精品解析：湖南省常德市第五中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

湖南省常德市第五中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的判定．分式是指分母中含有字母的代数式．选项B的分母中含有字母x，因此是分式． 【详解】解：∵ 分式需满足分母中含有字母， A、式子中，分母为常数5，无字母，不是分式，该选项不符合题意； B、式子中，分母为，含字母x，是分式，该选项符合题意； C、式子中，分母为常数5，无字母，不是分式，该选项不符合题意； D、式子中，为整式，分母无字母，不是分式，该选项不符合题意； 故选：B． 2. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数是非负数”是解本题的关键．由在实数范围内有意义，可得，即可求解． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得：， 故选：A． 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式：熟练掌握最简二次根式满足的条件（被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式）．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； B. ，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； C. 符合最简二次根式的定义，故本选项正确； D.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确； 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法，根据这些性质逐一判断各选项即可 【详解】∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，选项A正确； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，选项B错误； ∵ 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， ∴，选项C错误； ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，选项D错误； 故选：A 5. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的计算法则求解即可． 【详解】解：A、 ，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 7. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方差公式因式分解的概念，掌握平方差公式的适用条件是解题关键． 根据平方差公式的结构特征，逐一判断多项式是否符合“二项式、两项符号相反、且两项均能表示为某个整式的平方”的条件． 【详解】解：可用平方差公式因式分解的结构是：二项式，两项符号相反，且两项均为平方形式， 选项：，两项符号相同，不符合； 选项：，非平方项，不符合； 选项：，符合平方差公式，可分解为； 选项：，两项符号相同，不符合． 故选：． 8. 如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，，再把所给式子提取公因式，然后代入求值即可． 【详解】解：∵边长为，的长方形，它的周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解的应用，长方形的周长和面积，求代数式的值，运用了整体代入的思想．掌握因式分解是解题的关键． 9. 某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，设原计划人数为x人，则实际人数为人，原计划平均每人种树棵，实际平均每人种树棵，根据题意，实际平均每人种树比原计划少3棵，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A． 10. 已知关于的分式方程的解为非正数．则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了分式方程，先解分式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为非正数（）和分母不为零（）的条件，求k的取值范围． 【详解】解：∵方程， 两边同乘公分母，得：， 展开并简化：， ∴， ∴， ∴， ∵解为非正数， ∴，即，解得：， ∵分母不为零，∴且， 当时，，解得， 当时，，解得， 但，故自动满足，只需， ∴且， 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. “沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址在5号坑提取的牙雕制品，最细微处仅为0.00005米，该数据用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．用科学记数法表示绝对值小于1的数时，一般形式为，其中，n为负整数，与绝对值大于1数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可． 【详解】解：将数0.00005用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 若分式的值为0，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，可得且，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为： 13. 若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式求值． 根据已知分式的值，引入参数表示变量，代入所求分式进行求解即可． 【详解】由， 设，则（）， 则． 故答案为： 14. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂．原式利用负整数指数幂、零指数幂法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】将已知两个等式相除，再根据同底数幂的除法法则进行解答便可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同底数幂的除法的应用，关键是灵活应用同底数幂的除法法则的逆运算解题． 16. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则=_______. 【答案】 【解析】 【详解】中间一项为加上或减去x和4积的2倍， 故m=±8， 解得m=±8， 故答案为±8. 点睛：本题主要考查了完全平方式.先根据两平方项确定出两个数，在根据完全平方公式的乘积的二倍即可确定m的值.根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，书记完全平方公式对解题非常重要. 17. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【详解】解：四个独立图形的面积和： 组合图形面积： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 18. 任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的新定义问题，解题的关键是理解题中所给的新定义运算；由题意可设，由可知，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得： 由，可设：， ∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当取的正整数时，明显不符合题意，故x的值只能为1， ∴，即， ∴， ∴或2， 当时，则；当时，则； 故答案为或． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． （1）去分母化为整式方程求解，并检验分母是否为零即可； （2）去分母化为整式方程，求解后检验发现增根，因此无解． 【小问1详解】 解：， 去分母得， 化简，得， 移项，得， 即， 解得：． 检验：当时，分母，且， 所以是原方程的解． 【小问2详解】 解：， 方程化为， 去分母得， 化简，得， 移项，得， 解得：， 检验：当时，分母，无意义， 所以是增根，原方程无解． 20. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 21. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 在一个长为，宽为的矩形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 【答案】剩余部分的面积为平方米 【解析】 【分析】根据矩形的面积-正方形的面积即可得到剩余部分的面积． 【详解】解： 平方米， 答：剩余部分的面积为平方米． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，掌握是解题的关键． 23. 李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？ (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 【答案】（1）70米/分（2）能 【解析】 【分析】（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分，根据等量关系：骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟可得出方程，解出即可； （2）计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和，然后与42比较即可作出判断． 【详解】（1）设步行速度为x米/分，则自行车的速度为3x米/分， 根据题意得：， 解得：x=70， 经检验x=70是原方程的解， 即李明步行的速度是70米/分． （2）根据题意得，李明总共需要：+1=41＜42． 即李明能在联欢会开始前赶到． 答：李明步行的速度为70米/分，能在联欢会开始前赶到学校． 考点：分式方程的应用． 24. （1）通过计算下列各式的值探究问题_______；______；______．综上，对于任意有理数_______． （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应化简：化简：． 【答案】（1）4，0，1，（2） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的性质，实数与数轴，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键： （1）根据算术平方根的定义，进行求解即可； （2）根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，进行化简即可． 【详解】解：（1）， ∴对于任意有理数； （2）由图可知：，， ∴， ∴． 25. 知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）已知，求的值； （3）计算：_____________．（直接写出结果） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算． （1）仿照例1，整体设元，分解因式； （2）仿照例2，整体代入化简求值； （3）仿照例1，令，，分解因式，代入化简结果求值即可． 【小问1详解】 解：设， 原式 ， ； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：令，， ， 原式 ， 故答案为：． 26. 定义：若两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“差常分式”，这个常数称为关于的“差常值”．如分式，，则是的“差常分式”，关于的“差常值”为2． （1）已知分式，，判断是否是的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“差常值”； （2）已知分式，，是的“差常分式”，且关于的“差常值”为2． ①求所代表的整式； ②若为正整数，且的值也为正整数，直接写出满足条件的的值． 【答案】（1）是的“差常分式”， ， 根据题目中对于“差常分式”的定义， ，且为正数， 是的“差常分式”，且关于的“差常值”是； （2）①；②，， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，准确分析计算是解题的关键． （1）根据“差常分式”的定义，化简求出的值，看值是否是常数且为正数，即可判断； （2）①根据题意可知，，代入得，对该等式进行去分母，移项化简可得：；②把①中求得代入的式子中得：，则因为正整数，且的值也为正整数，即也为正整数，故有：或或，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是的“差常分式”， 且关于的“差常值”为2， ，即， 等式两边同时乘以得：， 移项，整理得：； 所代表的整式为：． ， 为正整数，且的值也为正整数，即也为正整数， 或或， 解得：或或， 满足条件的的值为：，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市第五中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵．若设原计划人数为人，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的分式方程的解为非正数．则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. “沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址在5号坑提取的牙雕制品，最细微处仅为0.00005米，该数据用科学记数法表示为_________． 12. 若分式的值为0，则______________． 13. 若，则_____________． 14. 计算：_____________． 15. 若，，则______． 16. 若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则=_______. 17. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 18. 任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（都是正整数，且），在的所有这种分解中，若最小，我们就称是的最佳分解，并记为：．例如可以分解成或，显然是的最佳分解，此时．若正整数满足，，且，则的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1） （2） 20. 因式分解： （1） （2） 21. 先化简，再代入求值：，其中． 22. 在一个长为，宽为的矩形内部挖去一个边长为的正方形，求剩余部分的面积． 23. 李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍． (1)李明步行的速度(单位：米/分)是多少？ (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校？ 24. （1）通过计算下列各式的值探究问题_______；______；______．综上，对于任意有理数_______． （2）应用（1）所得的结论解决问题：有理数在数轴上对应化简：化简：． 25. 知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； （2）已知，求的值； （3）计算：_____________．（直接写出结果） 26. 定义：若两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“差常分式”，这个常数称为关于的“差常值”．如分式，，则是的“差常分式”，关于的“差常值”为2． （1）已知分式，，判断是否是的“差常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“差常值”； （2）已知分式，，是的“差常分式”，且关于的“差常值”为2． ①求所代表的整式； ②若为正整数，且的值也为正整数，直接写出满足条件的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $