第21讲 数列的概念（九大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第二册）

第21讲 数列的概念 【人教A版】 模块一 数列的概念 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以 用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. . 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【题型1 观察法求数列通项】 【例1】（24-25高二下·四川眉山·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据数列的规律性进行判断即可. 【解答过程】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第项的数字是，结合正负性， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定数列前4项的特征写出一个通项公式. 【解答过程】衣题意，， 所以. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知无穷数列的前5项分别为，3，，，11，则此数列的通项公式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用排除法得到数列的通项公式即可. 【解答过程】对于A，，与题意不符，故A错误， 对于B，，， ，，，故B正确， 对于C，，与题意不符，故C错误， 对于D，，与题意不符，故D错误. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二下·吉林通化·开学考试）已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定数列的前几项，利用观察法求出通项公式. 【解答过程】前4项的整数部分依次为， 则第项的整数部分为，分数部分的分子是正奇数，分母是2的项数次幂， 则第项的分数部分为，并且按减加相间将两项连结， 所以. 故选：D. 【题型2 判断或写出数列中的项】 【例2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列，3，，，…，则是该数列的（   ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【答案】C 【解题思路】根据数列的规律，写出通项公式求解. 【解答过程】因为，，，，…， 所以，令，解得. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知数列满足，则是它的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】B 【解题思路】根据项与项数的关系代入计算即可. 【解答过程】因为，解得， 所以是它的第7项. 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二下·陕西·期中）已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 【答案】C 【解题思路】归纳可得该数列的通项公式为，再代入计算可得. 【解答过程】因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为， 所以. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二下·广西防城港·阶段练习）已知数列，则该数列的第100项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过观察得到数列的通项公式，将代入求值即可. 【解答过程】该数列的通项公式为， 所以. 故选：A. 【题型3 根据规律填写数列中的某项】 【例3】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【答案】C 【解题思路】根据题意，得图形1的面积，图形2的面积，图形3的面积 ，以此类推，进而得图形的面积，即可求出第10个图形的面积. 【解答过程】根据题意，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为， 则图形1的面积，图形2的面积， 图形3的面积 ， 图形4的面积 ， 以此类推， 则图形的面积 则第10个图形的面积为． 故选：C. 【变式3.1】（2025·福建厦门·一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（    ） A．51 B．70 C．92 D．117 【答案】C 【解题思路】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数. 【解答过程】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为， 所以五边形数依次为，即第8个数为92. 故选：C. 【变式3.2】（24-25高三上·辽宁·期末）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为（   ） A．162 B．180 C．200 D．220 【答案】C 【解题思路】根据数列已知项可分奇数项和偶数项得规律即可求解. 【解答过程】由数列前10项的规律可知： 当为偶数时，；当为奇数时， ， 所以， 故选：C. 【变式3.3】（2025高二·全国·专题练习）如果数列，，，，中的每一项都可用如图所示的图形表示出来，那么这个数列的第8项为（   ） A．70 B．92 C．105 D．118 【答案】B 【解题思路】解法1：从数列的项和项之间的关系角度找规律求解即可； 解法2：从图形角度找规律求解即可． 【解答过程】解法1：从1，5，12，22中可以得到规律，后三项是各自前一项依次加，，， 则此数列的第8项应为． 解法2：从图形角度，第二个图形可以看成一个点加上一个正方形数，即； 第三个图形可以看成三角形数“”和正方形数“”的和，即 ． 同理得第四个图形表示的数为 ， 以此类推，可知第八个图表示的数为. 故选：B． 【题型4 根据数列的递推关系式求通项或项】 【例4】（24-25高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项公式即可. 【解答过程】数列中，，因此， 则数列是常数列，于是，， 所以. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高一下·陕西榆林·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可得数列为首项为3的常数列，从而可得出答案. 【解答过程】由题意得，即 所以数列是以首项为的常数列， 则，得. 故选：A. 【变式4.2】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）数列中，，（n为正整数），则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合递推式特征，得到为常数列可得答案. 【解答过程】因为，所以， 则有，得，故. 故选：A. 【变式4.3】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列{}满足 （n∈N*），则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知条件，应用作差法可得，进而求得数列{}的通项公式，注意验证是否满足通项公式. 【解答过程】由题设， ①，则 ②， ①-②得： ， 所以 ，由①知也满足上式，故（n∈N*）. 故选：C. 【题型5 累加法、累乘法求数列通项】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意利用递推关系式由累加法计算可求得. 【解答过程】因为，所以， 所以当时，，，…，， 累加可得， 因为，所以，当时，，满足上式， 所以， 故选：B． 【变式5.1】（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【解答过程】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课后作业）（1）已知数列满足，，，求数列的通项公式. （2）在数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）先将递推公式化为，再利用累加法求通项公式； （2）先将递推公式化为，再利用累乘法求通项公式. 【解答过程】（1） ， ， 将以上个式子相加，得 ， 即. . 又当时，也符合上式， 故数列的通项公式为. （2）因为，，所以， 所以 又因为当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为. 【变式5.3】（24-25高二下·全国·课后作业）求下列数列的通项公式． (1)已知满足，，求数列的一个通项公式（已知）； (2)已知数列满足，，求数列的一个通项公式． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用累加法求解即可； （2）利用累乘法求解即可. 【解答过程】（1）， ，，，…，． 将以上个等式相加， 得， 即， ，， 而也适合上式，； （2）， ， 则， 又，， 而也适合上式，． 【题型6 求数列的前n项和】 【例6】（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知数列的前项和为，，且，则（   ） A．1012 B．2024 C． D．2025 【答案】C 【解题思路】根据的关系可得，即可通过列举发现周期性，进而可求解. 【解答过程】由可得，故， 由可得 故是周期为3的周期数列，且， 故， 故选：C. 【变式6.1】（24-25高二下·山东德州·期末）已知数列的前项和为，若，则的前10项和为（   ） A．32 B．41 C．52 D．65 【答案】C 【解题思路】由题设结合的关系求出数列的通项公式，求出的前10项，进而可得答案． 【解答过程】因为， 当时，； 当时，， 经检验也适合上式， 所以. 故数列的前10项为：， 则的前10项和为. 故选：C. 【变式6.2】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，，求及. 【答案】，. 【解题思路】利用递推关系，可构造出常数数列，即可求得，再次利用递推关系可求得. 【解答过程】时，由，得， ，即， ， 数列是首项为2021的常数列， ，即， 时，， 又满足上式，. 综上，，. 【变式6.3】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足， ，求该数列的前100项的和． 【答案】134 【解题思路】根据数列的递推关系求得数列以3为周期，且一个周期的三项之和为4，利用周期性求和即可. 【解答过程】由，， 可得 ，，，，，，， 所以数列以3为周期，且一个周期的三项之和为4， 所以有 ． 模块二 数列的性质 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【题型7 数列的单调性的判断与求参】 【例7】（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合数列的单调性判断即可. 【解答过程】因对于数列，取，显然不是递增数列， 所以“”不是“为递增数列”的充分条件， 若为递增数列，则， 所以“”是“为递增数列”的必要条件， 所以“”是“为递增数列”的必要而不充分条件， 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由递增数列得，化简即可求的取值范围. 【解答过程】因为为递增数列，所以， 因为，所以， 化简可得， 因为在上单调递增，且恒大于0， 则在上单调递增， 则数列单调递增，因为，所以当时，，所以. 故选：A. 【变式7.2】（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据，可得，两式相除可得，两边取对数并构造常数列，即可求得答案. （2）由（1）的结论，求出，再根据单调数列的意义列式求解即得. 【解答过程】（1）由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得， 于是，即，两边取对数得， 即，整理得， 因此数列是常数列，即，于是， 所以. （2）由（1）知，， 由数列为递增数列，得， 即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号， 所以实数k的取值范围是. 【变式7.3】（24-25高二上·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据与的关系可得，即可求解； （2）利用作商法即可证明. 【解答过程】（1）因为①， 当时，. 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，. （2）由（1）知，，易知， 则， 又对一切恒成立，所以， 即对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 【题型8 数列的最大（小）项】 【例8】（24-25高二下·广东珠海·期中）已知数列满足，则数列的最小项是第（    ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解题思路】根据给定的递推公式，探讨数列单调性求出最小项. 【解答过程】数列中，由，得，由，得， 则当时，；当时，， 即， 所以数列的最小项是第6项. 故选：B. 【变式8.1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解题思路】设数列的最大项为,由求解. 【解答过程】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 【变式8.2】（2025高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为 ，求数列的最大项． 【答案】最大项为． 【解题思路】法一：用作差法判断数列的单调性，找到最大项； 法二：空前绝后法得到数列的最大项. 【解答过程】法一：． 当时，；当时，． 因此， 所以数列的最大项为． 法二：设数列的最大项为，则，即，解得， 因为，所以， 故数列的最大项为． 【变式8.3】（24-25高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 【答案】(1)； (2)最大项为，最小项为. 【解题思路】（1）根据题干已知条件并结合公式，即可计算出数列的通项公式. （2）由（1）可得数列是单调递增数列，进而求出负数项、正数项对应的n值，再由单调性求出数列中的最大项和最小项. 【解答过程】（1）数列中，， 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则数列是单调递增数列， 由，得，即当时，，当时，， 而，因此当时，，且数列单调递减，即； 当时，，且数列单调递减，即， 所以数列中的最大项为，最小项为. 【题型9 数列周期性的应用】 【例9】（25-26高二上·甘肃白银·期中）设数列满足，且，则（    ） A．2 B．-3 C． D．3 【答案】A 【解题思路】由数列的周期性求值. 【解答过程】因为，， 所以，，，. 数列的周期为4，因为，所以. 故选：A. 【变式9.1】（2025高三·全国·专题练习）在数列中，若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合递推关系和首项，求出数列得前几项，归纳出数列周期为4，结合周期性求解. 【解答过程】因为且， 所以， ， ， ， ， 所以是以4为周期的周期数列， 所以. 故选：A. 【变式9.2】（24-25高二下·山西长治·期中）已知数列满足，，则此数列前2025项的和为（   ） A． B．2025 C． D．4050 【答案】A 【解题思路】利用递推关系求得数列的前几项，可得数列是以3为周期的周期数列，进而可求得数列前2025项的和. 【解答过程】由，，解得，又，解得， 又，解得，所以数列是以3为周期的周期数列， 所以 所以. 故选：A. 【变式9.3】（24-25高二下·贵州遵义·期中）若数列满足，且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据通项确定数列的周期即可求解. 【解答过程】因且，则， 而，故数列为周期为的周期数列， . 故选：B. 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北孝感·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析题干数列可知是交替出现的数列，逐个分析各个选项是否满足交替出现即可得出答案. 【解答过程】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写， 对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误； 对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确； 对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误； 对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误； 故选：B. 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【解题思路】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据周期性可得结果. 【解答过程】由，，则，， 所以， 所以数列数列是周期为3的周期数列，则. 故选：B. 3．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段练习）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（    ） A．18 B．20 C．32 D．66 【答案】B 【解题思路】由题可知当是64的因数时，是整数，计算依次判断即可. 【解答过程】因为， 所以当是64的因数1，2，4，8，16，32，64时，是整数， 当或时，，故D错误； 当或时，，故C错误； 当或时，，故B正确； 当时，，故A错误． 故选：B． 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列：1，1，2，3，…满足，则21是该数列的第（   ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】可根据已知的递推公式，结合数列的前几项，依次计算出数列的后续项，直到找到数值为21的项，从而确定其项数. 【解答过程】; ; ; ; ; ; 故可知21为数列的第8项， 故选：. 5．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用单调数列的定义判断即得. 【解答过程】数列中，，则， 即，所以数列为递减数列. 故选：B. 6．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，则数列的前13项和为（   ）． A．2 B．8 C．12 D．14 【答案】B 【解题思路】利用递推式判断数列的周期性，进而求和即可. 【解答过程】因为，所以， 则，， ，， 可得数列是周期为3的周期数列，且设前项和为， 则，故B正确. 故选：B. 7．（24-25高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 【答案】C 【解题思路】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为求解. 【解答过程】解：如图， 称为五边形数， 从第二项起，后项与前项的差依次为， 所以五边形数的第5项为， 故选：C. 8．（25-26高二上·四川成都·阶段练习）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意得，进而得的单调性，即可判断A，当时，，即可判断B，由即可判断C，由，即可判断D. 【解答过程】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，，所以，故D正确. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）数列的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】代入验证即可求解. 【解答过程】对于A项，分别把代入，即得与数列相符，故A项正确； 对于B项，把代入，即得与数列不符，故B项错误； 对于C项，分别把代入，即得，故C项正确； 对于D项，把代入，即得，与数列不符，故D项错误. 故选:AC. 10．（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【解题思路】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【解答过程】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC. 11．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．数列的最小值为 C．数列为递减数列 D．当时，n的最大值为8 【答案】ABD 【解题思路】本题根据给定的递推数列逐项递推可求出，从而判断选项A，采用累加法可求出数列的通项公式，再根据二次函数的性质可判断选项B、C、D是否正确. 【解答过程】对于A，当时，，所以， 当时，，故，A项正确； 对于B，由，得当时， ， 将以上各式相加得， 所以， 又当时符合上式，所以， 由二次函数的性质可知不为递减数列，C项错误； 对于B，因为， 所以当或时，取得最小值，B项正确； 对于D，当时，，解得，所以当时，的最大值为8，D项正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列满足，，则 ． 【答案】 【解题思路】根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求 ． 【解答过程】，， ， ， ， 数列是以为周期的周期数列， 所以． 故答案为：． 13．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【解题思路】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【解答过程】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 14．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【答案】 【解题思路】分别观察分子和分母的规律可得通项. 【解答过程】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据前四项数列形式，总结规律即可得到其通项. 【解答过程】（1）从数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式是． （2）从数列的前4项，，，中发现规律，其每一项的符号按照的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的通项公式为． （3）从该数列的前4项，，，中发现规律， 由，，，，， 可以联想常见数列，，，，， 它的通项公式为， 因此该数列的通项公式为 ． （4）从该数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式为 ． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是数列的第10项． 【解题思路】（1）利用给定的递推公式，代值计算即可. （2）利用方程的正整数解即可得解. 【解答过程】（1）数列中，，， 所以. （2）若为数列中的项，则， 即，整理得，而，解得， 所以是数列的第10项. 17．（2025高二下·全国·专题练习）设数列的前项和为，且，． (1)求； (2)求的通项． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用前项和与通项公式的关系得到，再结合赋值法求解即可. （2）结合已知结论得到，再利用累乘法求出，最后得到即可. 【解答过程】（1）由题意得，，则， 显然，则，当时，有， 故，化简得， 即，令，得到. （2）由已知得当时，， 则，且， 当时，， 故（） 当时，也符合上式，故数列的通项为. 18．（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据与的关系即可求解； （2）由（1）得，通过作差法比较与的大小，从而得到数列的单调性，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，解得； 当时，，即. 因为也满足，所以. （2）由（1）得，所以， 所以当时，，即； 当时，，即； 当时，，即， 所以， 故当或时，取得最大值. 19．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析. 【解题思路】（1）由通项公式与前n项和关系可得通项公式； （2）由（1）可得，由作差法可判断数列单调性，据此可完成判断. 【解答过程】（1）当时，， 当时，. 又注意到，符合上式，则； （2）即判断是否成立，由（1）可得，， 则 ，则当时，；时，. 则在时，取最大值，则，因， 则不存在正整数m，使得成立. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 数列的概念 【人教A版】 模块一 数列的概念 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4．数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式. 如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以 用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 6．数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. . 7．数列的通项公式的求解方法 (1)由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式. (2)由数列的递推关系求通项公式： ①累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项. ②累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项. ③构造法：分析题干条件所给的递推关系式，构造合适的新数列，即可求出通项. 类型一：形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键. 类型二：形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解. 【题型1 观察法求数列通项】 【例1】（24-25高二下·四川眉山·期末）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）数列的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知无穷数列的前5项分别为，3，，，11，则此数列的通项公式可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二下·吉林通化·开学考试）已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【题型2 判断或写出数列中的项】 【例2】（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列，3，，，…，则是该数列的（   ） A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项 【变式2.1】（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知数列满足，则是它的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【变式2.2】（24-25高二下·陕西·期中）已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 【变式2.3】（24-25高二下·广西防城港·阶段练习）已知数列，则该数列的第100项为（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据规律填写数列中的某项】 【例3】（25-26高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（    ）    A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【变式3.1】（2025·福建厦门·一模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（    ） A．51 B．70 C．92 D．117 【变式3.2】（24-25高三上·辽宁·期末）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则此数列的第20项为（   ） A．162 B．180 C．200 D．220 【变式3.3】（2025高二·全国·专题练习）如果数列，，，，中的每一项都可用如图所示的图形表示出来，那么这个数列的第8项为（   ） A．70 B．92 C．105 D．118 【题型4 根据数列的递推关系式求通项或项】 【例4】（24-25高二下·北京·期中）已知数列满足，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一下·陕西榆林·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）数列中，，（n为正整数），则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）已知数列{}满足 （n∈N*），则=（    ） A． B． C． D． 【题型5 累加法、累乘法求数列通项】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二下·广东深圳·阶段练习）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二下·全国·课后作业）（1）已知数列满足，，，求数列的通项公式. （2）在数列中，，，求数列的通项公式. 【变式5.3】（24-25高二下·全国·课后作业）求下列数列的通项公式． (1)已知满足，，求数列的一个通项公式（已知）； (2)已知数列满足，，求数列的一个通项公式． 【题型6 求数列的前n项和】 【例6】（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知数列的前项和为，，且，则（   ） A．1012 B．2024 C． D．2025 【变式6.1】（24-25高二下·山东德州·期末）已知数列的前项和为，若，则的前10项和为（   ） A．32 B．41 C．52 D．65 【变式6.2】（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，，求及. 【变式6.3】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足， ，求该数列的前100项的和． 模块二 数列的性质 1．数列的性质 (1)单调性 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. (2)周期性 如果对所有的，都有an+k=an (k为正整数)，那么称{an}是以k为周期的周期数列. (3)有界性 如果对所有的，都有，那么称{an}为有界数列，否则称{an}为无界数列. 2．数列周期性问题的解题策略： 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 3．求数列最大项与最小项的常用方法 (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【题型7 数列的单调性的判断与求参】 【例7】（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7.1】（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 【变式7.3】（24-25高二上·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【题型8 数列的最大（小）项】 【例8】（24-25高二下·广东珠海·期中）已知数列满足，则数列的最小项是第（    ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式8.1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式8.2】（2025高二·全国·专题练习）已知数列的通项公式为 ，求数列的最大项． 【变式8.3】（24-25高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 【题型9 数列周期性的应用】 【例9】（25-26高二上·甘肃白银·期中）设数列满足，且，则（    ） A．2 B．-3 C． D．3 【变式9.1】（2025高三·全国·专题练习）在数列中，若，则 （    ） A． B． C． D． 【变式9.2】（24-25高二下·山西长治·期中）已知数列满足，，则此数列前2025项的和为（   ） A． B．2025 C． D．4050 【变式9.3】（24-25高二下·贵州遵义·期中）若数列满足，且，则（   ） A．3 B．4 C． D． 一、单选题 1．（24-25高二下·湖北孝感·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 3．（25-26高二上·甘肃酒泉·阶段练习）已知数列的通项公式是，则下列各数是的项的是（    ） A．18 B．20 C．32 D．66 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列：1，1，2，3，…满足，则21是该数列的第（   ）项 A．7 B．8 C．9 D．10 5．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 6．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列满足，则数列的前13项和为（   ）． A．2 B．8 C．12 D．14 7．（24-25高二上·广东清远·期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 8．（25-26高二上·四川成都·阶段练习）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·甘肃·阶段练习）数列的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏南通·阶段练习）下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 11．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．数列的最小值为 C．数列为递减数列 D．当时，n的最大值为8 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列满足，，则 ． 13．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是 ． 14．（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列的通项公式为． (1)计算的值； (2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由． 17．（2025高二下·全国·专题练习）设数列的前项和为，且，． (1)求； (2)求的通项． 18．（2025·云南红河·三模）已知为数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)若，求取得最大值时的值. 19．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，问是否存在正整数m，使得成立，并说明理由. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $