第五章 抛体运动 章末综合提升-【名师导航】2025-2026学年高中物理必修第二册教师用书word（人教版）江苏专用

该高中物理单元复习讲义通过知识框架图系统梳理曲线运动、运动的合成与分解、平抛运动三大主题，以曲线运动条件、矢量合成法则、平抛分解方法为核心，呈现知识内在逻辑，突出重难点分布。 讲义亮点在于“典例-方法-测评”三阶设计，如小船渡河时间与位移分析（典例3）、绳物模型速度分解（典例2），培养科学思维与运动相互作用观念，分层练习适配不同学生，助力教师精准教学。

主题1　曲线运动及其研究方法 1．曲线运动的特点 (1)做曲线运动的物体，在某点的瞬时速度的方向，就是曲线在该点的切线方向，物体在曲线运动中的速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。 (2)在曲线运动中，由于速度在时刻变化，所以物体的运动状态时刻改变，故做曲线运动的物体所受合力一定不为零。 2．物体做曲线运动的条件 (1)从动力学角度来理解：物体所受合力的方向与物体的速度方向不在同一条直线上，具体有如图所示的几种形式。 (2)从运动学角度来理解：物体的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。 3．曲线运动的研究方法——运动的合成与分解 利用运动的合成与分解研究曲线运动的思维流程： (欲知)曲线运动规律(只需研究)两直线运动规律(得知)曲线运动规律。 【典例1】　路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯。若一段时间内车匀加速向左沿直线运动的同时梯子匀加速上升，则关于这段时间内站在梯子上的工人的描述正确的是(　　) A．工人相对地面的运动轨迹一定是曲线 B．工人相对地面的运动轨迹一定是直线 C．工人相对地面的运动轨迹可能是直线，也可能是曲线 D．工人受到的合力可能是恒力，也可能是变力 思路点拨：工人参与了沿梯子方向上的匀加速直线运动和水平方向上的匀加速直线运动，通过合速度与合加速度是否在同一条直线上判断工人做直线运动还是曲线运动。 C　[设工人在水平方向的初速度为v0x，加速度为ax，在竖直方向的初速度为v0y，加速度为ay，则工人运动的合初速度为v0＝，合加速度为a＝。若合初速度方向与合加速度方向在一条直线上，则工人做直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上，则工人做曲线运动，由于车和梯子的初速度未知，加速度也未知，因此合初速度与合加速度可能在一条直线上，也可能不在一条直线上，故工人相对地面的运动轨迹可能是曲线，也可能是直线，A、B错误，C正确；由于ax、ay均恒定，则合加速度恒定，由牛顿第二定律可知工人受到的合力恒定，D错误。] 　(1)运动的合成与分解互为逆过程，都遵循矢量的平行四边形定则。 (2)在将实际运动分解为两个直线运动时，其分解原则是按运动的实际效果分解或正交分解，同时应明确实际物体的运动就是合运动。 (3)运动的合成与分解，实际是有关运动学物理量(速度、位移、加速度)的合成与分解。 主题2　运动的合成与分解 1．运动的合成与分解的基本关系 (1)运动的独立性。 (2)运动的等效性(合运动和分运动是等效替代关系，不能并存)。 (3)运动的等时性。 (4)运动的矢量性(加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则)。 2．小船渡河问题 小船渡河过程中，划行和随水漂流这两个分运动互不干扰，各自独立而且具有等时性。因此当分运动时间最短，即船头垂直指向对岸时，渡河时间最短，tmin＝。欲使航程最短，则要求合位移最小，当v水<v船时，合运动的速度可垂直于河岸，最短航程为河宽d；当v水>v船时，船不能垂直到达河岸，但仍存在最短航程，即当v船与v合垂直时，航程最短，xmin＝d。 3．跨过定滑轮拉物体(或绳拉物体)的运动问题 物体运动的速度为合速度v，物体速度v沿绳方向的分速度v1是使绳子拉长或缩短的速度，物体速度v的另一个分速度v2是使绳子摆动的速度，它一定和v1垂直。 【典例2】　质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图所示)，下列判断正确的是(　　) A．P的速率为v B．P的速率为v sin θ2 C．P处于超重状态 D．P处于失重状态 C　[将小车的速度v进行分解，如图所示，则有vP＝v cos θ2，选项A、B错误；小车向右运动，θ2减小，v不变，则vP逐渐增大，说明物体P沿斜面向上做加速运动，处于超重状态，选项C正确，D错误。 ] 　对于绳物模型(绳子连接着物体相互作用的问题)中绳端速度通常的分解原则是：①分析实际速度(合运动的速度)；②两个分速度(一个沿绳方向，一个垂直绳方向)；③若被拉紧的绳子的两端有两个物体做不同的运动，在绳不伸缩的情况下，两物体沿绳方向的速度大小相等。 【典例3】　某小船在河宽为d、水速恒定为v的河中渡河，第一次用最短时间从渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v1，所用时间为t1；第二次用最短航程从同一渡口向对岸开去，此时小船在静水中航行的速度为v2，所用时间为t2，结果两次恰好抵达对岸的同一地点。则(　　) A．第一次所用时间t1＝ B．第二次所用时间t2＝ C．两次渡河的位移大小为 D．两次渡河所用时间之比＝ D　[第一次所用时间t1＝，A错误；第二次渡河时船头方向与合速度方向垂直，即船速方向不是指向河对岸，则渡河的时间不等于，B错误；两次航行抵达的地点相同，位移相同，由第一次渡河可知，位移为s＝，C错误；两次航行抵达的地点相同，知合速度方向相同，第一次小船静水速度垂直于河岸，第二次小船的静水速度与合速度垂直，如图所示，两次航行的合位移相等，则渡河时间之比等于两船合速度之反比，则＝＝∶＝，由图可知cos θ＝，则＝，D正确。 ] 　(1)区分小船渡河中的三个速度 ①船在静水中的速度(分速度)。②随水漂流的速度(分速度)。③船在河水中的实际速度(合速度)。 (2)船头指向是分运动方向 船的实际运动方向是合运动方向，一般情况下与船头指向不一致。 主题3　平抛运动的解题方法 1．常见解题方法 平抛运动是典型的匀变速曲线运动，它的动力学特征：水平方向有初速度而不受外力，竖直方向只受重力而无初速度。抓住了平抛运动的这个初始条件，也就抓住了解题的关键。常见的解题方法有两种。 (1)利用平抛运动的时间特点解题 平抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，只要运动的时间相同，下落的高度和竖直分速度就相同。 (2)利用平抛运动的轨迹解题 平抛运动的轨迹是一条抛物线，已知抛物线上的任意一段，就可求出初速度和抛出点，进而求出其他物理量。 2．与斜面有关的平抛运动 平抛运动与斜面相结合的模型，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况： (1)物体从空中抛出落在斜面上； (2)物体从斜面上抛出落在斜面上。 　该类问题的解题步骤 (1)定性地画出物体的平抛运动轨迹。 (2)判断斜面倾角与平抛位移或速度的关系。 (3)利用斜面倾角表示出平抛运动的位移关系或速度关系。 (4)根据平抛运动的规律进行求解。 在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角与位移和速度的关系。 【典例4】　如图所示，一小球从斜面顶端沿水平方向飞出，后又落回到斜面上。已知斜面的倾角为θ，小球初速度大小为v0，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．小球从飞出到落回到斜面上的时间为 B．小球落回到斜面上时的速度大小为 C．减小小球的初速度，则小球落回到斜面上时速度方向与斜面的夹角也减小 D．若小球以2v0水平飞出，且小球仍能落回到斜面上，则小球落回到斜面上的速度大小是原来落回到斜面上速度大小的2倍 D　[小球从飞出到落回到斜面上，其位移与水平方向的夹角等于θ，则tan θ＝＝，解得t＝，A错误；根据速度与水平方向夹角的正切值与位移与水平方向夹角的正切值关系得tan α＝2tan θ。由数学知识知cos α＝，故小球落到斜面上时的速度大小为v＝0，B错误；减小速度后，小球落到斜面上的位移与水平方向的夹角不变，因此小球落到斜面上的速度方向不变，C错误；由v＝0知，小球落回斜面的速度大小与初速度的大小成正比，故小球以2v0水平飞出落回到斜面上的速度大小是原来落回到斜面上速度大小的2倍，D正确。] 　在斜面上平抛物体，落点仍在斜面上时，遵循以下规律： (1)物体落在斜面上，位移方向相同，均沿斜面方向，竖直位移与水平位移的比值为斜面倾角的正切值，与初速度大小无关。 (2)物体落在斜面上时的速度方向相互平行，当速度方向与斜面平行时，物体离斜面的距离最大。 (3)物体的运动时间与初速度大小成正比。 章末综合测评(一)　抛体运动 (时间：75分钟　总分：100分) 一、单项选择题：共11题，每题4分，共44分。每题只有一个选项最符合题意。 1．关于物体的运动，下列说法中正确的是(　　) A．曲线运动一定是变速运动 B．变速运动一定是曲线运动 C．物体在变力作用下的运动一定是曲线运动 D．运动物体的加速度大小、速度大小都不变的运动一定是直线运动 A　[做曲线运动的物体速度方向时刻在变化，即速度不断变化，选项A正确；变速运动还包括速度方向不变、速度大小改变的变速直线运动，选项B错误；如果变力的方向始终与速度方向共线，那么物体做的是变速直线运动，选项C错误；如果运动物体的加速度大小、速度大小都不变，但速度方向不断发生改变，那么物体做的是曲线运动，选项D错误。] 2．某游泳爱好者以一定的速度(方向始终垂直河岸)向对岸游去。河中各处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是(　　) A．水速大时，路程长，时间长 B．水速大时，路程长，时间短 C．水速大时，路程长，时间不变 D．路程、时间与水速无关 C　[此人的运动可分解为垂直河岸方向的分运动和沿河岸方向的分运动，根据分运动的独立性，水速增大时，垂直河岸方向的分运动不受影响，所以渡河时间不变，但合速度的方向变化，即实际运动轨迹发生变化，路程变长，选项C正确。] 3．设以初速度v0做平抛运动的物体竖直分位移与水平分位移的比值为k，运动时间为t，则下列说法正确的是(　　) A．k与t成正比 B．k与t成反比 C．k与t2成正比 D．k是定值与t无关 A　[根据平抛运动的规律得k＝＝＝t，所以k与t成正比，故A正确，B、C、D错误。] 4．如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为(　　) A．v sinα B． C．v cos α D． C　[将人的速度v沿着绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，如图所示。船的速度等于人沿绳子方向的分速度，所以船的速率为v1＝v cos α。C选项正确。 ] 5．在水平面上固定两个相互紧靠的斜面体，将a、b、c三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右水平抛出，落在斜面上时其落点如图所示，小球a落点距水平面的高度最低。下列判断正确的是(　　) A．小球a的初速度最大 B．小球c的飞行时间最长 C．小球c的速度变化量最小 D．小球a的速度偏向角最小 C　[三个小球均做平抛运动，从题图可知小球c下落的高度最小，由h＝gt2得t＝，所以小球c飞行时间最短，由x＝v0t得v0＝，小球a的水平位移最小，飞行时间最长，则小球a的初速度最小，故A、B错误；小球做的是平抛运动，加速度为g，速度的变化量为Δv＝gt，所以小球c的速度变化量最小，故C正确；设速度的偏向角为α，则tan α＝，又因小球a的运动时间最长，初速度最小，则小球a的速度偏向角最大，故D错误。] 6．如图所示，“跳一跳”游戏需要操作者控制棋子离开平台时的速度，使其能跳到旁边等高平台上。棋子在某次跳跃过程中的轨迹为抛物线，经过最高点时速度为v0，此时离平台的高度为h。棋子质量为m，空气阻力不计，重力加速度为g。则此跳跃过程(　　) A．所用时间t＝ B．水平位移大小x＝2v0 C．初速度的竖直分量大小为2 D．初速度大小为 B　[棋子从最高点落到旁边等高平台上的运动是平抛运动，分析棋子从最高点落到旁边等高平台上的运动，在竖直方向由h＝gt2得t＝，则棋子跳跃过程所用的时间为2，选项A错误；水平位移大小为x＝v0·2t＝2v0，选项B正确；初速度的竖直分量大小为vy＝gt＝，选项C错误；根据速度的合成规律可得棋子的初速度大小为v＝，选项D错误。] 7．如果将平抛运动分解为水平方向和竖直方向的两个直线运动，在同一坐标系中作出这两个分运动的v-t图线，如图所示，若物体平抛运动的时间大于2t1，下列说法中正确的是(　　) A．图线②表示水平分运动的v-t图线 B．t1时刻的合速度方向与初速度方向夹角为30° C．t1时刻的合速度方向与水平方向夹角的正切值为1 D．2t1时刻的合速度方向与初速度方向夹角为60° C　[图线②表示加速度不变的竖直分运动，故A错误；t1时刻水平分速度和竖直分速度大小相等，则合速度与初速度方向的夹角为45°，合速度方向与水平方向夹角的正切值为1，故B错误，C正确；2t1时刻vy＝2vx，则合速度方向与初速度方向的夹角正切值为2，α≠60°，故D错误。] 8．如图所示，某人从高h的坡上以速度v0水平击出一个质量为m的高尔夫球。由于受恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直落入距击球点水平距离为L的A穴，不计洞穴的深度，则下列说法正确的是(　　) A．球被击出后做平抛运动 B．该球从被击出到落入A穴所用的时间为 C．球被击出时的初速度大小v0＝L D．球被击出后受到的水平风力的大小为 C　[由于水平方向受到空气阻力，因此球的运动不是平抛运动，A错误；球在竖直方向做自由落体运动，由h＝得t＝，由于球竖直地落入A穴，故球在水平方向做末速度为零的匀减速直线运动，根据运动学公式，有L＝v0t－at2，0＝v0－at，解得v0＝L，a＝，t＝，由牛顿第二定律可得水平风力的大小F＝ma＝，故C正确，B、D错误。] 9．如图所示，一个电影替身演员准备跑过一个屋顶，然后水平地跳跃并离开屋顶，在下一栋建筑物的屋顶上着地，如果他在屋顶跑动的最大速度是4.5 m/s，那么下列关于他能否安全跳过去的说法正确的是(g取10 m/s2，不计空气阻力)(　　) A．他安全跳过去是可能的 B．他安全跳过去是不可能的 C．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应小于6.2 m/s D．如果要安全跳过去，他在屋顶水平跳跃速度应不小于4.5 m/s B　[由h＝gt2，x＝v0t，将h＝5 m，x＝6.2 m代入解得：安全跳过去的最小水平速度v0＝6.2 m/s，选项B正确。] 10．河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，则(　　) 甲　　　　　　　　　乙 A．船渡河的最短时间是60 s B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度是7 m/s D　[由题中甲图可知河宽300 m，船头始终与河岸垂直时，船渡河的时间最短，则t＝＝ s＝100 s，A错误，船头方向可以不与河岸垂直，B错误；由于船沿河向下漂流的速度大小始终在变，故船的实际速度的大小、方向也在时刻发生变化，船在河水中航行的轨迹是曲线，C错误；当船头与河水流速方向一致时，船有最大速度为7 m/s，D正确。] 11．(源自鲁科版教材改编)如图所示，从足够高的1、2两点水平抛出两个小球，之后两球在空中的P点相碰，测得从1、2两点抛出的小球在P点时速度方向与水平方向的夹角分别为53°、45°。已知1、2两点在同一竖直线上，P点到1、2两点的水平距离为d，cos 53°＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　) A．从1、2两点抛出的小球在空中运动的时间相等 B．从1、2两点抛出的小球经过P点时的速度大小相等 C．从1、2两点抛出的小球初速度大小之比为 D．1、2两点的竖直高度差为 C　[平抛运动在竖直方向上有h＝gt2，可得t＝，因为h1>h2，可知t1>t2，A项错误；设从1、2两点抛出的球的初速度大小分别为vx1、vx2，球经过P点时的速度大小分别为v1、v2，根据小球在水平方向做匀速直线运动有t1＝，t2＝，由题意可知tan 53°＝＝，tan 45°＝＝，则＝，又因为v1＝＝vx1，v2＝＝vx2，则v1≠v2，B项错误，C项正确；由平抛运动的推论，速度的反向延长线交于水平位移的中点，有 tan 53°＝，tan 45°＝，解得h1＝，h2＝，则1、2两点的竖直高度差Δh＝h1－h2＝，D项错误。] 二、非选择题：共5题，共56分。 12．(12分)某科学兴趣小组要验证小球平抛运动的规律，实验设计方案如图甲所示，用轻质细线拴接一小球，在悬点O正下方有水平放置的炽热的电热丝P，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧断；MN为水平木板，已知悬线长为L，悬点到木板的距离OO′＝h(h>L)。 甲　　　　　　　乙 (1)电热丝P必须放在悬点正下方的理由是________________________。 (2)将小球向左拉起后自由释放，最后小球落到木板上的C点，O′C＝x，则小球做平抛运动的初速度为v0＝________。 (3)图乙是以竖直方格板为背景通过频闪照相得到的照片，每个格的边长l＝5 cm，通过实验，记录了小球在运动途中的三个位置，如图所示，则该频闪照相的周期为________s，小球做平抛运动的初速度为________m/s；过B点的速度为__________m/s。(g取10 m/s2) (4)在其他条件不变的情况下，若改变释放小球时悬线与竖直方向的夹角θ，小球落点与O′点的水平距离x将随之改变，经多次实验，以x2为纵坐标、cos θ为横坐标，得到如图丙所示图像，则当θ＝30°时，x为________m。 丙 [解析]　(1)由于烧断细线前小球做圆周运动，故烧断时速度方向沿圆周轨迹的切线方向，只有在悬点正下方时速度沿水平方向，要使小球做平抛运动，则应在悬点正下方烧断悬线。 (2)小球做平抛运动，在水平方向上有x＝v0t，在竖直方向上有h－L＝gt2， 联立解得v0＝＝x。 (3)在竖直方向上，根据Δy＝2l＝gT2得T＝＝0.1 s， 则小球平抛运动的初速度v0＝＝ m/s ＝1.5 m/s， B点的竖直分速度vyB＝＝ m/s＝2 m/s， 根据速度的合成与分解，B点的速度 vB＝＝ m/s＝2.5 m/s。 (4)由题图丙可知x2＝2－2cos θ，当θ＝30°时，可得x＝ m。 [答案]　(1)保证小球沿水平方向抛出　(2)x　(3)0.1　1.5　2.5　(4) 13．(10分)质量为2 kg的质点在x-y平面上运动，x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像分别如图甲、乙所示。求： 甲　　　　　　　　　　乙 (1)质点所受的合力大小； (2)2 s末的速度。 [解析]　(1)质点在x方向的初速度为vx＝4 m/s，x方向的加速度a＝2 m/s2。在y方向以vy＝3 m/s 做匀速直线运动，则质点所受合力大小F合＝ma＝4 N。 (2)2 s末，vx＝8 m/s，vy＝3 m/s， 得2 s末的速度大小v2＝＝ m/s， 设2 s末的速度与x方向夹角为θ，则tan θ＝。 [答案]　(1)4 N　(2) m/s，方向与x方向夹角的正切值为 14．(10分)如图所示，在倾角为37°的斜面上从A点以6 m/s的初速度水平抛出一个小球，小球落在B点，求：(g取 10 m/s2， sin 37°＝0.6) (1)A、B两点间的距离和小球在空中飞行的时间； (2)小球刚碰到斜面时的速度方向与水平方向夹角的正切值。 [解析]　(1)如图所示，设小球落到B点时速度的偏转角为α，运动时间为t。 则tan 37°＝＝＝t。 又因为tan 37°＝， 解得t＝0.9 s。 由x＝v0t＝5.4 m， 则A、B两点间的距离l＝＝6.75 m。 (2)在B点时，tan α＝＝＝。 [答案]　(1)6.75 m　0.9 s　(2) 15．(12分)无人机在距离水平地面高度h处，以速度v0水平匀速飞行并释放一包裹，不计空气阻力，重力加速度为g。 (1)求包裹释放点到落地点的水平距离x； (2)求包裹落地时的速度大小v； (3)以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，写出该包裹运动的轨迹方程。 [解析]　(1)平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，则有h＝gt2。 水平分运动是匀速直线运动，则有x＝v0t。 联立解得x＝v0。 (2)落地时，竖直方向分速度vy＝gt， 则合速度v＝，解得v＝。 (3)在竖直方向上y＝gt2。 在水平方向上x＝v0t。 消t可得y＝x2。 [答案]　(1)v0　(2)　(3)y＝x2 16．(12分)某同学将小球从P点水平抛向固定在水平地面上的圆柱形桶，小球沿着桶的直径方向恰好从桶的左侧上边沿进入桶内并打在桶的底角，如图所示，已知P点到桶左边沿的水平距离s＝0.80 m，桶的高度h0＝0.45 m，直径d＝0.20 m，桶底和桶壁的厚度不计，取重力加速度g＝10 m/s2，求： (1)P点离地面的高度h1和小球抛出时的速度大小v0； (2)小球经过桶的左侧上边沿时的速度大小及速度方向与水平方向的夹角正切值(结果可以带根号)。 [解析]　(1)设小球从P点运动到圆桶左上沿的时间为t1、运动到桶的底角的总时间为t2。 由平抛运动的规律有：从P点运动到圆桶上沿过程中，在竖直方向有：h1－h0＝gt12，在水平方向有：s＝v0t1。 从P点运动到桶的底角过程中在竖直方向有：h1＝gt22，在水平方向有：s＋d＝v0t2。 联立以上各式并代入数据可得：h1＝1.25 m，v0＝2.0 m/s。 (2)设小球运动到桶的左侧上沿时速度大小为v1，与水平方向的夹角为θ。 由平抛运动的规律有：竖直方向的速度v⊥＝gt1，此时小球的速度：v1＝。 代入数据解得：v1＝2 m/s， 速度的方向：tan θ＝， 代入数据解得：tan θ＝2。 [答案]　(1)1.25 m　2.0 m/s　(2)2 m/s　2 10/16 学科网（北京）股份有限公司 $