专题3.4-3.5 圆心角与圆周角（知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题3.4-3.5 圆心角与圆周角 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆心角与弧的定义 1 知识点梳理02：圆心角定理及推论 2 知识点梳理03：圆周角 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：圆心角概念辨析及简单运算 3 考点2：求圆弧的度数 5 考点3：利用弧、弦、圆心角的关系求解 7 考点4：利用弧、弦、圆心角的关系求证 9 考点5：圆周角的概念辨析及简单运算 11 考点6：圆周角定理 15 考点7：同弧或等弧所对的圆周角相等 16 考点8：半圆(直径)所对的圆周角是直角 19 考点9：90度的圆周角所对的弦是直径 22 中考真题 实战演练 25 难度分层 拔尖冲刺 29 基础夯实 29 培优拔高 36 知识点梳理01：圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 知识点梳理02：圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 知识点梳理03：圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 考点1：圆心角概念辨析及简单运算 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【规范解答】解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 【变式训练01】（2025九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【规范解答】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练02】（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 【答案】/60度 【思路点拨】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 考点2：求圆弧的度数 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；先求出，再根据等腰三角形的性质求出，即为弧的度数，即可得解． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 弧的度数为， 故选：． 【变式训练01】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．连接，如图，先根据三角形内角和计算出，再根据等腰三角形的性质由得到，然后再利用三角形内角和计算出，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【规范解答】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 【变式训练02】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求弧的度数． 根据等边对等角求出的度数即可． 【规范解答】∵， ∴， ∴， ∴弧的度数是． 故答案为：． 考点3：利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可解答． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【变式训练01】（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知的半径为3，弦AB，CD所对的圆心角分别是，．若与互补，弦，求弦AB的长． 【答案】 【思路点拨】延长交于点，连接，利用等角的补角相等得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角定理得到，然后利用勾股定理计算的长． 【规范解答】解：如图，延长交于点T，连接． ，， ， ． ， ，， ， ． ， ． 【变式训练02】（25-26九年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 如图，取弧的中点，利用得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用三角形三边的关系得，于是有． 【规范解答】解：如图，取弧的中点，则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 考点4：利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如下图，A，B，C，D是上的四点，圆中两条弦AB，CD相交于点E． (1)若，求证：． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据圆心角、弧、弦之间的关系等知识证明即可； （2）根据圆心角、弧、弦之间的关系等知识证明即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ，即， ． （2）证明：， ， ，即， ． 【变式训练01】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的两条弦，点分别在上，且是的中点．求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查的知识点是同圆中弧、弦的关系，关键是明确在同圆中等弦对等弧、等弧对等弦． 首先由点是的中点，得出，再由根据等弦对等弧得出，然后由等式的性质和等弧对等弦证出结论． 【规范解答】证明：∵是的中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练02】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，． (1)求证：； (2)如果弦的长为8，与间的距离是3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点O作，延长交⊙O于点E，根据题意可得：，推出，即可证明； （2）根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】（1）证明：如图，作垂足为点，延长交⊙O于点E， ∵是⊙O的直径，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，则， ∵，与间的距离是3，即， ∴， ∴， ∴． 考点5：圆周角的概念辨析及简单运算 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解： ， ， 为的直径，弦于点，， ，， ， 在中，由勾股定理得，即， ，即的半径是， 故答案为：． 【变式训练01】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【思路点拨】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、三角形的外心等弧定义进行判断即可得到正确结论． 【规范解答】解：（1）不共线的三点确定一个圆，故不符合题意； （2）平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故不符合题意； （3）三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故符合题意； （4）在同圆或等圆中，能够重合的两条弧是等弧，故不符合题意． 故选：B． 【变式训练02】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查三角形，圆的知识，解题的关键是旋转， 将绕点C逆时针旋转得到，连接，为等边三角形， 有，从而，当点D、E、共线时取得最小值；由易得，则点D在以线段为弦，圆心为点O的圆弧上运动，则，当且仅当三点共线时取等号；连接，过O作于点M，在中，由勾股定理得求得，即可求得结果． 【规范解答】解：将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴； ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴, 当且仅当点D、E、共线时取等号， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点D在以线段为弦，圆心为点O的圆弧上运动， ∴，当且仅当三点共线时取等号， ∵， ∴； 如图，连接，过O作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：， 此时， 即的最小值为． 故答案为：． 考点6：圆周角定理 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，即可得出结果． 【规范解答】解：是的外接圆，， ． 故选：B． 【变式训练01】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，是的直径，，则的度数为 ．    【答案】/40度 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，解题的关键是正确添加辅助线． 连接，由圆周角定理得到，，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 【规范解答】解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式训练02】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，、切于点、，点是上一点，且，则 度． 【答案】 【思路点拨】本题利用了切线的概念，圆周角定理，掌握四边形的内角和为度是解题的关键． 连接，，根据圆周角定理和四边形内角和定理求解． 【规范解答】解：连接，． 、切于点、，则， 由圆周角定理知，， ， ． 故答案为：50． 考点7：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请画出的角平分线，交于点D． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】本题考查了作图—旋转变换，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先连接、、，再将、、分别旋转得到、、，最后依次连接、、，即可求解； （2）先过O点作，交于D点，作射线，则射线即为的角平分线． 【规范解答】（1）解：如图1，即为所作； （2）解：如图，射线即为所作. 【变式训练01】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，四边形内接于直径是的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，连接，由圆周角定理可得，，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练02】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知为的直径，是的弦，且于点，连接、、． (1)求证：； (2)若的半径为，，求弦的长． 【答案】(1)见解析； (2). 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理．解决本题的关键是根据垂径定理和圆周角定理找角之间的关系． 根据垂径定理可知，根据圆周角定理可知，根据等边对等角可得，利用等量代换可证结论成立； 利用勾股定理求出，再根据垂径定理求出的长即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：的半径为， ， ， ， 于点， ，， 在中，， ， 弦的长是. 考点8：半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．构造辅助线是解题的关键．连接，作于E，首先根据圆周角定理确定为圆的直径，再利用角平分线的性质得到，进而得出是等腰直角三角形，最后在利用勾股定理求出． 【规范解答】解：连接，作于E， ，的平分线交于D， 是直径，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，，， ， 或（舍去）， 或（舍去）， ． 故答案为：． 【变式训练01】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，半径，弦，Q是上的一个动点，连接，作，垂足为P，则在点Q移动的过程中，线段的最小值是 ． 【答案】8 【思路点拨】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆外一点到圆上一点的距离的最值，由知，点P在以为直径的的圆弧上，连接交于P，此时线段最短，进而求解即可．解题的关键是确定点的运动轨迹． 【规范解答】解： ∵， ∴， ∵点Q是劣弧上的一个动点， ∴点P在以为直径的的圆弧上， 如图所示，连接交于P，此时线段最短． ∵弦，半径， ∴直径，， 连接，则：， ∴， 在中， ， ∴． 故答案为：8． 【变式训练02】（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的直径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆弧的翻折，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关定理及性质是解答本题的关键．延长交于点D，过点B作于点H，连接，先根据“在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等”，得到，即，然后根据直径所对的圆周角是直角，得到，利用勾股定理求出的长，由此即得答案． 【规范解答】解：延长交于点D，过点B作于点H，连接， 和是圆周角所对的弧， ， ， 是直径， ， ． 故答案为：． 考点9：90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知识﹒根据，得到点P在以为直径的圆上，以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒根据勾股定理求出，即可求出有最小值为2﹒ 【规范解答】解：如图，∵是内部的一个动点，且满足， ∴点P在以为直径的圆上， 以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒ ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴﹒ 故答案为：2 【变式训练01】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为 【答案】 【思路点拨】本题考查了圆的性质，平行四边形的性质，勾股定理． 设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【规范解答】解： ， ， ， ， ， 点的轨迹是以为直径的圆的一部分． 设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点， 则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练02】（2025九年级·全国·专题练习）如图，是半径为1的的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】连接，由等边三角形的性质和圆周角定理得出，由矩形的性质和圆周角定理证出是的直径，得出，，由勾股定理得出，即可求出矩形的面积． 【规范解答】解：连接，如图． 是等边三角形， ， ． 四边形是矩形， ， 是的直径，， ，， ， 矩形的面积． 故选：C． 1．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等． 连接，由圆周角定理得到，再由圆周角定理得到，以及，然后直角三角形锐角互余求解即可． 【规范解答】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（2024·全国·中考真题）如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024·上海·中考真题）如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查垂径定理，翻折变换，关键是由翻折变换的性质推出是等边三角形． 由翻折变换的性质推出是等边三角形，得到，由垂径定理得到的长，由锐角的正弦即可求出的长． 【规范解答】解：设的对应点是，连接,，， 由题意知垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是2． 故答案为：2． 4．（2024·安徽黄山·中考真题）如图，，，是上三点，，，则的大小为 ． 【答案】140° 【思路点拨】本题主要考查圆的性质，等腰三角形的性质，掌握圆的性质，是解题的关键． 连接，可得，，进而即可求解． 【规范解答】解：连接， ， ，， ， 故答案为：140°． 5．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，连结．求证：． 【答案】证明见解析 【思路点拨】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，平行线的性质，中位线的性质和三线合一的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键。 连接，根据三线合一可得D是的中点，则结合中位线的性质可得，最后根据平行线的性质证明即可。 【规范解答】解：连接，如下图， ∵为直径， ∴，， ∵， ∴是边上的中线， ∴是的中点， ∵O是的中点， ∴且， ∴，且， ∴， ∴． 基础夯实 1．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，半圆O是一个量角器，为一纸片，交半圆于点D，交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为，则的度数为（　　） A． B． C． D．60° 【答案】A 【思路点拨】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．连结，根据题意得，由于，则，然后利用三角形外角性质得，即可求解； 【规范解答】解：连结，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A 2．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等 【答案】C 【思路点拨】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，三角形的外心的定义，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【规范解答】解：A. 完全重合的弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意； C. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故该选项正确，符合题意； D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损的圆形瓷盘的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点P、Q，量得，，则该圆形瓷盘的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】该题考查了圆周角定理和勾股定理，如图，连接，根据圆周角定理可以判定是直径，所以根据勾股定理求得直径，然后再来求半径即可． 【规范解答】解：连接， ∵， 为圆形瓷盘的直径， ∴， 半径为 ． 故选：B． 4．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，的顶点都在上，已知直径，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角的性质，以及直径所对的圆周角为直角，解决本题的关键是判断出是等腰直角三角形． 作出辅助线，由圆周角的性质可得，再判断出是等腰直角三角形，由此可求解． 【规范解答】解：连接，如图， 则， ， ， 是圆的直径， ， 是等腰直角三角形． ． 故答案为：． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的半径为4，A，B，C三点在圆上，，则的长等于 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理并运用． 如图，连接，根据圆周角定理求得，证明是等边三角形，已知，可得． 【规范解答】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：4． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是 ． 【答案】/90度 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，判断出圆心的位置是解决本题的关键． 作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，分别表示出的长，可得为等腰直角三角形，进而即可得解． 【规范解答】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，两垂直平分线交于点Q，连接，如图， 由图可得圆心为点Q， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴弧的度数是， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）下列语句中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的序号是 ． 【答案】①④ 【思路点拨】本题考查了圆的基本概念，关键是掌握相关的圆的相关概念． 根据圆的基本性质，包括弦的定义、垂径定理、等弧的概念、圆的对称性以及弧长与圆心角和半径的关系，判断各语句的正确性． 【规范解答】解：①直径是圆中最长的弦，正确； ②平分弦的直径垂直于弦，需弦非直径，否则不一定垂直，错误； ③等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，错误； ④圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴，正确； ⑤弧长由圆心角和半径共同决定，半径不等时相等的圆心角所对弧长不一定相等，错误． 故答案为①④． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【规范解答】（1）证明：， ， 即． ∴． （2）解：∵，， ． 9．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，，．求的度数 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用平角的定义得到的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解． 【规范解答】解：∵，， ∴，而为直径， ∴ 答：的度数为. 10．（25-26九年级上·吉林·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过A，B，C三点（其中点O，A，B为格点），只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中的上找一点D，使得． (2)在图②中的上找一点E，使得平分． (3)在图③中的上找一点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查了格点作图，圆周角定理． （1）根据圆周角定理即可解答； （2）根据网格的特点取格点N，可得，根据等腰三角形三线合一性质可证，最后根据垂径定理即可解答； （3）取格点，使得，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示．（答案不唯一）      （2）如图所示．（答案不唯一）， （3）如图所示．如图，，点F即为所求， 培优拔高 11．（25-26九年级上·北京·期中）下列命题中正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．三点可以确定一个圆 C．直径是圆中最长的弦 D．相等的两条弦所对的弧相等 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了圆的基本性质，熟练掌握圆的弦、直径、确定圆的条件等相关性质是解题的关键．根据圆的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断． 【规范解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故A错误； B、三点可以确定一个圆，但三点必须不共线，否则不能确定圆，故B错误； C、直径是圆中最长的弦，故C正确； D、相等的两条弦所对的弧不一定相等，故D错误． 故选：C． 12．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，内两弦、交于点，平分，下列结论中：①；②；③；正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理、弧、弦、圆心角的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 过点作于点，于点，证，得、，由弦心距相等得，故①正确；由弧、弦、圆心角的关系可得，由等式性质得，故②正确；由垂径定理及等式性质得，故③正确；据此即可得解． 【规范解答】解：过点作于点，于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∴，； ∴；故①正确． ∵， ∴， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵； ∴， 即，故③正确； 故选：D 13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据垂径定理得出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据两点之间，线段最短可得点、、三点共线时，的值最小，即可求解． 【规范解答】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图： ∵点的坐标是，， ∴，， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴，， 故， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵点是弦的中点， ∴， 故点是在以点为圆心的圆上， 当点、、三点共线时，的值最小； 此时． 故选：C． 14．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，圆经过、两个格点，点是圆与格线的交点． （1）线段的长为 ； （2）在弧上画点，使弧弧，在弧上画点，使．请用无刻度直尺在如图所示的网格中，画出点、，并简要说明是如何找到的 ． 【答案】(1) (2)垂径定理；圆周角定理 【思路点拨】本题考查了作图，勾股定理解三角形，圆周角定理，垂径定理，以及直径所对的圆周角为，解决本题的关键是由直径找到圆的圆心． （1）根据勾股定理求解即可； （2）先根据直径所对的圆周角为，找到两条直径，根据直径的交点可得圆的圆心，再利用垂径定理即可找到点M；根据圆周角定理，先找到，再根据对称可得，由此可得，由此可得． 【规范解答】解：（1）根据勾股定理，线段； 故答案为：； （2）根据直径的交点，可得圆的圆心记作点O， 根据垂径定理，由此可得点M，即弧弧， 先在圆上找一点P，连接， 根据圆周角定理可得， 记点B关于的对称点为点D，交于点Q， 根据对称可得， 再根据圆周角定理可得， 则点F为的延长线与圆的交点， 则点、如图所示， 故答案为：垂径定理；圆周角定理． 15．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】根据对角互补四点共圆可得四点共圆，连接，，求证，而后推导出，可得，连接，由三角形的三边关系以及、为定值，则当三点共线时，取得最小值为，最后利用勾股定理求得即可解答． 【规范解答】解： ，， 根据对角互补四点共圆可得四点共圆， 连接，， ，，， ， ， 四点共圆， ， ，， ， ， 连接，则， ∴当三点共线时，取得最小值为， 在中，， ∴， 取最小值． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点D，，若的半径为，，则的长是 ． 【答案】8 【思路点拨】连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，首先根据题意可知，，结合垂径定理可知，进而由勾股定理可解得的值；再结合折叠的性质可知弧和弧所在的圆为等圆，进而可得，得到，由等腰三角形的性质可得，证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后解得，最后在中由勾股定理计算的长即可． 【规范解答】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵的半径为，，点为的三等分点，且， ∴，，， ∴， ∵将弧沿折叠， ∴弧和弧所在的圆为等圆， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴． 故答案为：8． 17．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查弧，弦，角之间的关系，勾股定理，折叠的性质，由，得到点的轨迹，当点M在上时，取最大值，当点M在上时，取最小值，由，得到，求出的长度，设，则，在中应用勾股定理，即可求解． 【规范解答】解：连接、、，则：， 根据折叠的性质可得：， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ∵点M在扇形内（不含边界）， 当点M在上时，取最大值，此时， ∵，为弧的中点， ∴， ∴； 当点M在上时，取最小值，作，，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵，，则， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即：，解得：， ∴． 故答案为：． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键． （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）连接，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，， 即， ∴． （2）解：连接， ∵，， ∴． ∴， 同理可得， ∴． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【规范解答】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，点A、B、D、C都在圆上，是的直径，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据垂径定理可得出，然后根据弧、弦的关系即可得证； （2）根据垂径定理得出，，根据平行线的性质可得出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【规范解答】（1）证明：， ， ； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ，， ，， ，， ， 又， ， ， 又， ， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4-3.5 圆心角与圆周角 （知识梳理+9个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共52题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：圆心角与弧的定义 1 知识点梳理02：圆心角定理及推论 2 知识点梳理03：圆周角 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：圆心角概念辨析及简单运算 3 考点2：求圆弧的度数 4 考点3：利用弧、弦、圆心角的关系求解 4 考点4：利用弧、弦、圆心角的关系求证 5 考点5：圆周角的概念辨析及简单运算 6 考点6：圆周角定理 7 考点7：同弧或等弧所对的圆周角相等 8 考点8：半圆(直径)所对的圆周角是直角 9 考点9：90度的圆周角所对的弦是直径 10 中考真题 实战演练 10 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 14 知识点梳理01：圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 知识点梳理02：圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 知识点梳理03：圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 考点1：圆心角概念辨析及简单运算 【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ． 【变式训练01】（2025九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练02】（23-24九年级上·广东惠州·期中）已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ． 考点2：求圆弧的度数 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆分别交、于点D、点E，则弧的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练01】（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点，则的度数为 ． 【变式训练02】（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，已知，则弧的度数是 ． 考点3：利用弧、弦、圆心角的关系求解 【典例精讲】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练01】（2025九年级·全国·专题练习）如图，已知的半径为3，弦AB，CD所对的圆心角分别是，．若与互补，弦，求弦AB的长． 【变式训练02】（25-26九年级上·内蒙古兴安盟·期中）如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述为 ． 考点4：利用弧、弦、圆心角的关系求证 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）如下图，A，B，C，D是上的四点，圆中两条弦AB，CD相交于点E． (1)若，求证：． (2)若，求证：． 【变式训练01】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，是的两条弦，点分别在上，且是的中点．求证：． 【变式训练02】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，． (1)求证：； (2)如果弦的长为8，与间的距离是3，求的长． 考点5：圆周角的概念辨析及简单运算 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ． 【变式训练01】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；（4）弧长相等的弧是等弧．其中正确结论的个数有(    ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练02】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 考点6：圆周角定理 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式训练01】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，内接于，是的直径，，则的度数为 ．    【变式训练02】（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，、切于点、，点是上一点，且，则 度． 考点7：同弧或等弧所对的圆周角相等 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江台州·阶段练习）如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； (2)如图2，请画出的角平分线，交于点D． 【变式训练01】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，四边形内接于直径是的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练02】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，已知为的直径，是的弦，且于点，连接、、． (1)求证：； (2)若的半径为，，求弦的长． 考点8：半圆(直径)所对的圆周角是直角 【典例精讲】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于，若，，则的长为 ． 【变式训练01】（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，半径，弦，Q是上的一个动点，连接，作，垂足为P，则在点Q移动的过程中，线段的最小值是 ． 【变式训练02】（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，是一条弦，将劣弧沿弦翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，连接，若，，则的直径为 ． 考点9：90度的圆周角所对的弦是直径 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 【变式训练01】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为 【变式训练02】（2025九年级·全国·专题练习）如图，是半径为1的的内接正三角形，则圆的内接矩形BCDE的面积为（   ） A．3 B． C． D． 1．（2024·北京·中考真题）如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·中考真题）如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海·中考真题）如图，是的弦，将劣弧沿弦折叠后，圆弧恰好经过圆心，若，则的半径为 ． 4．（2024·安徽黄山·中考真题）如图，，，是上三点，，，则的大小为 ． 5．（2024·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，连结．求证：． 基础夯实 1．（2025九年级上·北京·专题练习）如图，半圆O是一个量角器，为一纸片，交半圆于点D，交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为，则的度数为（　　） A． B． C． D．60° 2．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等 D．三角形的外心到三角形三条边的距离相等 3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损的圆形瓷盘的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点P、Q，量得，，则该圆形瓷盘的半径是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，的顶点都在上，已知直径，，则的长为 ． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的半径为4，A，B，C三点在圆上，，则的长等于 ． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么弧的度数是 ． 7．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）下列语句中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的序号是 ． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知：如图，、、、是上的点，，． (1)求证：； (2)求的长． 9．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，，．求的度数 ． 10．（25-26九年级上·吉林·期中）图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．经过A，B，C三点（其中点O，A，B为格点），只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中的上找一点D，使得． (2)在图②中的上找一点E，使得平分． (3)在图③中的上找一点F，使得． 培优拔高 11．（25-26九年级上·北京·期中）下列命题中正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．三点可以确定一个圆 C．直径是圆中最长的弦 D．相等的两条弦所对的弧相等 12．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，内两弦、交于点，平分，下列结论中：①；②；③；正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，圆经过、两个格点，点是圆与格线的交点． （1）线段的长为 ； （2）在弧上画点，使弧弧，在弧上画点，使．请用无刻度直尺在如图所示的网格中，画出点、，并简要说明是如何找到的 ． 15．（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为 ． 16．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的三等分点D，，若的半径为，，则的长是 ． 17．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知在扇形中，，，C为弧的中点，D为半径上一动点，点B关于直线的对称点为M，若点M落在扇形内（不含边界），则长的取值范围是 ． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，弦，于E，于H． (1)求证：． (2)若的半径为5，，，求的长． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 20．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，点A、B、D、C都在圆上，是的直径，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $