精品解析：四川省成都清合教育集团2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

成都清合教育集团2025年11月阶段性作业 九年级数学 时间：120分钟 满分：150分（A卷100分，B卷50分） A卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，﹣5 C. ﹣4，5 D. ﹣4，﹣5 3. 与的相似比为1：4，则与的周长比为（ ）． A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：16 4. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 5. 如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知点是边边上的一点，连接．以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 8. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6m，CD＝10m，则树高AB长为（　　） A. 21.6m B. 6.6m C. 20.6m D. 7.6m 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则________． 10. 若线段，，，成比例线段，且，，，则________． 11. 一个盒子中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的红球的个数为________． 12. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为__________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1） （2）． 15. （）若，且，求的值． （）若，且满足，求、、的值． 16. 在学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明一共抽样调查了________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为________； （2）将条形统计图补充完整； （3）组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 17. 如图，已知：在中，，平分． （1）求证：； （2）若，，求的值． 18. 如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）已知，求的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 点P是线段的黄金分割点，，若，则____________． 20. 设、是方程的两个实数根，则的值为________． 21. 如图，在中，，，则的值是_______． 22. 如图，在中，，，点，分别在，上，，，交于点，则的面积的最大值是___． 23. 如图，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点，且．若，，则________． 二．解答题（共3小题，共30分） 24. 2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”． （1）据市场调研发现，江西某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？ （2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利44元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1600元，每个应降价多少元？ 25. 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 26. 在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交，于点，． （1）如图①，试探究当的度数为多少时，为的中点？说明理由； （2）如图②，当时，若，求正方形的边长； （3）如图③，延长交边于点，连接交于点，记正方形的面积为，的面积为，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都清合教育集团2025年11月阶段性作业 九年级数学 时间：120分钟 满分：150分（A卷100分，B卷50分） A卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程）解决此题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，根据定义判断各选项． 【详解】解：∵一元二次方程需满足：①一个未知数；②最高次数为2；③整式方程． A：，最高次数为1，不符合条件②，故错误； B：，分母含未知数，不是整式方程，不符合条件③，故错误； C：，满足所有条件，是一元二次方程，故正确； D：，最高次数为3，不符合条件②，故错误． 故选:C． 2. 将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，﹣5 C. ﹣4，5 D. ﹣4，﹣5 【答案】B 【解析】 【分析】将一元二次方程转化为一般形式，然后求解． 【详解】解：将一元二次方程3x2﹣4＝5x化为一般形式为 则二次项系数为，一次项系数为 故选B 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程的一般形式，解题关键是熟记其一般形式为． 3. 与的相似比为1：4，则与的周长比为（ ）． A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：16 【答案】C 【解析】 【分析】根据“相似三角形的周长比等于相似比”即可解决问题． 【详解】∵与的相似比为1：4， ∴与的周长比为1：4， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 4. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而菱形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．根据矩形和菱形的性质进行解答即可． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，而菱形的对角线互相平分，不一定相等． 故选：C． 5. 如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DE＝3，DF＝8， ∴， 即＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例． 6. 如图，已知点是边边上的一点，连接．以下条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，解决此题的关键是熟练掌握三角形相似的各种判定方法；判定三角形相似的方法有两组相等的角的三角形相似，两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似，三边对应成比例的三角形相似，根据判定方法一一判断即可； 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，根据有两组相等的角的三角形相似得， 故A和B正确； 当时，即，根据两组对应边成比例及其夹角相等的三角形相似得， 故C正确； 当时，不是夹角，故不能判定和相似， 故D错误； 故选D． 7. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，BC＝7m，则建筑物CD的高是（ ）m A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题． 【详解】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵BE=1.5m，AB=3m，BC=7m， ∴AC=AB+BC=10m， ∴， 解得，DC=5， 即建筑物CD的高是5m； 故选：D 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝15cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.6m，CD＝10m，则树高AB长为（　　） A. 21.6m B. 6.6m C. 20.6m D. 7.6m 【答案】B 【解析】 【分析】根据即可求得的长，进而求得树高 【详解】解：依题意， cm，cm，m，m， m m 故选B 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似三角形的应用，根据题意找到相似三角形是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例，已知式子的值代入求值，解决此题的关键是正确的计算；将 拆分为 ，然后代入已知条件 进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ， 故答案为：． 10. 若线段，，，成比例线段，且，，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查比例线段的定义，根据成比例线段得到比例关系，进而通过等式求解． 【详解】解：∵线段 a， b， c， d 成比例线段， ∴根据比例线段的定义，有，即． ∴． 代入，，，得， 即 ， ∴， 故答案为：6． 11. 一个盒子中装有10个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为，则盒子中原有的红球的个数为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率计算、分式方程的应用，熟练掌握简单事件的概率计算方法是解题关键． 设盒子中原有的红球的个数为个，根据摸到白球的概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设盒子中原有的红球的个数为x个，则总球数为个． 摸到白球的概率为， 由题意得：． 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 故盒子中原有的红球的个数为4个． 12. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即实数的取值范围为． 故答案为：． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图，①以点C为圆心，以适当的长为半径作弧，交于点D，交于点E，连接；②以点B为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以的长为半径作弧，在内与前一条弧相交于点G；④连接并延长交AC于点H，若H恰好为的中点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，如图所示，先证明得到，进一步证明得到，再由H是的中点，得到，由此即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示， 由题意得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定， 相似三角形的性质与判定，证明得到，进一步证明是解题的关键． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． （1）利用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 15. （）若，且，求的值． （）若，且满足，求、、的值． 【答案】（）；（） 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，分式的化简求值，掌握比例的基本性质是解题的关键． （）设，则，，，再代入分式计算即可； （）设，则，，，再代入中求出的值即可求解； 【详解】解：（）设，则，，， ∴； （）设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． 16. 在学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组（，，，），并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明一共抽样调查了________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为________； （2）将条形统计图补充完整； （3）组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）40，， （2） 故补全条形图如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了统计中的抽样调查、扇形统计图、条形统计图及概率的计算，解决此题的关键是正确的计算； （1）结合条形图统计图和扇形统计图得到答案即可； （2）根据（1）中算出的总人数减去已知的人数，补全条形图即可； （3）先画出树状图，列出所有的可能情况，再找出恰好选中1名男生和1名女生的情况数，得到概率即可； 【小问1详解】 解：由题可得：小明一共抽样调查了（名）， 表示组的扇形圆心角的度数为， 故答案为：40，； 【小问2详解】 解：由 （1）可知总人数为40名 ∴C组的人数为（名）， 【小问3详解】 解：依题意，画树状图如下， 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1男1女的结果数为8， ∴恰好选中1男1女的概率为． 17. 如图，已知：在中，，平分． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解决此题的关键是熟练掌握三角形相似的判定； （1）根据两个三角形中两个角相等，即可得到三角形相似； （2）根据等腰三角形的性质得到边长，根据（1）中三角形相似得到边的比例进而即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）易得：， 又∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， 即， ∴． 18. 如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）已知，求的值． 【答案】（1） 解：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴； （2） 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解决此题的关键是熟练运用相似三角形的判定和性质； （1）先根据正方形的性质得到角相等和边相等，进而即可判断三角形全等； （2）先根据（1）中三角形全等得到边相等，再判定三角形相似，运用三角形相似的性质即可得到答案； （3）根据正方形的性质得到平行线，运用平行线分线段成比例即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴可设，， ∴， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 点P是线段的黄金分割点，，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于，代入求值即可． 本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 【详解】解：点P是线段AB的黄金分割点， ， 故答案为：． 20. 设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，由 m 是方程的根得到，由根与系数的关系得到，将所求式子变形后代入求值． 【详解】解：∵ m 是方程 的实数根， ∴，即． 又∵ m， n 是方程 的两个实数根， ∴ 根据根与系数的关系，有． ∴． 故答案为 5． 21. 如图，在中，，，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与证明，正确理解题意是解题的关键．证得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 22. 如图，在中，，，点，分别在，上，，，交于点，则的面积的最大值是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质以及三角形面积，解题的关键是证明，推出是解题的关键．连接，过点作于，先证，则△△，△△，再推出，推出，可得，求出面积的最大值即可解决问题． 【详解】解：连接，过点作于，如图所示： ，， ， 又∵， ， ，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 一定，当最大时，△的面积最大， ， 时，最大， 即当时，△的面积最大，最大值， △的面积的最大值， 故答案为：． 23. 如图，在中，是上一点，连接，点在上，且，为中点，且．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作出正确的辅助线，逐步推理是解题的关键．过点作的平行线交的延长线于点，进一步证明，再利用相似的性质进行线段的转换，即可解答． 【详解】解：如图， 过点作的平行线交的延长线于点， ， ． ， ． ． ， ， ． ． 为中点， ． ， ． ， ． ，， ． ． ， ， ． 故答案为：． 二．解答题（共3小题，共30分） 24. 2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”． （1）据市场调研发现，江西某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增加20%，则该工厂在四月份能生产多少个“冰墩墩”？ （2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利44元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1600元，每个应降价多少元？ 【答案】（1）720个 （2）每天要盈利1600元，每个应降价4元 【解析】 【分析】（1）先根据增长率求出3月份生产量，再求4月份的生产量即可； （2）关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=1600，列出一元二次方程，求解并进行判断即可． 【小问1详解】 3月份的产量为：（个） 4月份的产量为：（个） 【小问2详解】 设每个“冰墩墩”降价x元（x≤10），则每天可多售5x件．根据题意得， 整理得， 解得， ∵ ∴ 所以，如果每天要盈利1600元，每个应降价4元 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 25. 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？ 【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400． 【解析】 【分析】 【详解】（1）∵四边形EGHF为矩形， ∴BC∥EF， ∴△AEF∽△ABC； （2）设正方形零件的边长为x， 在正方形EFHG中，EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴即， 解得：x=48， 即：正方形零件的边长为48； （3）设长方形的长为x，宽为y， 当长方形的长在BC时，， ， ， 当x=60时， 长方形的面积最大为2400． 考点：1．相似三角形的应用；2．二次函数的应用． 26. 在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交，于点，． （1）如图①，试探究当的度数为多少时，为的中点？说明理由； （2）如图②，当时，若，求正方形的边长； （3）如图③，延长交边于点，连接交于点，记正方形的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】（1） 当时，为的中点， 理由：四边形是正方形， ，， ∵， ， 四边形是矩形， ， ∵为的中点， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴, 当时，为的中点； （2）正方形的边长为10； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，，而，可证明四边形是矩形，则，由折叠得，，从而利用中点的定义得到， ，所以，即当时，为的中点； （2）先证明，得，则，而，所以，则，求得，则，再根据勾股定理求得，所以，则，所以正方形的边长为10； （3）先根据证明，得，再证明，得，由，得，则，所以为的中点，设，，由勾股定理得，求得，则，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ，， ， ， 正方形的边长为10； 【小问3详解】 解：，，， ，， 在和中， ， ， ，， ∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， 为的中点， 设，，则， ，， ， ， 解关于的方程得， ，， ，， ， ， ， 的值为． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行线的性质、同角的余角相等、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $