4.4：对数函数【十二大题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册《考点•题型 •技巧》

4.4：对数函数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 知识点二　对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 知识点三　不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 【题型归纳】 题型一、对数函数的概念及应用 【例1】．（25-26高一上·全国）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【变式2】．．（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二、对数函数的定义域 【例2】．．（24-25高一上·湖北恩施·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型三：对数函数的值域问题 【例3】．．（22-23高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．．（23-24高一上·天津南开·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型四：根据对数的值域求参数问题 【例4】．．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五、对数函数的图象问题 【例5】．．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．．（2025·湖南·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 题型六：对数函数的复合单调性问题 【例6】．．（25-26高三上·山西太原·月考）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．．（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．．（2025高二下·浙江·学业考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 题型七：由对数型函数的单调性求参数 【例7】．．（2025·河南·模拟预测）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八：由对数函数的单调性解不等式 【例8】．．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 题型九：比较大小 【例9】．．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）设 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．．（25-26高三上·天津红桥）若 则a，b，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型十：对数函数的最值问题 【例10】．．（22-23高一上·全国·单元测试）若函数，且在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．．（24-25高一上·安徽·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．．（24-25高一上·天津河东·阶段练习）已知函数 在区间的最大值与最小值的和，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型十一：对数函数性质问题 【例11】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 【变式1】．．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【变式2】．．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数 题型十二、对数函数综合问题 【例12】．．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明. 【变式1】．．（2025高一上·吉林·专题练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 【变式2】．．（25-26高一上·山东济南·阶段练习）已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解不等式； (3)求函数的值域和单调区间. 【变式3】．．（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【高分演练】 一、单选题 1．（2025·广西·模拟预测）已知函数，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 3．（25-26高一上·江苏扬州·阶段练习）设，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·福建·阶段练习）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数（且）的图象恒过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．（24-25高一下·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数，下列有关函数说法正确的是（    ） A． B．最小值为 C．最小值为 D．单调递增区间为 12．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 13．（25-26高一上·全国·单元测试）下列结论正确的是（   ） A．函数是对数函数 B．函数在上单调递增 C．若，则 D．函数且的图象必过定点（） 14．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则是增函数 C．不存在实数，使得为偶函数 D．若的值域为，则的取值范围为 15．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）函数为奇函数，函数（    ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 三、填空题 16．（2025高一上·广东·专题练习）已知函数，若，则的取值范围是 ． 17．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 18．（24-25高一上·贵州遵义·期中）已知，，，比大小 ． 19．（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数，其中． （1）当时， ． （2）若有最大值，则的取值范围为 ． 四、解答题 20．（25-26高一上·全国·单元测试）已知（，且）． (1)判断的奇偶性； (2)若在区间内的最大值为2，求． 21．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求实数x的取值范围． 22．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 23．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是偶函数，且当时，. (1)求当时的解析式； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 24．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 25．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数（且）的图象过点. (1)求； (2)当时，存在偶函数和奇函数，使得. （i）求和的解析式； （ii）求不等式的解集. 26．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4：对数函数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 知识点二　对数函数的图象和性质 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： y＝logax (a>0，且a≠1) 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 共点性 图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0 函数值特点 x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 知识点三　不同底的对数函数图象的相对位置 一般地，对于底数a>1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在区间(1，＋∞)内，底数越小越靠近x轴． 【题型归纳】 题型一、对数函数的概念及应用 【例1】．（25-26高一上·全国）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义，即可判断. 【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A 【变式1】．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过点（8，3），则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将点代入函数解析式计算求得，即，即，再代入，即可得到答案． 【详解】因为函数的图象过点，所以，即， 则，解得，所以，则， 故选:B． 【变式2】．．（24-25高一上·全国·课前预习）函数是对数函数，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】需要满足对数函数的系数为，同时对数函数的底数要满足大于且不等于，真数大于等条件，然后据此逐步求出的值. 【详解】由解得或，又，且，所以 故选：B. 题型二、对数函数的定义域 【例2】．．（24-25高一上·湖北恩施·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C 【变式1】．．（25-26高一上·全国·课前预习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数式有意义的条件即可求出四个选项中函数的定义域，即可得解. 【详解】对于A选项：令，解得或， 则定义域为，故A错误； 对于B选项：令，解得，定义域为，故B正确； 对于C选项：因为，所以，定义域为，故C错误； 对于D选项：令，解得，定义域为，故D错误． 故选：B. 【变式2】．．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义域及指数函数定义域计算求解. 【详解】由题意得，即得，解得． 故选：A. 题型三：对数函数的值域问题 【例3】．．（22-23高一上·陕西商洛·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意可知，解得； 易知函数的定义域为； 又是由函数和复合而成的， 由对数函数单调性可知在定义域内单调递减， 而二次函数开口向上，关于对称， 因此在上单调递增，在上单调递减； 由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增； 因此在处取得最大值，即， 可得的值域为. 故选：C 【变式1】．．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 【变式2】．．（23-24高一上·天津南开·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求的范围，结合对数的性质求复合函数定义域，判断端点值是否可取，进而确定值域. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 而，所以， 所以，故值域为. 故选：D 题型四：根据对数的值域求参数问题 【例4】．．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出在区间上的值域，要使的值域为R，只需在区间上的值需取遍区间内所有值，列出关于的不等式组可得答案. 【详解】由题知，在区间上单调递增， ∴在区间上的值域为， 时，， 其对称轴为，要使的值域为R， 则在区间上的值需取遍区间内所有值， ，解得. 故选：C． 【变式1】．．（24-25高一上·天津南开·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解的值域，结合的值域为，分析的单调性、值域即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，故， 又因为的值域为， 则的值域包含， 所以，解得. 故选：D. 【变式2】．．（2025·湖北宜昌·二模）已知，函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数与对数函数性质结合题意列式计算即可. 【详解】当时，函数单调递增，所以， 要使得函数的值域为， 则当时，，解得，所以实数的取值范围是 故选：D. 题型五、对数函数的图象问题 【例5】．．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知且，则函数与函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指对函数的图象特征分和判断. 【详解】当时，在R上单调递减且恒过 ，在 上单调递减且恒过 ，B不符合，D符合， 当时, 在R上单调递增且恒过，在 上单调递增且恒过，A、C不符合. 故选：D. 【变式1】．．（2025·湖南·一模）已知，且，则函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论. 【详解】由可知，， 故，故函数与函数的单调性相同， 故选：B. 【变式2】．．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时函数值为正即可判断. 【详解】因，由可得，显然关于原点对称， 且，所以是奇函数，故C，D错误； 又因为．故可排除B项，A项符合要求． 故选：A. 题型六：对数函数的复合单调性问题 【例6】．．（25-26高三上·山西太原·月考）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数函数的定义域得到，再结合复合函数的性质求解单调区间即可. 【详解】由，解得， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 由对数函数性质得在上单调递增， 则的单调递增区间是，故A正确. 故选：A. 【变式1】．．（24-25高一上·广东揭阳·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数“同增异减”可得到结果. 【详解】因为函数，则， 解得或，所以函数的定义域为， 令，则函数在定义域上为单调递减函数， 而在上单调递减，在单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则可得的单调递减区间为. 故选：A. 【变式2】．．（2025高二下·浙江·学业考试）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】由奇偶函数定义结合复合函数单调性可得答案. 【详解】因，则，即定义域关于原点对称， 又令，则为偶函数. 又， 当，， 在上单调递增，又在上单调递增，则在上单调递增. 故选：A 题型七：由对数型函数的单调性求参数 【例7】．．（2025·河南·模拟预测）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性与对数函数，二次函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数，在上单调递增， 所以，即. 所以实数的取值范围是. 故选：D 【变式1】．．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的单调性和定义域求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 故选：B 【变式2】．．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数在上单调递减，得，解得，所以的取值范围是. 故选：C 题型八：由对数函数的单调性解不等式 【例8】．．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：利用，根据对数型函数的单调性和定义域要求，列不等式求解即可，方法二：特殊值法． 【详解】方法一：因为，所以不等式化为， 又在上是增函数， 所以，解得， 即不等式的解集为． 方法二：当时，无意义，排除C，D； 当时，无意义，排除B. 故选：A. 【变式1】．．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【详解】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A 【变式2】．．（24-25高一下·陕西汉中·阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性结合给定区间上的函数解析式，确定函数的单调性，借助于特殊值替代，利用单调性即可求解抽象不等式. 【详解】因为当时，，则，且函数在上单调递增， 则由可得，利用函数的单调性可得； 又是定义在R上的奇函数，故； 当时，，则，因，则， 函数在上单调递增且， 则由可得，利用单调性可得. 综上可得，不等式的解集是. 故选：A. 题型九：比较大小 【例9】．．（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）设 则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解. 【详解】因为 所以， 故选：A 【变式1】．．（25-26高三上·天津红桥）若 则a，b，c之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由指数函数以及指数函数的单调性，即可得到的范围，从而得到结果. 【详解】因为，即， ，即， ，即， 所以. 故选：B 【变式2】．．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的单调性，分别得出，，又，故可以得出大小关系. 【详解】由于， 所以，又， ，所以． 故选：C. 题型十：对数函数的最值问题 【例10】．．（22-23高一上·全国·单元测试）若函数，且在区间上的最大值和最小值的和为，则函数在区间上的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数的性质有求参数a，再由单调性求最小值. 【详解】由题设，，可得， 所以在上递减，故其最小值为. 故选：B 【变式1】．．（24-25高一上·安徽·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式，变形为， 当时， 令，则，此时原不等式不成立；当时，令，由在单调递增，在单调递减，所以在单调递增， 故当时，取得最大值为，由，解得，所以. 故选：B. 【变式2】．．（24-25高一上·天津河东·阶段练习）已知函数 在区间的最大值与最小值的和，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】令，转化为求在上的最大值、最小值可得答案. 【详解】当时，令， 则，为开口向上、对称轴为的抛物线， 在上单调递增， 所以当时有最小值，为， 当时有最大值，为， 可得，解得. 故选：B. 题型十一：对数函数性质问题 【例11】（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 【答案】C 【分析】根据真数大于0，化简计算，即可判断A的正误；根据复合函数单调性“同增异减”，可判断B的正误；根据x的范围，可求得真数的范围，根据对数函数性质，可判断C的正误；根据奇函数的定义，化简整理，即可判定D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：由题意，即， 所以，即，解得，故A正确； 选项B：令， 当时，单调递减， 所以在上单调递增， 又当时，函数在上单调递增， 根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确； 选项C：因为，所以， 则，所以， 则， 所以值域为，故C错误； 选项D：因为定义域为关于原点对称，且， 所以， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确. 故选：C 【变式1】．．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C 【变式2】．．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）关于函数的单调性的说法正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在区间上是减函数 D．在区间上是增函数 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性可得出结论. 【详解】对于函数，有，可得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数在区间上是增函数. 故选：D. 题型十二、对数函数综合问题 【例12】．．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性； (3)若，判断函数在内的单调性并用定义证明. 【详解】（1）由题意得，，解得， 所以函数的定义域为. （2）由， 则，故函数为偶函数. （3）由，则， 函数在上单调递减，证明如下： 任取， 则，即， 所以函数在上单调递减. 【变式1】．．（2025高一上·吉林·专题练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断奇偶性，并加以证明； (3)若，求实数的取值范围. 解得，所以函数定义域为； （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （3）， 则，化简得 ， 解得或， 故实数的取值范围为或. 【变式2】．．（25-26高一上·山东济南·阶段练习）已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)解不等式； (3)求函数的值域和单调区间. 【详解】（1）， 若函数是偶函数，所以， 所以， 即，则， 即，得，得； （2）， 所以不等式为， 所以， ，得， ，得，即， 得，即， 综上可知； 所以不等式的解集为； （3），得，得， 函数的对称轴是，最大值为2， ，，，所以， 根据复合函数的单调性可知，单调递增区间是，单调递减区间是， 函数的值域是. 【变式3】．．（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【详解】（1）由题意得，因式分解得，解得或， 即函数定义域为. （2）因为在上单调递增，所以当 在上单调递增时，函数在单调递增且， 因为是对称轴为直线，开口向上的二次函数， 则，解得， 所以的取值范围为. （3）对任意，存在，使得不等式成立，即任意，恒成立， 由， 当时，，则，所以， 可得任意，恒成立，即恒成立， 等价于恒成立； 因为在上单调递增，即在恒成立即可， 即在恒成立， 由对勾函数可知在上单调递减，所以； 可得时在恒成立； 所以的取值范围为. 【高分演练】 一、单选题 1．（2025·广西·模拟预测）已知函数，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数性质代入求出，再代入计算即可求得结果. 【详解】由函数可知， 所以. 故选：A. 2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】分和，结合函数的单调性得到方程，求出答案. 【详解】若，则在上单调递增， 故，解得，满足要求； 若，则在上单调递减， 故，解得，不符合要求； 综上，. 故选：C 3．（25-26高一上·江苏扬州·阶段练习）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数，对数的运算法则，化简并比较大小即可. 【详解】由，即. 故选：C 4．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用性质求解不等式. 【详解】由题知函数的定义域为，，所以为偶函数， 当时，和均为增函数，所以在上单调递增， 故由可得，解得. 故选：B. 5．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数奇偶性及特殊点函数值即可判断. 【详解】由，可得定义域为， 又， 函数为偶函数，故排除D， 又，结合图像可排查BC， 故选：A 6．（25-26高三上·福建·阶段练习）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数、复合函数的单调性，对数函数的定义域计算求解. 【详解】因为函数在上单调递减， 且函数在上单调递增， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 7．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义及单调性求解即可. 【详解】由对数函数的概念得，解得或， 由，得，即在单调递减， 则，所以． 故选：B. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数（且）的图象恒过点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先求得的图象所过定点的坐标得的值，再代入计算即可. 【详解】令，得，， 所以（且）的图象过定点， 即. 所以． 故选：C. 9．（24-25高一下·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，利用函数的单调性解不等式，再利用是偶函数解不等式即可. 【详解】由对数函数和一次函数的单调可得是增函数，且， 所以当时，的解集为， 因为是奇函数，易知是偶函数，当时，可得， 根据偶函数知：当时，可得， 故选：A. 10．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分段函数的单调性结合对数函数单调性列式求解即可. 【详解】因为当时，为减函数，且时，. 又因为在上为单调函数，所以只能为单调递减函数， 所以解得， 故选:D. 二、多选题 11．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数，下列有关函数说法正确的是（    ） A． B．最小值为 C．最小值为 D．单调递增区间为 【答案】AC 【分析】将代入函数解析式求值判断A；令，利用换元法求得最值判断BC；再结合二次函数的单调性以及对数函数的单调性求得递增区间判断D. 【详解】函数， 所以，故A正确； 由对数函数性质可得的定义域为，令， 即可化为， 因为，， 所以时，有最小值，无最大值，故B错误；C正确； 由二次函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 由对数函数性质可得在上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 令，解得，则在上单调递增， 综上，的单调增区间为，单调减区间为，故D错误. 故选：AC 12．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】对A，由真数大于0，解不等式组求定义域；对B和C，通过复合函数单调性判断；对D，由与关系判断. 【详解】对于A：令，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B和C：函数， 令，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误； 对于D：因为， ， 所以， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 故选：ABD. 13．（25-26高一上·全国·单元测试）下列结论正确的是（   ） A．函数是对数函数 B．函数在上单调递增 C．若，则 D．函数且的图象必过定点（） 【答案】BCD 【分析】由对数函数的定义判断A；直接根据对数函数的单调性判断B；先根据对数函数的单调性可得，再结合幂函数的性质判断C；根据指数函数的定点求解判断D. 【详解】由对数函数的定义知，故A错误； 当时，因为，所以在上单调递增，故B正确； 因为在上单调递增，所以当时，有， 又在上单调递增，所以，故C正确； 因为指数函数（且）的图象恒过点， 令，得，此时， 所以原函数的图象必过定点，故D正确． 故选：BCD. 14．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则是增函数 C．不存在实数，使得为偶函数 D．若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】应用对数运算计算判断A；应用复合函数单调性判断B；反证法判断偶函数即可求参判断C；应用对数函数值域计算得出参数判断D. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：若，函数，函数，都是定义域上的增函数， 则由复合函数的单调性知，在定义域内是增函数，B选项正确； 对于C：若存在实数，使得为偶函数，则， 即， ， 而偶函数定义要求等式对定义域内所有成立，不仅仅是， 故不存在实数使得为偶函数， 所以不存在实数，使得为偶函数，C选项正确； 对于D：若的值域为，则要取遍所有正数， 所以或，解得，D选项错误； 故选：ABC. 15．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）函数为奇函数，函数（    ） A．实数的值的值为2 B．函数为上的单调递增函数 C．不等式的解集为 D．若对，总，使得成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A，由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，对于B，利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性；对于C，利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可；对于D，分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】对于A，对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立，故A错误； 对于B，由（1），则，是定义域上的增函数，证明如下： 对任意的、且，则， 由可得， 故函数为上的增函数，故B正确； 对于C，因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 根据B项，可得，可得，即， 因为，则，解得，即原不等式的解集为，故C正确； 对于D，因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 故函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 16．（2025高一上·广东·专题练习）已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 17．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的值域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】首先由的值域为求出函数的定义域，进而求得的定义域. 【详解】因为的值域为，可得，即， 所以的定义域为， 故函数应满足，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 18．（24-25高一上·贵州遵义·期中）已知，，，比大小 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由于，故， ，故， 因此. 故答案为： 19．（25-26高三上·北京·开学考试）已知函数，其中． （1）当时， ． （2）若有最大值，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式求函数值，可得空1的答案；数形结合，可得空2的答案. 【详解】（1）当时，，， 所以. （2）在同一坐标系内作函数和的图象，如下图： 由图可知，函数与的图象只有一个交点，且. 所以当时，函数才有最大值. 故答案为：； 四、解答题 20．（25-26高一上·全国·单元测试）已知（，且）． (1)判断的奇偶性； (2)若在区间内的最大值为2，求． 【答案】(1)是偶函数 (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）根据复合函数的单调性，结合题设讨论求解即可. 【详解】（1）由题意得解得， 则的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是偶函数． （2）， ①当时，函数在上单调递增， 则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最大值为， 因为在区间单调递减， 所以， 解得（负值舍会），与矛盾，舍去； ②时，函数在上单调递减， 则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最小值为， 因为在区间单调递减， 所以，解得（负值舍会），满足． 综上，． 21．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求实数x的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）由单调性的定义说明即可； （2）首先说明是奇函数，再结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）在上单调递增． 证明如下：令，解得，所以的定义域为．设， 得． 因为，所以， 得，所以在上单调递增． （2），定义域为，，所以是奇函数． 所以原不等式可化为，即， 又在上单调递增，所以，解得， 所以x的取值范围为． 22．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数满足． (1)当时，解不等式； (2)设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，由的单调性，即可求解； （2），，由单调性求出在区间上的最大值与最小值，利用其差不超过1，求出关于的关系式在恒成立，转化为关于的函数最值与参数关系，即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以， 由题意可得，所以，解得， 故不等式的解集为. （2）， 当时，，则， 所以在上单调递减， 函数在区间上的最大值与最小值分别为， 则， 所以 整理得对任意恒成立， 因为，所以函数对称轴方程为， 函数在区间上单调递增， 所以时，有最小值.由，得， 故的取值范围为. 23．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数是偶函数，且当时，. (1)求当时的解析式； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质，以及时的函数解析式，即可得到时的函数解析式； （2）根据复合函数同增异减的原则，排除，再结合对数函数的真数要大于0，列出方程组，解方程组得到的范围，最后根据在定义域内单调递减求取值范围即可. 【详解】（1）当时，，又是偶函数， 则时，. （2）由于在上单调递增， 显然时，单调递减，单调递增， 则单调递减，不合题意， 故，解得， 又在上单调递减，，， 所以的取值范围是. 24．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入，由，利用对数型复合函数单调性求值域； （2）将条件转化为在上恒成立，利用计算即可； （3）根据对数型复合函数的单调性进行判断计算. 【详解】（1）当时，， 令，则， 对数函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. （2）若的定义域为，则在上恒成立， 所以. 所以实数的取值范围是. （3）二次函数开口向上，对称轴为， 对数函数在上单调递增， 若在上单调递增， 则. 所以实数的取值范围是. 25．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数（且）的图象过点. (1)求； (2)当时，存在偶函数和奇函数，使得. （i）求和的解析式； （ii）求不等式的解集. 【答案】(1) (2)（i），；（ii） 【分析】（1）由可求得实数的值； （2）（i）由函数的基本性质可得出，，结合方程组法可得出函数和的解析式； （ii）由结合对数函数的单调性可得出关于的不等式，并结合可得出原不等式的解集. 【详解】（1）因为（且）， 由题意可得，解得. （2）（i）因为为偶函数，为奇函数， ， 由， 所以， ； （ii）由，即，即， 因为，即，即，得， 所以原不等式的解集为. 26．（25-26高一上·全国·期末）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，即可求解. （2）根据复合函数单调性的判断方法及对数函数的定义域列出关于的不等式组，即可求解. （3）由题意可知恒成立，先利用换元法和二次函数的性质得出，即对于任意恒成立，再根据对数函数的单调性和参变分离法可得对于任意恒成立，最后利用基本不等式得出，从而可得出的取值范围. 【详解】（1）若，则，令，得， 故的定义域为． （2）令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故的取值范围为. （3）因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $