专题06 二项式定理和排列组合（期末真题汇编，辽宁专用）高二数学上学期人教B版

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06二项式定理和排列组合 ☆6大高频考点概览 考点01特定项系数问题 考点02系数和问题 考点03分类加法计数源理 考点04分步乘法计数原理 考点05排列数和组合数的计算 考点06排列组合综合 目目 考点01 特定项系数问题 1.2425高二上辽宁大连第二十四中学期末已知二项式(2x-左)“(nEN)的展开式中第2项与第3 项的二项式系数之比为2：5，则展开式中常数项为() A.60 B.240 C.-120 D.-240 2.(24-25高二上辽宁沈阳浑南区广全实验学校期末)(x-2y+2z)5展开式中，xy2z的系数为() A.-320 B.320 C.-240 D.240 3.2425高二上辽宁实验中学等五校期未(2x+庆) 的展开式中，常数项为() A.-120 B.-60 C.120 D.60 4.2425高二上辽宁里点申学协作校期末已知(ax一左)° 的展开式中，常数项为135，则a的值为() A.2 B.2或-2 C.3 D.3或-3 5.(2425高二上·辽宁沈阳五校协作体期末)在(3x2一是)”的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最 大，则展开式的项数是() A.7 B.8 C.9 D.10 6.(24-25高二上辽宁协作体期末(x+y-1)的展开式中，含xy4的项的系数为() A.240 B.-280 C.560 D.360 7.(24-25高二上辽宁抚顺重点高中六校协作体期末)已知(1+3x)“的展开式共有9项，则该展开式中含 x2的项的系数为() 1/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.36 B.28 C.252 D.324 8.(2425高二上辽宁沈阳重点联合体期未(x一爱)°展开式中的常数项为() A.-10 B.-20 C.20 D.10 9.(2425高三上山东师范大学附属中学)在(+x+y)展开式中，xy4系数为() A.5 B.10 C.15 D.20 二、多选题 10.(2425高二上辽宁丹东期末在(3x-会)的展开式中，则() A.x的系数为135 B.第4项的二项式系数为10 C.无常数项 D.所有项的系数之和为125 三、填空题 11.(24-25高二上辽宁多校联考期末)（号+x)°的展开式中，各项系数的最大值是一， 12.(24-25高二上辽宁点石联考期末)(x+y)5(x2-y2)的展开式中，x3y4的系数是 (用 数字作答) 13.(24-25高二上辽宁辽阳期末)(x2+是)(x-1)的展开式中含x5项的系数为 (用数字 作答) 14.(24-25高二上辽宁锦州某校期末)若(3x一是)“的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项 的系数为 目目 考点02 系数和间题 一、单选题 1.(24-25高二上辽宁大连第二十四中学期末)若 x10=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+·+a10(2x-1)10,则a1+a3+a7+ag的值为() A.器 B.器 c D.器 2/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25高二辽宁名校联盟)已知(1-2x)°=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则() A.|a1+|azl+|as+|a4+|as|=242B.a0+a2+a4=a1+a3+a5 C.a0-a1+a2-a3+a4-a5=242D.a0+a1+a2+a3+a4+as=1 二、多选题 3.2425高二上辽宁抚顺重点高中六校协作体期末)已知2-x2=0十ax+a2x2+…十11x11,则 () A.a0=211 B.a0+a1+a2+…+a11=0 C.a1+ag+a5+a+a+a1=5" D.a1+22×a2+22×a3+…+210×a11=-210 4.(24-25高二上辽宁多校联考期末)已知(4-2x)2024=a0十a1x+a2x2+··+a2024x2024,则() A.a0=42024 B.a1=-4048×42023 C.a1+a2+·+a2024=42024 D.展开式中所有项的二项式系数的和为22024 5.(24-25高二辽宁名校联盟)在探究(a+b)”的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张 表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图①，小明在学完杨辉三角之后进 行类比探究，将(1+x+x2)”的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图②）： (a+b)…11 (1+x+x… 111 (a+b)2.…121 (1+x+x32… 12321 (a+b)3.…1331 (1+x+3…1367631 (a+b)4.…14641 (1+x+x2)4…14101619161041 ① ② 上表图②中第n行的第m个数用D-1表示，即(1+x+x2)”展开式中含xm项的系数为D,则() A.D=30 3/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.D C.D1=D1+D哈+D1(1≤k≤2n-1,keN) D.D9024C39024-D20242024+D3024C3024-D3024C3024十…+D84c28321=0 6.(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学.期末)已知 (2+x)(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+agx3+a4x4+agx5+a6x5,则() A.ao的值为2 B.as的值为80 C.(a0+a2+a4+a6)2-(a1+a3+a5)2的值为-36 2(21a)=0 D. 三、填空题 7.2425高二上辽宁沈阳重点联合体期末)二项式(1一2N)”的展开式的二项式系数和为256，则n等 于一 四、解答题 8.(24-25高二上辽宁重点中学协作校·期末)若(2x一1)”的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等， 且(2x-1)”=a0+a1x+a2x2+agx3+…+ann（neN) (1)求x2的系数a2: (2)求a1+|a2+a3+·+|anl的值， 9.425商=上辽宁沈阳重点联合体期末在(2G-左)° 的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项. 10.(24,25高二上辽宁沈阳五校协作体期未(1)已知(2反+京)”(n为正整数)展开式的所有项的二 项式系数和为64 ①求该式的展开式中所有项的系数之和； 4/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②求该式的展开式中无理项的个数； ③求该式的展开式中系数最大的项， (2)现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种 不同的站法？ ①老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人； ②4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； ③2名老师之间必须有男女学生各1人 11.(24-25高二上辽宁葫芦岛期末)已知(2x-1)°=a0十a1x+a2x2+…+a6x6, (1)求a6的值； (2)求a1十a3十as的值； (3)求(2x-1)°展开式中系数的最大值 12.(24-25高二上辽宁大连期末)在(1+2x)8的展开式中，求： (1)含x的项； (2)各项系数和（用数字作答）： (3)系数最大的项是第几项？ 目目 考点03 分类加法计数原理 一、单选题 1.(24-25高二辽宁名校联盟)如图，在某城市中，M,N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1,A2, A3,A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处今在道路网M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处， 他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N,M处为止，则下列说法 正确的是() A A2 A3 A.甲从M到达N处的方法有120种 B.甲从M必须经过A3到达N处的方法有36种 5/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.甲、乙两人在A2处相遇的概率为器 D.甲、乙两人相遇的概率为 2.(2425高二上·辽宁多校联考期末)将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒 子中至少放1个球，则不同的放法有() A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 3.用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂 颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是 A.12 B.24 C.30 D.36 目目 考点04 分步乘法计数原理 一、单选题 1.(24-25高二上·辽宁重点高中沈阳郊联体·期末)如图，湖北省分别与湖南、安微、陕西、江西四省交界，且湘 、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不 同的涂色方案数为() 陕西Y 湖北 湖南 江西 A.540 B.600 C.660 D.720 2.(24-25高二上辽宁多校联考·期末)某体育用品店有5种不同价格的篮球，4种不同价格的排球，若从中 选购1个篮球和1个排球，则不同的选购方法有() A.9种 B.20种 C.625种 D.1024种 3.(24-25高二上辽宁葫芦岛期末)已知集合M={-2,-1,0,1,3},直线Ax+By+C=0中的AB,C 是取自集合M中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为() A.40 B.32 C.24 D.23 6/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25高二上·辽宁多校联考期末)如图，给编号为1,2,3，···，6的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色， 相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同.若有5种不同 颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有() A.60种 B.80种 C.100种 D.125种 5.(24-25高二上·辽宁大连期末)将98个不同的小球全部放入99个不同的盒子中，共有m种不同的方法， 若m=100k+r,其中k∈N,0≤r<100,则r=() A.99 B.88 C.12 D.1 6.(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学期末)现有1位老师，2位女同学，m位男同学，派这些人去参加两 项活动要求老师参加活动时至少带上一位男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一 人参加，若不同的参与活动的方法有184种，则m的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 7.(2425高二上·辽宁辽阳·期末)小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车或火车到山东，再从山东乘坐轮船或 飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有() A.5种 B.6种 C.8种 D.9种 目目 考点05 排列数和组合数的计算 一、单选题 1.(24-25高二上辽宁重点中学协作校期末)《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形 田面积算法：“半广以乘正从”数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色， 有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有() 半户 虚 正 盈 从 A.48种 B.96种 C.102种 D.120种 7/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25高二上辽宁大连期末)C3+C号+C+C=() A.10 B.15 C.20 D.40 3.(2425高二辽宁名校联盟)若C6=Cg2,则C+Cg+…+C的值为() A.14 B.84 C.34 D.204 4.(24-25高二上·辽宁重点中学协作校期末)某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别 做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有() A.14种 B.16种 C.18种 D.20种 二、填空题 5.(24-25高二上辽宁丹东期末)计算：C+C+C+…+C2= (结果用数字作答) 6.(24-25高二上·辽宁重点中学协作校期末)有一种运算aob,三个互异的数a,b,c运算时可以有不同的 运算方法，如(aob)oc,ao(boc),(boa)c,bo(ac),(boc)oa,bo(coa)就是其中6种 不同的运算方法.设n个互异的数的不同运算方法共有1种，则13=一，14=_ (用数字作答) 目目 考点06 排列组合综合 一、单选题 1.(24-25高二上辽宁丹东期末)一个口袋里装有大小不同的2个红球和4个白球，从中取3个球，则至少 含有1个红球和1个白球的取法有() A.35种 B.32种 C.16种 D.14种 2.(24-25高二上辽宁大连大连育明高级中学期末)有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一 本，不同的分法种数为() A.1440种 B.1560种 C.1920种 D.5760种 3.(24-25高二辽宁名校联盟)用数字0,1,2,3,4组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为() A.60 B.30 C.36 D.21 4.(24-25高二上·辽宁丹东期末)将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A,B,C三个地区参加公益活动，要 求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有() A.90种 B.180种 C.60种 D.120种 8/11 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 5.(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体期末)小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则 小沉的选择共有() A.5种 B.10种 C.20种 D.25种 6.(24-25高二上辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲， 要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有 () A.120 B.300 C.180 D.150 7.(2425高二上辽宁点石联考期末)国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世 界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不 相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为() A.84 B.120 C.504 D.720 8.(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山 千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一 个景区，则不同的安排方法种数为() A.1280 B.300 C.1880 D.1560 二、多选题 9.(24-25高二上辽宁重点高中沈阳郊联体·期末)下列命题中，正确的是() A.己知随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，若P(X≤0)=0,2，则P(X<2=0.8 B.22024除以15的余数为2 C.在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是-15 D.已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员A患甲病的概率为是，患乙病的概率为后，甲乙两种 病都不患的概率为品，则家系成员A在患甲病的条件下，患乙病的概率为 10.(24-25高二上·辽宁大连·期末)已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是() A.活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法 B.5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法 C.将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法 D.活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法 11.(2425高二上辽宁点石联考期末)现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2 9/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 人，则下列说法正确的是() A.4个男学生排在一起，有1440种不同的排法 B.老师站在最中间，有1440种不同的排法 C.4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法 D.2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法 三、填空题 12.(2425高二上辽宁大连第二十四中学期末)现有四位同学（两男两女），随机地站到4×4的方格场地 中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的 概率为 13.(2425高二上辽宁多校联考期末)某中学正在筹备100周年校庆晚会，原计划共7个节目，并已排好 节目单，为了使晚会节目更丰富，节目组准备增加3个节目，若保持原计划中的7个节目的先后顺序不变， 则这10个节目的不同排法有种。 14.(24-25高三上·甘肃武威期末)由字母A,B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有 个（例如ABAAAA,BAABAB符合题意） 四、解答题 15.(24-25高二上辽宁多校联考期末)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照. (1)甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 16.(24-25高二上辽宁实验中学等五校期末)从A,B,C等8人中选出5人排成一排. (1)A必须在内，有多少种排法？ (2)A,B都在内，且A排在B前面，有多少种排法？ (3)A,B,C都在内，且A,B必须相邻，C与A,B都不相邻，都多少种排法？ (4)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 17.(24-25高二上辽宁抚顺重点高中六校协作体期末)在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名， 女生2名)志愿者深入乡村，开启了支教之旅他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多 元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下， 各有多少种不同的站法？ 10/11 专题06 二项式定理和排列组合 6大高频考点概览 考点01 特定项系数问题 考点02 系数和问题 考点03 分类加法计数原理 考点04 分步乘法计数原理 考点05 排列数和组合数的计算 考点06 排列组合综合 地 城 考点01 特定项系数问题 1．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则展开式中常数项为（    ） A．60 B．240 C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】由题意结合二项式的展开式的通项公式得，求出的值，令，即可求出结果. 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 因为展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为， 所以，解得，又因为，解得， 所以二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中常数项为. 故选：A. 2．(24-25高二上·辽宁沈阳浑南区广全实验学校·期末)展开式中，的系数为（   ） A．320 B．320 C．240 D．240 【答案】D 【来源】辽宁省沈阳市浑南区广全实验学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】根据已知二项式写出含的项，即可得答案. 【详解】由题设，含的项为. 所以的系数为. 故选：D 3．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)的展开式中，常数项为（   ） A． B． C．120 D．60 【答案】D 【来源】辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷 【分析】由二项式展开式通项公式可得答案. 【详解】的展开式中的第项为：. 令，则常数项为. 故选：D. 4．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)已知的展开式中，常数项为135，则的值为（    ） A．2 B．2或 C．3 D．3或 【答案】D 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】先求的展开式的通项公式，再结合式子特点令，得出，即可得到关于的方程，解出. 【详解】展开式的通项公式为， 令，可得，因此，展开式中的常数项为． 则，解得． 故选：D. 5．(24-25高二上·辽宁沈阳五校协作体·期末)在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】先由二项式系数最大项求出，再由二项式展开式的性质即得. 【详解】在二项式的展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 因为在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大， 所以为偶数，且中间项为第项，即，解得. 因二项式展开式的项数为，则展开式的项数是项. 故选：A. 6．(24-25高二上·辽宁协作体·期末)的展开式中，含的项的系数为（    ） A．240 B． C．560 D．360 【答案】B 【来源】辽宁省协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据二项式展开式的通项特征求解即可. 【详解】的通项为， 且， 令，解得，故的项的系数为. 故选：B. 7．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知的展开式共有项，则该展开式中含的项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据二项式定理的展开式的性质求，再利用通项公式求结论. 【详解】因为的展开式共有项， 所以， 二项式的展开式的通项公式为，， 所以展开式中含的项为， 故这个展开式中含的项的系数为． 故选：C. 8．(24-25高二上·辽宁沈阳重点联合体·期末)展开式中的常数项为（   ） A． B． C．20 D．10 【答案】B 【来源】辽宁沈阳市重点联合体2024-2025学年高二上学期期末检测数学试卷 【分析】根据二项展开式的通项公式，取即可计算求得常数项. 【详解】因展开式的通项为：， 使，解得，故展开式的常数项为． 故选：B. 9．(24-25高三上·山东师范大学附属中学·)在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【来源】山东师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期12月阶段性检测数学试题 【分析】利用二项式定理求出的展开式，再求出指定项的系数. 【详解】依题意，， 因此展开式中，含的项为， 所以系数为15. 故选：C 二、多选题 10．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)在的展开式中，则（   ） A．x的系数为135 B．第4项的二项式系数为10 C．无常数项 D．所有项的系数之和为125 【答案】BC 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】求出二项展开式的通项公式，再逐项计算判断即可. 【详解】的展开式的通项公式为， 对于A，令，则，故的系数为， 故A错误； 对于B，令，则，故第4项的二项式系数为，故B正确； 对于C，因为为奇数，故展开式中无常数项，故C正确； 对于D，令，则所有项的系数之和为，故D错误； 故选：BC. 三、填空题 11．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)的展开式中，各项系数的最大值是 ． 【答案】7 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据二项式展开式通项得到，由求解即可. 【详解】的展开式的通项为，且． 设展开式中第项的系数最大，则即， 又，所以或6， 故展开式中系数最大的项是第6项或第7项，且该项系数为. 故答案为：7 12．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)的展开式中，的系数是 .（用数字作答） 【答案】 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】把式子整理成，根据通项整理后得 ，从而求解. 【详解】由， 而的展开式的通项为， 则在的展开式中，含的项为， 故的系数是. 故答案为：. 13．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)的展开式中含项的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】根据多项式乘法，找到展开式中的项和项即可. 【详解】的展开式中含的项为， 故的展开式中含项的系数为． 故答案为： 14．(24-25高二上·辽宁锦州某校·期末)若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【答案】 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷 【分析】首先根据二项式系数和的性质求出的值，然后写出二项式展开式的通项公式，再根据通项公式求出最高次项的系数. 【详解】已知的展开式中二项式系数和为32，则，即. 对于，则其展开式的通项公式为. 化简得. 当时，最高次项的系数为. 所以最高次项的系数为. 故答案为：. 地 城 考点02 系数和问题 1、 单选题 1．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】利用赋值法来求偶数项系数和，利用化二项式展开式求指定项系数,最后计算即可得结果. 【详解】令得，， 再令得，， 上面两式相减得：, 再由进行二项式展开可得, 所以， 故选：C. 2．(24-25高二·辽宁名校联盟·)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式，结合赋值法逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】由， 所以，，皆为负值，，，皆为正值，令，则， 令，则 ①，故C项错误； 即 ，故A项正确； 由①知，故B项错误； 在中， 令，则，故D项错误. 故选：A. 二、多选题 3．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】利用赋值法即可求解.对于选项A，令即可求解；对于选项B，令即可求解；对于选项C，令，与时的式子作差即可求解；对于选项D，令，结合选项A即可求解. 【详解】令，得，故选项A正确； 令，得①，故选项B错误； 令，得②， 由①②得，故选项C正确； 令，得， 则， 得，故选项D正确. 故选：ACD. 4．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)已知，则（    ） A． B． C． D．展开式中所有项的二项式系数的和为 【答案】ABD 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】利用赋值法计算可得A正确，C错误，利用通项展开式计算可得B正确，再由所有项的二项式系数的和可得D正确. 【详解】对于A，令，可得，A正确． 对于B，展开式中的第二项为，所以，B正确． 对于C，令，可得，则，C错误． 对于D，展开式中所有项的二项式系数的和为，D正确． 故选：ABD 5．(24-25高二·辽宁名校联盟·)在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图①，小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按的升幂排列，将各项系数列表如下（如图②）： 上表图②中第行的第个数用表示，即展开式中含项的系数为，则（    ） A． B． C．（，） D． 【答案】BCD 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题 【分析】由图②得到，可直接判断ABC，对于D，由得到展开式中含项的系数为 ，再由确定含项系数，即可判断； 【详解】依据题意结合图②可知图②中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左、右肩上共三个数的和（没有的用0代替）， 如：第四行的第三个数10，等于上一行头顶上的数3加上左、右肩上的数1和6，第三行中的第二个数3，等于上一行头顶上的数1加上左、右肩上的数0（左肩上没有数，故用0代替）和2， 所以， 对于A项，由上可得，故A项错误； 对于B项，由图可知 ，以此类推可得 ，故B项正确； 对于C项，由上可知 ，故C项正确； 对于D项，因为 ， ， 则 ， 所以根据乘法法则的展开式中含项的系数为 ， 又， 其通项公式为， 因为，所以的展开式中含项的系数为0， 故 ，故D项正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：与展开求得的系数，在通过求得系数. 6．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)已知，则（   ） A．的值为2 B．的值为80 C．的值为 D． 【答案】ACD 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】利用赋值法可判断ACD，利用二项式展开式的通项公式可求得的系数可判断B. 【详解】对于A，令，可得，故A正确； 对于B，含的项为，所以，故B错误， 对于C，令得，， 令，， 所以，， 所以，故C正确； 对于D，令，可得， 两边同乘以，可得，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 7．(24-25高二上·辽宁沈阳重点联合体·期末)二项式的展开式的二项式系数和为256，则等于 ． 【答案】8 【来源】辽宁沈阳市重点联合体2024-2025学年高二上学期期末检测数学试卷 【分析】由二项式的二项式系数和为列方程，计算即得. 【详解】依题意，解得． 故答案为：8. 四、解答题 8．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且 . (1)求的系数； (2)求的值. 【答案】(1)180 (2) 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出，结合二项式定理求出. （2）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【详解】（1）第3项与第9项的二项式系数相等， 则，解得，所以. 所以的展开式中项为：，所以. （2）由（1）知，的展开式中，当时，， 由二项展开式可得： 所以都是正数，都是负数， 所以 当时，， 所以. 9．(24-25高二上·辽宁沈阳重点联合体·期末)在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)二项式系数为，第3项的系数为 (2) (3) 【来源】辽宁沈阳市重点联合体2024-2025学年高二上学期期末检测数学试卷 【分析】（1）利用二项展开式的通项可求二项式系数与系数； （2）由二项式系数的性质可得； （3）设出系数绝对值最大项，根据与前后项系数绝对值大小关系建立不等式组求解可得. 【详解】（1）二项式的通项 ． 第3项的二项式系数为，第3项的系数为； （2）奇数项的二项式系数和； （3）设系数绝对值最大的项为第项， 当时， 由，解得， 又，所以，此时； 当时，； 当时，； 综上可知，系数绝对值最大的项为． 10．(24-25高二上·辽宁沈阳五校协作体·期末)（1）已知（为正整数）.展开式的所有项的二项式系数和为64 ①求该式的展开式中所有项的系数之和； ②求该式的展开式中无理项的个数； ③求该式的展开式中系数最大的项. （2）现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ ①老师站在最中间，2名女学生分别在老师的两边且相邻，4名男学生两边各2人； ②4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； ③2名老师之间必须有男女学生各1人. 【答案】（1）①729；②3个；③；（2）①96；②1728；③3840. 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据已知可得，赋值法求所有系数之和，应用二项式展开式通项公式确定无理项个数，应用不等式法求系数最大项； （2）应用分步计数原理，结合排列组合数求各小问的不同站法数. 【详解】（1）由，可得， ①令得，所以展开式中所有项的系数之和为729； ②的通项为，， 所以当时对应为展开式中的无理项，所以共有3个无理项； ③由②及题意，知，解得，则， 所以展开式中系数最大的项为； （2）①由题意，老师、男女学生在对应位置上作全排列， 结合分步计数原理，有种不同的站法. ②先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法，最后排剩余的3名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法 ③先任选男女学生各一名站两位老师中间，有种站法，两位老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法. 11．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)已知， (1)求的值； (2)求的值； (3)求展开式中系数的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】（1）根据二项式通项特征即可求解， （2）利用赋值法即可求解， （3）根据通项特征，即可列不等式求解. 【详解】（1）； （2）令得 令得 则； （3）的通项为， 令，① ② 代入得：解得， 解得， 解得，所以， 所以展开式中系数的最大值. 12．(24-25高二上·辽宁大连·期末)在的展开式中，求： (1)含的项； (2)各项系数和（用数字作答）； (3)系数最大的项是第几项？ 【答案】(1) (2)6561 (3)第六项和第七项. 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】（1）利用通项公式展开，化简后，令的指数为3，求得的值，进而得到展开式中含的项； （2）借助赋值法，令即可得； （3）根据题意，由项的系数列出不等式组，求解即得. 【详解】（1）展开式中的第项， 当时，，即含的项为. （2）设， 令，可得各项系数和为. （3）设第项的系数最大，则有， 由①可得， 化简得，解得. 同理由②可得. 或时系数最大， 故系数最大项为第六项和第七项. 地 城 考点03 分类加法计数原理 一、单选题 1．(24-25高二·辽宁名校联盟·)如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处.今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则下列说法正确的是（    ） A．甲从到达处的方法有120种 B．甲从必须经过到达处的方法有36种 C．甲、乙两人在处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为 【答案】C 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列组合即可求ABC，再根据分类加法计数原理，即可求解D. 【详解】A项，甲从到达处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从到达处的方法有种，A项错误. B项，甲经过到达处，可分为两步：第一步，甲从经过需要走3步，其中2步向右走，1步向上走，方法数为种； 第二步，甲从到处需要走3步，其中2步向上走，1步向右走，方法数为种, 故甲经过到达处的方法数为 种，B项错误. C项，甲经过的方法数为 种，乙经过的方法数也为种， 所以甲、乙两人在处相遇的方法数为种， 故甲、乙两人在处相遇的概率为，C项正确. D项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在，，，处相遇， 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处， 则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为1种； 若甲、乙两人在处相遇，由C项可知走法种数为81种； 若甲、乙两人在处相遇，甲到处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到处， 前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以两人在处相遇的走法种数为种； 若甲、乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处， 则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为1种. 故甲、乙两人相遇的概率为，D项错误. 故选：C. 2．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)将2个相同的红球和2个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放1个球，则不同的放法有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】C 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】先从球的个数分类，再求出每类放球的方法，结合分类加法计数原理可得答案. 【详解】若两个盒子中都放入2个球，则有3种不同的方法； 若一个盒子中放1个球，另一个盒子中放3个球，则有4种不同的方法． 故不同的放法有7种． 故选：C 3．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是 A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】C 【来源】2014-2015学年四川省资阳市高二下学期期末质量测试理科数学试卷 【详解】试题分析：因为每种颜色只能涂两个圆，所以只有五种涂法: 每种涂法中分配颜色有种方法，故不同的涂色方案的种数是，选C． 考点：涂色问题 地 城 考点04 分步乘法计数原理 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁重点高中沈阳郊联体·期末)如图，湖北省分别与湖南､安徽､陕西､江西四省交界，且湘､皖､陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ） A．540 B．600 C．660 D．720 【答案】D 【来源】辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】由分步乘法计数原理按步骤去涂色即可. 【详解】第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择,即共有种涂色方案. 故选：D 2．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)某体育用品店有5种不同价格的篮球，4种不同价格的排球，若从中选购1个篮球和1个排球，则不同的选购方法有（    ） A．9种 B．20种 C．625种 D．1024种 【答案】B 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】由分步乘法原理可得出结论. 【详解】第一步，从5种不同的篮球中选一个，有5种选法， 第二步，从4种不同的排球中选一个，有4种选法， 故不同的选法为：种. 故选：B. 3．(24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末)已知集合，直线中的是取自集合中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为（    ） A．40 B．32 C．24 D．23 【答案】D 【来源】辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】根据题意按照顺序分别将的选法种类逐一确定，再除去不合题意的即可. 【详解】由直线的倾斜角为锐角可知斜率一定存在，可得， 且，所以异号， 从集合中任取三个不同元素，且异号， 易知有4种选法，有2种选法，有3种选法，共有种， 又因为当和时，都表示直线， 所以符合条件的直线的条数为种. 故选：D 4．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)如图，给编号为的区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，中心对称的两个区域（如区域1与区域4）所涂颜色相同．若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．60种 B．80种 C．100种 D．125种 【答案】A 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据分步乘法计数原理依次涂色即可. 【详解】由题意可得，只需确定区域的颜色，即可确定所有区域的涂色． 先涂区域1，有5种选择；再涂区域2，有4种选择；最后涂区域3，有3种选择． 故不同的涂色方案有种． 故选：A. 5．(24-25高二上·辽宁大连·期末)将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法，若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】利用分步乘法计数原理可得，利用二项式定理求出除的余数，即为的值. 【详解】将个不同的小球全部放入个不同的盒子中，共有种不同的方法， 则 且能被整除， 所以，除的余数为，即. 故选：D. 6．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)现有位老师，位女同学，位男同学，派这些人去参加两项活动.要求老师参加活动时至少带上一位男同学和一位女同学，每个人只参加一个活动且每个活动至少一人参加，若不同的参与活动的方法有种，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】分老师带一位女同学和两位同学两种情况分别求满足要求的方法，由条件列方程求. 【详解】若老师参加活动时只带一名女生则符合要求的安排方法数为， 若老师参加活动时带两名女生则符合要求的安排方法数为， 所以符合要求的参与活动的方法， 由已知， 所以， 所以. 故选：D. 7．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车或火车到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【答案】B 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】根据分步乘法计数原理得到答案 【详解】小青从北京到山东有3种乘坐方式，从山东到辽宁有2种乘坐方式， 所以共有种． 故选：B 地 城 考点05 排列数和组合数的计算 1、 单选题 1．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（    ） A．48种 B．96种 C．102种 D．120种 【答案】B 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】设图中的六个区域分别为，按照是否同色，分两类，再结合分步乘法计数原理运算求解. 【详解】如图，设图中的六个区域分别为， 按照是否同色，分两类： ①不同色，先给涂色，有，再根据是否用余下那种颜色分两种情况， 不用第三种颜色，即用的颜色，用的颜色，有种，有种，则有种涂法； 用第三种颜色，即用第三种颜色，用的颜色，有种，有种， 或用第三种颜色， 用的颜色，则有种涂法， 所以不同色的涂法有：， ②同色，先给涂色，有，则只能用第三种颜色，有种，有种， 所以同色的涂法有：， 综上，不同的涂色方法有：种. 故选：B. 2．(24-25高二上·辽宁大连·期末)（   ） A．10 B．15 C．20 D．40 【答案】C 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】由组合数公式计算求解即可. 【详解】， 故选：C 3．(24-25高二·辽宁名校联盟·)若，则的值为（    ） A．14 B．84 C．34 D．204 【答案】C 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题 【分析】先由得或，由题意符合题意，再结合组合数的计算可得. 【详解】因为，所以或 ，解得或， 因为，所以，可得， 所以 . 故选：C 4．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（    ） A．14种 B．16种 C．18种 D．20种 【答案】A 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】根据全部情况去掉两名均为男生的情况即可求解. 【详解】从3名男同学和2名女同学中选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 若从3名男生选出两人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种情况， 故至少有1名女同学被选中的不同安排方法有种， 故选：A 二、填空题 5．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)计算： .（结果用数字作答） 【答案】 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】利用可求代数式的值. 【详解】 ， 故答案为： 6．(24-25高二上·辽宁重点中学协作校·期末)有一种运算，三个互异的数，，运算时可以有不同的运算方法，如，，，，，就是其中6种不同的运算方法.设个互异的数的不同运算方法共有种，则 ， （用数字作答）. 【答案】 12 120 【来源】辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题 【分析】利用排列知识与此运算的定义可求得的值. 【详解】此种运算方法是在排列的基础上加上括号的选择（括号内至少两个数）. 首先，（对一个排列，括号只有2种乘法）， 对于，考查一个给定的排列如，共有如下几种此种运算方法， ，，，，， 共5种相乘方法， 又4个数的排列有，所以. 故答案为：12；120. 【点睛】关键点点睛：理解新定义，弄清题意，本质是在排列的基础上的两个数的此种运算的结合情况，故利用分步计数原理可求得结论. 地 城 考点06 排列组合综合 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)一个口袋里装有大小不同的2个红球和4个白球，从中取3个球，则至少含有1个红球和1个白球的取法有（   ） A．35种 B．32种 C．16种 D．14种 【答案】C 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】求出从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球的取法，求出其中全部为白球的取法即可求解. 【详解】从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球有种取法， 其中全部为白球有种取法， 则至少含有1个红球和1个白球的取法有种. 故选：C. 2．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 【答案】B 【来源】辽宁省大连市大连育明高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】先进行分组，有和两种情况，利用排列组合知识分别求出两种情况下的情况数，再相加求出答案. 【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有和两种情况， 其中分为的情况有种， 分为的情况有种， 故不同的分法种数为. 故选：B 3．(24-25高二·辽宁名校联盟·)用数字，，，，组成的没有重复数字的三位数且是偶数的个数为（    ） A．60 B．30 C．36 D．21 【答案】B 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高二1月份联合考试数学试题 【分析】通过个位数分别为，，，讨论即可； 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即，，，有3种选择， 因为这是一个三位数，所以百位数不能是0. ①当个位数为0时，有种， ②当个位数为2或4时，有种.综上，有30种. 故选：B. 4．(24-25高二上·辽宁丹东·期末)将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（   ） A．90种 B．180种 C．60种 D．120种 【答案】A 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】先将5名志愿者按要求分成三组，再将分得的三组分配到A，B，C三个地区，按分组分配方法计算即可得解. 【详解】由题先将5名志愿者分成三组有种分法， 再将分得的三组分配到A，B，C三个地区参加公益活动有种分法， 所以所求的不同的分配方案有种. 故选：A. 5．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉的选择共有（   ） A．5种 B．10种 C．20种 D．25种 【答案】B 【来源】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】根据组合数的定义即可求解. 【详解】根据题意可得小沉的选择种数为． 故选：B 6．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)将5名党员志愿者分到3个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去1个社区，则不同的安排方法种数有（   ） A．120 B．300 C．180 D．150 【答案】D 【来源】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】将5名党员按或分组，再安排到3个社区列式计算得解. 【详解】将5名党员志愿者分成三组，各组人数分别为1，1，3或1，2，2． 当各组人数为1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，2，2时，共有种安排方法． 所以不同的安排方法有种． 故选：D 7．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 【答案】C 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】不相邻问题插空法，8个同学一排有9个空，把甲、乙、丙插在9个空即可. 【详解】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为. 故选：C. 8．(24-25高二上·辽宁辽阳·期末)元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（    ） A．1280 B．300 C．1880 D．1560 【答案】D 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷 【分析】利用先分组再分配的思想结合排列组合的知识求解. 【详解】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2． 当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法； 当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法． 故不同安排方法有种． 故选：D. 二、多选题 9．(24-25高二上·辽宁重点高中沈阳郊联体·期末)下列命题中，正确的是（    ） A．已知随机变量服从正态分布，若，则 B．除以15的余数为2 C．在的展开式中，含的项的系数是 D．已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员患甲病的概率为，患乙病的概率为，甲乙两种病都不患的概率为，则家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为 【答案】ACD 【来源】辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】对于A，根据正态分布的性质即可求解；对于B和C，利用二项式定理即可求解；对于D，根据条件概率即可求解. 【详解】对于A，随机变量服从正态分布，所以，则，故A正确； 对于B，，所以除以15的余数为1，故B错误； 对于C，在的展开式中，含的项即5个因式中， 其中4个选，余下的一个选常数相乘，即可得到项，比如都选，此时系数为， 依此类推，含的项的系数是，故C正确； 对于D，设甲乙两种病都患的概率为，则，解得， 所以家系成员在患甲病的条件下，患乙病的概率为，故D正确. 故选：ACD. 10．(24-25高二上·辽宁大连·期末)已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是（    ） A．活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法 B．5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法 C．将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法 D．活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法 【答案】AB 【来源】辽宁省大连市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题 【分析】对于A，根据分步计数原理和优先法可得结果；对于B，根据分步计数原理和插空法可得结果；对于C，运用分组分配法，先分组再分配，可得结果；对于D，至少两名男生，根据分类计数原理可得. 【详解】对于A，甲在最左边，乙不在最右边，则乙在中间三个位置选一个，有种排法，其余三人全排，有种排法，故共有（种）不同的排法，故A正确； 对于B，甲和乙不相邻，则先排其余三人，有种排法， 再在这三人形成的四个空隙中选两个排甲和乙，有种排法， 故共有（种）不同的排法，故B正确； 对于C，将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生， 则先分组再分配，先将男生分为一组1人，另一组2人，有种分法， 再将女生分到这两组，有种分法，最后将这两组分配到两项活动，有种分法， 故共有（种）不同的分法，故C错误； 对于D，从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生， 则有两种情况，第一种情况是两名男生一名女生，有种选法， 第二种情况是三名男生，有种选法，故共有（种）不同的选法，故D错误. 故选：AB. 11．(24-25高二上·辽宁点石联考·期末)现有8名师生站成一排照相，其中老师2人，男学生4人，女学生2人，则下列说法正确的是（   ） A．4个男学生排在一起，有1440种不同的排法 B．老师站在最中间，有1440种不同的排法 C．4名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端，有1728种不同的排法 D．2名老师之间要有男女学生各1人，有3840种不同的排法 【答案】BCD 【来源】辽宁省点石联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】利用捆绑法排列判断A，特殊元素优先安排（即先安排都是排中间然后再在两边安排学生求解判断B，用插空法（男生插入时需先先安排男生甲）求解判断C，先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，把这四人捆绑后进行排列求解判断D． 【详解】选项A：4个男学生排在一起共有种站法，则有2880种不同的排法，故A错误； 选项B：老师站在最中间共有种站法，则有1440种不同的排法，故B正确； 选项C：先排老师和女学生，共有种站法，再排男学生甲，有种站法，最后排剩余的3名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法，故C正确； 选项D：先任选一名男学生和一名女学生站两位老师中间，有种站法，两名老师的站法有种， 再将这一男学生一女学生两位老师进行捆绑，与剩余的4个人进行全排列有种站法， 所以共有种不同的站法.故D正确. 故选：BCD． 三、填空题 12．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期末)现有四位同学（两男两女），随机地站到的方格场地中（每人站一格，每格至多一人），则两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率为 . 【答案】 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【分析】利用排列求得总的方法数为，利用间接法求得两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的方法数为，从而可求概率. 【详解】从16个格子中选4个排4个人有种排法， 两个男生既不同行也不同列的排法有种排法， 两个女生也既不同行也不同列的排法数有种排法， 两名女生与两名男生排在一起的排法有， 两名女生中有一名与男生排在一 起的排法有， 所以两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列（每人一格）有种， 所以两个男生既不同行也不同列，同时两个女生也既不同行也不同列的概率为： . 故答案为：. 13．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)某中学正在筹备100周年校庆晚会，原计划共7个节目，并已排好节目单，为了使晚会节目更丰富，节目组准备增加3个节目，若保持原计划中的7个节目的先后顺序不变，则这10个节目的不同排法有 种． 【答案】720 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】先将10个节目随意排列，有种排法，再根据相对顺序已定的排列模型求解 【详解】10个节目随意排列，有种排法； 原计划中的7个节目随意排列，有种排法． 保持原计划中的7个节目的先后顺序不变， 则这10个节目的不同排法有共有种． 故答案为: 14．(24-25高三上·甘肃武威·期末)由字母A，B构成的一个6位的序列，含有连续子序列ABA的序列有 个（例如ABAAAA，BAABAB符合题意） 【答案】27 【来源】甘肃省武威市2024-2025学年高三上学期期末联考数学试卷 【分析】用集合的思想，分为四个不同情况并计算出序列种数，再考虑两两之间重复的序列数，然后得到含有连续子序列ABA的序列数 【详解】考虑出现子序列ABA时，可能出现的位置有4个，把依次对应的序列放入集合，，，（ABA×××，×ABA××，××ABA×，×××ABA）中， 记为集合中元素的个数，则. 再考虑重复的序列，，，，任意多于2个集合的交集均为空集. 所以含有连续子序列ABA的序列有个． 故答案为：27. 四、解答题 15．(24-25高二上·辽宁多校联考·期末)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照． (1)甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？ (2)甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？ 【答案】(1)72 (2)36 【来源】辽宁省多校联考2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）先排丙、丁、戊，再插空排甲、乙，结合排列数运算求解； （2）分乙站在排头或排尾和甲、乙都不站排头或排尾两种情况，结合排列数运算求解. 【详解】（1）先排丙、丁、戊，有种站法，再插空排甲、乙，有种站法． 故甲、乙两人不相邻的站法共有种． （2）若乙站在排头或排尾，则有种站法； 若甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法； 故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种． 16．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)从，，等8人中选出5人排成一排． (1)必须在内，有多少种排法? (2)，都在内，且排在前面，有多少种排法? (3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法? (4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法? 【答案】(1)4200 (2)1200 (3)240 (4)4440 【来源】辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷 【分析】（1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可； （2）先从余下的6人中选出3人与、的全排列，再消去、两人间的排序即可求得所有排列数； （3）先从余下5人中选2人有种不同结果，由于、必须相邻，与、都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决； （4）分所选的5人无、；有、无；无、有；有、，四种情况讨论即可. 【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果， 再将这4人与进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法. （2）由题意，先从余下的6人中选3人共有种不同结果， 再将这3人与、的进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法， 又、之间的排列有， 所以排在前面，有种不同排法. （3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果， ，必须相邻，有种不同排法， 由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法， 再将、这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法. （4）分四类：第一类：所选的5人无、，共有种排法； 第二类：所选的5人有、无，共有种排法； 第三类：所选的5人无、有，共有种排法； 第四类：所选的5人有、，若A排中间时，有种排法， 若不排中间时，有种排法， 共有种排法； 综上，共有种不同排法. 17．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻； (2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧； (3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生. 【答案】(1)16 (2)384 (3)96 【来源】辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用分步计数原理即可； （2）利用插空法来排列即可； （3）利用捆绑法来排列即可. 【详解】（1）先排2名指导老师，有种站法， 再排2名女大学生，有种站法， 最后排剩余的2名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法， 再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法， 最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法， 所以共有种不同的站法. （3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法， 再排2名指导老师，有种站法， 最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体， 利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法， 所以共有种不同的站法. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $