考点培优练02 立体几何中的平行与垂直证明4大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练02 立体几何中的平行与垂直证明 考点01 空间线面位置关系的判定 1 考点02 几何法证明直线、平面平行的判定与性质 2 考点03 几何法证明直线、平面垂直的判定与性质 13 考点04 向量法证明平行与垂直 26 考点01 空间线面位置关系的判定 1.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α=A 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β=l 无数个 2.等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 3.异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：. 1．已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（   ） A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交 C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交 【答案】D 【详解】由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行， 若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾， 所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交. 故选：D. 2．设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若，则或，是异面直线 【答案】D 【详解】 对于A，可设为平面，显然，但，故A错误； 对于B，可设为平面，显然，但，故B错误； 对于C，可设分别为平面，平面， 显然，但，故C错误； 对于D，若，则两平面不会有交点，所以或，是异面直线， 故D正确. 故选：D 3．设为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,给出下列命题： ①若,则； ②若,则； ③若且,则； ④若且,则． 其中所有正确命题的序号是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【详解】由为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,知： 在①中,若,则由面面垂直的判定定理得,故①正确； 在②中,若,则m与n相交、平行或异面,故②错误； 在③中,若且,则与相交或平行,故③错误； 在④中,若且,则由线面垂直的性质得,故④正确． ∴其中所有正确命题的序号是①④． 故选：D． 4．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正方体中，，所以与所成的角即异面直线与所成的角， 因为为正三角形，所以与所成的角为， 所以异面直线与所成的角为. 故选：C. 5．如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A．   B．   C． D．   【答案】C 【详解】由题意结合三角形中位线的性质可得：， 由平行公理可得：,故C正确， 对于A，是异面直线，故A错误， 对于B，是异面直线，故B错误， 对于D，时异面直线，故D错误, 故选：C 6．已知是两个不同的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A，由，，则与相交或（为两个平面的交线时），故A错误； 对于B，由线面垂直的性质知时，，故B正确； 对于C，当，则或，故C错误； 对于D，若，则与无公共点，则或与异面，故D错误. 故选：B 7．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，则，又因为所以，故D正确， 故选：D. 8．已知圆柱的轴截面为正方形，为下底面圆弧的中点，点在上底面圆弧上且与在轴截面同侧，若，则异面直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，在弧上取一点，使得，过作圆柱的母线， 连接，则由圆的对称性可得， 由圆柱的性质知，，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以或其补角即为异面直线与所成角． 因为为下底面圆弧的中点，，所以，， 所以，所以异面直线与所成角为． 故选；D 9．在直三棱柱中，所有棱长都相等，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以即为异面直线与所成的角或补角， 设，则，， 连接，则，因为， 所以平面，平面，所以， ，， 由余弦定理得. 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：D. 10．如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 11．在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解法二：设，取的中点P，连接，证得和，得到（或其补角）是异面直线与所成角，在中，结合余弦定理，即可求解． 【详解】解法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，可得， 则， 所以. 解法二：设，则， 如图所示，取的中点P，连接， 在正方形中，可得， 在三角形中，因为是的中点，可得， 所以（或其补角）是异面直线与所成角， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得, 在中，由余弦定理得． 故选:D． 12．我国古代著名的数学专著《九章算术》中记载有几何体“刍夢”.”如图，在几何体“刍夢”中，平面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，O为正方形的中心，则（    ） A．平面 B．平面 C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，作中点，连接， 因为O为正方形的中心，所以, 因为四边形ABFE是等腰梯形，所以, 所以四边形是平行四边形，所以, 因为面，面，所以平面， 所以B正确； 只有面时，平面，不能保证面面成立，所以A错误； 因为，平面，，所以和异面，所以C错误，同理可得以和也异面，所以D错误. 故选：B 13．在直三棱柱中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，连接，取的中点，连接， 因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角. 因为， 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C.    14．在正方体中，为线段上的动点，则直线与所成角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正方体中，，所以为等边三角形. 因为，所以或其补角为直线与所成的角. 当点与线段的端点重合时，直线与所成的角取得最小值； 当点与线段的中点重合时，直线与所成的角取得最大值. 故直线与所成角的取值范围. 故选：D. 15．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ） ①若，则； ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若，则必垂直于面内的无数条直线； ④若为异面直线且点，则存在两条直线过点且与都相交. A．④ B．③ C．② D．① 【答案】B 【详解】对于①，若，则可知或，如下图中所示： 即①错误； 对于②，不妨取正方体为例，如下图所示： 直线外一点，此时平面与均与直线平行， 因此过直线外一点，可以作与这条直线平行的平面并不唯一，即②错误； 对于③，若，不妨设， 作，且，所以可知，显然这样的直线可以作出无数条， 如下图所示： 所以必垂直于面内的无数条直线，即③正确； 对于④，在直线上取两点，在直线上取两点，如下图所示: 因为为异面直线且点，所以过三点有且仅有一个平面， 同理过三点有且仅有一个平面，此时两平面仅有一条过点的交线， 所以④错误； 综上可知，仅有③正确. 故选：B 考点02 几何法证明直线、平面平行 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒a∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒β∥α 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 1．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点.    (1)求证: 平面； (2)求三棱锥的体积. 【详解】（1）连接与交于点，连接，因为为的中点， 为的中点，所以，又平面，平面， 所以平面； （2）因正方体的棱长为2，点为的中点，平面， 则点到平面的距离等于到平面的距离的一半，距离为1， 因， 即三棱锥的体积为．    2．如图，垂直于梯形所在平面，为PA的中点，，四边形为矩形.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）设交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点． 在中，，分别为，的中点，所以， 因为平面DEF，平面DEF，所以平面； （2）因为垂直于梯形所在平面，，所以两两垂直， 如图以为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．    则，，，，所以，． 设平面PBC的法向量为，则， 令，则. 因为垂直于梯形所在的平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为 所以. 3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面，为正三角形，分别是棱的中点，点在侧棱上，且．求证：平面． 【详解】连接交于点，设，连接， 四边形为菱形，为中点， 分别为中点，，且为中点，， 又，， 平面，平面，平面. 4．如图，在直三棱柱中，，，．是的中点，是与的交点． (1)求直三棱柱的体积； (2)若是的中点，证明：平面； 【详解】（1）. （2）由题意，以原点，所在直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如下图： 所以 ， 所以， 设平面的法向量，则， 令，则， 因为，所以， 且平面，则平面. 5．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，. (1)证明：与共面； (2)证明：平面. 【详解】（1）在四棱锥中，由四边形是平行四边形，得，而，则， 由分别是线段上一点，且，得， 因此，即共面，所以与共面. （2）连接并延长交于，由是的重心，且，得， 即，在上取点，使得，连接， 由，得，且，又， 因此，且，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以平面. 6．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面,为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角. 【详解】（1） 如图，连接，交于点，连接， 因四边形是正方形，故，又为的中点， 故，因平面，平面，故平面. （2）因平面，则为直线与平面所成的角， 也即直线与平面所成的角，在中，因，故. 即直线与平面所成的角为. 7．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成的角. 【详解】（1）连接交于，连接.如图：    因为底面是菱形，所以为的中点，又为的中点， 则，又平面，平面，则平面. （2）如图：    作，因平面，平面， 则，又平面，，则平面. 连接，则为与平面所成的角. 由题可得，，，则. 8．如图，在四棱锥中，平面，，为棱的中点，平面与棱相交于点，且，再从下列两个条件中选择一个作为已知. 条件①：；条件②：.    (1)求证：； (2)已知点在棱上，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【详解】（1）选择条件①： 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以． 选择条件②： 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以． （2）选择条件①： 因为平面，平面，所以． 又因为，所以， 因此，即两两垂直． 如图，以A为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    所以． 因为，且E为棱的中点，所以点F为棱的中点． 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，即， 设，则， 所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得，即． 选择条件②： 因为平面，平面，所以， 又，与相交，平面，所以平面， 因为平面，所以，从而两两垂直． 如图，以A为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    所以． 因为，且E为棱的中点，所以点F为棱的中点． 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则，即， 设，则， 所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简得，解得，即． 9．如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点 (1)求证；平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）取中点，连结， 分别为中点， ，， ，，四点共面， ，又， ，， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，， ，，， 设平面的法向量，则， 令，解得：，，则， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 10．如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面；是的中点. (1)证明：平面 (2)求与平面成角的正弦值. 【详解】（1）连接交于点， 因为分别是的中点， 所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2） 因为底面，且底面是正方形， 所以以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则， 取，则，则， 设直线与平面的夹角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 考点03 几何法证明直线、平面垂直 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒a∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒β∥α 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 1．如图，在三棱锥中，底面，，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为底面，平面 所以，又因为， ，平面， 所以平面. （2）过点作平面的垂直，并以该直线为轴， 以为原点，以所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系，    则， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 取，则， 设与平面所成角为， . 2．如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【详解】（1）由于分别为棱的中点，故， 又平面，且不在平面上， 所以平面； （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面，故平面， 又平面，故平面平面. 3．如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）在正方体中， 因为平面，平面， 所以，又，且， 平面， 平面， 所以平面； （2）建立如图所示空间直角坐标系： ， 则， 所以 ， 设异面直线与所成的角为， 则 . 4．如图①，四边形中，，为中点．将沿折起到的位置，如图②．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【详解】（1）依题意，，平面，平面， 故平面. （2）在四边形中，，为中点，则， 得到四边形为平行四边形，，而，则， 在图②中，，而平面， 所以平面. 5．如图，已知是正方形，平面底面，，其中、分别是、的中点．    (1)求证：平面． (2)判断与平面的关系，并证明你的结论． (3)判断与是否垂直，并说明你的理由． 【详解】（1）由是正方形，则，又平面底面， 平面底面，平面，则平面； （2）平面，证明如下： 由、分别是、的中点，则， 平面，平面，则平面； （3）与不垂直，理由如下： 若，而，且平面， 所以平面，平面，则， 而在中，显然有矛盾，故与不垂直. 6．如图，四棱锥中，底面，，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)若，，，，求两条异面直线和所成的角. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以.        因为，， 所以.             又，平面， 所以平面； （2）取中点，连接和. 因为，，所以为等腰直角三角形. 由，可知，，. 故为等腰直角三角形. 于是有，则， 所以是异面直线和所成的角或其补角，     由勾股定理易知，所以，     即异面直线和所成的角为. 7．如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【详解】（1）设与交于点，连接， 在正方体中，为的中点， 又为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）在正方体中，， 由平面，而平面，所以， 因为，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 8．如图，在长方体中，已知.    (1)证明:平面平面； (2)已知点是线段上的动点，求四面体的体积. 【详解】（1）在长方体中，， 所以底面是正方形，则 又因为平面，平面 所以 由于， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面 （2）因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离 所以 因为， 又因为，即点到平面的距离为. 所以. 9．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【详解】（1）在四棱锥中，四边形为正方形， 连接，，交于点，则是中点，连接， 为中点，则为的中位线， ， 在平面外，平面， 平面． （2）在四棱锥中，四边形为正方形， ， 平面，平面， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面． 10．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【详解】（1）连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为侧棱底面，平面，所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 考点04 空间位置关系的向量证明 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2 l1∥l2 v1∥v2⇔v1＝λv2 l1⊥l2 v1⊥v2⇔v1·v2＝0 直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n l∥α v⊥n⇔v·n＝0 l⊥α v∥n⇔n＝λv 平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔n1＝λn2 α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0 1．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．与相交但不垂直 D．或 【答案】D 【详解】因为，， 则， 得到，且直线的方向向量是，平面的一个法向量是， 所以与的位置关系是：或， 故选：D. 2．如图，已知在四面体中，为等边三角形，的面积为，点在平面上的投影为点，点分别为的中点，则（    ）    A．与相交 B．与异面 C． D． 【答案】C 【详解】AB选项，连接，则，平面，平面， 由于与相交，故与异面，故AB错误； C选项，的面积为，为等边三角形， 设的边长为，则，解得， 因为分别为的中点，所以⊥， 又在平面上的投影为点，故⊥平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 又，故， 则， ， 所以，C正确；    D选项，，， ， 故 故所成角的余弦值为，故D错误. 故选：C. 3．如图，在正方体中，是棱的中点，点在棱上，且，若 平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解法一：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则，，可得， 设是平面的法向量，则， 令，则，即， 由，且，可得， 又因为，则， 由 平面，可得， 解得. 解法二：如图，取中点，连接，易证 ， 所以平面即为平面， 易知当为的中点时， ，平面，平面， 从而 平面，所以. 故选：C. 4．如图，正方体中，P是线段上的动点，有下列四个说法： ①存在点P，使得平面； ②对于任意点P，四棱锥体积为定值； ③存在点P，使得平面； ④对于任意点P，都是锐角三角形. 其中，不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体棱长为1， 则，， 设， ，，， 平面的一个法向量为，， 令，则，即， 若，得， 则时，，又平面，所以平面， 即点P为中点时， 平面，说法①正确； 正方体中，平面平面，平面， 则点到平面的距离为定值，又正方形面积为定值， 所以对于任意点P，四棱锥体积为定值，说法②正确； ，，, 若平面，则有，方程组无解， 所以不存在点P，使得平面，说法③错误； ，，， ，， 则中，，都是锐角， ，也是锐角， 所以对于任意点P，都是锐角三角形，说法④正确. 只有说法③不正确. 故选：C. 5．正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成角的余弦值为 D．三棱锥的体积为 【答案】C 根据线面角的计算，可得C选项错误；应用空间向量法可求得点到平面距离，再结合三棱锥的体积公式，计算可得D正确. 【详解】对于A，连接、，相交于点，连接，如图所示， 因为四边形为正方形，所以是中点， 又为棱的中点，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为原点，以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，,,， 所以,，，所以，故B正确； 对于C，由B选项知，，，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即，解得， 因为，所以， 点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为，故D正确. 故选：C. 二、解答题 6．如图，在长方体中，点分别在棱上，，. (1)证明：. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 证明：因为， 所以 （2）设平面的法向量为， 则即 取，则. 易得平面的一个法向量为. 因为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 7．如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点P到平面的距离． 【详解】（1）因为底面，底面，所以 ， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； （2）因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）因为， 所以点P到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 8．如图，在直四棱柱中，的中点分别为.    (1)证明：. (2)求二面角的正弦值. 【详解】（1）在直四棱柱中，因为，所以两两垂直， 又因为，所以， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系. 因为，所以， 则， 从而， 所以； （2）根据题意，可知平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 所以 易知二面角的正弦值为. 9．(24-25高三上·四川宜宾普通高中·)如图，正四棱柱中，为的中点，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 因为，即， 所以平面平面； （2）设平面的法向量为，则，取， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 10．(23-24高三下·福建泉州第一中学·)在四棱锥中，．    (1)求证： (2)当点到平面的距离为时，求直线与平面所成的角的正弦值． 【详解】（1），为中点，连接，则， ，，则， 又，，平面，则有平面， 平面，则平面平面， 平面平面，平面，， 所以平面， 以为原点，为轴，为轴，平面内垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 有，，， 所以，即. （2）时，设， 则， ， 平面的一个法向量为，则有， 令，则，得， 点到平面的距离为，则有，解得， 所以，，， ， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 试卷第2页，共18页 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点培优练02 立体几何中的平行与垂直证明 考点预览 考点01空间线面位置关系的判定… 考点02几何法证明直线、平面平行的判定与性质… 2 考点03几何法证明直线、平面垂直的判定与性质 13 考点04向量法证明平行于垂直…。 926 考点通关 考点01空间线面位置关系的判定 1.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 a 相交 a∩a=A 1个 直线与平面 平行 a∥a Q个 在平面内 aa aca 无数个 a 平行 a∥E 0个 平面与平面 相交 anB-1 无数个 12.等角定理 ·如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 13.异面直线所成的角 i(1)定义：己知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线ad与b所i :成的角叫做异面直线α与b所成的角（或夹角） 1/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 厂一一- 一一一-一一-一-一-一一一一一 (2)范围：(0，] 1.己知m,n,1为三条不同的直线，a,B为两个不同的平面，若a∩B=l,mca,ncB,且m与n 异面，则() A.1至多与m,n中的一条相交 B.1与m,n均相交 C.1与m,n均平行 D.1至少与m,n中的一条相交 2.设m,是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列结论正确的是() A.若m/1a,n/a,则m∥n B.若m/1n,m/a,则n/1a C.若mca,ncB,则m,n是异面直线D.若a/B,mca,ncB,则m∥n或m,n是异面直线 3.设m,n为空间两条不同的直线，，B为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m⊥a,m/B,则a⊥B; ②若ml/a,n/a,则mlln; ③若mca,nca且mB,nlB,则a/B; ④若m⊥a,n/川B且o/β，则m⊥n. 其中所有正确命题的序号是() A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.如图，在正方体ABCD-A,BCD中，异面直线AD与D,C所成的角为() D C A B D B A.君 B. 4 C. 5.如图，在三棱锥P-ABC中，E,F,G,H,I,J分别为线段PA,PB,PC,AB,BC,CA的中点，则下列说法正确 的是() 2/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A.PH//BG B.IE//CP C.FH//GJ D.GI//JH 6.已知a,阝是两个不同的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是() A.若a⊥B,mca,则m⊥B B.若m⊥a,m∥n,则n⊥a C.若m⊥a,m⊥n,则n/1a D.若a∥B,mco,ncB,则m∥n 7.己知m,n是两条不同的直线，，阝，y是三个不同的平面，则下列结论正确的是() A.若m/n,m/a,则n/1 B.若a/1B,mca,ncB,则m/1n C.若a⊥B,B⊥y,则a/Y D.若m//m,o/1B,m⊥oa,则n⊥B 8.己知圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为下底面圆弧AB的中点，点F在上底面圆弧CD上且与E在轴 截面同侧，若CF=,CD,则异面直线AE与CF所成角为() 3 A.30° B.45° C.60° D.75° 9.在直三棱柱ABC-A,B,C,中，所有棱长都相等，D,E,F分别是棱AB,BC,BC的中点，则异面直 线DF与C,E所成角的余弦值是() A.V19 B.、9 9 10 10 c.o D.10 10.如图，下列正方体中，M,N,P,Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MW和PQ为 异面直线的是() 3/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Q M D B D M M 11.在正四棱柱ABCD-A,BCD中，AA=2AB,E,F,G分别是CC,BD,CD的中点，则直线AG与EF所成 角的余弦值为() A.3 B.6 C.6 D.30 2 3 5 10 12.我国古代著名的数学专著《九章算术》中记载有几何体“刍萝””如图，在几何体“刍萝”EF-ABCD中， EF∥平面ABCD,四边形4BFE,CDEF为两个全等的等腰梯形，EF=)4B,O为正方形ABCD的巾心， 则() E A B A.EO⊥平面ABCD B.EOII平面FBCC.EO1IFBD.EOIIFC 13.在直三棱柱ABC-AB,C,中，AC=AB=AA=2,∠BAC=120°，D是棱BC的中点，则异面直线AD与 B,C所成角的余弦值为() A.0 B.3v10 c.5 D.25 10 10 5 14.在正方体ABCD-A,B,CD,中，P为线段AD上的动点，则直线PC,与B,C所成角的取值范围是() 4/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B. [ c[& .[剖 15.已知m,n为两条不同的直线，，B为两个不同的平面，则下列命题中正确的是() ①若m⊥，m⊥n,则n/la; ②过直线m外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若a⊥B,mca,则m必垂直于面阝内的无数条直线； ④若m,n为异面直线且点P廷m,P廷n,则存在两条直线过点P且与m,n都相交 A.④ B.③ C.② D.① 考点02几何法证明直线、平面平行 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果平面外一条直线 与此平面内的一条直 aca 判定定理 bca 线平行，那么该直线与 台a∥a allb 此平面平行 条直线与一个平面 alla 平行，如果过该直线的 性质定理 aCB 平面与此平面相交，那 a∩B=b →a∥b 么该直线与交线平行 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面内 判 aCB 的两条相交直线 一a bCB 定 B 与另一个平面平 a∩b=P 定 行，那么这两个平 alla →B∥a 理 面平行 blla 5/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两个平面平行，如 性 果另一个平面与 allB 质 这两个平面相 a∩y=a〉 定 a →a∥b 交，那么两条交线 Bnr=b) 理 平行 1.如图，在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，F为DC的中点 D B E (1)求证：BD/平面C,DE; (2)求三棱锥A-BDF的体积 2.如图，PD垂直于梯形ABCD所在平面，∠ADC=∠BAD=90°，F为PA的中点， PD=点.AB=AD-CD=1,四边形PDCE为矩形 B (1I)求证：AC/平面DEF; (②)求平面ABCD与平面BCP的夹角的余弦值 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧面PAD⊥底面ABCD,△PAD为正三角形，E,F 分别是棱AD,DC的中点，点G在侧棱PD上，且PG:GD=3:1.求证：PB∥平面EFG. 6/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 4.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠BAC=90°，AB=AC=2,AA=2V2.N是BC的中点，P是 BC,与B,C的交点. P B (1)求直三棱柱ABC-A,B,C,的体积； (2)若Q是AN的中点，证明：PQ11平面ABC; 5.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是ABC的重心，M,E,F分别是线段 SC,SD,BC上一点，且SM=2MC,SE=2ED,OFIIAB S B (1)证明：MF与OE共面： (2)证明：CE11平面SAF 6.如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD垂直于底面ABCD,E为SC的中点. 7/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (1I)求证：SA1/平面BDE: (2)若AB=SD=2,求直线SA与平面BCD所成的角. 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°且PA=AB=2,PA⊥平面ABCD,E为 PD的中点 D A D (1)证明：PB//平面AEC; (2)求EC与平面PAD所成的角 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PAB,ABIIDC,E为棱PB的中点，平面DCE与棱PA相交 于点F,且PA=AB=AD=2CD=2,再从下列两个条件中选择一个作为已知 条件①：PB=BD;条件②：PA⊥BC. M F D (1)求证：AB/EF; ②已知点M在棱PC上，直线W与平面DCEF所成角的正弦值为子，求兴的值 9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA=AD=CD=2AB=2,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD ,M为PC的中点 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D B (I)求证；BM∥平面PAD; (2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 1O.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD;PD=DC=2,E是PC的中点 B (1)证明：PA//平面BDE (2)求BC与平面BDE成角的正弦值 考点03几何法证明直线、平面垂直 1.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果平面外一条直线 与此平面内的一条直 a史a 判定定理 bca 线平行，那么该直线与 →a∥a allb 此平面平行 一条直线与一个平面 alla 平行，如果过该直线的 性质定理 % acB 平面与此平面相交，那 a∩B=b →a∥b 么该直线与交线平行 9/17 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面内 判 acB 的两条相交直线 定 a bcB 与另一个平面平 a∩b=P 定 行，那么这两个平 a allo →B∥a 理 面平行 blla 两个平面平行，如 性 果另一个平面与 allB 质 这两个平面相 any=a〉 定 a 曰a∥b 交，那么两条交线 F∩y=b 理 平行 1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,∠ACB=90°，M是PB的中点 (1)求证：BC⊥平面PAC; (②若PA=AC-号BC=2,求AM与平面PBC所成角的正弦值 2.如图，在三棱锥P-ABC中，AP=AB,M,N分别为棱PB,PC的中点，BC⊥平面PAB. M (1)求证：BC/平面AMN: (2)求证：平面AMN⊥平面PBC. 10/17