广东省揭阳市真理中学2025-2026学年上学期八年级数学期中模拟训练（一）

广东省揭阳市真理中学八年级上数学2025-2026学年度期中模拟训练（一） 一．选择题（共10小题） 1．在﹣1.414，，π，3.，2，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），3.1415926这些数中，无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在2×3的正方形网格中，∠AMB的度数是（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 3．下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B．负数没有立方根 C．的算术平方根是2 D．（﹣1）2的平方根是﹣1 4．在平面直角坐标系中，点A（m﹣1，5）与点B（3，﹣5）关于x轴对称，则m的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．3 D．﹣3 5．如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入x的值为32，那么输出的值为（　　） A． B．2 C． D． 6．已知点P（2m+4，m﹣1）和点Q（2，5），若直线PQ∥y轴，则线段PQ的长为（　　） A．2 B．5 C．7 D．14 7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（　　） A． B．2 C． D． 8．若x、y都是实数，且，则xy的值为（　　） A．0 B． C．2 D．不能确定 9．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2b2﹣a2c2＝b4﹣c4，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 10．如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　） A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6 二．填空题（共6小题） 11．若能与最简二次根式合并，则x的值为　 　 ． 12．如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，则线段DE的长为 　 　 cm． 13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝12，在AB同侧分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 　 　 ． 14．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列． 如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2025的坐标为 　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是△ABC的角平分线，若P、Q分别是AD和AC边上的动点，则PC+PQ的最小值是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 17．计算： （1）； （2）； （3）解方程：（x﹣3）2﹣25＝0； （4）解方程：27（x+1）3+64＝0． 18．已知3a﹣7和a+3分别是某正数m的两个平方根，b+4的立方根为2，c是的整数部分． （1）求m的值； （2）求2a+b+c的平方根． 19．如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，△ABC的各顶点均在格点上，且点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣2，3）． （1）画出平面直角坐标系xOy； （2）画出格点△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （3）在y轴上画出点Q，使△QAB的周长最小． 20．如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，1），点C坐标为（3，0）． （1）求点A的坐标； （2）连接OA，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标． 21．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）若AC＝12，BC＝9，求CE的长． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 23．观察下列等式： ； ； ； … （1）根据以上规律可得，则S4的值为　 　 ． （2）写出Sn的值，并通过计算说明其正确性． 24．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直角边AC在射线OP上，直角顶点C与射线端点O重合，AC＝4，BC＝3． （1）求AB的长． （2）如图2，向右匀速移动Rt△ABC，在移动的过程中Rt△ABC的直角边AC在射线OP上匀速向右运动，移动的速度为1个单位/秒，移动的时间为t秒，连接OB． ①若△OAB为等腰三角形，求t的值； ②Rt△ABC在移动的过程中，能否使△OAB为直角三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 广东省揭阳市真理中学八年级上数学2025-2026学年度期中模拟训练（一） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B C C D C D C 一．选择题（共10小题） 1．在﹣1.414，，π，3.，2，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），3.1415926这些数中，无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：﹣1.414，3.1415926，是有限小数，属于有理数； 3.是循环小数，属于有理数； 无理数有，π，2，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），共4个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2．如图，在2×3的正方形网格中，∠AMB的度数是（　　） A．22.5° B．30° C．45° D．60° 【分析】连接AB，设小正方形的边长为1，根据勾股定理求出AB、AM、BM的长度，根据勾股定理的逆定理得出△ABM是直角三角形，再求出答案即可． 【解答】解：连接AB，设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：AM2＝12+22＝5，AB2＝12+22＝5，BM2＝12+32＝10， ∴AM＝AB，AM2+AB2＝BM2， ∴△MAB是等腰直角三角形， ∴∠AMB＝45°， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键． 3．下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B．负数没有立方根 C．的算术平方根是2 D．（﹣1）2的平方根是﹣1 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义，即可解答． 【解答】解：A、9的平方根是±3，故本选项错误； B、负数有立方根，故本选项错误； C、4，所以的算术平方根是2，故本选项正确； D、（﹣1）2的平方根是±1，故本选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，解决本题的关键是熟记平方根，算术平方根，立方根的定义． 4．在平面直角坐标系中，点A（m﹣1，5）与点B（3，﹣5）关于x轴对称，则m的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．3 D．﹣3 【分析】关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得m﹣1＝3，即可得出答案． 【解答】解：∵点A（m﹣1，5）与点B（3，﹣5）关于x轴对称， ∴m﹣1＝3， 解得m＝4． 故选：B． 【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 5．如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入x的值为32，那么输出的值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据程序框图，将x＝32代入，按照运算法则计算即可． 【解答】解：根据程序框图，将x＝32代入计算可得： 32×（﹣2）＝﹣64， ， ﹣4＜0， （﹣4）×（﹣2）＝8， ， 2＞0， 2的算术平方根为， ∴输出的值为． 故选：C． 【点评】本题考查程序设计与实数运算，求立方根，求算术平方根．熟练掌握以上知识点是关键． 6．已知点P（2m+4，m﹣1）和点Q（2，5），若直线PQ∥y轴，则线段PQ的长为（　　） A．2 B．5 C．7 D．14 【分析】利用“平行于y轴的直线上点的横坐标相等“求出m的值，再通过纵坐标差的绝对值计算线段长度． 【解答】解：由直线PQ∥y轴，知平行于y轴的直线上所有点横坐标相等，因此P与Q的横坐标相等． 点Q横坐标为2，点P横坐标为2m+4，故2m+4＝2，解得m＝﹣1． 代入m＝﹣1得P的纵坐标：m﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2，即P（2，﹣2）． 线段PQ的长为两点纵坐标差的绝对值：|5﹣（﹣2）|＝7， 故选：C． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中平行于y轴的直线上点的坐标特征及两点间距离的计算，掌握相关知识点是解题的关键． 7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝22，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出a2+b2＝13，然后结合完全平方公式的变形得出（a﹣b）2＝5，最后由小正方形的面积为EF2＝（a﹣b）2，即可得出结论． 【解答】解：如图所示，由题意，ED＝a，AE＝b， ∵大正方形的面积为17， ∴AD2＝17， ∵AD2＝AE2+ED2＝a2+b2， ∴a2+b2＝17， ∵（a+b）2＝22， ∴（a﹣b）2＝2（a2+b2）﹣（a+b）2＝2×17﹣22＝12， ∵EF＝ED﹣EF＝a﹣b， ∴小正方形的边长为EF＝2（负值舍去）， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键． 8．若x、y都是实数，且，则xy的值为（　　） A．0 B． C．2 D．不能确定 【分析】由于2x﹣1与1﹣2x互为相反数，要使根式有意义，则被开方数为非负数，由此即可求出x、y的值，最后求xy的值． 【解答】解：要使根式有意义， 则2x﹣1≥0，1﹣2x≥0， 解得x， ∴y＝4， ∴xy＝2． 故选：C． 【点评】本题主要考查根式的定义，利用了二次根式的被开方数必须为非负数，比较简单． 9．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2b2﹣a2c2＝b4﹣c4，则△ABC是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【分析】因为a、b、c为△ABC的三边，所以a＞0，b＞0，c＞0，因为a2b2﹣a2c2＝b4﹣c4，所以a2＝b2+c2或b2﹣c2＝0，得a2＝b2+c2或b＝c，所以△ABC为直角三角形或等腰三角形． 【解答】解：因为a、b、c为△ABC的三边， 所以a＞0，b＞0，c＞0， 因为a2b2﹣a2c2＝b4﹣c4， 所以a2（b2﹣c2）＝（b2+c2）（b2﹣c2）， 所以a2＝b2+c2或b2﹣c2＝0， 得a2＝b2+c2或b＝c， 所以△ABC为直角三角形或等腰三角形． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是将题中的式子进行因式分解． 10．如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（　　） A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）6 【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的．第1个正方形的边长为1，其对角线长为；第2个正方形的边长为，其对角线长为（）2；第3个正方形的边长为（）2，其对角线长为（）3；•••；第n个正方形的边长为（）n﹣1.所以，第6个正方形的边长（）5． 【解答】解：由题知，第1个正方形的边长AB＝1， 根据勾股定理得，第2个正方形的边长AC， 根据勾股定理得，第3个正方形的边长CF＝（）2， 根据勾股定理得，第4个正方形的边长GF＝（）3， 根据勾股定理得，第5个正方形的边长GN＝（）4， 根据勾股定理得，第6个正方形的边长＝（）5． 故选C． 【点评】本题利用勾股定理找到相邻两个正方形的边长之间的根号2倍关系，由此依次推出第2个、第3个、•••、第6个正方形的边长． 二．填空题（共6小题） 11．若能与最简二次根式合并，则x的值为　4　 ． 【分析】根据最简二次根式以及同类二次根式的定义，即可求出答案， 【解答】解：∵，能与最简二次根式合并， ∴x+1＝5， ∴x＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式是解题的关键． 12．如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D，则线段DE的长为 　5　 cm． 【分析】由折叠的性质可得AB＝AB'＝8cm，BC＝B'C'＝10cm，CE＝C'E，由勾股定理可求B'D的长，由勾股定理可求解． 【解答】解：∵将纸片沿AE折叠，BC的对应边B′C′恰好经过点D， ∴AB＝AB'＝8cm，BC＝B'C'＝10cm，CE＝C'E， ∴B'D6cm， ∴C'D＝B'C'﹣B'D＝4cm， ∵DE2＝C'D2+C'E2， ∴DE2＝16+（8﹣DE）2， ∴DE＝5cm， 故答案为：5． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．若AB＝13，BC＝12，在AB同侧分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 　30　 ． 【分析】由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，AC＝5，则S△ABC＝30，再由圆的面积公式得阴影部分的面积（AC2+BC2﹣AB2），即可得出结论． 【解答】解：∵∠ACB＝90°．AB＝13，BC＝12， ∴AB2＝AC2+BC2，AC5， ∴S△ABCBC•AC12×5＝30， 由题意得：阴影部分的面积π（AC）2π（BC）2+S△ABCπ（AB）2 （AC2+BC2﹣AB2）+S△ABC ＝S△ABC ＝30， 故答案为：30． 【点评】本题考查的是勾股定理以及圆的面积公式等知识，如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 14．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 　﹣a+2b﹣2c ． 【分析】由数轴易得b＜a＜0＜c，则a﹣b＞0，a﹣c＜0，b﹣c＜0，利用二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由数轴易得b＜a＜0＜c， 则a﹣b＞0，a﹣c＜0，b﹣c＜0， 原式＝﹣a﹣（a﹣b）﹣（c﹣a）﹣（c﹣b） ＝﹣a﹣a+b﹣c+a﹣c+b ＝﹣a+2b﹣2c， 故答案为：﹣a+2b﹣2c． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握其性质是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列． 如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2025的坐标为 　（﹣506，﹣506）　 ． 【分析】根据各个点的位置关系，可得点P4n在第四象限的角平分线上，点P4n+1在第三象限的角平分线上，点P4n+2在直线y＝﹣x+1（x＜0）的图象上，点P4n+3在第一象限的角平分线上，且2024÷4＝506，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可． 【解答】解：∵每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，均在格点上，P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），P7（2，2），P8（2，﹣2），P9（﹣2，﹣2），P10（﹣3，3），P11（3，3），P12（3，﹣3）……， 由此发现：点P4n在第四象限的角平分线上，点P4n+1在第三象限的角平分线上，点P4n+2在直线y＝﹣x+1（x＜0）的图象上，点P4n+3在第一象限的角平分线上， ∵2025÷4＝506……1， ∴点P2025在第三象限的角平分线上， ∴点P2025（﹣506，﹣506）． 故答案为：（﹣506，﹣506）． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是△ABC的角平分线，若P、Q分别是AD和AC边上的动点，则PC+PQ的最小值是 　　 ． 【分析】如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，过点C作CH⊥AB于点H．利用垂线段最短解决问题即可． 【解答】解：如图，作点Q关于AD的对称点Q′，连接PQ′，过点C作CH⊥AB于点H． ∵AD是△ABC的角平分线，Q与Q'关于AD对称， ∴点Q′值AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，•AC•BC•AB•CH， ∴CH， ∴CP+PQ， ∴PC+PQ的最小值为． 故答案为． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握角平分线的性质，找到C点关于AD的对称点，再由垂线段最短是求解的关键． 三．解答题（共8小题） 17．计算： （1）； （2）； （3）解方程：（x﹣3）2﹣25＝0； （4）解方程：27（x+1）3+64＝0． 【分析】（1）先根据有理数的乘方、算术平方根、绝对值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可； （2）先根据平方差公式、完全平方公式计算，再合并即可； （3）根据平方根的定义解方程即可； （4）根据立方根的定义解方程即可． 【解答】解：（1） ＝﹣1 ＝﹣6； （2） ＝13﹣6 ＝13﹣6﹣81 2； （3）（x﹣3）2﹣25＝0， （x﹣3）2＝25， x﹣3＝±5， x＝8或x＝﹣2； （4）27（x+1）3+64＝0， 27（x+1）3＝﹣64， ， x+1， x． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，平方根，立方根，正确计算是解题的关键． 18．已知3a﹣7和a+3分别是某正数m的两个平方根，b+4的立方根为2，c是的整数部分． （1）求m的值； （2）求2a+b+c的平方根． 【分析】（1）根据平方根的概念求出a＝1，即可得到m＝16； （2）根据立方根的概念求出b＝4，根据无理数的估算求出c＝3，把a＝1，b＝4，c＝3 代入计算即可得到答案． 【解答】解：（1）由条件可知3a﹣7+（a+3）＝0， ∴a＝1， ∴a+3＝1+3＝4， ∴m＝42＝16； （2）由条件可知b+4＝23， ∴b＝4； ∵c是的整数部分，， ∴c＝3， ∴， ∴2a+b+c的平方根是±3． 【点评】本题主要考查了平方根、立方根、无理数的估算、代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 19．如图，在由边长为1的单位正方形组成的网格中，△ABC的各顶点均在格点上，且点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣2，3）． （1）画出平面直角坐标系xOy； （2）画出格点△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （3）在y轴上画出点Q，使△QAB的周长最小． 【分析】（1）直接利用已知点坐标进而建立坐标系得出答案； （2）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：所画平面直角坐标系即为所求； （2）如图所示：△A1B1C1即为所求； （3）如图所示：连接AB1交y轴于点Q，则△QAB的周长最小． 【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． 20．如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为（0，1），点C坐标为（3，0）． （1）求点A的坐标； （2）连接OA，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【分析】（1）先根据AAS证明△ACD≌△CBO，然后根据全等三角形的性质得出CD、AD的长即可得出点A的坐标； （2）作△OAC关于x轴的对称图形得到△OP1C；作△OAC关于轴的对称图形得到△CP2O；作△CP2O关于x轴的对称图形得到△CP3O，根据对称图形的性质即可知道所作的图形全等，即可写出点的坐标． 【解答】解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D， ∵点B坐标为（0，1），点C坐标为（3，0）， ∴OB＝1，OC＝3． ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCO+∠ACD＝90°， ∵AD⊥x轴， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCO， ∴△ACD≌△CBO（AAS）， ∴CD＝OB＝1，AD＝OC＝3， ∴OD＝OC+CD＝3+1＝4， ∴点A的坐标为（4，3）； （2）解：①作△OAC关于x轴的对称图形得到△OP1C， ∴△OP1C≌△OAC， ∴点P1的坐标为（4，﹣3）； ②∵点O和点C关于对称， ∴作△OAC关于轴的对称图形得到△CP2O， ∴△CP2O≌△OAC， ∴点P2的坐标为（﹣1，3）； ③作△CP2O关于x轴的对称图形得到△CP3O， ∴△CP2O≌△CP3O， ∴△CP3O≌△OAC， ∴点P3的坐标为（﹣1，﹣3）， ∴综上所述点P的坐标为（4，﹣3）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣3）． 【点评】此题考查的是全等三角形的判定、图形与坐标的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 21．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，且CB2＝AE2﹣CE2． （1）求证：∠ACB＝90°； （2）若AC＝12，BC＝9，求CE的长． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理可以判断△BEC的形状，从而可以得到∠ACB＝90°； （2）根据（1）中的结果和勾股定理，可以计算出CE的长． 【解答】（1）证明：连接BE，如图所示， ∵ED垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∵CB2＝AE2﹣CE2， ∴CB2＝BE2﹣CE2， ∴CB2+CE2＝BE2， ∴△BEC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）解：设CE＝x，则AE＝12﹣x， ∵BE＝AE， ∴BE＝12﹣x， ∵∠ECB＝90°，BC＝9， ∴CB2+CE2＝BE2， ∴92+x2＝（12﹣x）2， 解得x， 即CE． 【点评】本题考查勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F． （1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长； （2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2． 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论； （2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论． 【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∵BC＝10， ∴BD＝5， Rt△ABD中，∵AB＝13， ∴AD12， 在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴DF＝BD＝5， ∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7； （2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH， 在△CHB和△AEF中， ， ∴△CHB≌△AEF（SAS）， ∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC， ∴∠CEF＝∠CHE， ∴CE＝CH， ∵BD＝CD，FD⊥BC， ∴CF＝BF， ∴∠CFD＝∠BFD＝45°， ∴∠CFB＝90°， ∴EF＝FH， 在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2， ∴BF2+EF2＝AE2． 【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键． 23．观察下列等式： ； ； ； … （1）根据以上规律可得，则S4的值为　4　 ． （2）写出Sn的值，并通过计算说明其正确性． 【分析】（1）通过前三个式子找出其中的规律即可； （2）通过前三个式子找出其中的规律即可． 【解答】解：（1）根据题干规律可得： ． 故答案为：； （2）， ∵，，， ∴． 【点评】本题考查了二次根式的加减法，数字的变化类，掌握二次根式的加减法的运算法则是关键． 24．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直角边AC在射线OP上，直角顶点C与射线端点O重合，AC＝4，BC＝3． （1）求AB的长． （2）如图2，向右匀速移动Rt△ABC，在移动的过程中Rt△ABC的直角边AC在射线OP上匀速向右运动，移动的速度为1个单位/秒，移动的时间为t秒，连接OB． ①若△OAB为等腰三角形，求t的值； ②Rt△ABC在移动的过程中，能否使△OAB为直角三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【分析】（1）根据勾股定理直接求出AB即可得到答案； （2）①分BO＝BA、AB＝AO、OB＝OA三种情况讨论列式计算即可得到答案；②根据勾股定理列出方程，解方程即可；②根据直角三角形满足勾股定理列式求解即可得到答案 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴； （2）①由题意得，OC＝t， 当BO＝BA时，OC＝CA，即t＝4， 当AB＝AO时，t＝5﹣4＝1， 当OB＝OA时，， 解得，（不合题意）， 综上所述，当t＝4或t＝1时，△OAB为等腰三角形； ②当△OAB为直角三角形时，只有∠OBA＝90°， ∴t2+32+52＝（t+4）2， 解得，， ∴当时，△OAB为直角三角形． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用以及等腰三角形的概念，掌握勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/12 8:53:29；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $