第4卷 平面向量 2026年江苏省（职教高考）《数学真题同源卷》（教师讲解卷）

编写说明：2026年江苏省职教高考《数学真题同源卷》专辑。立足江苏省职教高考数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 江苏省2026年职教高考《数学真题同源卷》 第4卷 平面向量 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则平行四边形 法则 减法 向量a加上向量b的相反向量 叫做a与b的差，即 a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作 (1)模：||＝|λ||a| ； (2)方向：当λ>0时与a的方向 相同 ；当λ<0时，与a的方向 相反 ；当λ＝0时，＝0 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(，)，b＝(，)，则a＋b＝(＋，＋)，a－b＝ (，－) ，＝ (，) ，|a|= (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(，)，B(，)，则A-B＝ (，) ，|A-B|＝ 4.向量共线的坐标表示 若a＝(，)，b＝(，)，则a∥b⇔ -＝0 . 5.平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(，)，b＝(，)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|＝ ②模：|a|＝＝ ③设A(，)，B(，)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝ ④夹角：＝ ＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔＝0． 6. 中点坐标公式 若，的坐标分别是(，)，(，)，线段的中点P的坐标为(x，y)， ,此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 【真题精讲】 一、选择题 1.（江苏省·2025年高考真题）已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 2.（江苏省·2025年高考真题） 已知平行四边形，点在对角线上，，且，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 3.（江苏省·2024年高考真题）已知向量，若，则实数k的值是（ ） A. B. C. D. 3 4.（江苏省·2023年高考真题）已知数组，且，则的值是（ ） A. B. C.4 D.9 5.（江苏省·2023年高考真题）已知数组，且，则的值是（ ） A. B. C.4 D.9 【举一反三】 6.（江苏省·2020年高考真题）若向量=（2，-3，1）和=（1，，4）满足条件，则的值是（ ） A. —1 B. 0 C. 1 D. 2 7.（湖北省·2018年高考真题）若向量，且，则实数（ ） A． B．0 C． D． 8.（云南省·2025年高考真题）向量，，且，则等于（ ） A． B． C． D． 9.（天津市·2024年高考真题）已知向量，则（ ） A． B． C． D． 10．（安徽省·2025年高考真题）在平行四边形ABCD中，，用和表示为（ ）    A． B． C． D． 11．如图，在中，D是的中点，则（ ） A． B． C． D． 【拓展提升】 一、选择题 12．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（ ） A． B． C． D． 14．已知平面向量不共线，，，且，则（ ） A． B．0 C．1 D． 15．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 16．已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（ ）    A．1 B．3 C．5 D．8 二、填空题 17．已知向量，，且，则 . 18．已知向量，，则 ， ． 19．已知向量，，若向量与垂直，则 ． 三、解答题 20．已知单位向量与的夹角为． (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年江苏省职教高考《数学真题同源卷》专辑。立足江苏省职教高考数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 江苏省2026年职教高考《数学真题同源卷》 第4卷 平面向量 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则平行四边形 法则 减法 向量a加上向量b的相反向量 叫做a与b的差，即 a＋(－b)＝a－b 三角形 法则 数乘 实数λ与向量a的积是一个 向量 记作 (1)模：||＝|λ||a| ； (2)方向：当λ>0时与a的方向 相同 ；当λ<0时，与a的方向 相反 ；当λ＝0时，＝0 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使 b＝. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(，)，b＝(，)，则a＋b＝(＋，＋)，a－b＝ (，－) ，＝ (，) ，|a|= (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(，)，B(，)，则A-B＝ (，) ，|A-B|＝ 4.向量共线的坐标表示 若a＝(，)，b＝(，)，则a∥b⇔ -＝0 . 5.平面向量内积的性质及其坐标表示 (1)设向量a＝(，)，b＝(，)，θ为向量a，b的夹角． ①内积：a·b＝|a||b|＝ ②模：|a|＝＝ ③设A(，)，B(，)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝ ④夹角：＝ ＝. ⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔＝0． 6. 中点坐标公式 若，的坐标分别是(，)，(，)，线段的中点P的坐标为(x，y)， ,此公式为线段P1P2的中点坐标公式. 【真题精讲】 一、选择题 1.（江苏省·2025年高考真题）已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】已知，则， 又，所以. 故选：． 2.（江苏省·2025年高考真题） 已知平行四边形，点在对角线上，，且，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的几何性质和向量运算性质，即可求出. 【详解】在平行四边形中，对角线， 又， ， 已知，则. 故选：C. 3.（江苏省·2024年高考真题）已知向量，若，则实数k的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】若，则有，解得. 故选：C. 4.（江苏省·2023年高考真题）已知数组，且，则的值是（ ） A. B. C.4 D.9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查空间向量的数乘运算，根据向量数乘的坐标运算规则求出和的值，进而计算。 【详解】 已知，，且。 根据向量数乘的坐标运算：若，其中，则。 所以。 因为，所以，即，。则。 所以，答案选A。 5.（江苏省·2023年高考真题）已知数组，且，则的值是（ ） A. B. C.4 D.9 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的数乘运算性质，求出向量的坐标，进而求出和的值，即可计算。 【详解】 时，，， ， 故选：C 【举一反三】 6.（江苏省·2020年高考真题）若向量=（2，-3，1）和=（1，，4）满足条件，则的值是（ ） A. —1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】考察向量数量积的坐标公式。 【解析】∵向量=（2，-3，1）和=（1，，4）满足条件 ∴， ∴， 故选：D. 7.（湖北省·2018年高考真题）若向量，且，则实数（ ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算与内积的坐标表示得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为， 所以，， 则由，得， 解得， 故选：C. 8.（云南省·2025年高考真题）向量，，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标公式列方程求解即可. 【详解】向量，，且， 则有，解得. 故选：C. 9.（天津市·2024年高考真题）已知向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】使用向量的数乘运算进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 10．（安徽省·2025年高考真题）在平行四边形ABCD中，，用和表示为（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】由得E为上靠近C的三等分点，然后利用向量线性运算的几何应用求解. 【详解】由得E为上靠近C的三等分点，则. 故， 故选：D. 11．如图，在中，D是的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的运算法则即可解得. 【详解】由题可知，为中点，所以， . 故选：D 【拓展提升】 一、选择题 12．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 【分析】由重心以、表示，根据题目条件转化为、，最后由三点共线求得. 【详解】由于为的重心，所以， 由于、、三点共线，所以，， 故选：B. 13．已知三点共线，且对直线外任一点，有 则实数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用向量共线定理得，再由向量的运算可得，结合条件，利用向量基本定理，即可求解. 【详解】因为三点共线，则，又点是直线外任一点， 所以，整理得到， 又，则，解得， 故选：C. 14．已知平面向量不共线，，，且，则（ ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】由，，且， 得，即，又不共线， 因此，解得，所以. 故选：A 15．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM＝MB，CN＝2NB，记，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则计算. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故选：A. 16．已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（ ）    A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得即可求解． 【详解】 ， 故选：B． 二、填空题 17．已知向量，，且，则 . 【答案】 【解析】 【分析】由，则，得到，再根据模长公式求解即可． 【详解】由题意知， ∴，即， ∴，． 故答案为：． 18．已知向量，，则 ， ． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】因为，， 所以， ， 故答案为：， 19．已知向量，，若向量与垂直，则 ． 【答案】/ 【解析】 【分析】根据两向量垂直，它们的数量积为0即可计算求解． 【详解】， ∵向量与垂直， ∴， ∴， 即， 即， 解得． 故答案为：． 三、解答题 20．已知单位向量与的夹角为． (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积公式，代入向量模的公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，代入向量的夹角公式，即可求解； （3）代入向量平行公式，利用待定系数法 ，即可求解. 【详解】（1） ； （2）， ； （3）因为，所以 所以，解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $