整式中的规律探究问题典型题型归纳 专项练-2025-2026学年上学期初中数学人教版七年级上册

整式中的规律探究问题 一、数字类规律探究问题 1．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：，，，，…，第8个数是 ；则第个数是 ． 2．若x是不等于1的有理数，我们把称为x的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数为，现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，．．．，依次类推，则 ． 3．观察下列三行数，根据规律解决下列问题： 第一行：1，，5，，9，，13，， 第二行：0，，4，，8，  ，12，， 第三行：2，，10，，18，，26，， (1)第一行第9个数为________，第二行第9个数为________，第三行第9个数为________； (2)取每行中第10个数，求三个数之和； (3)若每行都取第个数，是否存在这样的，使得这三个数之和为99？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题．请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题． (1)观察下列等式：，，，根据发现的规律： ①写出第6个等式是________________________，第n个等式是______________________________； ②计算：； (2)思考运用以上方法计算：的值． 5．观察图，解答下列问题． (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第9层有_______个小圆圈？ (2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：． 由前五层的圆圈个数和得：． 根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是______（用n的代数式表示）； (3)计算： _________； (4)计算：． 二、图形类规律探究问题 6．摆一摆，找规律 (1)请画出第⑥个图形； (2)摆第7个图形需要用______根小棒； (3)摆第个图形需要用______根小棒． 7．如图，这是一类物质结构组成的式子，第1个结构式中有1个和4个，分子式是；第2个结构式中有2个和6个，分子式是；第3个结构式中有3个和8个，分子式是按照此规律，回答下列问题． (1)第5个结构式的分子式是______． (2)第个结构式的分子式是______． (3)试通过计算说明分子式是的物质构成符合上述构成规律吗？ 8．如图，每个图案均是由长度相等的木棒按一定的规律拼接而成的，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，第个图案需要根木棒，……依据此规律，继续拼接图案． (1)第个图案需要木棒 根，第个图案需要木棒 （用含n的式子表示）根． (2)若要摆出第个图案，则所需木棒的根数是多少？ 9．如图所示，是用图形“”和“”按一定规律摆成的“小屋子”． (1)按照此规律继续摆下去，第7个“小屋子”中图形“”的个数为______个，“”的个数为______个； (2)按照此规律继续摆下去，第几个“小屋子”中图形“”的个数是图形“”的个数的4倍？ 10．有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…… 设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题： (1)填空： ， （用含n的式子表示）： (2)当n的值为多少时，的值开始大于2025． 综合练 一、单选题 1．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 2．观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（    ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 4．以下是一组按一定规律排列的多项式：，，，，，…，则第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 5．观察一组单项式：．根据你发现的规律，第个单项式应该是（    ） A． B． C． D． 6．已知多项式与多项式的次数相同，则多项式的值为（    ） A．100 B． C．50 D． 7．有一组按一定规律排列的多项式：，，，，，，根据上述规律，则第个多项式为（    ） A． B． C． D． 8．找出图形变化的规律，则第2022个图形中黑色正方形的数量是（    ） A．2019 B．2022 C．3029 D．3033 二、填空题 9．按一定规律，，，，则第个单项式是 ． 10．观察下列多项式：，，，，…，按此规律，则可得到第2023个多项式是 ． 11．按一定规律排列的单项式：，，，，，则第个单项式是 ． 12．观察下列单项式：根据摆放规律，从第2024个单项式到第2025个单项式的箭头是 ．（填→、↑、←、↓） 13．已知多项式……，，该多项式的第7项为 ，用字母a、b和n表示多项式第n项 ．（n为正整数） 14．如图，下列图案是由边长相等的黑、白两色正方形按一定规律拼接而成的，则第个图案中白色正方形的个数比黑色正方形的个数多 个． 三、解答题 15．观察下列一串单项式的特点：，，，，， (1)按此规律写出第9个单项式； (2)试猜想第个单项式为多少？ 16．观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 试卷第1页，共3页 答案 一、数字类规律探究问题 1． 解：观察数据的规律可知：分子的规律是连续的奇数即，分母是、、、，且奇数项是负数，偶数项是正数即，则第个数是，第8个数是， 故答案为：，． 2． 解：根据差倒数的定义可得出：， ， ， ， ， 由此发现该组数每3个一循环． ， ． 故答案为：4． 3． （1）解：第一行的规律是，，，于是得到第n个数为， 第二行的规律是，，，于是得到第n个数为； 根据题意，得，，，于是得到第三行第n个数为， 当时，，，， 故答案为：17，16，34． （2）解：当时，，，， 故． （3）解：根据题意，得， 整理，得， 即， 当n为偶数时，， 解得，不符合题意； 当n为奇数时，， 解得，符合题意； 故存在，且n为13． 4． （1）解：①∵，，， ∴第6个等式是：； 第n个等式是：； 故答案为：，； ②原式 ； （2）解：原式 ． 5． （1）解：第一层有1个小圆圈， 第二层有3个圆圈， 第三层有5个圆圈， …， 依此规律：每一层小圆圈个数是连续的奇数， 第n层有个小圆圈， ∴ ∴第9层有个小圆圈 故答案为：； （2）解：前一层的圆圈个数和得：， 前两层的圆圈个数和得：， 由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：， 由前五层的圆圈个数和得：， ， 从1开始的n个连续奇数之和是， 故答案为：； （3）解：由上可得：， 故答案为：； （4）解： ． 二、图形类规律探究问题 6 （1）解：如图所示，第⑥个图形是平行四边形； （2）观察图形可知： 1个三角形所需火柴棍的根数为3， 2个三角形所需火柴棍的根数为， 3个三角形所需火柴棍的根数为， 4个三角形所需火柴棍的根数为， … n个三角形所需火柴棍的根数为， 当时，， 故摆第7个图形需要15根小棒． （3）由（2）可知： n个三角形所需火柴棍的根数为， 故摆第个图形需要用根小棒． 7． （1）解：根据规律可知第4个结构式中有4个和10个，分子式是，第5个结构式中有5个和12个，分子式是． 故答案为：． （2）解：根据规律可知第个结构式的分子式有个和个，分子式为． 故答案为：． （3）解：不符合． 因为第个结构式的分子式，令，则， 所以分子式的物质构成不符合上述构成规律． 8． （1）解：第个图案需要（根）木棒，第个图案需要根木棒； 故答案为：11； （2）解：当时，， ∴若要摆出第个图案，则所需木棒的根数是． 9． （1）解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； …， 由此可知， 第个“小屋子”中图形“”的个数为：，“”的个数为：； 故答案为：，； （2）解：第个“小屋子”中图形“”的个数为，“”的个数为； 由题意得，解得（舍），， 答：第个“小屋子”中图形“”个数是图形“”个数的4倍． 10． （1）解：第一个图形有1个“沙漏型”， 第二个图形有 个“沙漏型”， 第三个图形有 个“沙漏型”， …． 由此可得到规律，第n个图形有个 图形，即 ∴， 故答案为：31；； （2）解：∵ ∴ ∴ 则当成立，. ∴ 综合练 1．B 本题考查了多项式规律探究，理解题意，认真分析，找到规律是解决本题的关键．根据所给的多项式的项数，次数，即可找到规律，根据规律即可求解． 解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项的系数都为1，a的指数分别为连续正整数，b的指数为1，常数项为连续正整数， 故第n个多项式为， 故选：B． 2．B 本题考查了单项式规律题，正确理解式子的符号、次数与式子的序号之间的关系是关键． 根据已知的式子可以得到系数是以为底的幂，指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号，据此即可解答． 解：第9个单项式是． 故选：B． 3．B 此题考查了数字的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可． 解：按一定规律排列的多项式：， ， ， ， …， 则第n个多项式是， 故选B． 4．B 本题考查多项式排列中的规律．根据题意，把原来多项式拆成两个单项式，分别找出每组单项式的规律即可． 解：将排列的多项式：，，，，，…，拆成两组单项式为： ， ， 第个单项式为和， 第个多项式是． 故选：B． 5．C 本题考查了单项式的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．观察单项式的系数和指数的规律，发现符号交替变化，系数分子为n，分母为2，指数为n次方． 解：指数规律：，，，， 则第项指数为， 系数规律：，，，，，，， 则第项分子为，分母为2，符号由决定（奇数项负，偶数项正）， 第项为， 故选：C． 6．D 利用多项式次数的确定方法得出关于n的等式，求得n的值，代入原式即可得出答案． ∵多项式与多项式的次数相同， ∴， ∴， ． 故选：D． 7．B 本题考查了多项式的计算和根据给出的式子来找出规律等．根据给出的规律，推出对应的第个多项式的规律，从而得到第个多项式为多少． 解：由题意可知，第个多项式为， 故，第个多项式为， 即为：， 故选：B 8．D 本题主要考查了图形类的规律探索，仔细观察图形并从中找到规律，然后利用找到的规律即可得到答案． 解：观察图形可知： 第1个图形中黑色正方形的数量是2， 第2个图形中黑色正方形的数量是3， 第3个图形中黑色正方形的数量是5， 第4个图形中黑色正方形的数量是6， … 发现规律： ∵当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量是个； 当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量是个， ∴第2022个图形中黑色正方形的数量是：（个）， 故选：D． 9． 此题主要考查了单项式，正确得出单项式次数与系数的变化规律是解题的关键． 直接利用已知单项式的次数与系数特点得出答案即可． 解：∵，，，， ， ∴第个单项式为， ∴第个单项式是， 故答案为：． 10． 把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律． 解：多项式的第一项依次是，，，，， 第二项依次是，，， 则可以得到第2023个多项式是． 故答案为：． 11． 本题考查单项式的规律探索，能根据题中给出的单项式正确找到规律是解题关键．根据所给的单项式的特点，找到规律即可判断． 解：由，，，，可得： 第奇数个数的符号为“”，第偶数个数的符合为“”， 不含符合的系数的排列规律为：，，，，，， 指数的排列规律为：，，，，，， 故第个单项式是：． 故答案为：． 12． 本题考查图形类规律探究，根据箭头规律按照的顺序为一个循环，进行判断即可． 解：由图可知：箭头规律按照的顺序为一个循环， ∵， ∴第2024个单项式的位置与的位置相同， ∴第2024个单项式到第2025个单项式的箭头为：； 故答案为：． 13． 根据已知多项式分别得出第一项、第二项、第三项的关系式，即可得出结论； 已知多项式……，， 则可知该多项式的第一项为， 则可知该多项式的第二项为， 则可知该多项式的第三项为， ……， 则可知该多项式的第七项为， 则可知该多项式的第n项为； 故答案是；． 14． 本题考查了图形的变化类规律，列代数式，从变化的图形中找到与图形序号变化一致的信息是解答本题的关键． 根据观察，得到第个图形中，黑色正方形个数是：，白色正方形个数是：，第个图案中白色正方形的个数比黑色正方形的个数多，当时，，由此得到答案． 解：根据题意得： 第个图形中，黑色正方形个数是：， 白色正方形个数是：； 第个图形中，黑色正方形个数是：， 白色正方形个数是：； 第个图形中，黑色正方形个数是：， 白色正方形个数是：； 第个图形中，黑色正方形个数是：， 白色正方形个数是：， 第个图案中白色正方形的个数比黑色正方形的个数多 当时，， 第个图案中白色正方形的个数比黑色正方形的个数多个， 故答案为：． 15．(1) (2) 考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键． （1）根据单项式的特点写出第9个单项式即可； （2）通过观察题意可得：n为偶数时，单项式为负数．x的指数为n时，2的指数为，由此可解出本题． （1）解：∵当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴第9个单项式是，即； （2）解：∵n为偶数时，单项式为负数，x的指数为n时，2的指数为， ∴猜想第个单项式为． 16．(1)这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，第个单项式的系数的绝对值可表示为 (2)次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为 (3)第个单项式是 (4)第2023个单项式是，第2024个单项式是 （1）观察题目中的单项式，写出几个单项式的系数，发现系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，用含的代数式表示第个单项式的系数的绝对值即可； （2）观察题目中的单项式，发现次数的规律是从1开始的连续自然数，用表示第个单项式的次数即可； （3）根据（1）、（2）发现的规律，用含的代数式表示第个单项式即可； （4）根据（3）中的表示第个单项式的代数式，写出第2023个，第2024个单项式即可． （1）这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数为奇数且奇次单项式的系数为负数，故单项式的系数的符号是，系数的绝对值的规律是； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为； （3）根据（1）、（2）发现的规律，第个单项式是； （4）根据（3）中的第个单项式是， 当时，代入写出第2023个单项式是， 当时，代入写出第2024个单项式是． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $