专题05：多边形的面积（计算专项训练）数学人教版五年级上册

该小学数学“多边形的面积”单元复习讲义通过考点分层构建知识体系，以清晰框架呈现平行四边形、三角形、梯形及组合图形的面积公式、推导逻辑和易错点，突出底高对应、“÷2”等重难点，通过转化思想串联各图形内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题型如“平行四边形面积计算”巩固公式应用，复杂题型如“组合图形面积（题型10）”用拆分法培养几何直观（数学眼光），“平移法求面积（题型3）”渗透转化思想（数学思维）。跟踪训练覆盖不同难度，助力学生从具体到抽象理解知识，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

专题05：多边形的面积 考点01：平行四边形面积 1、面积公式：S=ah（S为面积，a为底，h为这条底对应的高）。 2、推导逻辑：把平行四边形沿高剪开，平移后拼成一个等积的长方形，长方形的长=平行四边形的底，长方形的宽=平行四边形的高，根据长方形面积=长×宽，推导得出平行四边形面积公式。 3、常用变形： a=S÷h（已知面积和高求底）； h=S÷a（已知面积和底求高）。 易错点提示： 底与高必须对应：高是垂直于所选底的线段，不能用非对应底的高计算。 考点02：三角形面积 1、面积公式：S=ah÷2（S为面积，a为底，h为这条底对应的高）。 2、推导逻辑：两个完全相同的三角形可拼成一个平行四边形，平行四边形的底=三角形的底，平行四边形的高=三角形的高，三角形面积=平行四边形面积÷2，由此推导公式。 3、常用变形： a=2S÷h（已知面积和高求底）； h=2S÷a（已知面积和底求高）。 易错点提示： （1）“÷2”不可遗漏：这是最易错点，忘记除以2会导致结果是实际面积的2倍。 （2）底与高的对应关系：高必须垂直于底，钝角三角形的高可能在三角形外部，需正确识别并测量。 （3）拼接前提是“完全相同”：只有形状、大小完全一致的三角形才能拼成平行四边形，不能用不同的三角形拼接推导。 考点03：梯形面积 1、面积公式：S=(a+b)h÷2（S为面积，a为上底，b为下底，h为上底和下底之间的高）。 2、推导逻辑：两个完全相同的梯形可拼成一个平行四边形，平行四边形的底=梯形的上底+下底，平行四边形的高=梯形的高，梯形面积=平行四边形面积÷2，进而推导公式。 3、常用变形： h=2S÷(a+b)（已知面积、上底和下底求高）； a=2S÷h−b（已知面积、下底和高求上底）。 易错点提示： （1）上底与下底的区分：上底和下底是梯形中平行的两条边，与长度长短无关（短的可作上底，长的可作下底），避免混淆。 （2）高是 两底之间的垂线段”：高垂直于上底和下底，与腰无关，不能将腰长当作高代入公式。 （3）“÷2”不可省略：同三角形面积公式，忘记除以2会导致结果翻倍。 （4）等腰梯形的特殊性：等腰梯形的两腰相等，两底角相等。 考点04：组合图形的面积 1、定义：由两个或多个基本图形（平行四边形、三角形、梯形、长方形、正方形等）组合而成的图形。 2、解题方法： （1）拆分法：将组合图形拆为几个基本图形，求面积和。 （2）割补法：通过切割、平移，将组合图形补成一个完整的基本图形，求面积差。 3、核心思路：先拆分/割补，再分别计算基本图形面积，最后求和或差。 易错点提示： （1）拆分不重复、不遗漏：拆分时按“明显边界”或“对称原则”，确保每个基本图形无重叠、无遗漏。 （2）找准对应条件：拆分后需明确每个基本图形的底、高、边长等关键条件，必要时通过整体与部分的关系推导。 （3）优先选择简便方法：同一组合图形可能有多种拆分方式，优先选择计算步骤少、数据简单的方法。 题型1 平行四边形面积的计算 典型例题：（22-23五年级上·重庆城口·期末）求下面平行四边形的面积。 解题思路：根据平行四边形对边相等的特点，观察可知，高3dm所对应的底是9dm，根据平行四边形的面积＝底×高，计算即可得解。 跟踪训练1：（22-23五年级上·河南洛阳·期末）求下面图的面积。 跟踪训练2：（24-25五年级上·河南商丘·期中）如图，平行四边形ABCD的周长是50厘米，当以AD为底边时，高CE是8厘米；当以AB为底边时，高CF是12厘米。平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？ 题型2 平行四边形面积的较复杂计算 典型例题：（24-25五年级上·江西吉安·期末）一个平行四边形，如果高不变，底增加2厘米，那么面积增加20平方厘米；如果这条底不变，高增加4厘米，那么面积增加60平方厘米。原来平行四边形的面积是( )平方厘米。 解题思路：平行四边形的面积＝底×高；底增加2厘米，面积增加20平方厘米，则平行四边形的高＝增加部分的面积÷增加的底＝20÷2＝10厘米；底不变，高增加4厘米，面积增加60平方厘米，则平行四边形的底＝增加部分的面积÷增加的高＝60÷4＝15厘米，将求得的底和高代入公式即可。 跟踪训练1：（24-25五年级上·北京丰台·期末）将长方形框架拉动成平行四边形（如图），平行四边形的面积比长方形的面积少12平方厘米，平行四边形的面积是( )平方厘米。 跟踪训练2：（23-24五年级上·全国·课后作业）一个平行四边形，如果底增加3厘米，高不变，面积就增加6平方厘米；如果底不变，高减少1厘米，面积则减少4平方厘米，原来平行四边形的面积是多少？ 题型3 利用平移法求平行四边形的面积 典型例题：（24-25五年级上·河南焦作·期末）数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中无处不在。下面运用了转化思想的有（    ）。 A．①② B．①③ C．①②③ 解题思路：①把平行四边形转化为长方形，利用长方形的面积求出平行四边形的面积，依此解答； ②把小数乘法转化为整数乘法，再根据小数点的移动引起小数大小的变化规律，确定积的小数位数； ③把小数除法转化为除数是整数的除法，再根据商不变的定律，将被除数转化为相同的倍数，在计算即可。 跟踪训练1：（24-25五年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）淘气将一个平行四边形框架推拉成一个长方形，如下图所示。长方形与原来平行四边形相比，（     ）。    A．面积不变 B．面积增加了，增加的面积等于图①的面积 C．面积增加了，增加的面积等于图②的面积 跟踪训练2：（21-22五年级上·广东广州·期末）沿着平行四边形的高剪下，把三角形向右平移拼成一个长方形后，下面说法正确的是（    ）。 A．形状变了，面积不变 B．形状不变，面积不变 C．形状变了，面积变小 D．形状不变，面积变大 题型4 三角形面积的计算 典型例题：（24-25五年级上·河南洛阳·期中）一个平行四边形的高是9厘米。一个三角形与这个平行四边形的面积相等，底也相等。那么这个三角形的高是( )厘米。 解题思路：平行四边形的面积公式为，三角形的面积公式为。当三角形与平行四边形面积相等、底也相等时，三角形的高是平行四边形高的2倍。 跟踪训练1：（25-26五年级上·全国·单元测试）如图，在斜边长为20厘米的直角三角形ABC中去掉一个正方形的EDFB，留下两个阴影部分直角三角形AED和直角三角形DFC。若AD＝8厘米，CD＝12厘米，则阴影部分的面积为多少？ 跟踪训练2：（22-23五年级上·新疆昌吉·期末）求出阴影部分的面积。 题型5 三角形面积的较复杂计算 典型例题：（25-26五年级上·海南海口·单元测试）一块三角形纱巾，底是8分米，高是15分米，做四块这样的纱巾至少需要( )平方分米布料。 解题思路：先根据“三角形的面积＝底×高÷2”求出做一块纱巾需要布料的面积，一共需要布料的面积＝做一块纱巾需要布料的面积×做纱巾的数量，据此解答。 跟踪训练1：（24-25五年级上·湖南邵阳·期末）一个三角形比与它等底等高的平行四边形的面积少20平方分米，则平行四边形的面积是( )平方分米，三角形的面积是( )平方分米。 跟踪训练2：（23-24五年级上·重庆綦江·期末）一个直角三角形的三条边分别长1.8cm、2.4cm、3cm。这个三角形的面积是( )cm2，斜边上的高是( )cm。 题型6 平行线间三角形的面积问题 典型例题：（24-25五年级上·湖北黄石·期末）如下图，在一组平行线间有4个等底的三角形。这些三角形的面积总和是( )平方厘米。 解题思路：根据题意可知，四个三角形在一组平行线间，已知四个三角形都是等底，则它们的高都等高，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出一个三角形面积，再乘4，即可解答。 跟踪训练1：（24-25五年级上·吉林延边·期末）下图中两条虚线互相平行，那么三角形ABC的面积和三角形（    ）的面积相等。 A．DBC B．ADB C．ADC D．BEC 跟踪训练2：（23-24五年级上·全国·课后作业）正方形ABCD的边长是6厘米，已知DE是EC长度的2倍，求CF的长。 题型7 梯形面积的计算 典型例题：（25-26五年级上·全国·单元测试）图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积（单位：厘米） 解题思路：因为两个大三角形完全一样，则阴影部分的面积S1＋空白三角形的面积＝梯形面积S2＋空白三角形的面积，所以阴影部分的面积S1＝梯形面积S2，梯形S2的上底为12－4＝8（厘米），下底为12厘米，高为2厘米，利用梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求解。 跟踪训练1：（24-25五年级上·重庆铜梁·期末）计算下面图形阴影部分的面积。 跟踪训练2：（23-24五年级上·湖北十堰·期中）计算下面图形的面积。（单位：cm） 题型8 梯形面积的较复杂计算 典型例题：（24-25五年级上·河南商丘·期中）有一个梯形的面积是35平方米，上、下底的和是17.5分米，这个梯形的高是( )分米。 解题思路：把35平方米转化为3500平方分米，由“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”可知，高＝梯形的面积×2÷（上底＋下底），把题目中的数据代入公式计算，即可求得。 跟踪训练1：（23-24五年级上·全国·周测）一个梯形的面积是164dm2，上、下底之和是32dm，这个梯形的高是( )dm。 跟踪训练2：（23-24五年级上·河南洛阳·期中）如图所示，梯形的面积是135m2，上底是12m，下底是18m，阴影部分的面积是（   ）m2。 A．27 B．54 C．81 D．40.5 题型9 与梯形相关的重叠问题 典型例题：（24-25五年级上·湖北十堰·期末）如图，在一组平行线间有两个平行四边形相重叠（如图），形成一个三角形①（重叠部分）和两个梯形②、③（空白部分）。那么，②、③的面积相比（    ）。 A．梯形②的面积最大 B．梯形③的面积最大 C．梯形②、③的面积相等 D．无法确定 解题思路：平行四边形的面积＝底×高，由于一组平行线间的距离相等，即两个平行四边形的高相等，它们的底都可以看作是三角形①的底，由此可知两个平行四边形的面积大小关系，梯形②、③的面积分别等于两个平行四边形面积与三角形①的面积差，据此判断②、③的大小。 跟踪训练1：（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，两个相同的直角三角形ABC和直角三角形DEF重叠在一起，已知AB长32厘米，DG长12厘米，BE长20厘米，求涂色部分梯形CFDG的面积。 跟踪训练2：（22-23五年级上·河南漯河·期末）两个完全一样的直角三角形重叠一部分（如图），形成两个梯形A、B，这两个梯形的面积的大小关系是（    ）。 A．梯形A的面积大 B．梯形B的面积大 C．它们的面积相等 题型10 含多边形的组合图形的面积 典型例题：（24-25五年级上·湖南邵阳·期中）计算下面各图形的面积。（单位：厘米） （1）            （2） 解题思路：（1）根据题意，该图形由一个等腰直角三角形和一个梯形组成。先计算等腰直角三角形的面积，因为底角是45°，所以三角形的两条直角边均为15厘米；再计算梯形的面积，梯形的上底是7厘米，下底是15厘米，高是8厘米；最后将两者面积相加，据此解答。 （2）根据题意，该图形由一个平行四边形和一个三角形组成。先计算平行四边形的面积，底是20厘米，高是15厘米；再计算三角形的面积，底是20厘米，高是12厘米；最后将两者面积相加，据此解答。 跟踪训练1：（24-25五年级上·河南商丘·期中）如图，AB＝3厘米，CF＝8厘米，CD＝7厘米，AE＝6厘米。求四边形ABCD（涂色部分）的面积。 跟踪训练2：（24-25五年级上·海南海口·期中）计算下列图形的面积。（单位：cm） 题型11 求组合图形中阴影部分的面积 典型例题：（24-25五年级上·江西宜春·期末）下面三幅图中都有两个正方形，大正方形的边长是10cm，小正方形的边长是5cm，三幅图中涂色部分的面积相比较（    ）。                   A．都不相等 B．有2个相等 C．3个都相等 解题思路：图l和图2阴影部分都是一个平行四边形，底是5cm，高是10cm；图3，阴影部分是一个梯形，上底10cm，下底5cm，高是10cm；根据平行四边形的面积＝底×高，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据解答即可。 跟踪训练1：（24-25五年级上·浙江宁波·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：厘米） 跟踪训练2：（24-25五年级上·湖南张家界·期末）下图是一个航模拼装模型一个部件的示意图，请你算一算，它的面积是多少平方厘米？ 题型12 不规则图形的面积 典型例题：（24-25五年级上·重庆·期末）中国台湾岛属于亚热带气候，有相当不错的旅游景点。如图中每个小正方形表示1000平方千米，请估计一下中国台湾岛的面积约（    ）平方千米。 A．10000 B．40000 C．70000 D．90000 解题思路：先数整格的，再数不满整格的，不满整格的按半格计算，最后把两者加起来。经过观察和估算，图中大约有40个小正方形。每个小正方形表示1000平方千米，据此解答。 跟踪训练1：（24-25五年级上·重庆巫山·期末）荷花是我国传统的名花之一，在中国传统文化中象征着纯洁、高尚的品质。如图（每个小方格的边长表示1cm）是小明画的一朵荷花，这朵花的面积大约是（    ）cm2。 A．15～20 B．20～25 C．25～30 跟踪训练2：（24-25五年级上·北京西城·期末）泥塑（北京兔儿爷）是北京的传统手工艺品、被列入第四批国家级非物质文化遗产代表性项目名录。王力有一张北京兔儿爷图案的卡片，他把这张卡片的轮廓描在方格纸上（如下图），这张卡片的面积最接近（    ）cm2。（图中每个方格代表1cm2） A．10 B．20 C．21 D．30 题型1 平行四边形面积的计算 典型例题： （dm2） 平行四边形的面积是27dm2。 跟踪训练1： 25×12＝300（平方厘米） 图的面积是300平方厘米。 跟踪训练2： 分析可知，（AD＋AB）×2＝50，则AD＋AB＝50÷2＝25。 解：设AD长厘米，则AB长厘米。 15×8＝120（平方厘米） 答：平行四边形ABCD的面积是120平方厘米。 题型2 平行四边形面积的较复杂计算 典型例题：20÷2＝10（厘米） 60÷4＝15（厘米） 15×10＝150（平方厘米） 一个平行四边形，如果高不变，底增加2厘米，那么面积增加20平方厘米；如果这条底不变，高增加4厘米，那么面积增加60平方厘米。原来平行四边形的面积是150平方厘米。 跟踪训练1： 12÷（7－5.8）×5.8 ＝12÷1.2×5.8 ＝10×5.8 ＝58（平方厘米） 所以平行四边形的面积是58平方厘米。 跟踪训练2： 原来的高：6÷3＝2（厘米） 原来的底：4÷1＝4（厘米） 原来平行四边形的面积：4×2＝8（平方厘米） 答：原来平行四边形的面积是8平方厘米。 题型3 利用平移法求平行四边形的面积 典型例题： ①把平行四边形转化为长方形，②把小数乘法转化为整数乘法，③把小数除法转化为除数是整数的除法，所以①②③都是运用的转化思想。 故答案为：C 跟踪训练1： A．据分析可知，将一个平行四边形框架推拉成一个长方形，长方形的面积增加了。该说法错误。 B．据分析可知，将一个平行四边形框架推拉成一个长方形，长方形的面积增加了，观察可知，右图右边的三角形平移到②的位置，则增加的面积等于图①的面积。该说法正确。 C．据分析可知，将一个平行四边形框架推拉成一个长方形，长方形的面积增加了，观察可知，右图右边的三角形平移到②的位置，则增加的面积等于图①的面积。该说法错误。 故答案为：B 跟踪训练2： 沿着平行四边形的高剪下，把三角形向右平移拼成一个长方形后，形状由长方形变成了长方形，形状变了，面积不变。 故答案为：A 【点睛】关键是熟悉平行四边形面积公式推导过程。 题型4 三角形面积的计算 典型例题： （厘米） 这个三角形的高是18。 跟踪训练1： 利用割补法把直角三角形的ED与DF拼接。 8×12÷2＝48（平方厘米） 答：阴影部分面积为48平方厘米。 跟踪训练2： 16×13÷2＝104（cm2） 阴影部分的面积是104cm2。 题型5 三角形面积的较复杂计算 典型例题： 8×15÷2×4 ＝120÷2×4 ＝60×4 ＝240（平方分米） 所以，做四块这样的纱巾至少需要240平方分米布料。 跟踪训练1： 三角形的面积： 20÷（2－1） ＝20÷1 ＝20（平方分米） 平行四边形的面积： 20×2＝40（平方分米） 平行四边形的面积是40平方分米，三角形的面积是20平方分米。 跟踪训练2： 1.8×2.4÷2 ＝4.32÷2 ＝2.16（cm2） 2.16×2÷3 ＝4.32÷3 ＝1.44（cm） 这个三角形的面积是2.16cm2，斜边上的高是1.44cm。 题型6 平行线间三角形的面积问题 典型例题：4×5.5÷2×4 ＝22÷2×4 ＝11×4 ＝44（平方厘米） 这些三角形的面积总和是44平方厘米。 跟踪训练1：A．观察可知，三角形DBC与三角形ABC等底等高，所以它们面积相等，该选项符合题意。 B．观察可知，三角形ADB与三角形ABC不等底不等高，所以它们面积不相等，该选项不符合题意。 C．观察可知，三角形ADC与三角形ABC不等底但等高，所以它们面积不相等，该选项不符合题意。 D．观察可知，三角形BEC与三角形ABC等底但不等高，所以它们面积不相等，该选项不符合题意。 故答案为：A 跟踪训练2：6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 6÷（2＋1）×2 ＝6÷3×2 ＝2×2 ＝4（厘米） 6×4÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 18－12＝6（平方厘米） 6×2÷4 ＝12÷4 ＝3（厘米） 答：CF的长是3厘米。 题型7 梯形面积的计算 典型例题：（12－4＋12）×2÷2 ＝20×2÷2 ＝20（平方厘米） 阴影部分的面积是20平方厘米。 跟踪训练1：（6＋8）×6÷2 ＝14×6÷2 ＝84÷2 ＝42（平方厘米） 跟踪训练2：（1）长方形的面积：35×80＝2800（） 三角形的面积：40×70÷2 ＝2800÷2 ＝1400（） 组合图形的面积：2800＋1400＝4200（） （2）直角梯形的面积：（4＋8）×（8－5）÷2 ＝12×3÷2 ＝36÷2 ＝18（） 长方形的面积：5×8＝40（） 组合图形的面积：18＋40＝58（） 题型8 梯形面积的较复杂计算 典型例题：35平方米＝3500平方分米 3500×2÷17.5 ＝7000÷17.5 ＝400（分米） 所以，这个梯形的高是400分米。 跟踪训练1：164×2÷32 ＝328÷32 ＝10.25（dm） 这个梯形的高是10.25dm。 跟踪训练2：梯形的高： 135×2÷（12＋18） ＝135×2÷30 ＝270÷30 ＝9（m） 阴影部分面积： （18－12）×9÷2 ＝6×9÷2 ＝27（m2） 阴影部分的面积是27m2。 故答案为：A 题型9 与梯形相关的重叠问题 典型例题：假设一组平行线间的距离为h，三角形①的底为a 则，①和②组成的平行四边形面积S1＝ah； ①和③组成的平行四边形面积S2＝ah。 所以，两个平行四边形的面积相等， 梯形②的面积＝ah－三角形①面积；梯形③的面积＝ah－三角形①面积。 那么，②、③的面积相比是相等的。 故答案为：C 跟踪训练1：梯形ABEG的上底是32－12＝20（厘米），下底是32厘米，高是20厘米； 面积：（20＋32）×20÷2 ＝52×20÷2 ＝520（平方厘米） 答：涂色部分梯形CFDG的面积是520平方厘米。 跟踪训练2：梯形A的面积＋空白小三角形的面积＝梯形B的面积＋空白小三角形的面积 梯形A的面积＝梯形B的面积 故答案为：C 题型10 含多边形的组合图形的面积 典型例题：（1）三角形面积： 15×15÷2 ＝225÷2 ＝112.5（平方厘米） 梯形面积： （7＋15）×8÷2 ＝22×8÷2 ＝176÷2 ＝88（平方厘米） 总面积：112.5＋88＝200.5（平方厘米） 图形（1）的面积是200.5平方厘米。 （2）平行四边形面积：20×15＝300（平方厘米） 三角形面积： 20×12÷2 ＝240÷2 ＝120（平方厘米） 总面积：300＋120＝420（平方厘米） 图形（2）的面积是420平方厘米。 跟踪训练1：3×8÷2＋7×6÷2 ＝24÷2＋42÷2 ＝12＋21 ＝33（平方厘米） 答：四边形ABCD（涂色部分）的面积是33平方厘米。 跟踪训练2：5×2＋2×5÷2 ＝10＋5 ＝15（平方厘米） （6＋3）×2÷2＋6×（4－2）÷2 ＝9＋6 ＝15（平方厘米） 题型11 求组合图形中阴影部分的面积 典型例题：5×10＝50（cm2） （5＋10）×10÷2 ＝15×10÷2 ＝150÷2 ＝75（cm2） 所以图1，图2面积相等，有2个相等。 故答案为：B 跟踪训练1：（1）2×3÷2 ＝6÷2 ＝3（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是3平方厘米。 （2）10×10－（5＋10）×5÷2 ＝10×10－15×5÷2 ＝100－75÷2 ＝100－37.5 ＝62.5（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是62.5平方厘米。 跟踪训练2：15×5＋5×（10－5）÷2＋（15－5－5）×（10－5）÷2 ＝15×5＋5×5÷2＋（10－5）×5÷2 ＝15×5＋5×5÷2＋5×5÷2 ＝75＋12.5＋12.5 ＝100（平方厘米） 答：它的面积是100平方厘米。 题型12 不规则图形的面积 典型例题：40×1000＝40000（平方千米） 中国台湾岛的面积约40000平方千米。 故答案为：B 跟踪训练1：整格的大约有12格，半格大约有21格， 21÷2＝10.5（格） 12＋10.5＝22.5（格） 1×1×22.5＝22.5（cm2） 荷花是我国传统的名花之一，在中国传统文化中象征着纯洁、高尚的品质。如图（每个小方格的边长表示1cm）是小明画的一朵荷花，这朵花的面积大约是20～25cm2。 故答案为：B 跟踪训练2：这张卡片所占的整格数有10个，不满一格的有16个。 10＋16÷2 ＝10＋8 ＝18（cm2） 因此这张卡片的面积最接近20cm2。 故答案为：B 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $