3.2.2 双曲线的简单几何性质 讲义+巩固提升训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质 题型1 已知双曲线的方程研究其几何性质 6 题型2 根据双曲线的几何性质求标准方程 7 题型3 求双曲线的离心率和值或取值范围 8 考点1 求双曲线离心率的值 8 考点2 求双曲线离心率取值范围 10 题型4 求双曲线的渐近线方程 11 题型5 直线与双曲线的位置关系应用 13 题型6 中点弦问题 15 题型7 双曲线中的定点定值问题 16 知识点一 双曲线的简单几何性质 标准方程 图形 范围 对称性 对称轴：轴、轴 对称中心：原点 顶点 双曲线和它的对称轴的两个交点 , , 轴 线段是双曲线的实轴,线段是双曲线的虚轴.实轴长,叫做双曲线的实半轴长,虚轴长,叫做双曲线的虚半轴长 虚轴端点 , , 渐近线 与双曲线无限接近,但永远不相交的两条直线 直线 直线 离心率 知识点二 双曲线的渐近线 1．定义：一般地,双曲线的两支向外延伸时,与两条直线逐渐接近,但永远不相交,我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线. 2．由双曲线方程求渐近线 对于双曲线,则由,得出渐近线方程为,即 对于双曲线,则由0,得渐近线方程为 (反之,如果两条渐近线方程为,那么双曲线的方程可设为 3．渐近线方程的性质 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离是常数. (2)双曲线上任意一点到双曲线两条渐近线的距离之积为. (3)由渐近线求离心率 如图,设,过点作垂直于渐近线的线段,垂足为,在中,,,所以,,(性质(1)) 则. 注意当双曲线的焦点在轴上时,类似地,(为渐近线的倾斜角). 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1．直线与双曲线的位置关系 位置关系 相交 图示 位置关系 相切 相离 图示 2．直线与双曲线的位置关系的判断 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线相交,只有一个公共点.(注意,直线与双曲线只有一个公共点时,直线与双曲线相交或相切) ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点. 3．弦长问题 设直线与双曲线相交于两个不同的点,,则弦的长为 或. 4．中点弦问题 设直线与双曲线交于两点,,则与椭圆的处理方法相同,将两交点,的坐标代入双曲线方程,再将所得两个等式相减,运用点差法即可建立直线的斜率与弦的中点的坐标之间的关系. 设直线与双曲线交于,两点,弦中点为 ,为坐标原点, 则当双曲线方程为时, ; 当双曲线方程为时, 知识点四 共轭双曲线和等轴双曲线 1．共渐近线的双曲线系方程 与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 当时,其焦点在轴上,当时,其焦点在轴上. 2．共轭双曲线 (1)当时,双曲线与1共渐近线,我们称这两个双曲线互为共轭双曲线. (2)共轭双曲线的性质：①有相同的渐近线；②有相同的焦距；③ 3．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程形式为,即. 等轴双曲线的渐近线方程为,(渐近线互相垂直)实轴长和虚轴长相等,离心率 知识点五 双曲线的焦点弦 过焦点的直线与双曲线相交形成的弦叫做焦点弦(如图中的弦). 1．双曲线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通径. 对于双曲线,将代入双曲线的方程可得,所以直线与双曲线的两个交点为,,计算得通径长.(与椭圆相同) 同理,可求得双曲线的通径长也是. 2．用倾斜角表示焦半径 如图,当直线与双曲线的两个交点,在同一支上时(同支弦),连接,, 直线与焦点所在轴的夹角为,. 则,. 如图,当直线与双曲线的两支分别交于两个点,时(异支弦), 则,. 3．用倾斜角表示焦点弦长公式 求同支弦时,如图(1),可求得弦长. 求异支弦时,如图(2),可求得弦长, 当弦过右焦点时,其结论与过左焦点是相同的. 4．焦点弦被焦点分成定比问题 设焦点弦满足,为直线的倾斜角,则离心率,,间的关系如下： 当焦点内分弦时, ; 当焦点外分弦时, 题型1 已知双曲线的方程研究其几何性质 1．（多选题）（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的实轴长为4 C．的离心率为 D．C的渐近线方程为 2．（25-26高三上·广东潮州·开学考试）双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的焦距为（    ） A． B．4 C． D． 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）若实数k满足，则双曲线与的（   ） A．焦距相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．离心率相等 4．（多选题）已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率为 B．的标准方程为 C．的渐近线方程为 D．直线经过的一个焦点 5．（多选题）（24-25高二下·四川泸州·期末）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（   ） A．的实轴长为 B．的离心率为 C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为 题型2 根据双曲线的几何性质求标准方程 6．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 7．根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程： (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (2)过点，离心率； (3)，是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且，，且离心率为2. 8．（24-25高二上�陕西西安�阶段练习）与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 题型3 求双曲线的离心率和值或取值范围 考点1 求双曲线离心率的值 11．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B．2 C．2或 D．或 13．（24-25高三下�重庆�阶段练习）已知焦点在轴上的双曲线．该双曲线的上焦点到下顶点的距离为到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高三上·福建·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率 . 15．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·云南昭通·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 19．（2025高三·全国·专题练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与右顶点重合，过作平分线的垂线，垂足为M．若，求离心率的取值范围． 考点2 求双曲线离心率取值范围 20．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 21．（多选题）（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，若以为圆心，为半径作圆，过双曲线右支上一点P作圆的切线，切点为T，且的最小值不大于，则双曲线的离心率e的取值可能是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·黑龙江大庆·一模）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 23．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ．   24．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 25．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型4 求双曲线的渐近线方程 26．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于两点.若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 29．（2025·四川泸州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 30．双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 31．（2025�天津河西�二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 题型5 直线与双曲线的位置关系应用 33．（23-24高二上�全国�课后作业）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 34．（2025高三·全国·专题练习）直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 35．（2025高三·全国·专题练习）过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 36．（24-25高二下·上海宝山·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 ． 37．（2025高二上·全国·专题练习）若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 38．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 39．（2025·江西新余·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点M为平面内一点，线段的中点在该双曲线右支上，N在x轴上，，，为双曲线C上一点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)已知过的直线l交该双曲线于A，B，，的面积为6，求直线l的方程． 40．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知双曲线，其焦距为4，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知斜率为的直线和双曲线的右支交于两点，为坐标原点，若的重心在双曲线上，求直线的方程. 题型6 中点弦问题 41．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 42．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 43．（2025高三·全国·专题练习）设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则 ． 44．（2025高三·全国·专题练习）双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是 ． 题型7 双曲线中的定点定值问题 45．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线和点，作直线与的两支分别交于点，，使得．若，斜率均存在，求证：直线过定点． 46．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 47．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线与双曲线交于点，其中点在第二象限． ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值． 48．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2双曲线的简单几何性质 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高三上·云南·期中）双曲线：的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线 ，则顶点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海嘉定·二模）双曲线和双曲线具有相同的（    ） A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率 4．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则（    ） A． B．或6 C． D．或 7．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（   ）    A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·河北衡水·阶段练习）已知双曲线，则（    ） A．的离心率为 B．双曲线与有相同的渐近线 C．直线与相交的弦长为 D．的焦点到渐近线的距离为 10．（25-26高三上·全国·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，点在渐近线上，且在第一象限，满足，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．的内切圆的半径 11．（2025·广东·模拟预测）记，分别为双曲线的左、右焦点，以为圆心，以E的焦距为半径的圆T与E的右支交于P，Q两点，则（    ） A．E的渐近线方程为 B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期中）双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 13．（2025·广东深圳·一模）已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． 14．（25-26高二上·天津·期中）已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点，若，则C的离心率为 . 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏泰州·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率： (2)渐近线方程是，虚轴长为4． 16．（25-26高三上·云南昆明·开学考试）已知双曲线（，）的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 17．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且过点. (1)求的方程； (2)过的上焦点且斜率为的直线与交于，两点，证明：. 18．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，其中一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线E的方程； (2)设过的直线与双曲线交于C，D两点（C、D与A、B不重合），记直线AC，BD的斜率为，，证明：为定值． 19．（25-26高三上·上海杨浦·阶段练习）已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 能力提升 一、单选题 1．（2022高三�全国�专题练习）已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上�福建福州�期中）设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点.若到直线的距离大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．   二、多选题 3．（24-25高二上�江苏徐州�期中）已知曲线，点，，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C关于对称 B．曲线C上存在点P，使 C．直线与曲线C无公共点 D．点Q为曲线C在第二象限内的点，过点Q向直线作垂线，垂足分别为A，B，则为定值 4．（24-25高二上�江苏南京�阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于A，B两点，则下列结论正确的有，（    ） A．若，则或9 B．左焦点到渐近线距离为 C．若A，B两点分别位于的两支，则 D．点不可能是线段AB的中点 5．（23-24高二上�江西南昌�期中）设M为双曲线上一动点，为上下焦点，O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则或6 B．双曲线C与双曲线的离心率相同 C．若点，M在双曲线C的上支，则最小值为 D．过的直线l交C于G、H不同两点，若，则l有2条 三、解答题 6．（2025高三·全国·专题练习）椭圆Γ：与双曲线C：的离心率分别为，． (1)若，求的值； (2)当时，设点，若对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求的取值范围． 7．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，过点F的直线l交C的右支于A，B两点，当轴时，. (1)求双曲线C的离心率； (2)若直线l的倾斜角为，且C经过点，M为双曲线C的左支上一动点，求面积的最小值. 8．（25-26高二上·上海徐汇·阶段练习）如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为.已知点Q为双曲线右支上的一点，，且. (1)求：双曲线的离心率e； (2)若，，的面积满足，求：的值； (3)斜率为的直线过点，且与双曲线相交于两点，则在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，恒成立；如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2双曲线的简单几何性质 题型1 已知双曲线的方程研究其几何性质 10 题型2 根据双曲线的几何性质求标准方程 13 题型3 求双曲线的离心率和值或取值范围 17 考点1 求双曲线离心率的值 17 考点2 求双曲线离心率取值范围 24 题型4 求双曲线的渐近线方程 29 题型5 直线与双曲线的位置关系应用 35 题型6 中点弦问题 44 题型7 双曲线中的定点定值问题 48 知识点一 双曲线的简单几何性质 标准方程 图形 范围 对称性 对称轴：轴、轴 对称中心：原点 顶点 双曲线和它的对称轴的两个交点 , , 轴 线段是双曲线的实轴,线段是双曲线的虚轴.实轴长,叫做双曲线的实半轴长,虚轴长,叫做双曲线的虚半轴长 虚轴端点 , , 渐近线 与双曲线无限接近,但永远不相交的两条直线 直线 直线 离心率 知识点二 双曲线的渐近线 1．定义：一般地,双曲线的两支向外延伸时,与两条直线逐渐接近,但永远不相交,我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线. 2．由双曲线方程求渐近线 对于双曲线,则由,得出渐近线方程为,即 对于双曲线,则由0,得渐近线方程为 (反之,如果两条渐近线方程为,那么双曲线的方程可设为 3．渐近线方程的性质 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离是常数. (2)双曲线上任意一点到双曲线两条渐近线的距离之积为. (3)由渐近线求离心率 如图,设,过点作垂直于渐近线的线段,垂足为,在中,,,所以,,(性质(1)) 则. 注意当双曲线的焦点在轴上时,类似地,(为渐近线的倾斜角). 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1．直线与双曲线的位置关系 位置关系 相交 图示 位置关系 相切 相离 图示 2．直线与双曲线的位置关系的判断 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线相交,只有一个公共点.(注意,直线与双曲线只有一个公共点时,直线与双曲线相交或相切) ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点. 3．弦长问题 设直线与双曲线相交于两个不同的点,,则弦的长为 或. 4．中点弦问题 设直线与双曲线交于两点,,则与椭圆的处理方法相同,将两交点,的坐标代入双曲线方程,再将所得两个等式相减,运用点差法即可建立直线的斜率与弦的中点的坐标之间的关系. 设直线与双曲线交于,两点,弦中点为 ,为坐标原点, 则当双曲线方程为时, ; 当双曲线方程为时, 知识点四 共轭双曲线和等轴双曲线 1．共渐近线的双曲线系方程 与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 当时,其焦点在轴上,当时,其焦点在轴上. 2．共轭双曲线 (1)当时,双曲线与1共渐近线,我们称这两个双曲线互为共轭双曲线. (2)共轭双曲线的性质：①有相同的渐近线；②有相同的焦距；③ 3．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程形式为,即. 等轴双曲线的渐近线方程为,(渐近线互相垂直)实轴长和虚轴长相等,离心率 知识点五 双曲线的焦点弦 过焦点的直线与双曲线相交形成的弦叫做焦点弦(如图中的弦). 1．双曲线的通径 过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫做双曲线的通径. 对于双曲线,将代入双曲线的方程可得,所以直线与双曲线的两个交点为,,计算得通径长.(与椭圆相同) 同理,可求得双曲线的通径长也是. 2．用倾斜角表示焦半径 如图,当直线与双曲线的两个交点,在同一支上时(同支弦),连接,, 直线与焦点所在轴的夹角为,. 则,. 如图,当直线与双曲线的两支分别交于两个点,时(异支弦), 则,. 3．用倾斜角表示焦点弦长公式 求同支弦时,如图(1),可求得弦长. 求异支弦时,如图(2),可求得弦长, 当弦过右焦点时,其结论与过左焦点是相同的. 4．焦点弦被焦点分成定比问题 设焦点弦满足,为直线的倾斜角,则离心率,,间的关系如下： 当焦点内分弦时, ; 当焦点外分弦时, 题型1 已知双曲线的方程研究其几何性质 1．（多选题）（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知双曲线，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的实轴长为4 C．的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】BC 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据已知条件求得，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】双曲线的焦点在轴上，且， 所以，则， 所以的焦点坐标为，A错误； 因为，所以的实轴长，B正确； 的离心率为，C正确； 的渐近线方程为，D错误. 故选：BC. 2．（25-26高三上·广东潮州·开学考试）双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的焦距为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】求双曲线的焦距、求双曲线的实轴、虚轴 【分析】根据实轴长是虚轴长的3倍得到方程，求出，从而求出焦距. 【详解】由双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，得，解得， 所以的焦距为． 故选：C 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）若实数k满足，则双曲线与的（   ） A．焦距相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】A 【知识点】求双曲线的焦距、求双曲线的实轴、虚轴、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意根据双曲线的标准方程确定焦距，实轴长与虚轴长的关系后可判断． 【详解】由于，，因此两双曲线的焦距相等，A正确， 实轴长前者为10，后者为，虚轴长前者为，后者为6，均无法相等， 离心率前者为，后者为，也不相等，BCD错误， 故选：A． 4．（多选题）已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（    ） A．的离心率为 B．的标准方程为 C．的渐近线方程为 D．直线经过的一个焦点 【答案】AD 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】依题意可得，再根据两条渐近线的夹角为及，即可求出双曲线的方程、离心率、渐近线及焦点坐标； 【详解】依题意得，则，因为两条渐近线的夹角为， 所以两条渐近线的倾斜角分别为，所以，所以， 所以双曲线方程为， 所以离心率，渐近线方程为，焦点坐标为、， 显然直线过点； 故选：AD 5．（多选题）（24-25高二下·四川泸州·期末）过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（   ） A．的实轴长为 B．的离心率为 C．到的右焦点的距离为 D．的一个顶点坐标为 【答案】BC 【知识点】求双曲线的顶点坐标、求双曲线的实轴、虚轴、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由直线方程求得焦点坐标，再求出双曲线的得双曲线标准方程，然后判断各选项． 【详解】直线与坐标轴的交点分别为和， 因此双曲线的一个焦点为，即， 又双曲线的一条渐近线与直线平行，所以， 由，解得， 选项A，实轴长为，A错； 选项B，离心率为，B正确； 选项C，双曲线方程为，由解得，即， 右焦点为，则，C正确， 选项D，曲线的顶点坐标为，D错误； 故选：BC． 题型2 根据双曲线的几何性质求标准方程 6．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为，一个焦点的坐标为． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据双曲线焦距、离心率，结合双曲线的性质即可求的双曲线方程； （2）根据双曲线的顶点或焦点位置、结合双曲线的性质即可求双曲线方程. 【详解】（1）依题意，可设双曲线的标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的方程为； （2）依题意，双曲线的焦点在轴上，设其标准方程为， 则，解之可得， 则双曲线的标准方程为． 7．根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程： (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (2)过点，离心率； (3)，是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且，，且离心率为2. 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）根据双曲线的基本量关系求解即可； （2）根据双曲线的基本量关系，结合离心率公式，设双曲线方程再代入求解即可； （3）方法一：根据双曲线的定义，结合余弦定理求解即可； 方法二：直接根据双曲线焦点三角形的面积公式，结合基本量的关系求解即可. 【详解】（1）由两顶点间的距离是6，得，即. 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分，可得，即， 于是有. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为或. （2）若双曲线的实轴在x轴上，（当题目条件没有明确双曲线的焦点所在位置时，应分两种情况进行讨论） 则设为所求双曲线的标准方程. 由得①. 由点在双曲线上得②. 由，结合①②得，. 若双曲线的实轴在y轴上，则设为所求双曲线的标准方程. 同理有，，， 解得（不合题意）. 故所求双曲线的标准方程为. （3）方法一  设双曲线的标准方程为，由题意知，， 由双曲线的定义，得. 由余弦定理得 ， ∴. 又， ∴，∴，∴，∴，. 故所求双曲线的标准方程为. 方法二  由题可得 解得 故所求双曲线的标准方程为. 8．（24-25高二上�陕西西安�阶段练习）与椭圆共焦点，且与双曲线共渐近线的双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据与椭圆共焦点，与双曲线共渐近线的方程设为，再求解 【详解】因为椭圆，焦点在y轴上，且， 又因为所为双曲线与双曲线共渐近线， 所以设所求双曲线，即 则，解得. 所以所求双曲线为. 故选：A 9．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】根据共渐近线方程可设双曲线的方程为，代入点坐标，解出即可. 【详解】设双曲线的方程为， 将点代入得，得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 10．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据双曲线焦点位置分类讨论，设出双曲线的方程，根据题意建立关于的等式，解之即可得到答案． 【详解】当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 则渐近线方程为，实轴长为， 由题意得，，解得， 则该双曲线的标准方程为． 综上，该双曲线的标准方程为或． 故选：B． 题型3 求双曲线的离心率和值或取值范围 考点1 求双曲线离心率的值 11．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线渐近线与离心率的关系即可求解． 【详解】∵双曲线的渐近线方程为， ∴， ∴双曲线的离心率为， 故选：B． 12．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（  ） A． B．2 C．2或 D．或 【答案】C 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的渐近线方程和倾斜角进行求解即可. 【详解】因为双曲线的两条渐近线夹角为， 则渐近线的倾斜角为或， 所以渐近线的斜率为或. 因为该双曲线方程为，所以渐近线方程为. 所以或. 所以双曲线的离心率为或2. 故选：C. 13．（24-25高三下�重庆�阶段练习）已知焦点在轴上的双曲线．该双曲线的上焦点到下顶点的距离为到渐近线的距离为12，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题意可得，再结合求出，从而可求出离心率. 【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线的上焦点到下顶点的距离为，所以， 因为到渐近线的距离为12，所以， 所以，得， 由，得， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 14．（25-26高三上·福建·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，由双曲线定义求出，求出，由余弦定理求出，得到离心率. 【详解】设，由双曲线定义可得， 即，所以， 又，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，故离心率. 故答案为： 15．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线上的一点，直线与轴交于点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，根据双曲线的定义和勾股定理得出，再在中得出，最后在中利用余弦定理即可求出. 【详解】因为，所以设，则， 因为点在轴上，所以， 因为点在双曲线上，由双曲线定义得：，即， 由，所以，所以， 即，解得， 所以，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，所以，所以. 故选：B. 16．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】因为的渐近线上一点满足，且，    所以在中，而，则， 所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以， 所以. 故选：B 17．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据通径的性质以及等边三角形的性质即可求解. 【详解】由于是等边三角形，故, 由于通径长，所以 ， 故，进而，故，即， 故， 故选：D    18．（25-26高三上·云南昭通·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的定义式，结合题设条件，推得，设在中，利用余弦定理可得关于的齐次方程，解之即得离心率. 【详解】    如图，根据双曲线的定义得，， 由于，，则， 所以．设由题可得，则， 在中，由余弦定理，可得整理得， 即，因，则可得 . 故选：C． 19．（2025高三·全国·专题练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与右顶点重合，过作平分线的垂线，垂足为M．若，求离心率的取值范围． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据角平分线及其垂线的特征得到、的长度，再根据余弦定理和三角形三边的关系求出双曲线离心率的取值范围． 【详解】根据题意作图如下： 连接，设平分线的垂线交于点N， 因为角平分线， 所以三角形为等腰三角形，，且M为的中点， 因为，所以，即， 因为O为的中点，M为的中点， 所以， 又， 在三角形中，， 在三角形中，， 因为，所以， 即，得，所以， 又在三角形中，由三角形的三边关系，有，即， 所以，即，即，解得， 所以． 考点2 求双曲线离心率取值范围 20．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点、在第三象限交于点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的定义及矩形的性质建立不等式解之即可. 【详解】根据圆与双曲线的对称性可知三点共线，则四边形为矩形， 设，则， 所以，即. 故答案为：.    21．（多选题）（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，，若以为圆心，为半径作圆，过双曲线右支上一点P作圆的切线，切点为T，且的最小值不大于，则双曲线的离心率e的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】切线长、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据，得到，由求解. 【详解】如图所示： 连接，则， 因为，所以， 由题意得，化简得， 即，即， 则，即， 又，则， 故选：ABC 22．（2025·黑龙江大庆·一模）已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【知识点】圆的弦长与中点弦、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据已知条件结合圆的弦长公式求得，利用建立不等式即可求得双曲线的离心率范围. 【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点， 则到渐近线的距离，， 由，得，即，解得， 即，于是，而， 所以双曲线的离心率的取值范围是． 故答案为： 23．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由切线长定理结合双曲线定义可得，结合条件可得，由此可得，再根据关系结合离心率定义求结论. 【详解】设该内切圆在，上的切点分别为， 由切线长定理可得，，， 又，， 所以，所以， 所以，故， 所以， 因为，所以， 故，又， 所以. 故答案为：.    24．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限，由题意可得，分，两种情况，结合余弦定理可得的关系式求得的离心率的取值范围. 【详解】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限， 因为关于原点对称的两点均在上，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为，所以， 又，所以， 因为是钝角三角形，所以或为钝角， 若是钝角，由余弦定理可得， 则可得，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，即，所以， 当是钝角，由余弦定理可得， 则可得，所以， 所以，所以，所以， 又，所以，即，所以， 所以的离心率的取值范围为. 25．（2025·广东广州·模拟预测）设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】易得，再由，，设，可得，两边平方即可求解. 【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于， 所以，则，， 设，则 所以；由于， 因为，所以，则，则， 因为，所以 故选：B 题型4 求双曲线的渐近线方程 26．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知双曲线C：（m＞0）的上、下焦点分别为，A为C上一点，且，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由双曲线定义可得，从而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线定义可知，所以，即， 所以双曲线C：，则渐近线方程为. 故选：B． 27．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】设双曲线的焦距为，由条件可求，求双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据点到直线距离公式求焦点到渐近线的距离列方程求，由关系求由此可得结论. 【详解】设双曲线的焦距为，则， 故，所以双曲线的焦点坐标为， 又双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离， 因为焦点到渐近线的距离为， 所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 故选：A. 28．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于两点.若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】设，又， 则， 由双曲线定义，可得，则， 所以，即，解得， 在中，由余弦定理，可得， , ，则， ， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 29．（2025·四川泸州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，直线与的左､右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】由题意得出四边形为矩形，利用双曲线定义求出，进而在直角中利用勾股定理求出，从而求出即可求解. 【详解】设的右焦点为，由题意知四边形为平行四边形. 因为，所以，故四边形为矩形， 由双曲线定义得，在直角中，， 由，得，解得， 所以， 所以的渐近线方程为. 故选：A. 30．双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支在第一象限的交点为，与轴的交点为，且为的中点，若的周长为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】由的周长为，结合双曲线的定义和对称性得到，，再由为的中点，得到为等边三角形求解. 【详解】如图所示： 由对称性可知，因为的周长为， 所以， 又， 所以，． 因为为的中点， 所以， 则为等边三角形， 所以，，． 又因为， 所以在中，． 所以，， 即双曲线的渐近线方程为． 故选：B 31．（2025�天津河西�二模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作直线分别交双曲线的左、右两支于，两点，满足，且，，则双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】利用垂直关系的向量表示得，且为等边三角形，结合双曲线定义以及余弦定理计算得，进而求出渐近线方程. 【详解】由，得，即， 又，得为的中点，则， 又，于是为等边三角形，设的边长为， 由双曲线定义知，，，则，， 又，则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，得，，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A 32．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线垂直于的一条渐近线，且与的左、右两支分别交于点，若，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】连接，由题意可得，由余弦定理化简得，求得即可. 【详解】由，可得，连接，则． 设双曲线的渐近线方程为，即，右焦点为， 右焦点到渐近线的距离为， 因为垂直于的一条渐近线，所以． 在中，由余弦定理可得， 即，化简整理得， 解得或（舍去），故的渐近线方程为． 故选：A. 题型5 直线与双曲线的位置关系应用 33．（23-24高二上�全国�课后作业）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【答案】(1)或或； (2)或 (3)或 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则，注意二次项系数不等于0； （2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0时，由即可得出答案； （3）根据直线与双曲线没有交点，得，注意二次项系数不等于0. 【详解】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得； 综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以， 解得： 或. 34．（2025高三·全国·专题练习）直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条． 【答案】4 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】分类讨论，分当时，作出图像即可得解，当时，设直线的方程为，与双曲线方程联立，由，当的方程为时，作出图像即可求解，进而求解. 【详解】由得渐近线方程为：，设直线的方程为， 由，得， 当时， 由图可知：与双曲线只有一个交点满足题意， 当时，，解得， 所以当时，与双曲线有一个交点，满足题意， 当的方程为时，与双曲线有一个交点，满足题意， 所以这样的直线有4条. 故答案为：4. 35．（2025高三·全国·专题练习）过点与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值集合是 ． 【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】设直线的方程为：，联立双曲线得到，解方程即可. 【详解】设直线的方程为：，联立双曲线得： 当时，方程有唯一解，此时. 当时，令，则 解得． 故答案为：. 36．（24-25高二下·上海宝山·期中）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求双曲线的切线方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】先将方程转化为函数形式，把方程有解的问题转化为函数图象有交点的问题，即等轴双曲线位于轴上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题.通过计算直线与双曲线相切时的值，再结合双曲线渐近线的知识，从而确定实数的取值范围. 【详解】已知，两边同时平方可得，即. 因为根号下的数非负，所以，那么原问题就转化为等轴双曲线位于轴 上方的部分与经过定点的动直线有交点的问题. 将代入中，可得： 则则 因为直线与双曲线相切，所以此一元二次方程的判别式， 即 ，解得. 等轴双曲线的渐近线方程为. 当直线与双曲线有交点时，结合图象（如图所示）， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 37．（2025高二上·全国·专题练习）若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围． 【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】本题是含参直线与双曲线的右支有两个交点，联立方程列出不等式，求解参数的取值范围. 【详解】联立方程组消去y所得的方程为，由题意，设方程的两根为， 则 解得或． 所以k的取值范围为． 38．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足． (1)求的方程； (2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中的弦长、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据斜率乘积得，再代入即可得其曲线方程； （2）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再计算得到的表达式即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意，故．解得． 将代入得，所以， 故双曲线的方程为． （2）过点的直线（与轴不重合），故设直线． 设，联立，整理得：， 且， 故， 故． 即， 则， 即， 解得或，即或： 故的方程为：或． 39．（2025·江西新余·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点M为平面内一点，线段的中点在该双曲线右支上，N在x轴上，，，为双曲线C上一点． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)已知过的直线l交该双曲线于A，B，，的面积为6，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或或或 【知识点】利用双曲线定义求方程、根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据中位线的几何性质，结合双曲线的定义，即可求解双曲线方程，并求渐近线方程； （2）首先设直线l的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求弦长，并表示的面积，即可求解. 【详解】（1）设线段的中点为P， ∴P在该双曲线的右支上，连接， ， 是线段的中点， ， 由双曲线的定义知，， ∴， ∴双曲线C的标准方程为， ∵为双曲线C上一点， ， ， ∴双曲线C的渐近线方程为． （2）由题知，双曲线C的标准方程为， 设直线l的方程为，代入， 整理得， ， ， ， 又D到直线l的距离为， ， 解得或或或， ∴直线l的方程为或或或． 40．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知双曲线，其焦距为4，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知斜率为的直线和双曲线的右支交于两点，为坐标原点，若的重心在双曲线上，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意列出的关系，求解即可得出答案； （2）设点设直线，联立，韦达定理，然后利用重心坐标公式写出重心坐标，代入双曲线方程即可得出答案． 【详解】（1）由题可知， 代入双曲线方程得，又， 所以， 所以，所以双曲线的方程为； （2）设，直线：，与双曲线联立得 ， ， 所以， 由韦达定理得，， 所以重心坐标为， 代入双曲线方程得，合题意， 所以直线的方程为. 题型6 中点弦问题 41．（25-26高三上·陕西汉中·开学考试）已知双曲线的实轴长为，离心率为.直线与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若的中点为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）根据条件，结合双曲线的性质列方程组，联立求解，即可得双曲线的方程； （2）联立直线方程与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，双曲线的实轴长为，离心率为，则 ，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的方程为， 设，， 联立，化简得， 则，且，， 由为的中点，得，解得，，且满足， 所以直线的方程为. 42．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的实轴长为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求｜AB｜； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为，求直线OP的斜率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线中的弦长、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）根据题意可得，则．将点的坐标代入，求出即可； （2）由（1）求出焦点坐标，从而求出直线的方程为，将其与双曲线方程联立，通过韦达定理，弦长公式求解即可； （3）用点差法，设，，则两式相减后整理得即，即，即可求出直线OP的斜率. 【详解】（1）根据题意可得，则． 将点的坐标代入，得，解得，故双曲线的方程为． （2）由（1）得，即，则，则直线的方程为． 设，由得， ， 所以． （3）设， 则两式相减得． 设，则所以， 即，所以，即， 所以直线OP的斜率．    43．（2025高三·全国·专题练习）设双曲线的动弦所在直线的斜率为中点为，则 ． 【答案】 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率 【分析】设，证明即可求解. 【详解】设， 已知，则， 两式相减得， 故，即， 即． 故答案为：. 44．（2025高三·全国·专题练习）双曲线的动弦所在直线的斜率为，则中点的轨迹方程是 ． 【答案】 【知识点】求平面轨迹方程、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】设，根据题意利用点差法，中点公式等化简即可. 【详解】设， 设直线为，代入，化简得 ， 由，得， 因为为的中点，所以， 所以，所以， 由题意得： ， 两式相减得， 由中点公式，整理得： ，又， 所以，即， 所以中点的轨迹方程为， 故答案为：. 题型7 双曲线中的定点定值问题 45．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线和点，作直线与的两支分别交于点，，使得．若，斜率均存在，求证：直线过定点． 【答案】证明见解析 【知识点】双曲线中的直线过定点问题 【分析】解法一：先设直线的方程，然后按照为元整理圆锥曲线方程，将直线方程整体代入双曲线方程化成齐次方程，构造斜率为根的一元二次方程，利用韦达定理可证明直线过定点；解法二：将整个图形平移至点与原点重合得到，然后设新坐标系中直线平移后的直线方程，再将直线方程代入双曲线方程中进行齐次化，然后构造斜率为根的一元二次方程，利用韦达定理求出定点再还原成原坐标系的定点即可. 【详解】解法一： 设直线． 将双曲线方程写为． 化简展开得． 即， 将代入上式，可得： 整理得：． 两边同时除以可得关于的一元二次方程： （*）. 设，且的斜率分别为，则， 故即方程(*)的两个根，则，因，则， 故得，即，可得， 代入整理得：， 由，解得即直线过定点． 解法二： 将整个图形平移至点与原点重合，则原坐标系中的点变为新坐标系中的点，记为， 所以双曲线方程变为. 展开得． 设新坐标系中直线平移后的直线. 将直线方程代入双曲线得， 整理得． 方程两边同时除以得到关于的一元二次方程． 则平移之后的与的斜率恰好可以用与表示，也就是上述一元二次方程的两个解，设为，． 因为平移不改变直线的斜率，所以，即． 由韦达定理得，，即， 而直线，即直线过定点． 还原到原来的状态，即向右平移2个单位，再向上平移1个单位． 因为直线过定点，所以直线过定点． 46．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的直线过定点问题、求弦中点所在的直线方程或斜率 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案； （3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点； 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 47．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线与双曲线交于点，其中点在第二象限． ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为，设直线的斜率分别为，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据点在双曲线上结合离心率计算得出，即可得出双曲线方程； （2）①联立直线和双曲线方程得出韦达定理即可得出弦长；②应用斜率公式结合韦达定理计算求出定值. 【详解】（1）因为点在双曲线上，所以． 离心率为，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）①设． 联立得，则． 故． ②． 由题意得点都在双曲线的左支上，且点在第二象限，所以， 则． 故． 48．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、双曲线中的直线过定点问题、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由得，由点在C上求得； （2）（ⅰ）设，，利用斜率公式证明； （ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（ⅰ）中结论，可求出，进而可得结论． 【详解】（1）因为，所以，则双曲线， 又点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． （2）（ⅰ）易知，，设，， 则，，即， 而， 所以， 又，所以， 故，为定值． （ii）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以． 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2双曲线的简单几何性质 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高三上·云南·期中）双曲线：的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线方程得出，再应用渐近线方程代入求解. 【详解】因为双曲线：，所以， 则的渐近线方程为. 故选：C. 2．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线 ，则顶点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】写出双曲线的顶点和渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求解即可. 【详解】双曲线 的顶点坐标为，渐近线方程为即， 根据双曲线的对称性，取顶点，渐近线， 根据点到直线的距离公式得顶点到渐近线的距离为. 故选：C． 3．（2024·上海嘉定·二模）双曲线和双曲线具有相同的（    ） A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率 【答案】D 【知识点】求双曲线的焦点坐标、求双曲线的顶点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】分别计算出两双曲线的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程与离心率即可得. 【详解】双曲线的焦点坐标为、左右顶点坐标为、 渐近线方程为、离心率为； 双曲线的焦点坐标为、上下顶点坐标为、 渐近线方程为、离心率为； 故其离心率相同. 故选：D. 4．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的焦距、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】由双曲线渐近线方程得，再把点代入双曲线方程求出的值，最后根据双曲线的性质求出焦距. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为，则有，即， 双曲线方程可表示为， 点在C上，有，解得，即，得， 双曲线中为半焦距，则有，得， 所以双曲线C的焦距为. 故选：D 5．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶到水面的距离为3米时，水面宽为米，则当水面宽度为米时，拱顶到水面的距离为（    ） A．3米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【知识点】双曲线与桥梁问题 【分析】将代入双曲线得到，当得到，进而求得拱顶到水面的距离，即可判断. 【详解】根据题意，，，故，解得，即， 则当水面宽度为米时，即时，解得，， 因此，拱顶M到水面的距离为. 故选：D 6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则（    ） A． B．或6 C． D．或 【答案】C 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】利用面积关系，得到线段比例关系，设出直线与轴交点后求参数即可. 【详解】 易得，故，设，， 直线与轴交点，面积为，面积为， 由题意得面积是面积的2倍，则， 化简得，结合， 故，解得，即，故，解得. 故选：C. 7．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的焦距 【分析】设椭圆：，由双曲线方程求出，再在焦点中，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理得，即可求出的离心率． 【详解】设椭圆：， 双曲线：，可得，所以， 解得，所以， ，， ，， 因为四边形为矩形，所以在中，， ，即， ，，即的离心率是. 故选：C. 8．（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知双曲线的两个焦点分别为，，过右焦点作直线l，交右支于A，B两点，以AB为直径的圆过，若，则双曲线C的离心率的平方为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】结合题意与双曲线定义得到，，再结合余弦定理建立齐次方程求解离心率即可. 【详解】因为，所以，即， 令，得到，， 由双曲线定义得，， 因为以AB为直径的圆过，所以， 故，得到， 整理得，解得， 则，， 在中，由余弦定理得， 得， 整理得，则，故A正确. 故选：A 二、多选题 9．（25-26高二上·河北衡水·阶段练习）已知双曲线，则（    ） A．的离心率为 B．双曲线与有相同的渐近线 C．直线与相交的弦长为 D．的焦点到渐近线的距离为 【答案】BD 【知识点】求点到直线的距离、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，化简双曲线的标准方程为，结合双曲线的几何性质，以及点到直线的距离公式，逐项判断，即可求解. 【详解】由双曲线，可得， 则，，可得，且渐近线方程为. 对于A，双曲线的离心率，所以A错误； 对于B，双曲线的渐近线方程为，所以双曲线与有相同的渐近线，所以B正确； 对于C，将代入，解得，故直线与相交的弦长为5，所以C错误； 对于D，双曲线的焦点到渐近线的距离为，所以D正确. 故选：BD. 10．（25-26高三上·全国·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，点在渐近线上，且在第一象限，满足，则下列说法正确的是（   ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的离心率为 C．的面积为 D．的内切圆的半径 【答案】ABD 【知识点】三角形面积公式及其应用、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的性质，可求双曲线的渐近线和离心率，可判断AB的真假；确定点坐标，根据直角三角形的面积公式求面积，判断C的真假；利用面积法求三角形内切圆半径，判断D的真假. 【详解】如图：    选项A：对双曲线，，，. 所以双曲线的渐近线方程为，故A正确； 选项B：双曲线的离心率为，故B正确； 选项C：因为，且为的中点， 所以，又在上， 所以点，得， ；故C错误； 选项D：因为为直角三角形，所以内切圆半径，故D正确． 故选：ABD 11．（2025·广东·模拟预测）记，分别为双曲线的左、右焦点，以为圆心，以E的焦距为半径的圆T与E的右支交于P，Q两点，则（    ） A．E的渐近线方程为 B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】余弦定理解三角形、求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】求出双曲线的渐近线方程即可判断A；求得E的焦距及的坐标，得圆T的方程可判断B；联立圆T与E的方程，求出的坐标，得可判断C；由余弦定理得，即可判断D． 【详解】对于A选项，易知中实半轴长，虚半轴长，半焦距， 则E的渐近线方程为，故A正确； 对于B选项，易得E的焦距为4，，故圆T的方程为， 即，故B错误； 对于C选项，联立，可得， 故（舍）或，代入可得， 不妨令P在第一象限，则，， 显然，故C正确； 对于D选项，显然， 故由余弦定理可得，故D正确． 故选：ACD．    三、填空题 12．（25-26高二上·上海·期中）双曲线与直线l： (m∈R)的公共点的个数为 . 【答案】0或1 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系 【分析】根据双曲线的图像性质，以及渐近线来分析即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，    所以当时，直线l：与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线l与渐近线平行，此时直线l与双曲线有一个交点． 故答案为：0或1. 13．（2025·广东深圳·一模）已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ． 【答案】12 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】由，，可得为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义即可求解周长. 【详解】因为，， 所以直线为， 设， 由，得， 则， 所以， 因为，， 所以， 所以 故答案为：12 14．（25-26高二上·天津·期中）已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于两点，若，则C的离心率为 . 【答案】2 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用已知条件，求出A到渐近线的距离，然后推出，最后求双曲线的离心率. 【详解】由题意，则为正三角形，    则A到渐近线距离为，，渐近线为， 所以，故，可得，故. 故答案为：2 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏泰州·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率： (2)渐近线方程是，虚轴长为4． 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）先判断焦点在轴，再根据双曲线的性质即可求解； （2）根据双曲线的性质，分焦点在轴或焦点在轴两种情况，计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，双曲线焦点在轴上，设标准方程为, ，解得，则， 所以双曲线的标准方程为． （2）当双曲线焦点在轴上时，设标准方程为，由题意知， ，解得， 所以双曲线的标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设标准方程为，由题意知， ，解得， 所以双曲线的标准方程为； 综上所述，双曲线的标准方程为或． 【点睛】 16．（25-26高三上·云南昆明·开学考试）已知双曲线（，）的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据双曲线渐近线方程可得，再应用焦点坐标结合可求得，即可得解； （2）求出直线方程，与双曲线方程联立可得关于x的一元二次方程，韦达定理求出、，直接代入弦长公式即可. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以，即. 又点是双曲线的右焦点，∴，得，所以 ∴双曲线的方程为 （2）由（1）知，双曲线的右焦点为， ∴经过双曲线的右焦点且倾斜角为30°的直线l的方程为， 联立直线与双曲线方程，消y得， 设，，则，， 所以. 17．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知双曲线的渐近线方程为，且过点. (1)求的方程； (2)过的上焦点且斜率为的直线与交于，两点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据双曲线过点求出的值，再结合渐近线方程求出的值，即可得到双曲线的方程. （2）先求出双曲线的上焦点坐标，设出直线的方程，将其与双曲线方程联立，利用韦达定理得到交点横坐标的和与积，再计算直线和直线的斜率之积为，即可得证. 【详解】（1）由已知得，，故，C的方程为. （2）证明：由（1）得双曲线的上焦点为，设直线，，，根据题意作图如下. 联立，得，， 所以，， 所以直线和直线的斜率之积为 ， 因此. 18．（25-26高三上·贵州·阶段练习）已知A，B分别为双曲线的左、右顶点，其中一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线E的方程； (2)设过的直线与双曲线交于C，D两点（C、D与A、B不重合），记直线AC，BD的斜率为，，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由题意可知，，解方程即可求出双曲线方程； （2）设直线，与双曲线方程联立得出韦达定理，再可得两根之和与两根之积的关系，求出的表达式，化简即可求解定值. 【详解】（1）由双曲线E的焦距为，可得，即， 又其中一条渐近线方程为，可得， 而，则，解得，， 所以双曲线E的方程为； （2）由（1）可知，设，． 因为C、D与A、B不重合，所以可设直线． 联立，消得：， 故，， 所以，，， 所以， 即为定值．    19．（25-26高三上·上海杨浦·阶段练习）已知双曲线：，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合. (1)求双曲线的焦距和离心率； (2)当为中点时，的面积为7，求直线的斜率； (3)设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程. 【答案】(1)焦距4，离心率2 (2) (3)证明见解析，在定直线上 【知识点】求双曲线的焦距、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的动点在定直线上问题 【分析】（1）根据双曲线方程求出，即可得解； （2）先设出直线方程，联立双曲线方程，利用中点坐标公式和三角形面积公式求解直线斜率； （3）通过设点坐标，利用直线方程求出与轴交点坐标，再根据中点关系证明点在定直线上. 【详解】（1）由双曲线方程得，，， 所以焦距，离心率； （2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意， 故直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立得. 设，， 由题意，得， 解得， 因为为中点，所以， 由，得， 又，解得， 所以直线的斜率为； （3）直线的方程为，令，得， 同理可得，，， 由为中点，可得， 即， 所以， 即， 所以在定直线上. 能力提升 一、单选题 1．（2022高三�全国�专题练习）已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由正弦定理得，，可得在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，根据在双曲线右支上，得关于的不等式，从而求出的范围 【详解】解：由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义， 在中，由正弦定理得， 又， ∴，即， ∵在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得， ∴，即， 由双曲线的几何性质，知，∴，即， ∴，解得，又，双曲线离心率的范围是． 故选：C． 2．（24-25高二上�福建福州�期中）设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点.若到直线的距离大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】由双曲线的对称性知在轴上，设，则由得，求出，利用到直线的距离大于，即可得出结论． 【详解】由题意，，，， 由双曲线的对称性知在轴上，设， 则由，得， ， 到直线的距离为， ，进而 故选：B．    二、多选题 3．（24-25高二上�江苏徐州�期中）已知曲线，点，，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C关于对称 B．曲线C上存在点P，使 C．直线与曲线C无公共点 D．点Q为曲线C在第二象限内的点，过点Q向直线作垂线，垂足分别为A，B，则为定值 【答案】BCD 【知识点】由方程研究曲线的性质、双曲线定义的理解、讨论双曲线与直线的位置关系、双曲线中的定值问题 【分析】分，，和四种情况，求出曲线的方程，再根据椭圆和双曲线的定义与性质即可判断BC；判断是否在曲线上，即可判断A；根据点到直线的距离公式计算即可判断D. 【详解】当时，曲线， 表示焦点在轴上的椭圆第一象限的部分， 当时，曲线， 表示焦点在轴上的双曲线第四象限的部分， 其渐近线方程为，焦点为，， 当时，曲线， 表示焦点在轴上的双曲线第二象限的部分，其渐近线方程为， 当时，曲线，不表示任何图形， 对于A，因为， 所以点不在曲线上，所以曲线C不关于对称，故A错误； 对于B，当点在第四象限时，，故B正确； 对于C，由上可知直线与曲线C无公共点，故C正确； 对于D，设，则， 则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 4．（24-25高二上�江苏南京�阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于A，B两点，则下列结论正确的有，（    ） A．若，则或9 B．左焦点到渐近线距离为 C．若A，B两点分别位于的两支，则 D．点不可能是线段AB的中点 【答案】BCD 【知识点】双曲线定义的理解、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】对于选项A，根据双曲线的定义判断；对于选项B，根据点到直线距离公式判断；对于选项C，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，两横坐标的一正一负可求得的范围；对于选项D，，假设点是线段AB的中点，结合C选项可得，求解可得，检验可得结论. 【详解】对于选项A，根据双曲线定义，又， 则，解得或， 但，所以，所以选项A错误. 对于选项B，由双曲线，得渐近线方程为，即.， 左焦点，左焦点到渐近线距离，选项B正确. 对于选项C，直线的方程为， 联立，消去得， 展开并整理得， 若A，B两点分别位于的两支，则方程有一正根与一负根， 所以，解得，故C正确； 对于选项D，设，由C选项可得， 若点是线段AB的中点，则，则， 解得，代入，矛盾. 所以点不可能是线段AB的中点，选项D正确. 故选：BCD. 5．（23-24高二上�江西南昌�期中）设M为双曲线上一动点，为上下焦点，O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则或6 B．双曲线C与双曲线的离心率相同 C．若点，M在双曲线C的上支，则最小值为 D．过的直线l交C于G、H不同两点，若，则l有2条 【答案】ABC 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义求双曲线中线段和、差的最值、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据韦达定理求参数 【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案. 【详解】因为,，所以，，则， 由双曲线的定义可知，，，则， 解得或6，当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 综上：或6，故A正确； 因为双曲线离心率为， 所以双曲线的离心率为， 双曲线即，离心率为， 所以双曲线C与双曲线的离心率相同，故B正确； ，当且仅当三点共线时，等号取到， 最小值为，故C正确； 由双曲线：，得， 直线l斜率为0时，方程为，联立得或， 所以，所以，不合题意， 当直线l斜率不存在时，，所以直线l斜率存在且不为0， 故设：，，设 联立得，则， 所以 ，所以或， 解得或，符合题意，所以这样的直线有4条，故D错误.    故选：ABC 三、解答题 6．（2025高三·全国·专题练习）椭圆Γ：与双曲线C：的离心率分别为，． (1)若，求的值； (2)当时，设点，若对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）求出椭圆和双曲线的离心率，即可得出的值； （2）求出椭圆方程并设出两点的坐标，利用对称求出直线方程，让直线与椭圆联立，并利用韦达定理求出，设直线中点的坐标并用参数表达，得出与的表达式，利用求出的范围，即可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意， 在椭圆：中，离心率为， 在双曲线C：中，离心率为， ∵， ∴，解得． （2）由题意及（1）得， 因为，所以：， 对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称， 设，， ∴直线方程为， 联立消去y得， 由，解得， 故， ∴， ， 设直线AB中点为， 则，， 又点P在直线l上，所以，则， 又因为，， 所以， ∵， ∴，解得且， ∴．    7．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，过点F的直线l交C的右支于A，B两点，当轴时，. (1)求双曲线C的离心率； (2)若直线l的倾斜角为，且C经过点，M为双曲线C的左支上一动点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线中的最值问题 【分析】（1）代入方程中求得，进而，结合离心率的定义计算即可求解； （2）易知，求出双曲线方程，进而求出直线方程，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式求出；当与双曲线的左支相切时的面积最小.设，联立双曲线方程，根据求出方程，结合两平行线之间的距离公式与三角形面积公式计算即可求解. 【详解】（1）当轴时，， 将代入方程中，得， 由，解得，即， 所以，整理得，所以， 故，由，解得， 即双曲线的离心率为. （2）因为双曲线过点，所以，则， 所以双曲线的方程为，右焦点， 得直线，即.设， ，消去得，则， 所以. 设过点与直线平行的直线的方程为， 当与双曲线的左支相切时，与之间的距离最小， 此时的面积最小. ，消去得， ，解得. 当时，与双曲线的右支相切，不符合题意； 当时，与双曲线的左支相切，符合题意， 所以，与直线的距离为， 所以面积的最小值为.    8．（25-26高二上·上海徐汇·阶段练习）如图已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，内切圆的圆心为.已知点Q为双曲线右支上的一点，，且. (1)求：双曲线的离心率e； (2)若，，的面积满足，求：的值； (3)斜率为的直线过点，且与双曲线相交于两点，则在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，恒成立；如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见详解 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）由双曲线的定义建立方程组，解得，由余弦定理求得，从而知道双曲线的离心率； （2）由三角形的面积公式建立等式，然后借助（1）中结论即可求得的值； （3）设点和直线方程，将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，由韦达定理得到交点横坐标与参数的关系.然后由垂直得到向量数量积为0，建立等式，并整理化简，由等式恒成立，然后得到的方程组，由方程组的解即可得到结论. 【详解】（1）∵，∴ 即，∴， 即， ∴离心率. （2）设圆的半径为，由，得， 所以，即，解得. （3）假设存在，设点，使， 由（1）可知双曲线方程为：， 斜率为的直线过点，直线方程为， 联立方程组， ， 即有两个不相等根， ∴，且,即且， 故，且， 因为，所以，故， 所以， 整理得， 即， 即， 故，对任意的恒成立， 所以，方程组无解， 故在轴上不存在这样的定点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $