专题27.8 正多边形与圆（举一反三讲义）数学沪教版九年级下册

专题27.8 正多边形与圆（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 正多边形和圆有关的角度计算】 3 【题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题】 4 【题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系】 5 【题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系】 5 【题型5 正多边形和圆有关的尺规作图问题】 6 【题型6 正多边形和圆与平面直角坐标系的综合】 8 【题型7 正多边形和圆中的证明】 9 【题型8 正多边形和圆中的最值问题】 10 知识点1 正多边形及有关概念 1. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2. 圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆． 3. 与正多边形有关的概念 （1）中心，即正多边形的外接圆的圆心； （2）半径，即正多边形的外接圆的半径； （3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角； （4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离． 知识点2 正多边形的有关计算 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 （1）每个内角为；每个中心角为；每个外角为； （2）半径、边长、边心距的关系为 （3）周长；面积 以正六边形为例： 知识点3 正多边形的画法 画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法： 1. 用量角器等分 特点：（1）可以画出任意正多边形； （2）边数很大时，容易产生较大误差． 步骤：（1）用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的； （2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点； （3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形． 2. 用尺规等分 特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等；（2）作图比较准确． 画正六边形的步骤：（1）作直径AD； （2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E； （3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF． 【题型1 正多边形和圆有关的角度计算】 【例1】（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，是内接正五边形的一条边，是优弧上的两点，且点在点的右侧．若，则的度数为 ． 【变式1-3】（2025·江苏扬州·二模）如图，是内接正十边形的一条边，直线经过点且与相切，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题】 【例2】（2025·山西·一模）如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·江苏苏州·二模）莱洛三角形广泛应用于建筑、工业、包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为3，分别以和为圆心，3为半径作和交于点，此时阴影部分的周长为 ． 【变式2-2】刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．如图，内部多边形为的内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（   ） A．1 B． C．12 D． 【变式2-3】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为 ，周长为 ． 【题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系】 【例3】（2025·安徽合肥·一模）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则 ． 【变式3-1】若一个圆内接正多边形的边心距是边长的一半，则这个正多边形的中心角的度数是 ． 【变式3-2】如图，正八边形内接于，连接，则 ． 【变式3-3】如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 【题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系】 【例4】（24-25九年级上·安徽黄山·期末）如图，正六边形内接于，的周长为，则边心距的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，边长为的正六边形内接于，则它的边心距为 ． 【变式4-2】如图，正六边形内接于，点P在上且点P与点A，点B不重合，连接，，，用等式表示、、之间的数量关系是 ． 【变式4-3】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长为 ． 【题型5 正多边形和圆有关的尺规作图问题】 【例5】如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【变式5-1】如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 【变式5-2】尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。 (1)求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)； (2)已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。 【变式5-3】在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 【题型6 正多边形和圆与平面直角坐标系的综合】 【例6】在北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，已知“雪花”图案（正六边形）的边长是4． （1）如图1，作出“雪花”图案的外接圆，则长为 ； （2）如图2，将“雪花”图案放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点的坐标为，则顶点的坐标为 ． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是2，则它的外接圆圆心的坐标是 ． 【变式6-2】如图，将内接于⊙O的正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，圆心O与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号） 【变式6-3】如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在⊙O上，且点D的坐标为（0，2），现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°，点B运动到了⊙O上的点B1处，点A、D分别运动到了点A1、D1处，即得到正方形A1B1C1D1（点C1与C重合）；再将正方形A1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°，点A1运动到了⊙O上的点A2处，点D1、C1分别运动到了点D2、C2处，即得到正方形A2B2C2D2（点B2与B1重合），…，按上述方法旋转2020次后，点A2020的坐标为 ． 【题型7 正多边形和圆中的证明】 【例7】如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)； (2)． 【变式7-1】如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【变式7-2】如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．    (1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF． (2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）． 【变式7-3】如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 【题型8 正多边形和圆中的最值问题】 【例8】如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 【变式8-1】如图，点P为⊙上一点，连接OP，且，点A为OP上一动点，点B为⊙上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙内构造矩形ABCD，且点C在⊙上，则矩形ABCD面积的最大值为 ． 【变式8-2】如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作 ，垂足为，连接.则长的最小值为 . 【变式8-3】如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，． （1）求证：是的平分线； （2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； （3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.8 正多边形与圆（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 正多边形和圆有关的角度计算】 3 【题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题】 6 【题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系】 10 【题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系】 13 【题型5 正多边形和圆有关的尺规作图问题】 17 【题型6 正多边形和圆与平面直角坐标系的综合】 22 【题型7 正多边形和圆中的证明】 27 【题型8 正多边形和圆中的最值问题】 33 知识点1 正多边形及有关概念 1. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2. 圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆． 3. 与正多边形有关的概念 （1）中心，即正多边形的外接圆的圆心； （2）半径，即正多边形的外接圆的半径； （3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角； （4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离． 知识点2 正多边形的有关计算 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 （1）每个内角为；每个中心角为；每个外角为； （2）半径、边长、边心距的关系为 （3）周长；面积 以正六边形为例： 知识点3 正多边形的画法 画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法： 1. 用量角器等分 特点：（1）可以画出任意正多边形； （2）边数很大时，容易产生较大误差． 步骤：（1）用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的； （2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点； （3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形． 2. 用尺规等分 特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等；（2）作图比较准确． 画正六边形的步骤：（1）作直径AD； （2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E； （3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF． 【题型1 正多边形和圆有关的角度计算】 【例1】（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．连接，先求出，再求出，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∴的度数为， ∵点为的中点， ∴的度数为， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，正五边形内接于，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形和圆，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，连接，根据正五边形的性质可得，由，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵五边形为正五边形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，是内接正五边形的一条边，是优弧上的两点，且点在点的右侧．若，则的度数为 ． 【答案】24 【分析】本题考查的是正多边和圆，圆周角定理，三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解题的关键． 连接，，由是内接正五边形的一条边可得出的度数，由圆周角定理即可得出的度数，进而可由三角形内角和定理求解． 【详解】解：连接，， 是内接正五边形的一条边， ， ， ， ， 故答案为：24． 【变式1-3】（2025·江苏扬州·二模）如图，是内接正十边形的一条边，直线经过点且与相切，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质、圆的切线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键．连接、，则，根据正多边形的性质可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，由切线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：如图∶连接、，则， 是内接正十边形的一条边， ． ∶． 由切线的性质可得， ． 故选∶B． 【题型2 正多边形和圆有关的周长、面积问题】 【例2】（2025·山西·一模）如图，正八边形内接于，连接，．若的半径为2，则线段，与围成的图形（阴影部分）面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形与圆，求解扇形面积，三角形的中线等分三角形面积，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，连接，交于点，连接，，可得过圆心，，进一步求解，结合可得答案． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，， ∵正八边形内接于， ∴过圆心，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【变式2-1】（2025·江苏苏州·二模）莱洛三角形广泛应用于建筑、工业、包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为3，分别以和为圆心，3为半径作和交于点，此时阴影部分的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质，弧长公式．连接，，根据作图可得是等边三角形，得到，根据弧长公式求出，，进而即可解答． 【详解】解：连接，， 由作图可得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴阴影部分的周长为． 故答案为：． 【变式2-2】刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．如图，内部多边形为的内接正十二边形，若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为（   ） A．1 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，含角的直角三角形的性质等知识点，解决此题的关键是熟练运用这些知识点． 如图，过点A作于，得到圆的内接正十二边的圆心角为，根据三角形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：由题意可作图如下，过点A作于， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为， ∴， ∴， 即这个圆的内接正十二边形的面积为， 故选：C 【变式2-3】（24-25九年级上·河北廊坊·期末）由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，若该直角三角形最短的边长为1，那么小正六边形的面积为 ，周长为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，连接，证明正三角形，得连接得是等边三角形，求出面积即可得解 【详解】解：连接，如图， ∵六边形是正六边形， ∴ ∴， ∵ ∴在上， 同理可得，在上， ∴三点共线， ∴ ∴ 又 ∴ ∴正三角形， ∴ ∴小正六边形的周长为； 连接则 ∴是等边三角形， ∴ 过点作于点P， ∴ ∴ ∴， ∴小正六边形的面积为， 故答案为：6； 【题型3 正多边形的边长、半径与中心角的关系】 【例3】（2025·安徽合肥·一模）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则 ． 【答案】 【分析】先求出中心角，再根据弧长公式求得半径为2，然后解即可． 【详解】解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆圆与正多边形，中心角的求解，弧长公式，综合性较强，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式3-1】若一个圆内接正多边形的边心距是边长的一半，则这个正多边形的中心角的度数是 ． 【答案】90 【分析】本题考查了圆与正多边形的相关概念，熟练掌握边心距的概念是解题的关键．由题意得，，，根据三线合一得到，那么，继而均为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴这个正多边形的中心角的度数是， 故答案为：90． 【变式3-2】如图，正八边形内接于，连接，则 ． 【答案】90 【分析】本题考查了正多边形与圆，求得正多边形的每个内角度数和中心角度数，相减即可，熟知求得正多边形相关角度是解题的关键． 【详解】解：在正八边形中，每一内角的度数都为， 每一个中心角的度数都为． ． 故答案为：90． 【变式3-3】如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质， 先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型4 正多边形的边长、半径与边心距的关系】 【例4】（24-25九年级上·安徽黄山·期末）如图，正六边形内接于，的周长为，则边心距的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键． 由圆的面积求出，证明是等边三角形，得到，由垂径定理得到，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵的周长为， ∴ ∵六边形为正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式4-1】如图，边长为的正六边形内接于，则它的边心距为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质以及勾股定理进行计算即可．掌握正六边形的性质以及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ∵边长为的正六边形内接于， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴它的边心距为． 故答案为：． 【变式4-2】如图，正六边形内接于，点P在上且点P与点A，点B不重合，连接，，，用等式表示、、之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题考了查正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 由正六边形内接于，得到，，在上截取，根据全等三角形的性质得到，，求得，过作于，根据直角三角形的性质得到，，求得，等量代换得到结论． 【详解】解：正六边形内接于， ，， 在上截取， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 过作于， ，， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，已知的周长等于，则圆内接正六边形的边心距的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，由正六边形可求出，证明是等边三角形，进而可求出，则有，然后通过勾股定理得，设，则，，再由圆周长公式求出的值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵正六边形是圆内接正六边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 设，则，， ∵的周长等于， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【题型5 正多边形和圆有关的尺规作图问题】 【例5】如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 【变式5-1】如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 【答案】答案见解析． 【详解】画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交⊙O于点BD，连结ABCD就是圆内接正四边形ABCD． 试题解析：如图所示，四边形ABCD即为所求： 【变式5-2】尺规作图：如图，AD为⊙O的直径。 (1)求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求：不写作法,保留作图痕迹)； (2)已知连接DF，⊙O的半径为4，求DF的长。 【答案】（1）见解析；（2）4 【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF； （2）连接OF，可得△OFE是等边三角形，边长为4，可求得∠OEF=60°，∠DFE=30°，设BE与DF交于G点，可得∠FGE=90°，即可求得FG的长，进而求得FD的长. 【详解】（1）如图，正六边形ABCDEF为所作； （2）连接OF，设BE与DF交于G点 ∵六边形ABCDEF为正六边形 ∴∠FOE=60°，DF=DE，∠DEF=120° ∴∠DFE=30° ∵OE=OF ∴△FOE为等边三角形 ∴EF=OE=4，∠OEF=60° ∴∠FGE=90° ∴EG=OE=2 ∴FG= ∴FD=2FG= 【点睛】此题主要考查了复杂作图及正多边形的计算，关键是掌握圆的内接正六边形的边长等于圆的半径． 【变式5-3】在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由正多边形的性质证明，可得，再证明是等边三角形，从而可得结论； （2）①按照题干的要求作线段的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作，垂足为P，连接， 证明．结合，，．从而可得结论； 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∴点H，G三等分． （2）①解：如图，即为所求作．    ②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则． 由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴是①所作圆的切线． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的判定，作线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【题型6 正多边形和圆与平面直角坐标系的综合】 【例6】在北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫，如图，已知“雪花”图案（正六边形）的边长是4． （1）如图1，作出“雪花”图案的外接圆，则长为 ； （2）如图2，将“雪花”图案放在平面直角坐标系中，若与轴垂直，顶点的坐标为，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】（1）如图1，令正六边形外接圆的圆心为点，由正六边形可得，是等边三角形，即可得圆的半径等于正六边形的边长，再根据求弧公式求解即可； （2）如图2，连接交于点，交轴于点，由（1）得圆的半径等于正六边形的边长，即可得四边形是菱形，四边形是菱形，根据菱形的性质，可得，，，进而得到轴，轴，利用勾股定理求出的值，再根据点坐标求出，的值，然后点的纵坐标为的值，横坐标为的值，即可得出答案． 【详解】解：（1）如图1，令正六边形外接圆的圆心为点， 雪花是正六边形， 所对的圆心角， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：； （2）如图2，连接交于点，交轴于点， 由（1）得正六边形外接圆的半径等于其边长， 四边形是菱形，四边形是菱形， ，，， 轴， 轴，轴， 在中，， 点坐标为， ，， ， 点的横坐标， 点的纵坐标， 点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与外接圆的关系，求弧的长度，勾股定理，解题关键是掌握正六边形的性质，弧长公式，合理添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求线段长度，并利用线段长度求点坐标． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边长是2，则它的外接圆圆心的坐标是 ． 【答案】. 【分析】过点P作PF⊥OA，垂足为F，计算PF，OF的长度即可. 【详解】如图，过点P作PF⊥OA，垂足为F， ∵正六边形的边长是2， ∴OA=2，∠OPA=60°， ∴OP=2，∠OPF=30°， ∴OF=1，PF=， ∴点P的坐标为（1，）， 故答案为：（1，）. 【点睛】本题考查了正六边形的计算，熟练掌握正六边形的边长等于外接圆的半径，中心角为60°是解题的关键. 【变式6-2】如图，将内接于⊙O的正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，圆心O与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号） 【答案】 【分析】连接BO，CO，则阴影部分的面积等于△OBC的面积，然后由六边形ABCDEF为正六边形可得到△OBC为等边三角形，然后求得△OBC的面积即可． 【详解】如图，连接BO，CO． ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴△OBC是等边三角形． ∵A点的坐标为（−1，0）， ∴OA＝1． ∴BC＝1． ∵OB＝OC，OD⊥BC， ∴∠BOD＝∠COD＝30°，BD＝DC＝， ∴OD＝BD＝． ∴阴影部分的面积＝S△OBC＝×1×＝． 故答案为. 【点睛】本题主要考查的是正多边形和圆，解答本题主要应用了正六边形的性质、等边三角形的性质，发现阴影部分的面积等于△OBC的面积是解题的关键． 【变式6-3】如图，⊙O的半径为2，圆心O在坐标原点，正方形ABCD的边长为2，点A、B在第二象限，点C、D在⊙O上，且点D的坐标为（0，2），现将正方形ABCD绕点C按逆时针方向旋转150°，点B运动到了⊙O上的点B1处，点A、D分别运动到了点A1、D1处，即得到正方形A1B1C1D1（点C1与C重合）；再将正方形A1B1C1D1绕点B1按逆时针方向旋转150°，点A1运动到了⊙O上的点A2处，点D1、C1分别运动到了点D2、C2处，即得到正方形A2B2C2D2（点B2与B1重合），…，按上述方法旋转2020次后，点A2020的坐标为 ． 【答案】（2，﹣1） 【分析】由题意发现旋转12次一个循环，由2020÷12＝168余数为4，推出A2020的坐标与A4相同，由此即可解决问题 【详解】解：如图，由题意发现12次一个循环， ∵2020÷12＝168余数为4， ∴A2020的坐标与A4相同， ∵⊙O的半径为2，正方形ABCD的边长为2， ，， 又， ， ， ∴A4（2，﹣1）， ∴A2020（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化——旋转，属于规律性问题，解决问题的关键是找到旋转的规律． 【题型7 正多边形和圆中的证明】 【例7】如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据圆心角的计算可得，，由此可得，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得，根据三角形内角和可得，根据正十边形的性质，内角和定理可得，由此可得，根据平行线的判定即可求解； （2）根据（1）的计算，可得，，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，则， ∵是内接正十边形的边长， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵内接正十边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多形的性质，多边形内角和定理，圆心角的计算，等腰三角形的性质，同弧所对圆心角与圆周角的关系，平行线的判定等知识，图形结合分析是解题的关键． 【变式7-1】如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 【变式7-2】如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．    (1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF． (2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论； （2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴EF＝ED＝CD＝BC， ∴， ∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB， ∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF； （2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE， 设⊙O的半径为r， ∵∠DOE60°，OD＝OE＝r， ∴△ODE是等边三角形， ∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°， ∴∠EOG＝30°， ∴EGr， ∴OGr， ∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2， ∵⊙O的面积＝πr2， ∴． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 【变式7-3】如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先证明，可得，从而可得结论； （2）作，，证明，，四边形是矩形，从而可得答案． 【详解】（1）证明：连接，正八边形， ∴，     ，， ， ∴． （2）∵，同理可证：，， ∴四边形为等腰梯形， ， 作，， ∵， ， 在中，，， ， 同理可得， ∵，，， ∴四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查的是圆与正多边形的知识，圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握正多边形的性质是解本题的关键． 【题型8 正多边形和圆中的最值问题】 【例8】如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】由正方形的性质，知点是点关于的对称点，过点作，且使，连接交于点，取，连接、，则点、为所求点，进而求解． 【详解】解：的面积为，则圆的半径为，则， 由正方形的性质，知点是点关于的对称点， 过点作，且使， 连接交于点，取，连接、，则点、为所求点， 理由：，且，则四边形为平行四边形， 则， 故的周长为最小， 则， 则的周长的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆的性质、轴对称性质、平行四边形的性质及勾股定理等，确定点、的位置是本题解题的关键． 【变式8-1】如图，点P为⊙上一点，连接OP，且，点A为OP上一动点，点B为⊙上一动点，连接AB，以线段AB为边在⊙内构造矩形ABCD，且点C在⊙上，则矩形ABCD面积的最大值为 ． 【答案】32 【分析】根据当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的，进而求得圆内接正方形的面积，则矩形ABCD面积的最大值为圆内接正方形面积，据此求解即可． 【详解】如图，四边形BCEF是圆O的内接正方形，当圆的半径确定以后，圆内接正方形是圆内接矩形中面积最大的； 点A，D分别是正方形的对边BF，CE的中点， 此时矩形ABCD的面积恰好是正方形BCEF的面积， 圆O的直径PQ恰好经过点A，D， 连接BE ， 四边形BCEF是圆O的内接正方形，OP=4， BE = PQ = 2OP =8，BC = CE， ∠C= 90°， BC2 + CE2 = 2BO2 = BE2 = 8， BC2=32，即S正方形BCEF=32， 如图，当重合时，当四点都在圆上时，四边形是正方形 矩形ABCD面积的最大值为32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，将问题转化为圆内接四边形是解题的关键． 【变式8-2】如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作 ，垂足为，连接.则长的最小值为 . 【答案】 【分析】先求得正方形的边长，取AB的中点G，连接GF，CG，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF有最小值，此时即可求得这个值. 【详解】如图，连接OA、OD，取AB的中点G，连接GF，CG， ∵ABCD是圆内接正方形，， ∴， ∴， ∵AF⊥BE， ∴， ∴， ， 当点C、F、G在同一直线上时，CF有最小值，如下图： 最小值是：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF的最小值是解决本题的关键． 【变式8-3】如图，为等边的外接圆，半径为2，点在劣弧上运动（不与点重合），连接，，． （1）求证：是的平分线； （2）四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由； （3）若点分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值． 【答案】(1)详见解析；(2)是， ；(3) 【分析】(1)根据等弧对等角的性质证明即可； (2)延长DA到E,让AE=DB,证明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面积； (3)作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2，当D1、M、N、D共线时△DMN取最小值，可得t=D1D2，有对称性推出在等腰△D1CD2中,t=，D与O、C共线时t取最大值即可算出． 【详解】(1)∵△ABC为等边三角形,BC=AC， ∴ ,都为圆， ∴∠AOC=∠BOC=120°， ∴∠ADC=∠BDC=60°， ∴DC是∠ADB的角平分线． (2)是． 如图，延长DA至点E，使得AE=DB． 连接EC，则∠EAC=180°－∠DAC＝∠DBC． ∵AE＝DB，∠EAC＝∠DBC,AC＝BC， ∴△EAC≌△DBC(SAS)， ∴∠E=∠CDB=∠ADC=60°， 故△EDC是等边三角形， ∵DC=x，∴根据等边三角形的特殊性可知DC边上的高为 ∴． (3)依次作点D关于直线BC、AC的对称点D1、D2,根据对称性 C△DMN=DM+MN+ND=D1M+MN+ND2． ∴D1、M、N、D共线时△DMN取最小值t,此时t=D1D2, 由对称有D1C=DC=D2C=x，∠D1CB=∠DCB，∠D2CA=∠DCA, ∴∠D1CD2=∠D1CB+∠BCA+∠D2CA=∠DCB+60°+∠DCA=120°． ∴∠CD1D2=∠CD2D1=60°， 在等腰△D1CD2中,作CH⊥D1D2， 则在Rt△D1CH中，根据30°特殊直角三角形的比例可得D1H=， 同理D2H= ∴t=D1D2=． ∴x取最大值时,t取最大值． 即D与O、C共线时t取最大值,x=4． 所有t值中的最大值为． 【点睛】本题考查圆与正多边形的综合以及动点问题，关键在于结合题意作出合理的辅助线转移已知量． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $