第4卷 平面向量 2026年江苏省（职教高考）《数学真题同源卷》（教师讲解卷）（课件）

第4卷 平面向量 《数学真题同源卷》 江苏省2026职教高考 教师讲解卷答案 概念回顾 1.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 加法 求两个向量和的运算 ________三角形法则 _______ _平行四边形法则 减法 向量加上向量的相反向量叫做 与的差，即 ___________ 三角形法则 数乘 实数与向量a的积是一个向量记 作 (1)模： ； (2)方向：当时与a的方向相同 ；当 时，与a的方向相反 ；当时， 概念回顾 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设，则 (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设，则 . 概念回顾 4.向量共线的坐标表示 若，则 5.平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量为向量的夹角. ①内积： ②模： . ③设，则A，B两点间的距离 概念回顾 ④夹角： ⑤已知两非零向量与 6. 中点坐标公式 若的坐标分别是，线段的中点P的坐标为，则 此公式为线段的中点坐标公式. 真题精讲 1.(江苏省年高考真题)已知向量，则等于 ( ) A. B. C. D. 【详解】已知，则， 又，所以 故选：D. 真题精讲 2.(江苏省年高考真题) 已知平行四边形，点在对角线上， ，且，则等于( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【详解】在平行四边形中，对角线， 又， ， 已知，则 故选： 真题精讲 3 (江苏省年高考真题)已知向量，若，则实 数的值是( ) A. B. C. D. 3 【详解】若，则有，解得 故选： 真题精讲 4.(江苏省年高考真题)已知数组，且，则 的值是( ) A. B. C.4 D.9 【详解】已知，，且。 根据向量数乘的坐标运算：若，其中，则。 所以。 因为，所以，即，。则。 所以，答案选A。 真题精讲 举一反三 6.(江苏省年高考真题)若向量和，，4)满足条件 ，则的值是( ) A. B. 0 C. 1 D. 2 【解析】向量和，，4)满足条件 ， ， 故选： 举一反三 【详解】由三角函数诱导公式，已知，所以 。根据二倍角公式，将代入可得： 。 已知向量，把代入，得。计算： 。已知，则 。 计算的值根据向量模长公式，若，则。对于 ，其模长为。 故选： 举一反三 7.(湖北省年高考真题)若向量，且 ，则实数 ( ) A. B.0 C. D. 【详解】因为， 所以， ， 则由，得， 解得， 故选： 举一反三 8.(云南省年高考真题)向量，，且，则等于 ( ) A. B.18 C. D.2 【详解】向量，，且， 则有，解得 故选： 举一反三 9.(天津市年高考真题)已知向量，则 ( ) A. B. C. D. 【详解】因为， 所以 故选： 举一反三 10.(安徽省年高考真题)在平行四边形ABCD中， ，用和表示为( ) A. B. C. D. 【详解】由得E为上靠近C的三等分点，则 故，故选： 举一反三 11.如图，在中，D是的中点，则 ( ) A. B. C. D. 【详解】由题可知，为中点，所以， 故选：D 拓展提升 12.如图，已知点是的重心，过点作直线分别与A B，AC两边交于M，N两点，设， 则的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【详解】由于为的重心，所以， 由于、、三点共线，所以，， 故选： 拓展提升 13.已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等 于( ) A. B. C. D. 【详解】因为三点共线，则，又点是直线外任一点， 所以，整理得到， 又，则，解得， 故选： 拓展提升 14.已知平面向量不共线，，，且，则 ( ) A. B.0 C.1 D. 【详解】由，，且， 得，即，又不共线， 因此，解得，所以 故选：A 拓展提升 15.如图，在等腰梯形ABCD中，分 别为边AB，BC上的点，且，记 ，则 ( ) A. B. C. D. 【详解】因为， 所以，又， 所以 故选： 拓展提升 16.已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切 沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则 ( ) A.1 B.3 C.5 D.8 【详解】 ， 故选： 拓展提升 17.已知向量，，且，则____. 【详解】由题意知， ，即， ， 故答案为： 拓展提升 18.已知向量，，则___，____. 【详解】因为，， 所以， ， 故答案为：8， 拓展提升 19.已知向量，，若向量与垂直，则_________. 拓展提升 【详解】， 向量与垂直， ， ， 即， 即， 解得 故答案为： 拓展提升 20.已知单位向量与的夹角为 (1)求； 【详解】 ； (2)求向量与的夹角的余弦值； 【详解】， ； 拓展提升 (3)若，求的值. 【详解】因为，所以 所以，解得 5.（江苏省·2023年高考真题）已知数组，且，则的值是（ ） A. B. C.4 D.9 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 时，，， ， 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $