精品解析：湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

长郡中学2025年下学期高二期中考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率为， 令该直线倾斜角为，则有， 而，于是， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 3. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线平行，得到，再结合离心率的定义，即可求解． 【详解】由题意，双曲线渐近线方程为， 因为一条渐近线与直线平行，可得， 则，即双曲线的离心率为． 故选：C． 4. 与直线垂直且过点的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直，求得直线的斜率，结合直线的点斜式，即可求解. 【详解】由题意，直线，可得斜率为， 因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率为， 又由所求直线过点，所以直线的方程为，即. 故选：A. 5. 已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最大距离为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出椭圆平行与直线的切线方程，进而利用两平行线之间的距离公式计算即可. 【详解】设椭圆平行于直线的切线为，代入椭圆方程得， 则，解得， 则切线方程为． 由于在椭圆上方，故直线与直线之间的距离即为椭圆上的点到直线的最大距离， . 故选：B. 6. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形特征得出，，得出，再计算得出解得即得. 【详解】如图，分别过点作准线的垂线，垂足分别为点， 设，所以，由抛物线的定义得，所以， 在中，，又因为， 解得，又记准线与对称轴交于点，因为，解得，即到抛物线的准线的距离为4. 故选：B. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，由的最小值为及范围可求. 【详解】设，则， 所以，当且仅当时取等号． 由，得，又， 所以. 故选：D. 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，利用椭圆的定义及勾股定理解得， 表示出，，再利用锐角三角函数表示出，由余弦定理表示出，即可得到方程，解得，即可求出离心率. 【详解】如图所示，设，，设，则， 在中，， 由椭圆定义可知，， ，解得， 所以，， 在中，可得， 在中，由余弦定理可得， ， ，即0， 解得，所以椭圆离心率. 故选：D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则必共面 B. 若空间向量满足，则与的夹角为钝角 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，空间中，三个不共面的向量构成基底，利用基底定义求解；对于B，由得到是钝角或求解；对于C，由关于平面对称的点，则横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数求解；对于D，因为直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则或，若，则，从而得解. 【详解】对于构成空间的一个基底，则不共面， 因为，所以必共面，故A正确； 对于B，当时，则是钝角或，故B错误； 对于C，关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数，所以点关于平面对称的点的坐标是，故C正确； 对于D，因为直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则或；若，则，所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. 故选：AC. 10. 已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（ ） A. 的轨迹方程为 B. 过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C. 圆和圆有两条公切线 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，设点，结合点为线段的中点，可得，求出的轨迹方程即可判断；对于B，根据切线长定理结合勾股定理转化为利用二次函数的性质求距离最小值即可；对于C，利用圆和圆的位置关系确定切线有几条；对于D，将的最大值问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值即可求解. 【详解】对于A，设点，又点为线段的中点， 由，则， 又动点在圆上，则，即，即， 即的轨迹方程为，故A错误； 对于B，设点， 又圆，则圆心坐标为，半径， 则切线长为， 由函数的性质知，当时，切线长最短为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 圆，则圆心坐标为，半径， 又，， 则圆与圆相交，因此有两条公切线，故C正确； 对于D，由，则其几何意义可为定点与动点的构成的直线的斜率， 又动点在圆上，则也在圆上， 则问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值， 由图知过点且与圆相切的直线的斜率存在， 设过点且与圆相切的直线为，即， 则到直线的距离，即，解得或， 结合图象知，斜率最大为，即的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，利用条件，设双曲线方程为，再利用双曲线过点，即可求解；选项B，根据条件，借助图形，即可求解；选项C，利用余弦定理及双曲线的定义，得到，再结合条件，即可求解；选项D，利用C中结果，再结合条件，即可求解. 【详解】对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为， 所以，解得，得到双曲线的方程为，正确， 对于B，如图，由题知，，所以， 若，所以， 正确， 对于C，记，所以， 又，得到，又， 所以，又， 由，得，错误， 对于D，因为，， 由，得， 又，得到，得到， 从而有，得到， 由，得到， 从而有，解得，正确， 故选：ABD. 第II卷 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列中，若，则的值为______． 【答案】20 【解析】 【分析】应用等差数列项的性质计算求解. 【详解】因为数列为等差数列，又因为 ，即， 则 . 故答案为：20. 13. 已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是___________ 【答案】3 【解析】 【分析】求出焦点，准线，作出辅助线，设动点直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到. 【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，即时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故答案为：3 14. 已知是圆内一点，若过点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域（忽略边界）面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意分析过点的最短弦长的范围，然后可得的范围，进而确定点构成的区域，然后可求面积. 【详解】圆的半径，点在圆内，直径是最长的弦，长度为8. 以下分析过点的最短的弦， 由垂径定理知，，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大，由图可知，，当时取等号， 所以当时，最大，弦长最短， 根据圆的对称性，这7条长度为正整数的弦的长度分别是， 要使得有两条长度为5的弦，并且没有长度为4的弦，则最短弦长小于5，大于4， 因此，过点的最短的弦长， 又因为，， 所以， 所以点落在以为圆心，半径分别为和的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为. 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. （1）求的通项公式； （2）若求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出，结合可得公比，由此计算可得数列的通项公式. （2）利用分组求和法可得. 【小问1详解】 ∵是和的等差中项，∴， ∵，∴，解得，故. 设等比数列的公比为，则，解得或（舍）， ∴， ∴. 【小问2详解】 由（1）得， ∴ . 16. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出即得抛物线方程； （2）设，由中点弦公式计算可得，直线的方程为，直线与抛物线联立方程，利用弦长公式及三角形面积公式列式计算即可求解. 【小问1详解】 由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，． （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 【答案】（1） 如图所示，取的中点，连接， 因为，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以， 又为等边三角形，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证平面，根据线面垂直的定义得证线线垂直. （2）先根据四棱锥的体积求四棱锥的高，进而求得，从而建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再利用空间向量法即可求两个平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设四棱锥的高为， 由题设，得，则， 由题设知，所以底面， 因为底面，所以， 故可以点为坐标原点，直线为轴、为轴、为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则，所以； 设平面的法向量为， 则，则， 令，则，所以， 所以， 设平面与平面的夹角为，则，所以， 即平面与平面的夹角正弦值为． 18. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3） 设直线的方程为， 由得，， 所以， 所以， 所以，所以直线方程为，令，解得，即直线过定点． 【解析】 【分析】（1）圆过三个点，求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； （3）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，由斜率公式求出，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得，圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点， ，直线的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组，解得，所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即两圆相交. 又， 则，解得. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一动点，且的最大值为6. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点. （i）求的取值范围； （ii）已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆定义和基本不等式求，结合离心率求解可得； （2）（i）直线方程联立椭圆方程消元，利用判别式求解可得；（ii）利用直线表示出点的坐标，结合韦达定理求出中点坐标，结合为平行四边形求解可得. 【小问1详解】 因为离心率为，所以，由椭圆的定义知， 由基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 故，所以，所以， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）设， 由得， 由直线与椭圆交于两点，知，得， 所以或. （ii）存在点使得四边形为平行四边形，理由如下： 因为在椭圆上，所以易知，设直线的方程为， 令，得，同理， 又由（i）知，所以， 所以 ， 所以线段的中点坐标为， 连接，若四边形为平行四边形，则线段的中点坐标也为， 由于，可得得，所以点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡中学2025年下学期高二期中考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分. 第Ⅰ卷 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则的离心率为（） A. 2 B. C. D. 3 4. 与直线垂直且过点的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最大距离为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，过抛物线的焦点的直线（斜率为正）交抛物线于点两点（其中点在第一象限），交其准线于点，若，则到抛物线的准线的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则必共面 B. 若空间向量满足，则与的夹角为钝角 C. 点关于平面对称的点的坐标是 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 10. 已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（ ） A. 的轨迹方程为 B. 过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C. 圆和圆有两条公切线 D. 的最大值为 11. 圆锥曲线具有丰富的光学性质．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的方程为 B. 过点且垂直于的直线平分 C. 若，则 D. 若，则 第II卷 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 等差数列中，若，则的值为______． 13. 已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是___________ 14. 已知是圆内一点，若过点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点构成的区域（忽略边界）面积为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在递增的等比数列中，，且是和的等差中项. （1）求的通项公式； （2）若求数列的前项和. 16. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若为坐标原点，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，为等边三角形，，，． （1）求证：； （2）若四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角正弦值． 18. 设，，，圆Q过A，B，D三个点. （1）求圆Q的方程； （2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点. 19. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，点是椭圆上一动点，且的最大值为6. （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆交于两点. （i）求的取值范围； （ii）已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $