第1章 第2课时 探索勾股定理（二）(内文)-【教与学·学导练】2025-2026学年八年级上册数学同步课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦勾股定理的验证与应用，通过“温故知新”环节复习直角三角形边长计算、阴影面积求解等基础，搭建新旧知识桥梁，为探索定理验证方法提供学习支架。 其亮点在于“母题-变式-创新”三级设计，课本母题改编自教材习题用直角梯形面积法验证定理，创新设计结合赵爽弦图变换培养几何直观与推理能力。学生能深化数学思维，教师可高效实施分层教学提升课堂效率。

数学 八年级 上册 配北师大版 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 第一章 勾股定理 第2课时　探索勾股定理（二） 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 课本母题 05 母题变式 06 创新设计 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 温故知新 1. 如图1－2－1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则 AB=（　B　） 图1－2－1 A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 B 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 2. 如图1－2－2，阴影部分（长方形）的面积为（　B　） 图1－2－2 B A. 24　　 B. 30 C. 48 D. 18 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 知识重点 如图1－2－3，有四个全等的直角三角形，其直角边长分别为 a和b，斜边长为c，用它们可以拼成一个图形来验证勾股定理：a2 ＋b2=c2. 用两种方法计算小正方形的面积：S小正方形=（b－a） 2=b2－2ab＋a2，S小正方形=c2－4∙ab=c2－2ab. 所以b2－2ab＋a2=c2－2ab.所以a2＋b2=c2. 图1－2－3 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 对点范例 3. 如图1－2－4是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成 的大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角 形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（　A　） 图1－2－4 A A. 4　　B. 6 C. 8 D. 10 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 课本母题 知识点1： 验证勾股定理 【例1】（课本P8习题改编）如图1－2－5是由两个全等的直角三 角形和一个等腰直角三角形拼成一个直角梯形.你能通过它证明勾 股定理吗？ 图1－2－5 得S梯形=（a＋b）（a＋b）=2×ab＋c2. 整理，得a2＋2ab＋b2=2ab＋c2. 所以a2＋b2=c2. 解：根据面积公式， 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 思路点拨：根据梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和 列出等式并整理即可. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 母题变式 4. （课本P4尝试∙思考）为了计算图1－2－6中大正方形ABCD的面 积，小明对这个大正方形适当割补后得到图1－2－6①和②.你能 分别利用图1－2－6①和②验证勾股定理吗？ 图1－2－6 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：图1－2－6①中正方形ABCD的面积可以表 示为（a＋b）2，又可以表示为c2＋2ab， 所以（a＋b）2=c2＋2ab. 所以a2＋b2=c2. 图1－2－6②中正方形ABCD的面积可以表示为（a－b）2，又可 以表示为c2－2ab， 所以（a－b）2=c2－2ab. 所以a2＋b2=c2. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 课本母题 【例2】（课本P5例题改编）如图1－2－7，我方侦查员小王在距 离东西向公路500 m的点A处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾 驶.他用红外测距仪测得汽车与他相距500 m的点C处，过了30 s， 汽车到达点B处，测得汽车与他相距1 300 m，请你帮小王计算敌 方汽车的速度. 图1－2－7 知识点2： 勾股定理的简单应用 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：由题意，得AC=500 m，AB=1 300 m. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理，得BC2=AB2－ AC2，即BC2=1 3002－5002=1 440 000. 所以BC=1 200（m）. 所以1 200÷30=40（m/s）=144（km/h）. 答：敌方汽车的速度是144 km/h. 思路点拨：根据勾股定理求出敌方汽车行驶的距离，根据速 度的计算公式计算即可. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 母题变式 5. （课本P6习题改编）如图1－2－8是某沿江地区交通平面 图，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已 知MN=60 km，ON=80 km，OP=100 km，PQ=240 km，若沿江高 速公路的建设成本是6 000万元/km，该沿江高速公路的造价预计 是多少？ 图1－2－8 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 解：由题意，可得∠OPQ=∠MNO=90°. 在Rt△ONM中，MN=60 km，ON=80 km， 由勾股定理，得OM2=ON2＋MN2，即OM2=602＋802=10 000. 所以OM=100（km）. 在Rt△OPQ中，OP=100 km，PQ=240 km， 由勾股定理，得OQ2=OP2＋PQ2，即OQ2=1002＋2402=67 600. 所以OQ=260（km）. 因为成本是6 000万元/km， 所以该沿江高速公路造价为6 000×（100＋260）=2 160 000（万 元）. 答：该沿江高速公路造价是2 160 000万元. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 创新设计 6. （创新题）我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家 赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1－2－9①所示的“赵爽 弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，三角形 的两直角边长分别为a，b，斜边长为c）. （1）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图1－ 2－9②，请利用它证明勾股定理； 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 4×ab＋c2. 整理，得a2＋2ab＋b2=2ab＋c2. 解：（1）根据面积公式，得S大正方形=（a＋b）2= 所以a2＋b2=c2. 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）如图1－2－9③，将图1－2－9②的2个三角形进行了运动变 换，若a=6，b=3，求阴影部分的面积. 图1－2－9解：（1）根据面积公式，得S大正方形=（a＋b）2= 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 （2）由图1－2－9③，可知阴影部分的面积=S正方形－2S三角形. 因为a=6，b=3，所以c2=a2＋b2=62＋32=45. 所以S阴影=c2－2×ab=45－2××6×3=27. 所以阴影部分的面积为27. 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 八年级 上册 配北师大版 $