多于第二次，但总费用相差不大，得到打折购买的是第三次购物； （2）设A、B两种商品的标价分别为元/个，元/个，根据表格数据，列出方程组进行求解即可； （3）设商场打了折，根据折扣价等于原价乘以折扣，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，可知，小宇以打折价购买的是第三次购物； 故答案为：三； （2）设A、B两种商品的标价分别为元/个，元/个，由题意，得： ，解得：； 答：种商品的标价为80元，种商品的标价为120元； （3）设商场打了折，由题意，得：， 解得：； 答：打了7.5折． 6．某服装厂加工A、B两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工B种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元． (1)A、B两种运动服各加工多少件？ (2)将这100件运动服送到商场销售，A种运动服的售价为200元，B种运动服的售价为220元，销售过程中发现A种运动服的销量不好，A种运动服卖出一定数量后，商家决定余下的部分按原价的八折出售，两种运动服全部卖出后共获利10520元，则A种运动服卖出多少件后打折销售？ 【答案】(1)种运动服加工件，种运动服加工件 (2)种运动服卖出件后打折销售 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次方程的应用的题目，解题的关键是找出题目中的等量关系； （1）设种运动服加工件，种运动服加工件，根据题意列二元一次方程组即可求解； （2）设种运动服卖出件时开始打八折销售，根据题意列一元一次方程即可求解； 【详解】（1）解：设种运动服加工件，种运动服加工件， 根据题意可得：， 解得：， 答：种运动服加工件，种运动服加工件； （2）解：设种运动服卖出件后打折销售， 根据题意可得：， 解得：， 答：种运动服卖出件后打折销售． 7．某超市从厂家购进、两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 型水杯（个） 型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 4000 二 40 60 1300 (1)求、两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)第三次进货用8000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利8元，售出一个型水杯可获利6元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“爱心捐赠”活动捐元．若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 【答案】(1)、两种型号的水杯进价分别为元/个，元/个 (2)，总利润为3200元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，整式加减中的无关型问题： （1）设、两种型号的水杯进价分别为元/个，元/个，根据表格数据，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型水杯，根据总利润等于两种水杯的利润之和，列出代数式，根据捐款后所得的利润始终不变，得到利润与的值无关，进行求解即可． 【详解】（1）解：设、两种型号的水杯进价分别为元/个，元/个，由题意，得： ，解得：； 答：、两种型号的水杯进价分别为元/个，元/个； （2）设购买个型水杯，则购买个型水杯，由题意，得： 总利润 ； ∵捐款后所得的利润始终不变， ∴， ∴，总利润为3200元． 【题型七 二元一次方程组的应用-和差倍分问题问题】 1．某班举行“学党史”知识竞赛活动，班主任安排小颖购买A，B两种物品，如图是小颖购买物品前与同学的对话情景： (1)请计算出A，B两种物品的单价； (2)本次竞赛活动共需购买20个物品，且A物品的数量不少于B物品数量的一半，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元 (2)A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱，理由见解析 【分析】（1）设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元，可得，即可解得答案； （2）设A种物品购买m个，共需W元，根据A物品的数量不少于B物品数量的一半，可得m≥6，W＝30m+15（20﹣m）＝15m+300，根据一次函数性质即可得答案． 【详解】（1）解：设A种物品的单价是x元，B种物品的单价是y元， 根据题意得：， 解得， 答：A种物品的单价是30元，B种物品的单价是15元； （2）解：设A种物品购买m个，B种物品购买（20﹣m）个，共需W元， ∵A物品的数量不少于B物品数量的一半， ∴m， 解得m≥6， 而W＝30m+15（20﹣m）＝15m+300， ∵15＞0， ∴W随m的增大而增大， ∵m≥6，m是整数， ∴m＝7时，W最小，最小为15×7+300＝405， ∴A种物品购买7个，B种物品购买13个最省钱． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和函数关系式． 2．端午粽飘香，2021年6月14日是一年一度的端午节，道县人民喜爱包粽子，但是这一天也是全国高二学生学业水平考试，李老师为了让同学们在紧张的考试当中过一个愉快的端午节，决定购买粽子分发给同学们过端午，如果购买7个大粽子和4个小粽子需要29元，购买5个大粽子和2个小粽子需要19元，问：最后李老师购买了30个大粽子和20个小粽子共花了多少元？ 【答案】130元 【分析】设购买一个大粽子需要x元，购买一个小粽子需要y元，根据“购买7个大粽子和4个小粽子需要29元，购买5个大粽子和2个小粽子需要19元”列出方程组并解答． 【详解】解：设购买一个大粽子需要x元，购买一个小粽子需要y元，根据题意，得． 解这个方程组得：． 所以30×3+20×2＝130（元）． 答：最后李老师购买了30个大粽子和20个小粽子共花了130元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系，正确列出二元一次方程组． 3．列方程组解应用题：口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售、两种品牌口罩，购买2盒品牌和3盒品牌的口罩共需480元；购买3盒品牌和1盒品牌的口罩共需370元．求这两种品牌口罩的单价． 【答案】种品牌口罩单价为90元，种品牌口罩单价为100元 【分析】设A种品牌口罩单价为元，种品牌口罩单价为元，根据等量关系：2盒A品牌口罩的钱数+3盒品牌口罩的钱数=480；3盒A品牌口罩的钱数+1盒品牌口罩的钱数=370，可列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）设A种品牌口罩单价为元，种品牌口罩单价为元． 由题意，得方程组：， 解方程组，得：． 答：A种品牌口罩单价为90元，种品牌口罩单价为100元． 【点睛】本题考查了用二元一次方程组解决实际生活中的购物问题，关键是找到两个等量关系． 4．某体育器材店有A、B两种型号的篮球，已知购买3个A型号篮球和2个B型号篮球共需310元，购买2个A型号篮球和5个B型号篮球共需500元． （1）A、B型号篮球的价格各是多少元？ （2）某学校在该店一次性购买A、B型号篮球共96个，总费用为5700元，这所学校购买了多少个B型号篮球？ 【答案】（1）A型号篮球的价格为50元、B型号篮球的价格为80元；（2）30个 【分析】（1）设型号篮球的价格为元，型号的篮球的价格为元，根据“购买3个型号篮球和2个型号篮球共需310元，购买2个型号篮球和5个型号篮球共需500元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设这所学校买了个型号篮球，买了个型号篮球，根据该学校一次性购买、型号篮球共96个且共花费5700元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）设型号篮球的价格为元，型号的篮球的价格为元， 依题意得：， 解得：． 答：型号篮球的价格为50元、型号篮球的价格为80元． （2）设这所学校买了个型号篮球，买了个型号篮球， 依题意得：， 解得：． 答：这所学校购买了30个型号篮球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 【答案】不合标准，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据等量关系列出二元一次方程组，求出解，再判断即可． 【详解】解：设A类物质排放量原为，B类物质排放量原为，根据题意，得， 解得， 这一次技术改进后，A类物质排放量为， 因为， 所以不符合“标准”． 【题型八 二元一次方程组的应用-几何问题问题】 1．如图，用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌成正方形图案，已知该图案的周长为，小正方形的周长为，若用、表示长方形的两边的长，求、的值．    【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意和图形可得两个等式，即该图案的周长和正方形的周长，小正方形的边长为，大正方形图案的边长为，进而列方程组求解． 【详解】解：依题意， 解得： 2．某校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多的长方形场地内建造两个面积相等的植物养殖区长方形和长方形，植物养殖区的两边，要求两个植物养殖区之间有间隔的小路，求长方形场地的面积． 【答案】长方形场地的面积为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设植物养殖区的长为，的长为，由题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设植物养殖区的长为，的长为， 由题意得，解得， ∴， ∴． 答：长方形场地的面积为． 3．如图，由五个形状大小一样的小长方形木板拼成一个大的长方形．已知大长方形的周长为16． (1)请求出小长方形的周长； (2)在原来大长方形的基础上，再拼加三个小长方形木板（与原先五个小长方形木板形状大小相同）成为一个新的长方形，求所有可能拼成的大长方形的周长． 【答案】(1)小长方形的周长为8 (2)所有可能拼成的大长方形的周长为22或20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设小长方形的长为，宽为，根据图形列出方程组，解出的值，即可求出小长方形的周长； （2）根据题意拼出符合题意的图形，再求出大长方形的周长即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 由图可得，， 解得：， 小长方形的长为3，宽为1， 小长方形的周长为． （2）解：如图1的摆放方式： 则大长方形的周长为； 如图2的摆放方式： 则大长方形的周长为； 如图3的摆放方式： 则大长方形的周长为； 综上所述，所有可能拼成的大长方形的周长为22或20． 4．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2025张，正方形铁片1100张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)， (2)加工的竖式容器150个，横式容器475个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张），（张）． 故答案为：7；3． （2）设加工的竖式容器个，横式容器个， 根据题意，得 解得： 答：加工的竖式容器150个，横式容器475个． 【题型九 二元一次方程组的应用-古代问题】 1．《孙子算经》中有一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何，意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？假设木头长尺，绳子长尺，则根据题意列二元一次方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据等量关系列出方程组是解题的关键． 根据“用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺”即可列出方程组． 【详解】解：设木头长尺，绳子长尺，根据题意，得 ． 故选：A． 2．《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两”，即可列出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵5头牛、2只羊，共值金10两， ∴； ∵2头牛、5只羊，共值金8两， ∴． ∴根据题意可列出方程组． 故选：D． 3．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门的高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ） A．6尺 B．8尺 C．10尺 D．12尺 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可． 【详解】解：设竿长为x尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是x尺，根据勾股定理可得： ， 整理得：， 解得（舍去）或． 则门高：． 故选：B． 4．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈四；人出六，不足二，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多4钱；每人出6钱，又会差2钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设合伙人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多4钱；每人出6钱，又会差2钱”列出方程组即可． 【详解】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，那么 ， 故选：C． 5．在《西游记》中，孙悟空从龙宫得了披挂武器后，与牛魔王结拜为兄弟，彼此推杯换盏，把酒言欢， 若他们二人共喝了84斗酒，且孙悟空比牛魔王多喝4斗酒，设孙悟空喝了x 斗酒，牛魔王喝了y斗酒，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据他们二人共喝了84斗酒，可得，根据孙悟空比牛魔王多喝4斗酒，可得，即可解答． 【详解】解：根据题意可得， ， 故选：C． 6．算筹是我国古代数学的重要创举，下图从左到右分别表示数字1到9，如图（a）的排列则表示方程组，那么图（b）表示的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组， 先观察图（a）可知未知数前的系数及等式右边的常数，根据上述特点解答即可． 【详解】解：根据题意可知图（b）表示的方程为． 故选：C． 【题型十 二元一次方程组的应用-其他问题(问题】 1．某小学有120人参加数学竞赛，平均得分78分，其中男生平均得分75分，女生平均得分80分，则男生比女生少 人． 【答案】24 【分析】设男生有x人，女生有人，根据题意得：，解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设男生有x人，女生有人， 根据题意得：， 解得：． 故（人）， 故答案为：24． 2．医院用甲、乙两种食物为手术后的病人配置营养餐，两种食物中的蛋白质和铁质含量如下表： 食物 蛋白质含量 铁质含量 甲 0.8单位/克 1单位/克 乙 0.7单位/克 0.4单位/克 如果病人每餐需要190单位的蛋白质和180单位的铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？设甲种食物需x克，乙种食物需y克，则根据题意可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系是解题的关键． 本题中可将等量关系列为每餐中甲含的蛋白质的量+乙含的蛋白质的量，每餐中甲含的铁质的量+乙含的铁质的量，由此列出方程组求解． 【详解】解：设甲种食物需x克，乙种食物需y克， 由题意得：， 故答案为：． 3．某商场为迎接即将到来的“5·18”优惠节，采购了若干辆购物车．如图1为叠放的购物车，如图2为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车的篮筐车身长（不包括推车手柄），每增加一辆购物车，车身增加（即为一个购物车推车手柄的宽度）． (1)已知10辆购物车叠放在一起的总长度是3米，若平均分成两列叠放的购物车，每列长度为2米，求一辆购物车的总长度为多少米？ (2)已知该商场的手扶电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求该手扶电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 【答案】(1)1.2米 (2)52辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握一辆购物车的车长与车身长和手柄的宽度的关系，叠放在一起时，每增加一辆购物车，车身增加一个手柄的宽度，是解题的关键． （1）根据一辆购物车的篮筐车身长（不包括推车手柄），每增加一辆购物车，车身增加，10辆购物车叠放在一起的总长度是3米，若平均分成两列叠放的购物车，每列长度为2米，列方程组解答； （2）减去篮筐车身长的差除以推车手柄的宽度，得一列手推车辆数，乘2即得手扶电梯一次性最多可以运输购物车辆数． 【详解】（1）解：， 解得． （米）． 答：一辆购物车的总长度为1.2米． （2）解：（辆）， （辆）． 答：该手扶电梯一次性最多可以运输52辆购物车． 4．综合与实践 图2是根据我们实验室中常见的天平（如图1）自制的一架天平的示意图，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动．已知，，左侧托盘放置一个的砝码．（温馨提示：天平平衡时，左盘砝码质量右盘物体质量．不计托盘和横梁的质量）    (1)若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长． (2)若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点移动到点处时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到的长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡．求这个空矿泉水瓶的质量． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键。 （1）由题意得，，解方程即可得到答案； （2）设空矿泉水瓶的质量为，每次加入等量水的质量为，求出两次平衡时，点O到点P的距离，再根据平衡条件建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵左盘砝码质量右盘物体质量， ∴， 解得， ∴的长为20． （2）解：设空矿泉水瓶的质量为，每次加入等量水的质量为． 根据题意，可列方程组 解得． 答：这个空矿泉水瓶的质量是． 【题型十一 二元一次方程组的应用-图表信息问题】 1．郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 【答案】(1)这两个旅游团共有112人 (2)甲旅游团有41人，乙旅游团有71人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程和方程组，注意分情况讨论． （1）设这两个旅游团共有m人，分和两种情况，列出关于m的一元一次方程，解之取其正整数即可得出结论； （2）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，分和两种情况，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个旅游团共有m人， 当时，有， 解得：（不为整数，舍去）； 当时，有， 解得：， 答：这两个旅游团共有112人； （2）解：设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人， 当时，有， 方程组无解； 当时，有， 解得：． 答：甲旅游团有41人，乙旅游团有71人． 2．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】(1)正常收费标准为2元，超过部分4元 (2)不够交水费，还差30元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【详解】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． （2）解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 3．某小商品批发商批发的A、B两种商品的成本和批发价如表所示： 成本（元件） 批发价（元/件） A 3 3.4 B 3.5 4 该批发商花了32000元购进A，B两种商品若干件，立刻销售一空，共盈利4400元． (1)该批发商分别购进A，B两种商品各多少件？ (2)由于畅销，该批发商决定再购进A，B两种商品共30000件，其中B商品的数量不多于A商品数量的2倍，那么该批发商购进A、B两种商品各多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进种商品6000件，种商品4000件 (2)购进种商品10000件，种商品20000时会获得最大利润，最大利润是14000元 【分析】（1）设批发商分别购进种商品件，种商品件，根据批发商花了32000元购进，两种商品若干件，共盈利4400元列出方程组，解方程组即可； （2）设该批发商获得利润为元，购进种商品件，则购进种商品件，根据商品的数量不多于商品数量的2倍求出的取值范围，再根据总利润两种商品利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设批发商分别购进种商品件，种商品件， 根据题意得：， 解得， 答：批发商分别购进种商品6000件，种商品4000件； （2）设该批发商获得利润为元，购进种商品件，则购进种商品件， 商品的数量不多于商品数量的2倍， ， 解得：， 根据题意得， ， 随的增大而减小， 时，取最大值，最大值为（元）， 此时， 答：该批发商购进种商品10000件，种商品20000时会获得最大利润，最大利润是14000元． 【点睛】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组及函数关系式． 4．某工厂一月份生产甲、乙两种机器共50台，经过工厂技术调整，计划二月份甲种机器增产，乙种机器减产，且计划二月份生产这两种机器共52台． (1)完成下列表格填空： 甲 乙 总量 一月 50 二月 ___________ ___________ 52 (2)求该工厂一月份生产甲、乙两种机器各多少台？ 【答案】(1)， (2)该工厂一月份生产甲机器40台，乙机器10台 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，正确理解题意并准确列出方程组是解题的关键． （1）根据题意填写表格即可； （2）根据题中有两个等量关系：一月份生产甲种机器台数+生产乙种机器台数=50，二月份生产甲种机器台数+生产乙种机器台数=52，根据等量关系列出方程组． 【详解】（1）解：设一月份甲生产台，乙生产台， 计划二月份甲种机器增产，乙种机器减产， 所以二月份甲生产机器台，乙生产机器台， 故答案为：，； （2）解：设一月份甲生产台，乙生产台， 由题意可列出方程组为： ， 解得． 答：该工厂一月份生产甲机器40台，乙机器10台． 5．安徽黄山脚下某村落，在乡村旅游发展热潮下，一些返乡大学生开发了两种特色旅游体验项目：黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验．参与这两种项目每小时所需工作人员数量和成本投入如下表： 体验项目 每小时所需工作人员数量 每小时所需成本投入（元） 黄山茶手工炒制体验 5 200 徽派建筑模型制作体验 4 250 已知某一天参与项目的工作人员共34位，且每人只参与一个项目的工作，当天成本投入共1900元，问黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验这两个项目当天各开展了多少小时? 【答案】黄山茶手工炒制体验项目开展了2小时，徽派建筑模型制作体验项目开展了6小时． 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题，根据题意设出未知数，找出相等关系列出方程组，即可解答． 【详解】解：设黄山茶手工炒制体验项目开展了x小时，徽派建筑模型制作体验项目开展了y小时， 则， 解得， 答：黄山茶手工炒制体验项目开展了2小时，徽派建筑模型制作体验项目开展了6小时． 1．根据以下信息，探索完成任务： 如何设计招聘方案？ 素材 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装． 素材 调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ 【答案】[任务一]每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车；[任务二]工厂有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名，抽调熟练工名，招聘新工人名． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． 任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，由题意得，然后求出为正整数即可即可． 【详解】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 根据题意得：， 解得：， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车； 任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得：， 整理得：， ∵为正整数，且， ∴或， ∴工厂有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名，抽调熟练工名，招聘新工人名． 2．某工厂现有某种原料，可以用来生产两种产品，每生产A种产品需这种原料，生产费用为900元；每生产 种产品需这种原料，生产费用为1000元．可用来生产这两种产品的资金为53万元，两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完？先列表分析数量关系再解答． A种产品 种产品 总量 产品原料 产品费用 900元 1000元 53万元 【答案】生产A种产品，生产B种产品，才能使库存原料和资金恰好用完 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，审清题意、列出方程组是解题的关键． 设A产品生产，B产品生产，根据生产A、B两种产品需要的原料是和费用为53万元建立方程组求解即可． 【详解】解：设A产品生产，B产品生产， 由题意得，解得． 答：生产A种产品，生产B种产品，才能使库存原料和资金恰好用完． 3．海南某芒果种植基地为推进智慧农业，采用A、B两款无人机协同喷洒生态农药．已知A型无人机每小时可喷洒12公顷，但电池续航为5小时；B型无人机每小时喷洒10公顷，续航可达6小时．某日，A、B两型无人机共同完成一片芒果园的喷洒任务，总作业面积360公顷，且所有无人机累计飞行35小时．问：A、B两款无人机各出动多少架？ 【答案】型无人机出动架，型无人机出动架 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设型无人机出动架，型无人机出动架，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设型无人机出动架，型无人机出动架， 由题意可得：， 解得：， ∴型无人机出动架，型无人机出动架． 4．为实现“乡村振兴”战略目标，某乡镇制定了“以产业带动发展”的策略，开发出了某新型农产品，计划租用A，B两种型号的货车将该农产品运往外地销售，已知用1辆A型车和2辆B型车载满该农产品一次可运11吨；用2辆A型车和1辆B型车载满该农产品一次可运10吨．现有该农产品31吨，计划一次运完，且每辆车都满载． (1)1辆A型货车和1辆B型货车满载时一次分别运该农产品多少吨？ (2)若1辆A型货车需租金100元/次，1辆B型货车需租金120元/次，请问有几种租车方案？哪种最省钱？ 【答案】(1)1辆A型货车载满该农产品一次可运送3吨，1辆B型货车载满该农产品一次可运送4吨 (2)有3种租车方案，租用1辆A型车，7辆B型车最省钱 【分析】本题主要考查列二元一次方程（组）以及利用二元一次方程（组）解决方案问题： （1）设1辆A型货车载满该农产品一次可运送x吨，1辆B型货车载满该农产品一次可运送y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车载满该农产品一次可运11吨；用2辆A型车和1辆B型车载满该农产品一次可运10吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）现有该农产品31吨，计划一次运完，且每辆车都满载，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为非负整数，即可得出各租车方案；根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型货车载满该农产品一次可运送x吨，1辆B型货车载满该农产品一次可运送y吨， 由题意可得：， 解得：， 答：1辆A型货车载满该农产品一次可运送3吨，1辆B型货车载满该农产品一次可运送4吨； （2）解：设租用A型货车a辆，B型货车b辆， 由题意可得：， ∴ ， 又∵a，b均为非负整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车， ∴方案1的费用：元， 方案2的费用：元， 方案3的费用：元， ∵， ∴方案3最省钱． 5．某车间有名工人，每人每天能生产螺栓个或螺母个，且一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 【答案】21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系，正确的列出方程组．设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设应安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母， 根据题意，得， 解得：， 答：应安排21名工人生产螺栓，28名工人生产螺母． 6．水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，表示立方米） 价目表（水费按月结算） 每户每月用水量（） 自来水销售价格（元） 污水处理价格（元） 不超出的部分 超出不超出的部分 超出的部分 （注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用＋污水处理费用）． 已知小齐家2021年一月份用水，交水费元，二月份用水，交水费元． （1）请你根据以上信息，求表中，的值； （2）若小齐家七、八月份共用水，其中七月份的用水量低于八月份的用水量，共缴水费元，则小齐家七、八月份的用水量各是多少？ 【答案】（1）；（2）小齐家七月份的用水量为，八月份的用水量为 【分析】（1）根据“一月份用水，交水费元，二月份用水，交水费元”列出关于a、b的方程组求解即可得出答案； （2）设小齐家七月份的用水量为，则八月份的用水量为，根据题意先得出x的范围，再分，两种情况根据“水费＝自来水费用＋污水处理费用”即可求出答案． 【详解】解：由题意得， 解得 设小齐家七月份的用水量为， 则八月份的用水量为． 因为， 所以，即七月份的用水量低于． ①当时，缴费总量为： ， 解得，不合题意，舍去． ②当时，缴费总量为： 解得，，此时，符合题意． 答：小齐家七月份的用水量为，八月份的用水量为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 7．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则___，__； (2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买5支铅笔、9块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需多少元？ 【答案】(1)，3， (2)见解析； (3)14； 【分析】本题主要考查了运用整体思想求代数式的值，解题的关键是找到合适的整体式子； （1）求时，可以把两个二元一次方程直接相减；求可以把两个二元一次方程直接相加，再化简即可解决问题； （2）要求不论a取什么实数，的值始终不变，即想办法把a消去，得到的式子可以保证的值不变； （3）先设出未知数，列出方程，再运用整体思想解决问题即可； 【详解】（1）解：∵， 得：， 得： 则； （2）解：， 得：③， ∴得： ， 故不论a取什么实数，的值始终不变； （3）解：设购买1支铅笔为x元，1块橡皮为y元，1本笔记本为z元； 则 得：， ∴购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需14元. 8．某儿童玩具专卖店计划同时购进A款和B款两种电动玩具车．据了解，8辆A款和10辆B款电动玩具车的进价共计1760元；10辆A款和20辆B款电动玩具车的进价共计3100元． (1)求A款和B款两种电动玩具车每辆的进价分别是多少元； (2)该专卖店计划恰好用3600元购进A款和B款两种电动玩具车（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案； (3)若A款和B款两种电动玩具车每辆的售价分别是100元，160元，请在（2）的条件下，选出利润最大的采购方案，并求出最大利润 【答案】(1)A款电动玩具车每辆的进价是70元，B款电动玩具车每辆的进价是120元； (2)4种采购方案 (3)A款电动玩具购买48辆，B款电动玩具车购买2辆利润最大，最大利润为1520元 【分析】（1）设A款电动玩具车每辆的进价是x元，B款电动玩具车每辆的进价是y元，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设A款电动玩具购买m辆，B款电动玩具车购买n辆，列得，整理得到，根据m，n都是正整数，得到方程的解； （3）分别计算出每种购买方案的利润，比较即可得到购买方案． 【详解】（1）设A款电动玩具车每辆的进价是x元，B款电动玩具车每辆的进价是y元，则 ， 解得， 答：A款电动玩具车每辆的进价是70元，B款电动玩具车每辆的进价是120元； （2）设A款电动玩具购买m辆，B款电动玩具车购买n辆， 则， 整理得， ∵m，n都是正整数， ∴或或或， ∴共有4种采购方案； （3）当时，利润为（元）， 当时，利润为（元）， 当时，利润为（元）， 当时，利润为（元）， ∴A款电动玩具购买48辆，B款电动玩具车购买2辆利润最大，最大利润为1520元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二元一次方程组的应用 【题型一 二元一次方程组的应用-方案问题】....................................................1 【题型二 二元一次方程组的应用-行程问题】....................................................4 【题型三 二元一次方程组的应用-工程问问题】................................................6 【题型四 二元一次方程组的应用-数字问题】....................................................8 【题型五 二元一次方程组的应用-分配问题】....................................................9 【题型六 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】...........................................12 【题型七 二元一次方程组的应用-和差倍分问题】...........................................15 【题型八 二元一次方程组的应用-几何问题】...................................................17 【题型九 二元一次方程组的应用-古代问题】..................................................19 【题型十 二元一次方程组的应用-其他问题】..................................................20 【题型十一 二元一次方程组的应用-图表信息】..............................................22 【题型一 二元一次方程组的应用-方案问题】 1．已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 2．贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元． A种春联 B种春联 进价（元/副） 15 12 售价（元/副） 18 14.5 (1)该超市购进两种春联各多少副？ (2)由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？ 3．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 4．年2月新冠肺炎病毒开始肆虐，市面上等防护型口罩出现热销．已知1个A型口罩和1个B型口罩共需元；6个A型口罩和5个B型口罩共需元． (1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？ (2)小红打算用元（全部用完）购买A型，B型两种口罩（要求两种型号的口罩均购买），正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中A型口罩售价上涨，B型口罩按原价出售，则小红有多少种不同的购买方案？请把方案列举出来． 5．【问题背景】 某物流公司准备租用两种型号的车运送货物，已知用2辆型车和3辆型车载满货物时一次可运货184吨，用3辆型车和4辆型车载满货物时一次可运货256吨．根据以上信息，解答下列问题： 【问题提出】 （1）求1辆型车和1辆型车都载满货物时一次可分别运货多少吨； 【问题解决】 （2）若该物流公司现有304吨货物待运，计划租用型车辆，型车辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．型车每辆需租金1000元/次，型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，并求租车费最少是多少元？ 6．已知：用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货23吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货14吨．某物流公司现有45吨货物，计划租用A型车a辆，B型车b辆（一种或两种车型都可），一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出a，b的值； (3)若A型车每辆需租金110元/次，B型车每辆需租金150元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【题型二 二元一次方程组的应用-行程问题】 1．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙骑自行车．如果乙先走，那么甲用就能追上乙；如果乙先走，那么甲只用就能追上乙．求甲、乙两人的速度． 2．“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 3．A，B两地相距60km，甲、乙两人从A，B两地同时出发，若同向而行则3h时甲追上乙；若相向而行则1h时相遇．甲、乙两人的平均速度各是多少？ 4．甲地到乙地由一段上坡路与一段平路组成，一位自行车越野赛运动员在两地之间进行骑行训练．如果他保持上坡的速度为，平路的速度为，下坡的速度为，那么他从甲地骑到乙地需，从乙地骑到甲地需．甲地到乙地全程是多少千米？ 5．小红和姐姐相距．如果她们同时出发且相向而行，那么经过两人相遇；如果她们同向而行，且姐姐比小红先出发，那么在小红出发后姐姐追上小红．小红、姐姐的平均速度分别是多少？ 6．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另收费．甲说：“我乘坐这种出租车走了11千米，付了17元”；乙说：“我乘坐这种出租车走了23千米，付了35元”． (1)请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？ (2)若小明乘坐这种出租车付了47元钱，则他这次乘车走了多少千米？ 7．甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过点跑回到起跑线（如下图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜．结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5米/秒的速度顺利跑完全程．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”． 请根据图文信息解决下列问题： (1)求甲的赛跑速度； (2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜？ 【题型三 二元一次方程组的应用-工程问问题】 1．某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 2．某农产品公司现有195吨物资需要运往外地，计划安排甲、乙两种货车将全部物资一次运完（货车均满载），已知甲、乙两种货车在满载情况下的两次运输记录如下表： 甲货车（辆） 乙货车（辆） 物资（吨） 第一次 10 6 290 第二次 6 3 165 (1)甲、乙两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (2)若两种货车均使用，请求出所有可行的运输方案． 3．某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时13天．问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华：设河道整治任务完成后，表示_____，表示_____． 根据题意，可列方程组 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 4．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【题型四 二元一次方程组的应用-数字问题】 1．小明的爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 碑上的数 是一个两位数，数字之和是7 是一个两位数，十位与个位数字与时所看到的正好颠倒了 比时看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是多少？ 2．算盘是我国优秀文化遗产．它以排列成串的算珠作为计算工具，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1．如图，小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，然后对小明说：我将要拨的三位数中，个位数字是十位数字的2倍，若把个位数字与十位数字对调，所得的新的三位数比原三位数大36，请帮小明求出这个三位数． 3．有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【题型五 二元一次方程组的应用-分配问题】 1．“消防安全”主题班会后，某学校举行了以“消防安全知多少”为主题的知识竞赛，竞赛分笔试和面试两个环节，两个环节的竞赛题都是25道，满分100分．计分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，未答得0分． (1)笔试环节，甲同学答对的题数是未答的题数的5倍，得分为79分，则甲同学答对、答错、未答的题分别为多少道？ (2)面试环节，规定参赛者每道题都必须作答，总得分不少于90分可以被评为“消防安全小达人”．乙同学答对了23道题，他能被评为“消防安全小达人”吗？请说明理由． 24．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 3．为加强学生体能素质，某校计划开设球类特色课程，需购买足球、排球共个，据调查，某商城每个足球的价格为元，每个排球的价格为元，经双方议价，按折销售，学校共付款元，求购买足球、排球各多少个？ 4．中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 5．已知：用3辆型车和2辆型车装满货物一次可运货17吨；用1辆型车和1辆型车装满货物一次可运货7吨.某物流公司现有31吨货物需要运送，计划同时租用型车辆，型车辆，可以一次运完，且恰好每辆车都装满货物. (1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若租用型车每辆需租金100元，租用型车每辆需租金120元，请选出最省钱的租车方案并求出最少租车费. 6．青花瓷是中国瓷器主流品种之一，由于它具有白瓷如雪，青花似玉的特征，因此深受人们的喜爱．现某瓷器厂计划生产由1个茶壶和8个茶杯组成套装的青花瓷茶具．若一位工人一天只能生产200个茶杯或50个茶壶，该厂现有120名工人，如何安排生产茶杯或茶壶的工人人数使生产的茶具配套． 7．春节期间市场上对礼品盒的需求量激增．为了满足市场的需求，沙坪坝区某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 8．某工厂用长方形铁片和正方形铁片（长方形铁片的宽与正方形铁片的边长相等）（如图1）加工成横式与竖式两种无盖的长方形铁容器（如图2）．（加工时接缝材料不计） (1)现用长方形铁片90个，正方形铁片50个加工成两种长方形铁容器，刚好铁片全部用完，则加工成横式与竖式长方形铁容器各多少个？ (2)把长方形铁容器用长方形铁片或正方形铁片加盖可以制作成铁盒．已知1张铁板可以加工成3个长方形铁片或4个正方形铁片．现有55张铁板，请你计算如何加工，才能充分利用好现有的这55张铁板，让加工所得的所有长方形铁片与正方形铁片刚好配套制作成铁盒，并计算可加工制作成多少个长方形铁盒？ 【题型六 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】 1．某商场有两种旅行包，每个大旅行包进价100元，售价130元，每个小旅行包进价40元，利润率． (1)每个大旅行包的利润率为_______，每个小旅行包的售价为_______； (2)若该商场同时购进两种旅行包共50个，恰好总进价为3200元，则该商场购进两种旅行包各多少个？ (3)某公司计划从商场购进一批旅行包（两种都有）作为活动奖品发给员工，总售价为3600元，请问该公司有多少种购买方案？ 2．今年春节期间，某超市购进了50盒饺子和30盒汤圆，饺子的进价是汤圆进价的1.5倍，饺子以每盒20元的价格出售，汤圆以每盒16元的价格出售，很快全部售出，超市获利640元，饺子和汤圆的进价分别是每盒多少元？ 3．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”，分别以熊猫、灯笼为原型进行设计创作，象征着运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神，某商场用6000元购进A，B两种“冰墩墩”“雪容融”纪念品套装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价－进价），这两种套装的进价，标价如表所示： 价格类型 A种 B种    进价（元/套） 60 100 标价（元/套） 100 160 (1)求这两种纪念品套装各自购进的套数； (2)如果A种套装按标价的8折出售，B种套装按标价的7折出售，那么这批纪念品全部售完后，此时毛利润是多少元？ 4．某水果商从批发市场用12000元购进了枇杷和水蜜桃各300千克，枇杷的进价比水蜜桃的进价每千克多20元．枇杷的售价为每千克40元，水蜜桃的售价为每千克15元（利润售价进价） (1)枇杷和水蜜桃的进价分别是每千克多少元？（请用二元一次方程组解答） (2)该水果商第二次仍用12000元从批发市场购进了枇杷和水蜜桃各300千克，进价不变，但在运输过程中枇杷损耗了15%．若枇杷的售价不变，且想要第二次所获利润等于第一次所获利润的80%，水蜜桃的售价应调整为每千克多少元？ 5．小宇在“家家欣”超市购买A、B两种商品共三次，只有一次购买 A、B两种商品打折．其余两次均按标价购买．三次购买的数量和总费用如下表． A商品/个 B商品/个 总费用/元 第一次购买 3 2 480 第二次购买 7 1 680 第三次购买 10 1 690 (1)小宇以打折价购买的是第__________次购物． (2)求A、B两种商品的标价． (3)若A、B打同样的折，请问商场打了几折？ 6．某服装厂加工A、B两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工B种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元． (1)A、B两种运动服各加工多少件？ (2)将这100件运动服送到商场销售，A种运动服的售价为200元，B种运动服的售价为220元，销售过程中发现A种运动服的销量不好，A种运动服卖出一定数量后，商家决定余下的部分按原价的八折出售，两种运动服全部卖出后共获利10520元，则A种运动服卖出多少件后打折销售？ 7．某超市从厂家购进、两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 型水杯（个） 型水杯（个） 总费用（元） 一 100 200 4000 二 40 60 1300 (1)求、两种型号的水杯进价各是多少元？ (2)第三次进货用8000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利8元，售出一个型水杯可获利6元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“爱心捐赠”活动捐元．若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 【题型七 二元一次方程组的应用-和差倍分问题问题】 1．某班举行“学党史”知识竞赛活动，班主任安排小颖购买A，B两种物品，如图是小颖购买物品前与同学的对话情景： (1)请计算出A，B两种物品的单价； (2)本次竞赛活动共需购买20个物品，且A物品的数量不少于B物品数量的一半，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 2．端午粽飘香，2021年6月14日是一年一度的端午节，道县人民喜爱包粽子，但是这一天也是全国高二学生学业水平考试，李老师为了让同学们在紧张的考试当中过一个愉快的端午节，决定购买粽子分发给同学们过端午，如果购买7个大粽子和4个小粽子需要29元，购买5个大粽子和2个小粽子需要19元，问：最后李老师购买了30个大粽子和20个小粽子共花了多少元？ 3．列方程组解应用题：口罩是疫情防控的重要物资，某药店销售、两种品牌口罩，购买2盒品牌和3盒品牌的口罩共需480元；购买3盒品牌和1盒品牌的口罩共需370元．求这两种品牌口罩的单价． 4．某体育器材店有A、B两种型号的篮球，已知购买3个A型号篮球和2个B型号篮球共需310元，购买2个A型号篮球和5个B型号篮球共需500元． （1）A、B型号篮球的价格各是多少元？ （2）某学校在该店一次性购买A、B型号篮球共96个，总费用为5700元，这所学校购买了多少个B型号篮球？ 5．列方程（组）解实际问题 为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）．对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，、两类物质排放量之和不超过． 已知该型号某汽车的、两类物质排放量之和原为．经过一次技术改进后，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了60%，、两类物质排放量之和为．判断这一次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由． 【题型八 二元一次方程组的应用-几何问题问题】 1．如图，用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌成正方形图案，已知该图案的周长为，小正方形的周长为，若用、表示长方形的两边的长，求、的值．    2．某校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多的长方形场地内建造两个面积相等的植物养殖区长方形和长方形，植物养殖区的两边，要求两个植物养殖区之间有间隔的小路，求长方形场地的面积． 3．如图，由五个形状大小一样的小长方形木板拼成一个大的长方形．已知大长方形的周长为16． (1)请求出小长方形的周长； (2)在原来大长方形的基础上，再拼加三个小长方形木板（与原先五个小长方形木板形状大小相同）成为一个新的长方形，求所有可能拼成的大长方形的周长． 4．某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2025张，正方形铁片1100张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【题型九 二元一次方程组的应用-古代问题】 1．《孙子算经》中有一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何，意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？假设木头长尺，绳子长尺，则根据题意列二元一次方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两．那么每头牛、每只羊分别值金多少两？设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门的高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（   ） A．6尺 B．8尺 C．10尺 D．12尺 4．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈四；人出六，不足二，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多4钱；每人出6钱，又会差2钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 5．在《西游记》中，孙悟空从龙宫得了披挂武器后，与牛魔王结拜为兄弟，彼此推杯换盏，把酒言欢， 若他们二人共喝了84斗酒，且孙悟空比牛魔王多喝4斗酒，设孙悟空喝了x 斗酒，牛魔王喝了y斗酒，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．算筹是我国古代数学的重要创举，下图从左到右分别表示数字1到9，如图（a）的排列则表示方程组，那么图（b）表示的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型十 二元一次方程组的应用-其他问题(问题】 1．某小学有120人参加数学竞赛，平均得分78分，其中男生平均得分75分，女生平均得分80分，则男生比女生少 人． 2．医院用甲、乙两种食物为手术后的病人配置营养餐，两种食物中的蛋白质和铁质含量如下表： 食物 蛋白质含量 铁质含量 甲 0.8单位/克 1单位/克 乙 0.7单位/克 0.4单位/克 如果病人每餐需要190单位的蛋白质和180单位的铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？设甲种食物需x克，乙种食物需y克，则根据题意可列方程组为 ． 3．某商场为迎接即将到来的“5·18”优惠节，采购了若干辆购物车．如图1为叠放的购物车，如图2为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车的篮筐车身长（不包括推车手柄），每增加一辆购物车，车身增加（即为一个购物车推车手柄的宽度）． (1)已知10辆购物车叠放在一起的总长度是3米，若平均分成两列叠放的购物车，每列长度为2米，求一辆购物车的总长度为多少米？ (2)已知该商场的手扶电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求该手扶电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 4．综合与实践 图2是根据我们实验室中常见的天平（如图1）自制的一架天平的示意图，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的支撑点可以在横梁段滑动．已知，，左侧托盘放置一个的砝码．（温馨提示：天平平衡时，左盘砝码质量右盘物体质量．不计托盘和横梁的质量）    (1)若右侧托盘放置物体，当天平平衡时，求的长． (2)若将右侧托盘上的物体换成一个空矿泉水瓶，在空瓶中加入一定量的水，滑动右侧托盘，当支撑点移动到点处时，天平平衡；若再向瓶中加入等量的水，当点移动到的长为时（点在点的右侧），天平恰好平衡．求这个空矿泉水瓶的质量． 【题型十一 二元一次方程组的应用-图表信息问题】 1．郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 2．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 3．某小商品批发商批发的A、B两种商品的成本和批发价如表所示： 成本（元件） 批发价（元/件） A 3 3.4 B 3.5 4 该批发商花了32000元购进A，B两种商品若干件，立刻销售一空，共盈利4400元． (1)该批发商分别购进A，B两种商品各多少件？ (2)由于畅销，该批发商决定再购进A，B两种商品共30000件，其中B商品的数量不多于A商品数量的2倍，那么该批发商购进A、B两种商品各多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 4．某工厂一月份生产甲、乙两种机器共50台，经过工厂技术调整，计划二月份甲种机器增产，乙种机器减产，且计划二月份生产这两种机器共52台． (1)完成下列表格填空： 甲 乙 总量 一月 50 二月 ___________ ___________ 52 (2)求该工厂一月份生产甲、乙两种机器各多少台？ 5．安徽黄山脚下某村落，在乡村旅游发展热潮下，一些返乡大学生开发了两种特色旅游体验项目：黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验．参与这两种项目每小时所需工作人员数量和成本投入如下表： 体验项目 每小时所需工作人员数量 每小时所需成本投入（元） 黄山茶手工炒制体验 5 200 徽派建筑模型制作体验 4 250 已知某一天参与项目的工作人员共34位，且每人只参与一个项目的工作，当天成本投入共1900元，问黄山茶手工炒制体验和徽派建筑模型制作体验这两个项目当天各开展了多少小时? 1．根据以下信息，探索完成任务： 如何设计招聘方案？ 素材 某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装． 素材 调研部门发现：名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车；名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车． 素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发元工资，每名新工人每月发元工资． 问题解决 任务一：分析数量关系 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ 任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ 2．某工厂现有某种原料，可以用来生产两种产品，每生产A种产品需这种原料，生产费用为900元；每生产 种产品需这种原料，生产费用为1000元．可用来生产这两种产品的资金为53万元，两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完？先列表分析数量关系再解答． A种产品 种产品 总量 产品原料 产品费用 900元 1000元 53万元 3．海南某芒果种植基地为推进智慧农业，采用A、B两款无人机协同喷洒生态农药．已知A型无人机每小时可喷洒12公顷，但电池续航为5小时；B型无人机每小时喷洒10公顷，续航可达6小时．某日，A、B两型无人机共同完成一片芒果园的喷洒任务，总作业面积360公顷，且所有无人机累计飞行35小时．问：A、B两款无人机各出动多少架？ 4．为实现“乡村振兴”战略目标，某乡镇制定了“以产业带动发展”的策略，开发出了某新型农产品，计划租用A，B两种型号的货车将该农产品运往外地销售，已知用1辆A型车和2辆B型车载满该农产品一次可运11吨；用2辆A型车和1辆B型车载满该农产品一次可运10吨．现有该农产品31吨，计划一次运完，且每辆车都满载． (1)1辆A型货车和1辆B型货车满载时一次分别运该农产品多少吨？ (2)若1辆A型货车需租金100元/次，1辆B型货车需租金120元/次，请问有几种租车方案？哪种最省钱？ 5．某车间有名工人，每人每天能生产螺栓个或螺母个，且一个螺栓配两个螺母，为使每天生产的螺栓与螺母刚好配套，则该车间应分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？ 6．水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，表示立方米） 价目表（水费按月结算） 每户每月用水量（） 自来水销售价格（元） 污水处理价格（元） 不超出的部分 超出不超出的部分 超出的部分 （注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用＋污水处理费用）． 已知小齐家2021年一月份用水，交水费元，二月份用水，交水费元． （1）请你根据以上信息，求表中，的值； （2）若小齐家七、八月份共用水，其中七月份的用水量低于八月份的用水量，共缴水费元，则小齐家七、八月份的用水量各是多少？ 7．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数式的值．如以下问题：已知实数x、y满足，，求和的值．本题常规思路是将①，②联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则___，__； (2)试说明在关于x、y的方程组中，不论a取什么实数，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买5支铅笔、9块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需多少元？ 8．某儿童玩具专卖店计划同时购进A款和B款两种电动玩具车．据了解，8辆A款和10辆B款电动玩具车的进价共计1760元；10辆A款和20辆B款电动玩具车的进价共计3100元． (1)求A款和B款两种电动玩具车每辆的进价分别是多少元； (2)该专卖店计划恰好用3600元购进A款和B款两种电动玩具车（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案； (3)若A款和B款两种电动玩具车每辆的售价分别是100元，160元，请在（2）的条件下，选出利润最大的采购方案，并求出最大利润 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $