3.3.1抛物线及其标准方程讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1抛物线及其标准方程 题型1 抛物线的定义理解 3 题型2 由抛物线标准方程求焦点及准线方程 5 题型3 求抛物线的标准方程 8 题型4 用抛物线的定义计算焦半径 11 题型5 与抛物线有关的轨迹方程问题 14 题型6 与抛物线有关的最值问题 17 题型7 抛物线在实际问题中的应用 23 知识点一 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线. 知识点二 抛物线的标准方程 1．抛物线的标准方程 根据抛物线焦点位置的不同,抛物线的标准方程有以下四种不同的形式： 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 注：(1)只有抛物线与轴的交点为坐标原点,焦点在坐标轴上时,抛物线才具有标准形式.抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程只要确定其一,其余两者也就确定了. (2)标准方程的特征：等号的左边是某个变量的平方且系数为,等号的右边是另一个变量的一次单项式. (3)焦点在y轴上的抛物线的标准方程通常又可以写成,这与以前所学习的二次函数的解析式一致,但需要注意由方程求焦点坐标和准线方程时,必须先将抛物线的方程化成标准形式. 2．四种标准方程对应的抛物线的比较 相同点 不同点 (1)顶点都在原点. (2)焦点都在坐标轴上. (3)焦点到准线的距离都是. (4)准线与焦点所在的坐标轴垂直,准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的,即. (1)当焦点在轴上时,方程的右端为,左端为;当焦点在轴上时,方程的右端为,左端为. (2)开口方向与轴(或轴)的正方向相同时,焦点在轴(或轴)的正半轴上,方程一次项的系数为正数；开口方向与轴(或轴)的正方向相反时,焦点在轴(或轴)的负半轴上,方程一次项的系数为负数. 3．参数的几何意义 抛物线的标准方程中参数的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距),所以的值永远大于.(当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现的错误) 知识点三 抛物线的焦半径公式 1．抛物线的焦半径 若点是抛物线上一点,抛物线的焦点为,准线为,则线段叫做抛物线的焦半径. 2．用坐标表示的焦半径公式 设是抛物线上一点,如图3.3.1-1所示,过点作的垂线段,由抛物线的定义可知. 同理可得其他形式标准方程下的焦半径公式. 抛物线 焦半径公式 由抛物线的焦半径公式可知,抛物线上的点到其焦点的距离的最小值为,此时该点为坐标原点. 3．用角表示的焦半径公式 如图,若倾斜角为的直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于,两点,则, 证明：如图所示,设,在准线与轴上的射影分别为,和,,准线与轴交于点, 则有, 所以,同理可得. 由焦半径公式我们可以得到,是一个定值. 题型1 抛物线的定义理解 1．若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 【答案】B 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义确定轨迹作答. 【详解】动点到点的距离和它到直线的距离相等，而点不在直线， 所以动点的轨迹是以点到直线的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线. 故选：B 2．（25-26高三上·山东·开学考试）与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围、抛物线定义的理解 【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹. 【详解】记与圆外切的圆为圆， 设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为， 因为圆与圆外切，所以， 设圆圆心到直线的距离为，则， 所以，即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线. 故选：C 3．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】直接根据抛物线的定义进行求解即可. 【详解】抛物线，其准线方程为：，因为，且点在上， 由抛物线定义可知，点到直线的距离为3， 因为与平行，且距离为2，所以点到直线的距离为5. 故选：C 4．（25-26高二上·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】设点，表示出点的坐标，再利用抛物线的定义列式求解. 【详解】设点，由轴，得，且， 又，则，又，所以. 故选：A 题型2 由抛物线标准方程求焦点及准线方程 5．（25-26高二上·云南昭通·阶段练习）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 6．（2025·广西·模拟预测）若抛物线经过点，则该抛物线的焦点坐标为 . 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据题意，将点的坐标代入抛物线的方程，求得，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】因为抛物线经过点，可得，解得，即 又因为抛物线的焦点在轴上，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 7．（2025·辽宁·一模）在抛物线 上有横坐标为 2 的点 A，过A作 AB垂直于 C 的准线，垂足为，记C的焦点为F ，连接AF ，BF ，若△ABF的面积为 则p的值为 . 【答案】1 【知识点】三角形面积公式及其应用、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据题意设出的坐标，再根据准线得到的坐标，从而求出的长度和焦点到的距离，利用三角形面积得到和的等式，再利用点在抛物线上，得到，通过解方程组得到的值. 【详解】   在抛物线 上有横坐标为 2 的点, 设，抛物线的准线方程为， 过作垂直于 C 的准线，垂足为，， ，抛物线C的焦点为,在轴上， 到的距离为， ，， 又在抛物线上，，联立方程组，解得. 故答案为：1 8．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先求得，进而求得抛物线的焦点坐标. 【详解】根据抛物线的方程可知，，则， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：D 9．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据圆的圆心在抛物线上，可求解抛物线方程，即可得焦点坐标. 【详解】由已知，圆的圆心为， 因为点在抛物线上， 所以，解得， 所以抛物线的方程为，焦点在轴正半轴上，且， 所以焦点坐标为. 故选：B 10．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求双曲线的焦点坐标、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】求出双曲线的右焦点，利用抛物线焦点与的关系求解即可. 【详解】对于双曲线：因为，所以，所以． 所以双曲线的右焦点的坐标为． 对于抛物线，因为焦点为，即，可得． 所以其准线方程为． 故选：D． 题型3 求抛物线的标准方程 11．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据定义求抛物线的标准方程、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）根据准线方程即可确定抛物线焦点位置以及值，即可求解； （2）根据抛物线上一点，设出抛物线方程，将点坐标代入即可求解； （3）根据点在抛物线上，确定焦点位置，根据抛物线定义，确定值，即可求解. 【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，有，，求得，， 故抛物线标准方程为或. （3）由题意抛物线焦点在x轴上，且点在抛物线上， 有抛物线焦点在轴正半轴上， 又因为抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 根据抛物线定义有，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 故，故抛物线标准方程为. 12．（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程． 【详解】直线与y轴的交点为， 所以抛物线C的焦点为，故，解得， 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 13．（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【详解】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 14．（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义求抛物线的标准方程 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 15．（24-25高三下·陕西·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】抛物线定义的理解、根据定义求抛物线的标准方程 【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，据此可得答案. 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F做PQ垂线，垂足为G， 则，则，又，准线为 则，则.故抛物线方程为：. 故选：D 16．已知抛物线的顶点为原点，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点，若为的中点，则抛物线的方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据韦达定理求参数 【分析】利用抛物线的定义和中点坐标公式进行求解即可. 【详解】因为抛物线C的顶点为原点，焦点在轴上， 所以设抛物线的方程为，与联立，可得， 设，所以， 因为为的中点， 所以， 所以抛物线的方程为， 故选：A 题型4 用抛物线的定义计算焦半径 17．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】先将点代入抛物线得出，再应用抛物线定义得出即可求解. 【详解】因为点A满足，又，代入抛物线方程得， 因为，可得， 故选：C． 18．（24-25高二下·云南红河·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】根据条件，求得，再利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】因为点在上，所以，解得. 由抛物线的方程可知，准线方程为,焦点， 则点到准线的距离为, 由抛物线的定义得. 故选：B. 19．（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】先由直线求出焦点、准线方程，得及抛物线的方程，进而得点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对于直线，令，解得， 所以抛物线的焦点为,准线方程为． ，解得， 所以抛物线的方程为， 设的坐标为，则 ， ∴的坐标为，则，得，所以． 由抛物线的定义，得． 故选：C． 20．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】画出抛物线的图象，设，再利用抛物线的定义及数形结合得，化简即可求出答案. 【详解】由抛物线的方程可得焦点，准线方程为， 过M作准线的垂线，垂足为，过F作的垂线，垂足为N，设， 因为，则可得， 由抛物线的定义可得，而， 所以， 整理可得：，解得， 所以M的横坐标为， 由抛物线的性质可得. 故选：A 题型5 与抛物线有关的轨迹方程问题 21．（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面轨迹方程、利用抛物线定义求动点轨迹、求抛物线的轨迹方程 【分析】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【详解】    方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 22．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【知识点】求抛物线的轨迹方程 【分析】设，根据已知条件列方程，化简后求得正确答案. 【详解】设，其中， 则，即， 所以， 所以点的轨迹为不包含，两点的抛物线. 故选：D 23．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、求抛物线的轨迹方程 【分析】根据给定条件可得，再利用数量积的坐标表示求出方程. 【详解】由圆心在y轴上的圆E经过点，得线段为圆的直径， 而点在轴上，则，又， 于是，而不重合，即， 所以M点的轨迹方程为. 故选：D 24．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求抛物线的轨迹方程 【分析】设所求点，根据点在直线上可得，根据点在直线上可得，最后根据轴得，化简即可. 【详解】设， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为直线的方程为，且点在直线上，所以， 因为轴，所以，则，故D正确. 故选：D． 25．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量垂直的坐标表示、求抛物线的轨迹方程 【分析】设点，根据向量关系及垂直关系可得点的轨迹方程. 【详解】设点，因为，则为的中点，且点在轴上， 所以，则, 又，则，， 由， 故点的轨迹方程为. 故选：D. 26．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，则动点的轨迹方程是 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平面轨迹方程、求抛物线的轨迹方程 【分析】设，然后表示出向量的坐标，代入已知条件，整理后得到动点的轨迹方程. 【详解】设， ，， 因为 所以 整理得 故选A项. 【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，属于简单题. 题型6 与抛物线有关的最值问题 27．（25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】设点P坐标，利用两点距离公式结合二次函数的性质计算即可. 【详解】设，则，易知 ， 当且仅当时取得最小值. 故答案为： 28．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为 ． 【答案】/ 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点的距离及最值 【分析】由题意转化为抛物线上动点到圆心的距离的最小值即可得解. 【详解】由圆，知圆心为，半径为， 设为抛物线上动点，则两点间的距离为， 所以当时，， 所以． 故答案为： 29．（25-26高三上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为 . 【答案】3 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】由题可得抛物线方程与圆的圆心半径，由抛物线定义可得点到直线的距离与之和为，然后由图可得四点共线时取最小值. 【详解】圆的圆心为，半径． 如图，由抛物线的定义可得，解得， 可知抛物线的方程为，焦点坐标为，准线为直线， 则点到直线的距离．可得， 当四点共线时，取得最小值， 所以． 故答案为：3. 30．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 【答案】2 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】分两种情况，若点在抛物线的开口外部，最小值为可求得；若点在抛物线的开口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为，最后再检验值即可. 【详解】①如图，若点在抛物线的开口外部，即，即， 则当点三点共线时，有最小值，最小值为， 因为，则，解得， 符合题意； ②如图，若点在抛物线的开口内部，即，即， 过点作，垂足为，其中直线为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，， 所以当三点共线时，有最小值， 则，得，不符合符合题意， 故的值等于. 故答案为： 31．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】利用抛物线的定义及三角形性质可得答案. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程是． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，连接． 因为点在抛物线上，所以根据抛物线的定义得， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 当时，取最小值，即，所以的最小值为1． 故选：A． 32．（2025·湖南郴州·一模）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 33．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解. 【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为. |   故选：C 34．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、抛物线上的点到定点的距离及最值、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离. 【详解】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为， 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 所以只需要求最小即可. 当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 故选：B. 题型7 抛物线在实际问题中的应用 35．（24-25高二下·河北·期末）如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    【答案】 【知识点】求实际问题中的抛物线方程 【分析】设抛物线的方程为，代入点即可求解. 【详解】设抛物线的方程为，抛物线过点，所以， 则这条抛物线的方程为，即． 故答案为：. 36．（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】求实际问题中的抛物线方程 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 由图可得点在抛物线上，即 ，解得， 故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为. 故选：A. 37．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径，镜深．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点的距离应为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据抛物线的方程以及性质即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则，设平面截该镜面所得的抛物线方程为， 代入，得， 则小灯泡应置于焦点处，故其距离镜面顶点的距离应为. 故选：D 38．（24-25高三上·甘肃·期末）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求实际问题中的抛物线方程 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件列方程求，结合抛物线性质可求结论. 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为. 由题意可得，将点的坐标代入抛物线的方程可得， 解得，所以抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即， 所以抛物线焦点到顶点的距离为. 故选：B. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1抛物线及其标准方程 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高二上·河南南阳·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 2．（2025高二上·全国·专题练习）若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西西安·三模）已知抛物线的焦点为为上一点，且的横坐标为2，则（    ） A． B．3 C． D． 4．（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．（2025·广西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 6．（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 7．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ）    A．4 B．3 C． D． 8．（25-26高三上·福建·开学考试）设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 二、多选题 9．（2025·陕西·模拟预测）已知点在抛物线上，点为抛物线的焦点，则（    ） A．焦点的坐标为 B．抛物线的准线方程为 C．若，则 D． 10．（25-26高三上·湖南·阶段练习）设抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，以F为圆心，为半径的圆记为W.过点A作l的垂线，垂足为B，且点B在圆W上，则（   ） A．准线l的方程是 B．为等边三角形 C．设线段与y轴的交点为D，则 D．直线与圆W相交 11．（25-26高三上·河北·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 三、填空题 12．（北京市第一六六中学、第五十中学2025-2026学年高三上学期期中联考数学试卷）已知抛物线：，则抛物线的准线方程为 ． 13．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 . 14．（25-26高三上·陕西·阶段练习）双曲线的左､右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率 . 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·单元测试）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (3)对称轴是轴，经过点． 16．（2025高三·全国·专题练习）已知定点，定直线，动点在直线上，过点且与垂直的直线上有一动点，满足，请讨论点的轨迹类型． 17．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，地在地东偏北45°方向相距处，且与东西方向的高铁线（近似看成直线）相距4km．已知曲线形公路上任意一点到地的距离等于到的距离，现要在公路旁建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计）． (1)试建立适当的平面直角坐标系，求公路所在曲线的方程． (2)问：变电房应建在相对地的什么位置（方位和距离），才能使得从到两地架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 能力提升 一、单选题 1．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．2 2．如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是 A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，直线交的准线于点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．若抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在准线l上的射影为，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知抛物线，圆，点，若A，B分别是，上的动点，则的最小值为 ． 6．已知抛物线（）的焦点为，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是 ． 7．如图，过抛物线的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若，则直线AB的方程 . . 三、多选题 8．已知点在圆F：上，，动点（纵坐标不为0）满足，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点为坐标原点）的最小值为7 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1抛物线及其标准方程 题型1 抛物线的定义理解 3 题型2 由抛物线标准方程求焦点及准线方程 4 题型3 求抛物线的标准方程 4 题型4 用抛物线的定义计算焦半径 5 题型5 与抛物线有关的轨迹方程问题 6 题型6 与抛物线有关的最值问题 7 题型7 抛物线在实际问题中的应用 8 知识点一 抛物线的定义 我们把平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线. 知识点二 抛物线的标准方程 1．抛物线的标准方程 根据抛物线焦点位置的不同,抛物线的标准方程有以下四种不同的形式： 标准方程 图形 焦点坐标 准线方程 注：(1)只有抛物线与轴的交点为坐标原点,焦点在坐标轴上时,抛物线才具有标准形式.抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程只要确定其一,其余两者也就确定了. (2)标准方程的特征：等号的左边是某个变量的平方且系数为,等号的右边是另一个变量的一次单项式. (3)焦点在y轴上的抛物线的标准方程通常又可以写成,这与以前所学习的二次函数的解析式一致,但需要注意由方程求焦点坐标和准线方程时,必须先将抛物线的方程化成标准形式. 2．四种标准方程对应的抛物线的比较 相同点 不同点 (1)顶点都在原点. (2)焦点都在坐标轴上. (3)焦点到准线的距离都是. (4)准线与焦点所在的坐标轴垂直,准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的,即. (1)当焦点在轴上时,方程的右端为,左端为;当焦点在轴上时,方程的右端为,左端为. (2)开口方向与轴(或轴)的正方向相同时,焦点在轴(或轴)的正半轴上,方程一次项的系数为正数；开口方向与轴(或轴)的正方向相反时,焦点在轴(或轴)的负半轴上,方程一次项的系数为负数. 3．参数的几何意义 抛物线的标准方程中参数的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距),所以的值永远大于.(当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时,不要出现的错误) 知识点三 抛物线的焦半径公式 1．抛物线的焦半径 若点是抛物线上一点,抛物线的焦点为,准线为,则线段叫做抛物线的焦半径. 2．用坐标表示的焦半径公式 设是抛物线上一点,如图3.3.1-1所示,过点作的垂线段,由抛物线的定义可知. 同理可得其他形式标准方程下的焦半径公式. 抛物线 焦半径公式 由抛物线的焦半径公式可知,抛物线上的点到其焦点的距离的最小值为,此时该点为坐标原点. 3．用角表示的焦半径公式 如图,若倾斜角为的直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于,两点,则, 题型1 抛物线的定义理解 1．若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 2．（25-26高三上·山东·开学考试）与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 3．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高二上·湖北荆州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一动点，且在轴上方，为上一动点，且轴，若，则点的纵坐标为（    ） A． B．2 C．3 D． 题型2 由抛物线标准方程求焦点及准线方程 5．（25-26高二上·云南昭通·阶段练习）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·广西·模拟预测）若抛物线经过点，则该抛物线的焦点坐标为 . 7．（2025·辽宁·一模）在抛物线 上有横坐标为 2 的点 A，过A作 AB垂直于 C 的准线，垂足为，记C的焦点为F ，连接AF ，BF ，若△ABF的面积为 则p的值为 . 8．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 题型3 求抛物线的标准方程 11．求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 12．（25-26高二上·全国·单元测试）已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·北京海淀·三模）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（    ） A． B．或 C． D．或 14．（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 15．（24-25高三下·陕西·阶段练习）已知是抛物线的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 16．已知抛物线的顶点为原点，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点，若为的中点，则抛物线的方程为(　　) A． B． C． D． 题型4 用抛物线的定义计算焦半径 17．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）设抛物线的焦点为F，已知点在C上，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．（24-25高二下·云南红河·期末）已知抛物线的焦点为，点在上，则（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·河南·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 20．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若，则（   ） A．1 B．2 C．4 D． 题型5 与抛物线有关的轨迹方程问题 21．（2025高三·全国·专题练习）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二上·四川成都·期中）已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 23．（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点，圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为，则M点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 24．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，已知点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点D，于点E．OE与MD相交于点P，则P的轨迹方程为（    ）． A． B． C． D． 25．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 26．在平面直角坐标系中，已知，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 题型6 与抛物线有关的最值问题 27．（25-26高二上·北京·期中）P是抛物线上任意一点，点是x轴上的定点，则的最小值为 . 28．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为 ． 29．（25-26高三上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为 . 30．（25-26高二上·北京丰台·期中）已知点不在抛物线：上，抛物线的焦点为若对于抛物线上的一点，的最小值为4，则的值等于 . 31．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（2025·湖南郴州·一模）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 33．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 34．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型7 抛物线在实际问题中的应用 35．（24-25高二下·河北·期末）如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为 ．    36．（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（   ） A．0.25 B．0.5 C．1 D．2 37．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径，镜深．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点的距离应为（   ） A．2 B．3 C． D． 38．（24-25高三上·甘肃·期末）某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（   ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1抛物线及其标准方程 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高二上·河南南阳·期中）抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线的方程求得焦点和准线，即得答案. 【详解】由题意知该抛物线的焦点为， 准线方程为， 故焦点到准线的距离为2． 故选：B． 2．（2025高二上·全国·专题练习）若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 所以点P到焦点的距离为， 所以，抛物线的方程为. 故选：B. 3．（2025·陕西西安·三模）已知抛物线的焦点为为上一点，且的横坐标为2，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】抛物线的焦半径公式 【分析】由焦半径公式计算即可． 【详解】由抛物线方程知， 由题意， 故选：A． 4．（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知抛物线的顶点为，经过点，且为抛物线的焦点，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据抛物线的定义列方程，求得，结合点坐标求得. 【详解】依题意，焦点， 由，根据抛物线的定义，得，所以， 则，代入，得，又，解得. 故选：C 5．（2025·广西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案. 【详解】由抛物线定义可知， 因为直线AF的倾斜角为，轴， ， 所以为等边三角形， 故，， 所以， 其中准线l与轴交点为，则，故， 所以. 故选：D. 6．（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（    ） A． B． C． D．8m 【答案】B 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、求实际问题中的抛物线方程 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，将代入抛物线方程解出，再将代入即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点, 设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以, 当时，，所以水面宽度为． 故选：B 7．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）如图，设抛物线的焦点为，过轴上一点作直线交于，两点，若，，则（   ）    A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】抛物线定义的理解 【分析】根据抛物线的定义，可求两线段的长度之比. 【详解】对抛物线，焦点，准线：. 如图：    过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以； 过向准线作垂线，垂足为，交轴于，根据抛物线定义，得，所以. 所以，所以. 故选：B 8．（25-26高三上·福建·开学考试）设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由周长为，若垂直于抛物线准线于，结合抛物线定义得，进而确定周长最小值. 【详解】由周长为，若垂直于抛物线准线于，    所以，而， 所以，要使周长最小， 即最小，仅当三点共线时，取最小值为7， 所以最小周长为12. 故选：C 二、多选题 9．（2025·陕西·模拟预测）已知点在抛物线上，点为抛物线的焦点，则（    ） A．焦点的坐标为 B．抛物线的准线方程为 C．若，则 D． 【答案】ACD 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程，然后再由抛物线的焦半径公式判断C，由抛物线的性质判断D.. 【详解】抛物线的方程是，则，焦点坐标是，准线方程是，A对B错； 点在抛物线上，，，则,,C对； 抛物线上点到焦点的距离在点为顶点时取得最小值，这个最小值是1，因此，D对， 故选：ACD. 10．（25-26高三上·湖南·阶段练习）设抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，以F为圆心，为半径的圆记为W.过点A作l的垂线，垂足为B，且点B在圆W上，则（   ） A．准线l的方程是 B．为等边三角形 C．设线段与y轴的交点为D，则 D．直线与圆W相交 【答案】BC 【知识点】判断直线与圆的位置关系、抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】由抛物线方程求得准线方程判断A，根据抛物线的定义判断BC，求出圆心与直线的距离判断D. 【详解】由抛物线方程知，则准线l的方程为，A错误. 如图，由抛物线定义知. 又点B在圆W上，则，所以为等边三角形，B正确. 设准线l与x轴的交点为E，则原点O为线段的中点. 又，则D为的中点. 因为为等边三角形，则，C正确. 取线段的中点M，连接，则，所以， 从而圆W的半径. 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆W相切，D错误. 故选：BC. 11．（25-26高三上·河北·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 【答案】BC 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先根据条件求出，根据双曲线方程可得渐近线的方程，求出的坐标可判断其余选项. 【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即. 又，所以，所以双曲线的方程为. 对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误； 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程整理可得，， 解得或（舍去负值），所以，代入可得，. 设，又，所以，故B项正确； 对于C项，易知，故C项正确； 对于D项，因为， 所以，由余弦定理可得，，故D项错误. 故选：BC 三、填空题 12．（北京市第一六六中学、第五十中学2025-2026学年高三上学期期中联考数学试卷）已知抛物线：，则抛物线的准线方程为 ． 【答案】 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】根据抛物线的性质，求解抛物线的准线方程. 【详解】由，则，所以其准线方程为. 故答案为：. 13．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 . 【答案】6 【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】分析抛物线的焦点和准线，确定点为焦点，利用抛物线定义，将转化为到准线的距离，分析的最小值，结合的定值，得到周长的最小值表达式，即可得解. 【详解】根据题意，则，所以抛物线的焦点坐标为，即定点，准线为，如图所示. 故的周长为，其中为定值，又根据抛物线的定义， 所以当三点共线时取得最小值， 此时，解得. 故答案为：6. 14．（25-26高三上·陕西·阶段练习）双曲线的左､右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若，则双曲线的离心率 . 【答案】2 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】利用抛物线与双曲线的定义与性质得出，根据勾股定理从而确定的坐标，利用点在双曲线上构造齐次方程计算即可. 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得， ∴，即离心率为. 故答案为：2 四、解答题 15．（25-26高二上·全国·单元测试）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2； (3)对称轴是轴，经过点． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】根据题意结合抛物线的标准方程分析求解即可. 【详解】（1）因为抛物线的准线方程为， 所以可设抛物线的标准方程为，则，可得， 所以抛物线的标准方程是． （2）因为对称轴是轴，所以可设抛物线的标准方程为或． 因为顶点到焦点的距离等于2，所以，即， 所以抛物线的标准方程是或． （3）因为对称轴是轴，经过点，所以设抛物线方程为， 因为抛物线经过点，所以，解得， 所以抛物线的标准方程是． 16．（2025高三·全国·专题练习）已知定点，定直线，动点在直线上，过点且与垂直的直线上有一动点，满足，请讨论点的轨迹类型． 【答案】答案见解析 【知识点】求平面轨迹方程 【分析】利用直接法求出轨迹方程，化简得出，再按照，，分类讨论即可. 【详解】如图，设，则． 由，得． 化简得， 当时，点的轨迹是抛物线； 当时， ，即， 当时，，点轨迹是椭圆； 当时，，点轨迹是双曲线． 17．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，地在地东偏北45°方向相距处，且与东西方向的高铁线（近似看成直线）相距4km．已知曲线形公路上任意一点到地的距离等于到的距离，现要在公路旁建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计）． (1)试建立适当的平面直角坐标系，求公路所在曲线的方程． (2)问：变电房应建在相对地的什么位置（方位和距离），才能使得从到两地架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度． 【答案】(1)建系见解析， (2)位于地正南方且与地相距处，所用电线最短长度为6km 【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 【分析】（1）取经过点且垂直于的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合，建立平面直角坐标系，方法一，根据抛物线的定义可得答案；方法二，设公路所在曲线上任意一点，利用化简可得答案； （2）过作，垂足为，，当三点共线时，最小，求出最小值可得答案. 【详解】（1）如图，取经过点且垂直于的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合， 建立平面直角坐标系，则，． 方法一    因为公路上任意一点到地的距离等于到直线的距离， 所以所在的曲线是以为焦点，以为准线的抛物线． 设抛物线方程为， 则，所以公路所在曲线的方程为； 方法二    设公路所在曲线上任意一点，则， 故，化简得， 所以公路所在曲线的方程为； （2）要使架设电线长度最短，即最小．过作，垂足为， 如图，所以， 当三点共线时，最小，即取得最小值， 此时，位于地正南方且与地相距处， 所用电线最短长度为km． 能力提升 一、单选题 1．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】利用抛物线的定义结合条件可得，，进而可得. 【详解】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线， 则，， 因为， 所以，所以，所以， 所以，， 所以. 因为， 所以， 解得，所以，点F到AM的距离为， 所以. 法二：因为， 所以，所以，即. 连接FM，又， 所以为等边三角形. 易得，所以. 故选：A. 2．如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式 【详解】，故选A. 考点：抛物线的标准方程及其性质 3．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，直线交的准线于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先明确抛物线准线方程，求出直线方程，通过联立方程得出点坐标，结合向量关系，最终求出的值。 【详解】由题意，抛物线的准线方程为， 点在抛物线上，代入得：， 且直线的斜率为，则方程为， 联立直线与准线，得， 又因为,即， 得：所以，则， 那么. 故选：B 4．若抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在准线l上的射影为，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的应用 【分析】转化：，利用余弦定理：，即得解. 【详解】   如图所示，由题意得， 当且仅当：时，有最大值. 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的综合问题，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题. 二、填空题 5．已知抛物线，圆，点，若A，B分别是，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】抛物线定义的理解、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】由抛物线得焦点，准线为，，转化为求取得最小值，过点M作准线的垂线与抛物线相交，当点A为此交点时，取得最小值，由此可求得答案. 【详解】解：由抛物线得焦点，准线为， 由圆，得，所以圆是以为圆心，以为半径的圆， 所以，所以当取得最小值时，取得最小值， 又根据抛物线的定义得等于点A到准线的距离， 所以过点M作准线的垂线，垂足为N，且与抛物线相交，当点A为此交点时，取得最小值，最小值为，所以此时， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 6．已知抛物线（）的焦点为，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是 ． 【答案】 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程 【解析】作出图形，根据三角形的形状可得，从而得到抛物线的方程. 【详解】如图，由抛物线的定义可知， 因为的斜率为，， 所以，即为等边三角形， 在中易知为的中点， 因为，所以，即； 由可得， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查抛物线的方程及性质，合理利用抛物线的定义式能简化解题过程，侧重考查直观想象的核心素养. 7．如图，过抛物线的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若，则直线AB的方程 . . 【答案】 【知识点】抛物线定义的理解、求直线与抛物线的交点坐标、求直线与抛物线相交所得弦的弦长 【分析】由题意得，由及抛物线定义即可求出直线的斜率，进而求出直线方程，再联立方程求得、的坐标，再求． 【详解】由题意得，准线方程为， 过点作准线的垂线，垂足为，则， ， ， 由勾股定理得：， 直线的斜率， 所以直线的方程为， 由及图象可得：，，， . 故答案为：(1).     (2). 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和直线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 三、多选题 8．已知点在圆F：上，，动点（纵坐标不为0）满足，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．的最大值为 C．的最小值是 D．（点为坐标原点）的最小值为7 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求和的最小值、定点到圆上点的最值（范围）、求抛物线的轨迹方程 【分析】对于，设，由，化简可得其轨迹；对于，由的范围可判断；对于，由，可得，所以，由范围可判断；对于，当在圆与轴的左交点处时，，同时取最小值. 【详解】对于，由题意可知，设，如图，过点作轴于点，则， 所以，即， 所以，A正确； 对于，由对称性可假设点在一象限，则， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，所以，B错误； 对于，由，可得， 所以，且， 所以，C正确； 对于，当在圆与轴的左交点处时，，同时取最小值，此时，所以的最小值为，D正确. 故选：ACD． 2 学科网（北京）股份有限公司 $