第3章 一次方程与方程组单元测试卷 2025-2026学年沪科版七年级数学上册同步讲义与测试

第3章 一次方程与方程组 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题4分）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题4分）下列运用等式的性质的变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 4．（本题4分）在如图所示的解方程过程中，开始出现错误的是（　　） A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 5．（本题4分）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）已知为非负整数，且关于的方程的解为正整数，则的所有可能取值为（    ） A．2，0 B．4，6 C．4，6，12 D．2，0，6 7．（本题4分）若 是关于，的六次单项式，且系数是2，则的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．（本题4分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 9．（本题4分）方程和的公共解是（   ） A． B． C． D． 10．（本题4分）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为（　　） A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（本题5分）解一元一次方程，去括号，得 ． 12．（本题5分）如果关于、的方程是二元一次方程，那么 ． 13．（本题5分）关于、的方程组的解满足，则的值为 ． 14．（本题5分）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．如果慢马先走天． （1）快马 天可以追上慢马； （2）当两者相距里时，快马走了 天． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题8分）解方程： (1) (2) 16．（本题8分）解方程组： (1) (2) 17．（本题8分）已知方程组与方程组的解相同．求的值． 18．（本题8分）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 19．（本题10分）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组，则______________，_______________． (2)已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 20．（本题10分）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 21．（本题12分）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 22．（本题12分）某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品． (1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ (3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？ 23．（本题14分）在数轴上，O为原点，点A、B、C分别表示数a，b，c，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为________； (2)若数轴上有三个动点M、N、P，分别从点A、B、C开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度和3个单位长度． ①若点P向左运动，点M向右运动，点N先向左运动，遇到点M后回头再向右运动，遇到点P后又回头再向左运动，……，这样直到点P遇到点M时三点都停止运动，求点N所走的路程； ②若点M、N向右运动，点P向左运动，点Q为线段的中点，设运动的时间为t秒，在运动过程中，是否存在常数k，使得不论t为何值；的值不变，若存在，求k的值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一次方程与方程组 单元测试卷 （考试时间：120分钟  试卷满分：150分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题4分）下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的概念，根据方程的定义，判断各选项是否为含有未知数的等式． 【详解】解：方程需满足两个条件：①是等式；②含有未知数． A：，是等式，但无未知数，不符合条件②，故不是方程． B：，是等式且含有未知数，满足方程定义，是方程． C：，含有未知数，但为不等式，不符合条件①，故不是方程． D：，含有未知数，但为不等式，同样不符合条件①，故不是方程． 综上，正确答案为B． 故选：B． 2．（本题4分）如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个长方形，设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可． 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 【详解】解：根据图示可得， 故选：B． 3．（本题4分）下列运用等式的性质的变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：．如果，那么或，原式不正确，故该选项不符合题意； ．如果，那么，原式正确，故该选项符合题意； ．如果，当，那么，原式不正确，故该选项不符合题意； ．如果，那么，，则，原式不正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（本题4分）在如图所示的解方程过程中，开始出现错误的是（　　） A．第①步 B．第②步 C．第③步 D．第④步 【答案】B 【分析】根据去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程即可 【详解】解： ① ② ③ ④ 故原题错误的是第②步，错误原因是移项未变号 故选B 【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确的计算是解题的关键． 5．（本题4分）方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法解二元一次方程组是解题的关键．根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则，， ， 解得：， ∴，， ∴方程组的解为：． 故选：D． 6．（本题4分）已知为非负整数，且关于的方程的解为正整数，则的所有可能取值为（    ） A．2，0 B．4，6 C．4，6，12 D．2，0，6 【答案】A 【分析】方程整理后，根据方程的解为正整数确定出k的值即可． 【详解】解：方程去括号得：3x−9＝kx， 移项合并得：（3−k）x＝9， 解得：x＝， 由x为正整数，k 为非负整数， 得到k＝2，0， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 7．（本题4分）若 是关于，的六次单项式，且系数是2，则的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】此题主要考查了单项式的次数和系数，一元一次方程，熟练掌握单项式次数和系数是解题的关键． 根据单项式系数得出n的值，根据次数的定义，可求出，然后求再解即可． 【详解】解∵ 是关于，的六次单项式，且系数是2， ∴，， 解得：，， 故选：C． 8．（本题4分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，以及将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺，由题意，得： ， 故选：A． 9．（本题4分）方程和的公共解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：联立方程得：， 得：， 将代入得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 故选：C． 10．（本题4分）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为（　　） A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 【答案】A 【分析】此题要注意分段考虑，从缴水费16a元，可以确定此职工用水超了10立方米，所以设该职工6月份实际用水量为x立方米，则10立方米部分缴水费为10a元，（x﹣10）立方米部分缴水费2a（x﹣10）元，由共缴水费16a元，列方程即可求解． 【详解】解：设该职工6月份实际用水量为x立方米， 10a+2a（x﹣10）＝16a， 解得：x＝13， 故选：A． 【点睛】此题考查了含有参数的一元一次方程，与学生生活联系密切．抓住各阶段的收费不同，分段分析就能求解是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．（本题5分）解一元一次方程，去括号，得 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程去括号，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 根据去括号法则求解即可． 【详解】解：解一元一次方程， 去括号，得． 故答案为：． 12．（本题5分）如果关于、的方程是二元一次方程，那么 ． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定的取值． 【详解】解：根据二元一次方程的定义，得： 且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值，二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程． 13．（本题5分）关于、的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查已知二元一次方程组解的情况求参数，将所给两个方程相加可得，再将作为整体代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 得， ， ， ， 解得． 故答案为：5． 14．（本题5分）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．如果慢马先走天． （1）快马 天可以追上慢马； （2）当两者相距里时，快马走了 天． 【答案】 或 【分析】本题考查了用一元一次方程解决追及问题．通过设立未知数，将题干信息转化为数学等式，再解等式得到结果，设快马追上慢马需要的天数为天，列出方程，并求解，再设当两者相距里时，快马此时已经走了天，此时慢马走了天，再列方程求解即可． 【详解】解：设快马追上慢马需要的天数为天，根据题意得： ， ， 解得， 故快马追上慢马需要天， 设当两者相距里时，快马此时已经走了天，此时慢马走了天，则有： ， 解得：， ， ， 解得：， 因此当两者相距里时，快马走了或天， 故答案为：，或． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题8分）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的求解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先去括号，再通过移项、合并同类项、系数化为1求解； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 16．（本题8分）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解本题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 先化简得，， 由得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴原方程组的解为． 17．（本题8分）已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组问题，解题关键是根据两个方程组的解相同，列出新的方程组进行求解．把两个方程组中不含字母系数的方程组成方程组，求出未知数x和y的值，再代入另一组含有字母系数的方程组成的方程组，求出a和b的值，最后代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴该方程组的解为， 把代入， 得， ③④，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴， ∴． 18．（本题8分）已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； 又已知关于的方程的两个解是； ， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． (1)关于的方程的两个解是 和 ； (2)已知关于的方程，则的两个解是多少？ 【答案】(1)11， (2)， 【分析】（1）根据规律可直接得到答案； （2）将原方程进行变形，变成即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是， ∴方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解． 19．（本题10分）阅读与思考 “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题：已知实数，满足，求和的值． 小明：利用消元法解方程组，得出，的值后，再分别代入和求值． 小逸：发现两个方程中相同未知数的系数之间的关系，可通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由，可得，由，可得． 李老师对两位同学的方法进行点评，指出小逸同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用请你参考小逸同学的做法，解决下面的问题． (1)已知二元一次方程组，则______________，_______________． (2)已知关于，的二元一次方程组，若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)2，16 (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握“整体思想”是解题的关键． （1）参照题干中小逸的作法求解； （2）由，得出，即可求解． 【详解】（1）解： 由，可得， 由，可得． 故答案为：2，16； （2）解： 由，可得， 方程组的解满足， ， 解得． 20．（本题10分）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)， (2)购进甲种商品件． (3)小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 【分析】本题主要考查一元一次方程与实际问题： （1）根据利润率的定义求解即可． （2）设购进甲商品件，根据题意可得． （3）设打折前应付款为元，购进甲商品时，分两种情况：当时，得，当时，得；同理，购进乙商品时，分三种情况． 【详解】（1）(元) 故答案为：，． （2）设购进甲商品件． 根据题意可得 ． 解得 ． 答：购进甲种商品件． （3）设打折前应付款为元． 第一天，购买甲商品： 当时，由，得，商品件数为(件)，舍去．   当时，由，得，商品件数为(件) ．   第二天，购买乙商品： 当时，由，得(元)，舍去． 当时，由，得，商品件数为(件) ．   当时，商品件数为(件) ，舍去． 两天一共购买的商品件数为(件) ． 答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 21．（本题12分）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值； (3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)② (2)95或97 (3)16 【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解方程和，根据“景元方程”的定义去判断； （2）解出方程的解，一元一次方程的解是，分类讨论，令，求出a的值； （3）解一元一次方程，得，由，得到，把它代入关于y的方程即可求出结果． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 方程的解是， ， ①不是“景元方程”，不符合题意； 方程的解是或， 当时，， ②是“景元方程”，符合题意， 故答案为：②； （2）解：∵方程， 即或， 解得或， 方程的解为或， 一元一次方程的解为， 若，， 则， 解得， 若，， 则， 解得， 综上，a的值是95或97； （3）解：方程， 解得， ， ， ， ， ， ， 分母m不能为0， ， 即， ， ∴． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“景元方程”，通过解一元一次方程的方法求解． 22．（本题12分）某校开展校园科技节系列活动，校学生会代表小明到文具店购买文具作为奖品． (1)小明第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图，求小明原计划购买文具袋多少个？ (2)小明第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ (3)如果小明用48元去购买单价为3元的铅笔，单价为8元的钢笔，单价为5元的笔记本若干（三样都要买，把48元恰好用完），问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)小明原计划购买文具袋13个 (2)小明购买了30支钢笔，20支签字笔 (3)一共有7种购买方案，见解析 【分析】（1）设小明原计划购买文具袋x个，利用总价单价数量，结合多买一个反而省11元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔，利用总价单价数量，结合购买两种笔共50支且共花费288元，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本，根据单价可列方程为，最后结合题意进行讨论即可． 【详解】（1）设小明原计划购买文具袋x个， 依题意得：， 解得：． 答：小明原计划购买文具袋13个． （2）设小明购买了m支钢笔，n支签字笔， 依题意得：， 解得：． 答：小明购买了30支钢笔，20支签字笔． （3）设小明购买了a支铅笔，b支钢笔，c本笔记本， 由题意得， ∵三样都要买，且把48元恰好用完， ∴有如下方案： ①当时，把48元恰好用完； ②当时，把48元恰好用完； ③当时，把48元恰好用完； ④当时，把48元恰好用完； ⑤当时，把48元恰好用完； ⑥当时，把48元恰好用完； ⑦当时，把48元恰好用完， 综上所述，一共有7种购买方案． 【点睛】本题考查了一元一次方程与二元一次方程组的实际应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 23．（本题14分）在数轴上，O为原点，点A、B、C分别表示数a，b，c，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为________； (2)若数轴上有三个动点M、N、P，分别从点A、B、C开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度和3个单位长度． ①若点P向左运动，点M向右运动，点N先向左运动，遇到点M后回头再向右运动，遇到点P后又回头再向左运动，……，这样直到点P遇到点M时三点都停止运动，求点N所走的路程； ②若点M、N向右运动，点P向左运动，点Q为线段的中点，设运动的时间为t秒，在运动过程中，是否存在常数k，使得不论t为何值；的值不变，若存在，求k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16 (2)①52.5个单位长度；②存在， 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负数的性质求出b与c的值，根据多项式为五次四项式求出a的值，即可求得代数式的值； （2）①由题意求出点P遇到点M的时间，也就是点N的运动时间，首先求出的距离，设相遇时间为t，分别表示出两点行驶的距离，建立方程解决问题即可； ②设运动的时间为t秒，则，用含t的式子分别表示出点N和点P，进而表示出点Q，则进一步得到，结合题意列出关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得， ∵是五次四项式， ∴，解得； 则， 故答案为：16； （2）解：①点P，M相遇时间秒， ∴N点所走路程：（单位长度）； ②存在K，使得的值不发生变化；理由如下： 设运动的时间为t秒，则， ∵动点M、N、P，分别从点A、B、C开始同时出发在数轴上运动，B、C在数轴上表示的数分别为，24， ∴运动t秒时点N、P分别位于数轴上的位置， ∴中点Q位于： ∴ ∴， ∵不论t为何值；的值不变， ∴，解得， 即当时，不论t为何值；的值不变， 【点睛】本题主要考查了方程、多项式、动点在数轴上的表示的数、解一元一次方程及线段长之间的关系等问题，掌握数轴上两点之间距离的计算方法，行程问题的数量关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $