第七单元数学广角——植树问题【从新情境到新素养】-2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列（原卷版+解析版）人教版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 —宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 第1页共6页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列「2025秋J 第七单元数学广角—一植树问题【从新情境到新素养】 新的 情境主题 吕【典型例题】 【新情境·传统节日文化】为迎接春节的到来，黄梅县政府在长1200米的某路段两侧挂满中 国红灯笼（两端都挂），相邻两个红灯笼之间相距30米，该路段一共挂了多少个红灯笼？ 肥【对应练习】 1.【新情境·实际生活应用】为创建文明整洁城市，要在一条长3000米的公园小路一侧从头 到尾等距离放置61个垃圾桶，每两个垃圾桶之间的距离是多少米？ 2.【新情境·实际生活应用】幸福小街全长1500米，在街的两侧每隔50米粘贴一张“社会主 义核心价值观”宣传标语（两端都不贴），一共需要贴多少张宣传标语？ 移家乏义核心饰值现 富强民主文明和谐 自由平等公正法治 爱国敬业诚信友善 第2页共6页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.【新情境·实际生活应用】庆元旦，学校在操场的一边摆了76盆鲜花，每两盆之间的距离 是4米。如果不动两端的鲜花，现在要再多摆25盆，每两盆鲜花之间的距离应缩小多少米？ 新 素养培优 吕【典型例题】 【新素养·创新意识】2025年我们迎来了祖国的“76华诞”，中华大地普天同庆，张爷爷想在 自家的正方形庭院的四周挂上红灯笼，每一面都挂上8个红灯笼，张爷爷至少需要购买多少个 红灯笼？下面是奇思和妙想的做法： 0 奇思的做法： 8-1=7() 4×7=28(个) 答：张爷爷至少需要购买28个红灯笼 妙想的做法： 4×8=32（个》 答：张爷爷至少需要购买32个红灯笼 早/起/的/鸟儿/有虫/吃 谁的做法正确？说明理由。 第3页共6页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 肥【对应练习】 1.【新素养·创新意识】我是小小设计师。 春节快到了，为了营造节日气氛，小区物业准备买一些圆球灯，摆放在边长12米的正方形活 动场地（如图）的四条边上，要求每条边上摆4个，并且每条边上灯与灯之间的距离相等。请 你来当设计师，画出两种不同的摆放方案，再选择其中一种填写设计说明。 方案一： 方案二： 我选择方案()作设计说明： 该方案中每条边上两个灯之间的距离是()米，一共摆放()个圆球灯。 2.【新素养·几何直观能力】下图所示是教室的长方形天花板，长8米，宽6米，对角线长 10米。同学们打算在四条边及一条对角线上每隔0.5米挂一个小灯笼，并且四个顶点处均各挂 一个，一共要多少个小灯笼？ 3.【新素养·几何直观能力】下图的中间是一个正方形的花坛，边长为10米，在花坛的四周 有一条宽2米的小路。 第4页共6页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)小路的面积是多少平方米？ (2)沿着花坛的四周，每隔2米种一棵桂花树（四个角都种），需要买几棵？（画一画，算 一算)》 新 趋势命题 吕【典型例题】 【新趋势·多角度命题】李叔叔利用篱笆和一面墙围成了如下图所示的花园，篱笆全长25.5 米。 (1)这个花园的面积是多少平方米？ 8m (2)在篱笆一周每隔1.5米栽一棵观赏树（篱笆两端不栽），一共要栽多少棵观赏树？ 职【对应练习】 1. 【新趋势·多角度命题】奇奇想探究不锈钢是否是热的良导体，做了一个热传导实验。下 图是奇奇的装置图，通过在相同的间隔时间分别测量冷水和热水的温度来验证他的猜想。 冷水、 热水 不锈钢饭盒 (1)奇奇第一次测量的时间为10：30，最后一次测量的时间为11：15，共测量了10次，奇 奇测量间隔的时间是多少分钟？ 第5页共6页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)运用列表法，写出奇奇每次测量的时间，并回答奇奇第5次测量的时间是几点？第8次 呢？ 2.【新趋势·多角度命题】正方形操场四周栽了一圈树，每两棵树相隔4米。甲乙两人同时 从A点出发沿不同的方向绕操场行走（如图），甲的速度是乙的2倍，乙到达D点后向C点 行走，当走到离D点第5棵树时，发现和甲之间正好相隔1棵树。操场四周一共栽了多少棵 树？（写出必要的解题过程） B 3.【新趋势·多角度命题】社区准备装饰居民活动中心的舞台，舞台四周每隔3.5米装一盏 夜灯，四个角都要装，一共装了40盏夜灯。那么舞台的面积是多少平方米？ 9盏 第6页共6页 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 ——宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第七单元数学广角——植树问题【从新情境到新素养】 【典型例题】 【新情境·传统节日文化】为迎接春节的到来，黄梅县政府在长1200米的某路段两侧挂满中国红灯笼（两端都挂），相邻两个红灯笼之间相距30米，该路段一共挂了多少个红灯笼？ 【对应练习】 1．【新情境·实际生活应用】为创建文明整洁城市，要在一条长3000米的公园小路一侧从头到尾等距离放置61个垃圾桶，每两个垃圾桶之间的距离是多少米？ 2．【新情境·实际生活应用】幸福小街全长1500米，在街的两侧每隔50米粘贴一张“社会主义核心价值观”宣传标语（两端都不贴），一共需要贴多少张宣传标语？ 3．【新情境·实际生活应用】庆元旦，学校在操场的一边摆了76盆鲜花，每两盆之间的距离是4米。如果不动两端的鲜花，现在要再多摆25盆，每两盆鲜花之间的距离应缩小多少米？ 【典型例题】 【新素养·创新意识】2025年我们迎来了祖国的“76华诞”，中华大地普天同庆，张爷爷想在自家的正方形庭院的四周挂上红灯笼，每一面都挂上8个红灯笼，张爷爷至少需要购买多少个红灯笼？下面是奇思和妙想的做法： 谁的做法正确？说明理由。 【对应练习】 1．【新素养·创新意识】我是小小设计师。 春节快到了，为了营造节日气氛，小区物业准备买一些圆球灯，摆放在边长12米的正方形活动场地（如图）的四条边上，要求每条边上摆4个，并且每条边上灯与灯之间的距离相等。请你来当设计师，画出两种不同的摆放方案，再选择其中一种填写设计说明。 方案一：   方案二： 我选择方案（    ）作设计说明： 该方案中每条边上两个灯之间的距离是（    ）米，一共摆放（    ）个圆球灯。 2．【新素养·几何直观能力】下图所示是教室的长方形天花板，长8米，宽6米，对角线长10米。同学们打算在四条边及一条对角线上每隔0.5米挂一个小灯笼，并且四个顶点处均各挂一个，一共要多少个小灯笼？ 3．【新素养·几何直观能力】下图的中间是一个正方形的花坛，边长为10米，在花坛的四周有一条宽2米的小路。 （1）小路的面积是多少平方米？ （2）沿着花坛的四周，每隔2米种一棵桂花树（四个角都种），需要买几棵？（画一画，算一算） 【典型例题】 【新趋势·多角度命题】李叔叔利用篱笆和一面墙围成了如下图所示的花园，篱笆全长25.5米。 （1）这个花园的面积是多少平方米？   （2）在篱笆一周每隔1.5米栽一棵观赏树（篱笆两端不栽），一共要栽多少棵观赏树？ 【对应练习】 1．【新趋势·多角度命题】奇奇想探究不锈钢是否是热的良导体，做了一个热传导实验。下图是奇奇的装置图，通过在相同的间隔时间分别测量冷水和热水的温度来验证他的猜想。 （1）奇奇第一次测量的时间为10：30，最后一次测量的时间为11：15，共测量了10次，奇奇测量间隔的时间是多少分钟？ （2）运用列表法，写出奇奇每次测量的时间，并回答奇奇第5次测量的时间是几点？第8次呢？ 2．【新趋势·多角度命题】正方形操场四周栽了一圈树，每两棵树相隔4米。甲乙两人同时从A点出发沿不同的方向绕操场行走（如图），甲的速度是乙的2倍，乙到达D点后向C点行走，当走到离D点第5棵树时，发现和甲之间正好相隔1棵树。操场四周一共栽了多少棵树？（写出必要的解题过程） 3．【新趋势·多角度命题】社区准备装饰居民活动中心的舞台，舞台四周每隔3.5米装一盏夜灯，四个角都要装，一共装了40盏夜灯。那么舞台的面积是多少平方米？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 —宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 第1页共11页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列「2025秋 第七单元数学广角—一植树问题【从新情境到新素养】 新 情境主题 吕【典型例题】 【新情境·传统节日文化】为迎接春节的到来，黄梅县政府在长1200米的某路段两侧挂满中 国红灯笼（两端都挂），相邻两个红灯笼之间相距30米，该路段一共挂了多少个红灯笼？ 【答案】82个 【分析】先求出1200里面有几个30，即求出间隔数，再用间隔数加1求出一侧挂灯笼的个数， 最后乘2求出两边一共挂灯笼的个数。 【详解】(1200÷30+1)×2 =(40+1)×2 =41×2 =82(个) 答：该路段一共挂了82个红灯笼。 【点睛】本题问题原型是考查植树问题，植树问题中，两端都要栽的情况：植树棵数=间隔数 +1。 肥【对应练习】 1.【新情境·实际生活应用】为创建文明整洁城市，要在一条长3000米的公园小路一侧从头 到尾等距离放置61个垃圾桶，每两个垃圾桶之间的距离是多少米？ 【答案】50米 【分析】已知在一条长3000米的公园小路一侧从头到尾等距离放置61个垃圾桶，则摆放之后 公园小路一侧被平均分成(61一1)个间隔，用全长3000米除以(61一1)个间隔即可求出每 两个垃圾桶之间的距离是多少米。 【详解】3000÷(61-1) =3000÷60 =50(米) 第2页共11页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 答：每两个垃圾桶之间的距离是50米。 【点睛】明确植树问题的情形，找到对应的段数、株距、全长是解决本题的关键。 2.【新情境·实际生活应用】幸福小街全长1500米，在街的两侧每隔50米粘贴一张“社会主 义核心价值观”宣传标语（两端都不贴），一共需要贴多少张宣传标语？ 移气王义核心纺值现 富强民主文明和谐 自由平等公正法治 爱国敬业诚信友善 【答案】58张 【分析】先考虑一侧，两端都不贴，张数=段数一1，全长：间距一1三一侧张数，一侧张数×2 =两侧张数，据此列式解答。 【详解】150050-1 =30-1 =29(张) 29×2=58(张) 答：一共需要贴58张宣传标语。 【点睛】关键是掌握植树问题的解题方法，理解棵数和段数之间的关系。 3.【新情境·实际生活应用】庆元旦，学校在操场的一边摆了76盆鲜花，每两盆之间的距离 是4米。如果不动两端的鲜花，现在要再多摆25盆，每两盆鲜花之间的距离应缩小多少米？ 【答案】1米 【分析】学校在操场的一边摆了76盆鲜花，每两盆之间的距离是4米，根据植树棵数一1=间 隔数，间隔数×间隔距离=间隔总长，则总长度是4×(76一1)=300（米），如果不动两端的 鲜花，现在要再多摆25盆，共101盆，有100个间隔，根据间隔距离=间隔总长÷间隔数，则 现在每两盆鲜花之间的距离应该是(300：100)米，最后用原来的间隔长度减去现在的间隔长 度，即可求出缩小了几米，据此解答即可。 【详解】4×(76-1) =4×75 =300(米) 300÷(76+25-1) =300÷100 第3页共11页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =3(米) 4-3=1(米) 答：每两盆鲜花之间的距离应缩小1米。 【点睛】本题考查了两端都不栽的植树问题，解答此题的关键是求出总距离再进一步解答。 新 素养培优 吕【典型例题】 【新素养·创新意识】2025年我们迎来了祖国的“76华诞”，中华大地普天同庆，张爷爷想在 自家的正方形庭院的四周挂上红灯笼，每一面都挂上8个红灯笼，张爷爷至少需要购买多少个 红灯笼？下面是奇思和妙想的做法： 0 奇思的做法 8-1=7(个) 4×7=28(个) 答：张爷爷至少需要购买28个红灯笼 妙想的做法： 4×8=32(个) 答：张爷爷至少需要购买32个红灯笼 早/起/的/乌儿/有虫/吃 谁的做法正确？说明理由。 【答案】奇思；见详解 【分析】根据题意，在正方形庭院的四周挂上红灯笼，属于封闭图形的植树问题，则红灯笼的 总个数等于间隔数；先求出每一面红灯笼的间隔数，再乘4，即是正方形庭院的四周挂红灯笼 的总个数。 【详解】8-1=7（个） 第4页共11页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4×7=28(个) 答：奇思的做法正确。每一面都挂上8个红灯笼，则有8一1=7个间隔，4面就有4×7=28个 红灯笼。（理由不唯一） 【点睛】本题考查植树问题，明确封闭图形中，植树棵数=间隔数。 职【对应练习】 1.【新素养·创新意识】我是小小设计师。 春节快到了，为了营造节日气氛，小区物业准备买一些圆球灯，摆放在边长12米的正方形活 动场地（如图）的四条边上，要求每条边上摆4个，并且每条边上灯与灯之间的距离相等。请 你来当设计师，画出两种不同的摆放方案，再选择其中一种填写设计说明。 方案一： 方案二： 我选择方案()作设计说明： 该方案中每条边上两个灯之间的距离是（)米，一共摆放()个圆球灯。 【答案】图形见详解；一；3：14 【分析】方案一：以正方形的1个顶点为起点，然后每条边上摆4盏，也就是相邻的两盏之间 的距离为12÷4=3米，据此解答即可； 方案二：不在正方形的4个顶点放，每条边上摆4盏，共有5个间隔，则相邻的两盏之间的距 离为12÷(4+1)=2.4米，据此解答即可： 选定方案一，用正方形的边长除以间隔数即可求出两个灯之间的距离，用一条边上灯的个数乘 4再减去2个顶点处的个数即可求解。 【详解】如图所示： 方案一： 方案二： 12÷4=3（米) 第5页共11页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4×4-2 =16-2 =14(个) 则每条边上两个灯之间的距离是3米，一共摆放14个圆球灯。 【点睛】本题考查植树问题，明确间隔数，间隔长度和边长之间的关系是解题的关键。 2.【新素养·几何直观能力】下图所示是教室的长方形天花板，长8米，宽6米，对角线长 10米。同学们打算在四条边及一条对角线上每隔0.5米挂一个小灯笼，并且四个顶点处均各挂 一个，一共要多少个小灯笼？ 【答案】75个 【分析】长方形的四周挂灯笼可看成封闭图形的植树问题，其规律是棵数=间隔数=总距离： 间隔距离；即用长方形的周长除以间隔距离，即可可求出四周挂灯笼的数量为56个；在对角 线上挂灯笼可以看成在一条线段上两端都不栽的植树问题，其规律是棵数=间隔数一1。由此 列式计算为10÷0.5-1=19（个），一共可以挂56+19=75（个）灯笼。 【详解】(8+6)×2 =14×2 =28(米) 28÷0.5=56(个) 10÷0.5-1 =20-1 =19(个) 56+19=75(个) 答：一共要75个小灯笼。 【点睛】本题考查了植树问题的相关知识，注意分情况讨论，不同的植树方式有不同的棵数。 3.【新素养·几何直观能力】下图的中间是一个正方形的花坛，边长为10米，在花坛的四周 有一条宽2米的小路。 第6页共11页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)小路的面积是多少平方米？ (2)沿着花坛的四周，每隔2米种一棵桂花树（四个角都种），需要买几棵？（画一画，算 一算) 【答案】(1)96平方米 (2)画图见详解；20棵 【分析】(1)根据题意，用大正方形面积减去小正方形面积，即为小路的面积，小正方形边 长为10米，则大正方形边长为(10+2×2)米，根据正方形面积=边长×边长，代入数据求值 即可； (2)在封闭路段种树，棵树与间隔数相等，即用小正方形周长÷间隔的距离=间隔数，正方形 周长=边长×4，代入数据求值即可。 【详解】(1)(10+2×2)×(10+2×2)-10×10 =(10+4)×(10+4)-100 =14×14-100 =196-100 =96(平方米) 答：小路的面积是96平方米。 (2)画图如下： 10×4=40(米) 40÷2=20(棵) 答：需要买20棵。 【点睛】本题考查了正方形面积公式的灵活运用，以及封闭路段的植树问题，通过对图的观察， 第7页共11页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 能够准确判断大正方形的边长是解题的关键。 新 趋势命题 吕【典型例题】 【新趋势·多角度命题】李叔叔利用篱笆和一面墙围成了如下图所示的花园，篱笆全长25.5 米。 (1)这个花园的面积是多少平方米？ 8m (2)在篱笆一周每隔1.5米栽一棵观赏树（篱笆两端不栽），一共要栽多少棵观赏树？ 【答案】(1)70平方米 (2)16棵 【分析】(1)根据题意和图形，可知花园是一个直角梯形，梯形的上底、下底和高8米是用 篱笆围成，那么用篱笆的全长减去8米，即是梯形的上底与下底之和；然后根据梯形的面积= (上底+下底)×高÷2，代入数据计算，即可求出这个花园的面积。 (2)先用篱笆的全长除以每相邻两棵观赏树的间距，求出观赏树的间隔数：因为篱笆两端不 栽，则棵数=间隔数一1，据此求出一共要栽观赏树的棵数。 【详解】(1)(25.5-8)×8÷2 =17.5×8÷2 =140-2 =70(平方米) 答：这个花园的面积是70平方米。 (2)25.5÷1.5-1 =17-1 =16(棵) 答：一共要栽16棵观赏树。 【点睛】(1)本题考查梯形面积公式的灵活运用，求出梯形的上底与下底之和是解题的关键。 第8页共11页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)本题考查植树问题，明白两端都不栽时，“棵数=间隔数一1”是解题的关键 肥【对应练习】 1.【新趋势·多角度命题】奇奇想探究不锈钢是否是热的良导体，做了一个热传导实验。下 图是奇奇的装置图，通过在相同的间隔时间分别测量冷水和热水的温度来验证他的猜想。 冷水、 热水 不锈钢饭盒 (1)奇奇第一次测量的时间为10：30，最后一次测量的时间为11：15，共测量了10次，奇 奇测量间隔的时间是多少分钟？ (2)运用列表法，写出奇奇每次测量的时间，并回答奇奇第5次测量的时间是几点？第8次 呢？ 【答案】(1)5分钟；(2)列表见详解；10：50：11：05 【分析】(1)根据题意，要解决问题需分两步：首先，计算测量的总时长，用结束时间减去 开始时间，再结合测量次数(10次)，利用“间隔数=测量次数一1”的关系，求出测量间隔时 间。 (2)依据第一次测量时间(10：30)以及求出的间隔时间(5分钟)，通过依次累加间隔时 间的方法，用列表法呈现每次测量时间，从而确定第5次和第8次的测量时间。据此解答。 【详解】(1)11：15与10：30之间的时间间隔为45分钟 45÷(10-1) =45÷9 =5(分钟) 答：每次间隔的时间是5分钟。 (2)由(1)问得出每次间隔的时间是5分钟，列表如下： 次 第 第二 第三 第四 第五 第六 第七 第八 第九 第十 数 次 次 次 次 次 次 次 次 次 次 时 10:30 10:35 10:40 10:45 10:50 10:55 11:00 11:05 11:10 11:15 间 答：第5次测量的时间是10：50，第8次测量的时间是11：05。 第9页共11页 西学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【点睛】解决本题的关键是明确测量次数与间隔数的关系，以及能正确进行时间的计算和列表。 2.【新趋势·多角度命题】正方形操场四周栽了一圈树，每两棵树相隔4米。甲乙两人同时 从A点出发沿不同的方向绕操场行走（如图），甲的速度是乙的2倍，乙到达D点后向C点 行走，当走到离D点第5棵树时，发现和甲之间正好相隔1棵树。操场四周一共栽了多少棵 树？（写出必要的解题过程） 【答案】68棵或52棵 【分析】由于甲的速度是乙的速度的2倍，所以乙在D处时，甲正好在C处，即两人开始同 时沿着DC边相向而行，当乙走过了5棵树，也就是走了5个间隔时，此时甲应该走了10个 间隔，甲乙正好相隔1棵树，即相隔2个间隔，可分为甲乙相遇前和甲乙相遇后两种情况，分 别求出正方形操场一边上的间隔数，相遇前10十5+2=17（个），相遇后10十5一2=13（个）， 则四周一共有17×4=68（个）或13×4=52（个）间隔，根据封闭图形的植树问题，植树棵数 =间隔数，求出一共栽了多少棵树即可。 【详解】由分析可知：乙在D处时，甲正好在C处，当乙走过了5棵树，甲刚好走过了10棵 树，甲乙之间相隔1棵树，即相隔2个间隔： 甲乙未相遇： 正方形操场一边上的间隔数：10+5+2=17（个） 17×4=68(个) 则四周栽的树为68棵； 甲乙相遇后： 正方形操场一边上的间隔数：10+5一2=13（个） 13×4=52(个) 则四周栽的树为52棵。 答：操场四周一共栽了68棵树或52棵树。 【点晴】灵活掌握封闭路段植树问题以及行程问题的数量关系是解题的关键，解题时注意需要 分相遇前和相遇后两种情况讨论。 第10页共11页 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 ——宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第七单元数学广角——植树问题【从新情境到新素养】 【典型例题】 【新情境·传统节日文化】为迎接春节的到来，黄梅县政府在长1200米的某路段两侧挂满中国红灯笼（两端都挂），相邻两个红灯笼之间相距30米，该路段一共挂了多少个红灯笼？ 【答案】82个 【分析】先求出1200里面有几个30，即求出间隔数，再用间隔数加1求出一侧挂灯笼的个数，最后乘2求出两边一共挂灯笼的个数。 【详解】（1200÷30＋1）×2 ＝（40＋1）×2 ＝41×2 ＝82（个） 答：该路段一共挂了82个红灯笼。 【点睛】本题问题原型是考查植树问题，植树问题中，两端都要栽的情况：植树棵数＝间隔数＋1。 【对应练习】 1．【新情境·实际生活应用】为创建文明整洁城市，要在一条长3000米的公园小路一侧从头到尾等距离放置61个垃圾桶，每两个垃圾桶之间的距离是多少米？ 【答案】50米 【分析】已知在一条长3000米的公园小路一侧从头到尾等距离放置61个垃圾桶，则摆放之后公园小路一侧被平均分成（61－1）个间隔，用全长3000米除以（61－1）个间隔即可求出每两个垃圾桶之间的距离是多少米。 【详解】3000÷（61－1） ＝3000÷60 ＝50（米） 答：每两个垃圾桶之间的距离是50米。 【点睛】明确植树问题的情形，找到对应的段数、株距、全长是解决本题的关键。 2．【新情境·实际生活应用】幸福小街全长1500米，在街的两侧每隔50米粘贴一张“社会主义核心价值观”宣传标语（两端都不贴），一共需要贴多少张宣传标语？ 【答案】58张 【分析】先考虑一侧，两端都不贴，张数＝段数－1，全长÷间距－1＝一侧张数，一侧张数×2＝两侧张数，据此列式解答。 【详解】1500÷50－1 ＝30－1 ＝29（张） 29×2＝58（张） 答：一共需要贴58张宣传标语。 【点睛】关键是掌握植树问题的解题方法，理解棵数和段数之间的关系。 3．【新情境·实际生活应用】庆元旦，学校在操场的一边摆了76盆鲜花，每两盆之间的距离是4米。如果不动两端的鲜花，现在要再多摆25盆，每两盆鲜花之间的距离应缩小多少米？ 【答案】1米 【分析】学校在操场的一边摆了76盆鲜花，每两盆之间的距离是4米，根据植树棵数－1＝间隔数，间隔数×间隔距离＝间隔总长，则总长度是4×（76－1）＝300（米），如果不动两端的鲜花，现在要再多摆25盆，共101盆，有100个间隔，根据间隔距离＝间隔总长÷间隔数，则现在每两盆鲜花之间的距离应该是（300÷100）米，最后用原来的间隔长度减去现在的间隔长度，即可求出缩小了几米，据此解答即可。 【详解】4×（76－1） ＝4×75 ＝300（米） 300÷（76＋25－1） ＝300÷100 ＝3（米） 4－3＝1（米） 答：每两盆鲜花之间的距离应缩小1米。 【点睛】本题考查了两端都不栽的植树问题，解答此题的关键是求出总距离再进一步解答。 【典型例题】 【新素养·创新意识】2025年我们迎来了祖国的“76华诞”，中华大地普天同庆，张爷爷想在自家的正方形庭院的四周挂上红灯笼，每一面都挂上8个红灯笼，张爷爷至少需要购买多少个红灯笼？下面是奇思和妙想的做法： 谁的做法正确？说明理由。 【答案】奇思；见详解 【分析】根据题意，在正方形庭院的四周挂上红灯笼，属于封闭图形的植树问题，则红灯笼的总个数等于间隔数；先求出每一面红灯笼的间隔数，再乘4，即是正方形庭院的四周挂红灯笼的总个数。 【详解】8－1＝7（个） 4×7＝28（个） 答：奇思的做法正确。每一面都挂上8个红灯笼，则有8－1＝7个间隔，4面就有4×7＝28个红灯笼。（理由不唯一） 【点睛】本题考查植树问题，明确封闭图形中，植树棵数＝间隔数。 【对应练习】 1．【新素养·创新意识】我是小小设计师。 春节快到了，为了营造节日气氛，小区物业准备买一些圆球灯，摆放在边长12米的正方形活动场地（如图）的四条边上，要求每条边上摆4个，并且每条边上灯与灯之间的距离相等。请你来当设计师，画出两种不同的摆放方案，再选择其中一种填写设计说明。 方案一：   方案二： 我选择方案（    ）作设计说明： 该方案中每条边上两个灯之间的距离是（    ）米，一共摆放（    ）个圆球灯。 【答案】图形见详解；一；3；14 【分析】方案一：以正方形的1个顶点为起点，然后每条边上摆4盏，也就是相邻的两盏之间的距离为12÷4＝3米，据此解答即可； 方案二：不在正方形的4个顶点放，每条边上摆4盏，共有5个间隔，则相邻的两盏之间的距离为12÷（4＋1）＝2.4米，据此解答即可； 选定方案一，用正方形的边长除以间隔数即可求出两个灯之间的距离，用一条边上灯的个数乘4再减去2个顶点处的个数即可求解。 【详解】如图所示： 12÷4＝3（米） 4×4－2 ＝16－2 ＝14（个） 则每条边上两个灯之间的距离是3米，一共摆放14个圆球灯。 【点睛】本题考查植树问题，明确间隔数，间隔长度和边长之间的关系是解题的关键。 2．【新素养·几何直观能力】下图所示是教室的长方形天花板，长8米，宽6米，对角线长10米。同学们打算在四条边及一条对角线上每隔0.5米挂一个小灯笼，并且四个顶点处均各挂一个，一共要多少个小灯笼？ 【答案】75个 【分析】长方形的四周挂灯笼可看成封闭图形的植树问题，其规律是棵数＝间隔数＝总距离÷间隔距离；即用长方形的周长除以间隔距离，即可可求出四周挂灯笼的数量为56个；在对角线上挂灯笼可以看成在一条线段上两端都不栽的植树问题，其规律是棵数＝间隔数－1。由此列式计算为（个），一共可以挂（个）灯笼。 【详解】 ＝14×2 ＝28（米） 28÷0.5＝56（个） ＝20－1 ＝19（个） （个） 答：一共要75个小灯笼。 【点睛】本题考查了植树问题的相关知识，注意分情况讨论，不同的植树方式有不同的棵数。 3．【新素养·几何直观能力】下图的中间是一个正方形的花坛，边长为10米，在花坛的四周有一条宽2米的小路。 （1）小路的面积是多少平方米？ （2）沿着花坛的四周，每隔2米种一棵桂花树（四个角都种），需要买几棵？（画一画，算一算） 【答案】（1）96平方米 （2）画图见详解；20棵 【分析】（1）根据题意，用大正方形面积减去小正方形面积，即为小路的面积，小正方形边长为10米，则大正方形边长为（10＋2×2）米，根据正方形面积＝边长×边长，代入数据求值即可； （2）在封闭路段种树，棵树与间隔数相等，即用小正方形周长÷间隔的距离＝间隔数，正方形周长＝边长×4，代入数据求值即可。 【详解】（1）（10＋2×2）×（10＋2×2）－10×10 ＝（10＋4）×（10＋4）－100 ＝14×14－100 ＝196－100 ＝96（平方米） 答：小路的面积是96平方米。 （2）画图如下： 10×4＝40（米） 40÷2＝20（棵） 答：需要买20棵。 【点睛】本题考查了正方形面积公式的灵活运用，以及封闭路段的植树问题，通过对图的观察，能够准确判断大正方形的边长是解题的关键。 【典型例题】 【新趋势·多角度命题】李叔叔利用篱笆和一面墙围成了如下图所示的花园，篱笆全长25.5米。 （1）这个花园的面积是多少平方米？   （2）在篱笆一周每隔1.5米栽一棵观赏树（篱笆两端不栽），一共要栽多少棵观赏树？ 【答案】（1）70平方米 （2）16棵 【分析】（1）根据题意和图形，可知花园是一个直角梯形，梯形的上底、下底和高8米是用篱笆围成，那么用篱笆的全长减去8米，即是梯形的上底与下底之和；然后根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算，即可求出这个花园的面积。 （2）先用篱笆的全长除以每相邻两棵观赏树的间距，求出观赏树的间隔数；因为篱笆两端不栽，则棵数＝间隔数－1，据此求出一共要栽观赏树的棵数。 【详解】（1）（25.5－8）×8÷2 ＝17.5×8÷2 ＝140÷2 ＝70（平方米）    答：这个花园的面积是70平方米。 （2）25.5÷1.5－1 ＝17－1 ＝16（棵）              答：一共要栽16棵观赏树。 【点睛】（1）本题考查梯形面积公式的灵活运用，求出梯形的上底与下底之和是解题的关键。 （2）本题考查植树问题，明白两端都不栽时，“棵数＝间隔数－1”是解题的关键。 【对应练习】 1．【新趋势·多角度命题】奇奇想探究不锈钢是否是热的良导体，做了一个热传导实验。下图是奇奇的装置图，通过在相同的间隔时间分别测量冷水和热水的温度来验证他的猜想。 （1）奇奇第一次测量的时间为10：30，最后一次测量的时间为11：15，共测量了10次，奇奇测量间隔的时间是多少分钟？ （2）运用列表法，写出奇奇每次测量的时间，并回答奇奇第5次测量的时间是几点？第8次呢？ 【答案】（1）5分钟；（2）列表见详解；10：50；11：05 【分析】（1）根据题意，要解决问题需分两步：首先，计算测量的总时长，用结束时间减去开始时间，再结合测量次数（10次），利用“间隔数＝测量次数－1”的关系，求出测量间隔时间。 （2）依据第一次测量时间（10：30）以及求出的间隔时间（5分钟），通过依次累加间隔时间的方法，用列表法呈现每次测量时间，从而确定第5次和第8次的测量时间。据此解答。 【详解】（1）11：15与10：30之间的时间间隔为45分钟 45÷（10－1） ＝45÷9 ＝5（分钟） 答：每次间隔的时间是5分钟。 （2）由（1）问得出每次间隔的时间是5分钟，列表如下： 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 第九次 第十次 时间 10：30 10：35 10：40 10：45 10：50 10：55 11：00 11：05 11：10 11：15 答：第5次测量的时间是10：50，第8次测量的时间是11：05。 【点睛】解决本题的关键是明确测量次数与间隔数的关系，以及能正确进行时间的计算和列表。 2．【新趋势·多角度命题】正方形操场四周栽了一圈树，每两棵树相隔4米。甲乙两人同时从A点出发沿不同的方向绕操场行走（如图），甲的速度是乙的2倍，乙到达D点后向C点行走，当走到离D点第5棵树时，发现和甲之间正好相隔1棵树。操场四周一共栽了多少棵树？（写出必要的解题过程） 【答案】68棵或52棵 【分析】由于甲的速度是乙的速度的2倍，所以乙在D处时，甲正好在C处，即两人开始同时沿着DC边相向而行，当乙走过了5棵树，也就是走了5个间隔时，此时甲应该走了10个间隔，甲乙正好相隔1棵树，即相隔2个间隔，可分为甲乙相遇前和甲乙相遇后两种情况，分别求出正方形操场一边上的间隔数，相遇前10＋5＋2＝17（个），相遇后10＋5－2＝13（个），则四周一共有17×4＝68（个）或13×4＝52（个）间隔，根据封闭图形的植树问题，植树棵数＝间隔数，求出一共栽了多少棵树即可。 【详解】由分析可知：乙在D处时，甲正好在C处，当乙走过了5棵树，甲刚好走过了10棵树，甲乙之间相隔1棵树，即相隔2个间隔； 甲乙未相遇： 正方形操场一边上的间隔数：10＋5＋2＝17（个） 17×4＝68（个） 则四周栽的树为68棵； 甲乙相遇后： 正方形操场一边上的间隔数：10＋5－2＝13（个） 13×4＝52（个） 则四周栽的树为52棵。 答：操场四周一共栽了68棵树或52棵树。 【点睛】灵活掌握封闭路段植树问题以及行程问题的数量关系是解题的关键，解题时注意需要分相遇前和相遇后两种情况讨论。 3．【新趋势·多角度命题】社区准备装饰居民活动中心的舞台，舞台四周每隔3.5米装一盏夜灯，四个角都要装，一共装了40盏夜灯。那么舞台的面积是多少平方米？ 【答案】1176平方米 【分析】此题是考查封闭路线植树问题的类型题，封闭路线植树：棵数＝段数。根据是在长方形舞台四周装路灯，那么有多少盏路灯就有多少个两路灯之间的间隔；根据每两盏路灯间隔是3.5米，舞台的长就是12个3.5米的长度，舞台的宽就是8个3.5米的长度，根据长方形的面积公式：S＝ab，将数据代人即可解答。 【详解】40－4＝36（盏） 宽中间有夜灯：9－2＝7（盏） 长中间有夜灯：（36－7×2）÷2＝11（盏） 宽：3.5×（7＋1）＝28（米） 长：3.5×（11＋1）＝42（米） 面积：28×42＝1176（平方米） 答：舞台的面积是 1176 平方米。 【点睛】此题主要考查了学生对植树问题解答方法的掌握情况，植树问题可以分类几种类型：植树问题之开放型两端都种：棵数＝段数＋1，两端都不种：棵数＝段数－1，只一端栽：棵数＝段数。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $