4.5 相似三角形判定定理的证明 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.5 相似三角形判定定理的证明-北师大版数学九年级上册 一、选择题 1．下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是(　　) A．都含有一个50°的内角 B．都含有一个70°的内角 C．都含有一个80°的内角 D．都含有一个100°的内角 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定-AA 【解析】【解答】解：∵等腰三角形中的一个50°的内角可能是顶角，也可能是底角，∴都含有一个 50°的内角的两个等腰三角形不一定相似.故选项 A 不符合题意.同理，选项 B，C也不符合题意.又∵ 等腰三角形的一个100°的内角只能是顶角，顶角相等的两个等腰三角形的底角都相等，∴都含有一个100°的内角的两个等腰三角形一定相似.故选项 D符合题意. 故答案为：D . 【分析】根据等腰三角形的性质和内角和定理，等腰三角形的顶角可能是钝角或锐角、直角，但底角只能是锐角，由两角相等的两个三角形相似，得出D能判定，A、B、C不能判定. 2．（2025九上·顺德月考）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　） A．CA平分 B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠BAC A：CA平分，则ACD=∠ACB，即∽，A正确 B：∠DAC=∠ABC，即∽，B正确 C：，不能判断∽，C错误 D：，∽，D正确 故答案为：C 【分析】根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案. 3．（2024九上·青浦期中）已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：根据题意作图如下： A、，，，故此选项不符合题意； B、，，，故此选项不符合题意； C、，，，故此选项不符合题意； D、根据和不能判断，故此选项符合题意. 故答案为：D． 【分析】根据有两组角分别相等的两三角形相似可判断A、B选项；根据有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似可判断C、D选项. 4．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，AB=8，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠AED=∠C，若AD•AC=26，则AE的长为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵∠AED=∠C，∠EAD=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC ∴ ∴AD·AC=AE·AB， ∵AD·AC=26，AB=8， ∴26=8AE， ∴ 故答案为：C. 【分析】通过已知条件可判定两个三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质来求解AE的长度. 5．下列四个三角形中，与如图所示的△ABC 相似的为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题 【解析】【解答】解：设网格的边长是1， 则 A.三边之比是= 故本选项正确； B.三边之比是 故本选项错误； C.三边之比是 故本选项错误； D.三边之比是 故本选项错误. 故答案为：A . 【分析】先求出三角形的三边，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐项判断解答即可. 6．（2025九上·衡阳开学考） 在矩形中，，，，分别是边，的中点，于点，的延长线交于点，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：延长DE，CB交于点H， ∵点E是AB的中点， ∴AE=BE=2.5， ∵ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB∥CD，∠DCH=90°， ∴∠DAB=∠ABH，∠ADE=∠H， ∴△ADE≌△BHE， ∴AD=BH=3， ∵AB∥CD， ∴∠AED=∠EDC， ∴tan∠AED=tan∠EDC，即， 设DP=5a，则PC=6a， 又∵PC⊥DH， ∴∠PDC+∠PCD=∠HCP+∠PCD=90°， ∴∠HCP=∠PDC， ∴tan∠HCP=tan∠PDC，即， ∴，解得， 又∵AD∥BC， ∴∠ADP=∠H，∠DGP=∠GBH， ∴△DGP∽△HBP， ∴，即， 解得DG=， 故答案为：A. 【分析】延长DE，CB交于点H，则可得到△ADE≌△BHE，即可得到AD=BH=3，然后根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余可得∠AED=∠EDC=∠HCP，根据正切设DP=5a，则PC=6a，求出，然后证明△DGP∽△HBP，根据对应边成比例解答即可. 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA，OC 分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC 绕着点O逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的点A1处，则点C的对应点 C1的坐标为(　　). A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形的旋转；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角 【解析】【解答】解：过点 C1作C1D⊥x轴于点 D， ∵∠C1DO=∠A1CO=90°，∠DOC1=∠COA1=90°-∠COC1 ∴△C1OD∽△A1OC， ∴即 ∴OD=，C1D= ∴C1（-，）。 故答案为：A 【分析】过点 C1作C1D⊥x轴于点 D，根据两角对应相等，可得出△C1OD∽△A1OC，从而得出进而可求得OD=，C1D=，即可得出C1（-，）。 8．（2025九上·江北期末）如图，点 为 边 上一点（可与点 重合），已知 ．以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 于点 ；再以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 （点 在点 下方）；最后以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ，连结 并延长且交 于点 ．以下 4 个结论：① ；② ；③ 的最大值为 ；④若 为 中点，则 ．其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：①由尺规作图得到： ∠CDE =∠B， 故①符合题意； ②∵∠C =∠C， ∠CDE=∠B， ∴△CED∽△CAB， 故②不符合题意； ③当D与A重合时，CE最大， 此时CD =AC =8， 故③符合题意； ④当D为AC中点时， 由尺规作图可得BM=DQ<DE， ∵△CED∽△CAB， 故④符合题意， ∴正确的结论有3个， 故答案为： C. 【分析】由尺规作图得到∠CDE=∠B， 判定△CED∽△CAB， 推出 当D与A重合时，CE最大， 由 即可求出CE的最大值，由线段中点定义得到 由尺规作图可得BM =DQ<DE， 由△CED∽△CAB， 推出 得到 即可解题. 二、填空题 9．（2025九上·贵港期末）如图，，若，，则的长为　 　． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案. 10．（2024九上·宁波期中）如图，在三角形纸片中，∠A=80°，AB=6，AC=8.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有　 　（请在横线上填上符合条件的序号） 【答案】①②④ 【知识点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解： ①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似. 故答案为：①②④. 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可. 11． 如图，点 B，D，E 在一条直线上，BE 与AC相交于点F， 若∠BAD=21°，则∠EBC 的度数为　 　. 【答案】21° 【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角 【解析】【解答】解：∵ ∴△ABC∽△ADE， ∴∠ADE=∠ABC， ∴∠BAD=∠CBE=21°， 故答案为：21° . 【分析】根据三边对应成比例得到△ABC∽△ADE，即可得到∠ADE=∠ABC，然后根据角的和差和三角形的外角得到∠BAD=∠CBE解答即可. 12．（2025九上·温州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB上一点，，连接DE并延长交CB的延长线于点F.连接CE，过点A作AG∥EC交DE于点G，若AG=10，则CE的长为　 　. 【答案】22 【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：∵AG∥EC， ∴∠AGE=∠DEC， ∵四边形ABCD为平行四边形，点E是AB中点， ∴AB∥CD， AB=CD=2AE， ∴∠AEG=∠CDE， ∴△AEG∽△CDE， ∴EC=. 故答案为：22. 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质证明△AEG∽△CDE， 根据对应边成比例解答即可. 13．（2025九上·宝安月考）在中，，，，点D为CB上一点，，连接AD交CE于点M，作关于AD的对称图形，若，则ME为　 　. 【答案】 【知识点】勾股定理；轴对称的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：如图， 延长交于， 设，， ∵， ∴，， ∵作关于的对称图形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴，， ∵， ∴，解得： ∴ 故答案为：． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，对称的性质，勾股定理；延长交于，设，，则，，由对称可得，结合得到，则，再由，得到，求出，，由，得到，求出，最后根据列方程求出，即可得到． 三、解答题 14．（2023九上·商河期中）如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【答案】解：，， ， ， ， 的长为． 【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】先证明，根据相似三角形的性质即可解答． 15．（2024九上·上城期末）如图，在中，是边上的点，已知． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明：，， （2）解：， ， . ​​​​​​​ 【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）由相似三角形的对应边成比例得到，求出长，继而得到BD长解题即可． 16．（2025九上·象山月考）如图，四边形ABCD中.AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：； （2）若，，求的值. 【答案】（1）解：∵AC平分∠DAB ∴∠CAD=∠BAC ∵∠ADC=∠ACB=90° ∴△ABC~△ACD ∴ ∴ （2）解：由(1)知，故AC2=24，得AC=2， ∵E为AB的中点， ∴EA=EC=AB=3 ∴∠ECA=∠EAC 又∵AC平分∠BAD ∴∠EAC=∠CAD ∴∠ACE=∠CAD ∴CE||AD ∴ ∴AF=AC= ∴ 【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】(1)由AC平分∠BAD得∠CAD=∠BAC，由此得△ABC~△ACD，即可得结论； (2)由(1)的结论得AC的长，由E为AB的中点得∠ACE=∠CAD，即有CE||AD，由平行线分线段成比例可得AF的长，即可得的值 . 17． 如图，在矩形 ABCD 中，AB =8，AD=4，E 是边DC 上的任一点(不包括端点 D，C)，过点 A 作AF⊥ AE 交CB 的延长线于点 F，设DE=a. （1）求BF 的长(用含 a 的代数式表示). （2） 连结EF 交AB 于点G，连结GC.当GC∥AE 时，求证：四边形 AGCE 是菱形. 【答案】（1）解：∵ 四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°. ∴∠ABF=90°，∠EAD+∠BAE=90°. ∵AF⊥AE， ∴∠FAB+∠BAE=90°. ∴∠FAB=∠EAD. ∵∠ABF=∠D， ∴△ABF∽△ADE. ∵AB=8，AD=4，DE=a， （2）证明：如图，连结AC. 在矩形 ABCD 中，AB∥CD，AD=BC=4，AB=CD=8，∠ABC=90°， ∴∠FBG=90°. ∴∠ABC=∠FBG. ∵GC∥AE，AB∥CD， ∴ 四边形AGCE 是平行四边形. ∴AG=CE. ∴ 易得BG=DE=a. ∵BF=2a， 即 ∵∠ABC=∠FBG=90°， ∴△ABC∽△FBG. ∴∠ACB=∠FGB. ∵∠GFB+∠FGB=90°， ∴∠GFB+∠ACB=90°. ∴ 易得AC⊥GE. ∴ 四边形AGCE 是菱形. 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可知∠BAD=∠ABC=∠D=90°，再证明△ABF∽△ADE，进而利用相似三角形的性质即可求解； (2)连结AC，先证明四边形AGCE 是平行四边形，再利用SAS定理证明△ABC∽△FBG，进而即可得出结论. 18．（2025九上·温州期末）如图， 交于点 ，过点 作 交 于点 ．已知 ．设 ． （1）求 关于 的函数表达式。 （2）若 ，求 的长． 【答案】（1）解：∵EF∥AB交BC于点F， AE =BC，CE=3. CF=x， AE=y， （2）解：当x=CF=2时， ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∵AB=8， ∴CD=4. 【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角 【解析】【分析】(1)根据EF∥AB， 得 代入整理即得； (2)当CF=2时， 代入 (1) 中结果求得AE=6， 根据AB∥CD，得△ABE∽△CDE， 得 代入计算即得. 19．（2024九上·杭州期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接有以下四个条件：；；；． （1）请你从中任选一个条件，使得∽，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． （2）在的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】（1）， 理由：，， ， ， ∽ 注：答案不唯一，如选择； （2）， ， 点为中点， ， ∽， ， ， ， ， 线段的长为 【知识点】相似三角形的判定-AA 【解析】【分析】(1)若选择①，可根据“两角分别相等的两个三角形相似’证明△ABC∽△AED；若选择②，可由∠BDE+∠C=180°，∠BDE+∠ADE=180°，推导出∠C=∠ADE，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED；若选择③，可将AD·AB=AE·AC变形，再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED； (2)由AE=2AD=6，求得AD =3，AC=2AE=12，由相似三角形的性质得，即可求出AB的长度. 20．（2024九上·威远期中）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得；再在BD的延长线上确定一点G，使米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米.已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计） 【答案】解： 如图， 过点作于点，CDBH是矩形，则，，在中， ∵∠ACD=135°，∠DCH=90° ∴∠ACH=∠ACD-∠DCH=45° ∴， 设大树高AB为xm 则 AH=X-0.5 BG=BD+CG =X-0.5+5 =X+4.5 ∵，， 由反射角等于入射角得， ∴ ∴，即， 解得x=18 ∴这棵树高18米. 【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】过点作于点，根据有3个直角的四边是矩形，证CDBH是矩形，根据等腰三角形的两条腰相等，证CH=AH，从而得出。设大树高AB=Xm，用含有X的式子表示出BG=x+4.5，根据两个对应角相等的两个三角形全等证明，因此得出，即再求出x即可. 21．（2025九上·兰州期末）如图（1），在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接． 【问题发现】 （1）如图（2），当时，与的数量关系为_________，与的数量关系为_________． 【类比探究】 （2）如图（3），当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请写出线段的长并说明理由． 【答案】解：（1）； （2）与之间的数量关系发生变化，，理由如下： 如图（1）在矩形和矩形中， 当时，， ， ， 如图，连接， 矩形绕点A顺时针旋转， ， ， ， ； （3）线段的长为或．理由如下： 如图，当点N在线段上时， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当点M在线段上时， 同理可求， ； 综上所述：线段的长为或． 【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边 【解析】【解答】解：（1）当时，， ， ， 四边形和四边形都是矩形，且， 四边形和四边形都是正方形， ， ， ， A、N、C三点在同一条直线上， ， ， ， 故答案为：； 【分析】（1）首先得出当时，四边形和四边形都是正方形，进而根据正方形的性质可得出A、N、C三点在同一条直线上，得出； （2）与之间的数量关系发生变化，，连接，首先可证得， （2）根据题意可得。根据勾股定理首先得出，连接，可证明，即可得出； （3）分两种情况，结合勾股定理，可得出：当点N在线段上时，；当点M在线段上时，， 22．（2024九上·宁波期中）综合与实践 【问题提出】 勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比. （1）【初步感知】 如图1，若，求临金比的值. （2）【类比探究】 如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线. ①求证：点D是线段BC的黄金分割点： ②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积. （3）【拓展应用】 如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗?并说明理由. 【答案】（1）解：如图1， 设 则. ， ， ， 整理得： 解得 (不符合题意，舍去) ， ， ， ∴黄金比 的值为 （2）①证明： 如图2， 作 '于点R， 且， ∴， ， ∴点D是线段BC的黄金分割点. ②， ， 的面积是 （3）解：直线AN不是 的黄金分割线， 理由：如图3， ∴， ∴， ∴直线AN不是 的黄金分割线. 【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边 【解析】【分析】(1)设 则 由 得 则 求得符合题意的x值为 则黄金比 的值为 (2)①作. 于点R，则 ， 由 得，所以 则点D是线段BC的黄金分割点； ②由 得 所以 (3)由证明 所以则 由 得 所以 则 所以， 则 可知 直线AN不是 的黄金分割线. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5 相似三角形判定定理的证明-北师大版数学九年级上册 一、选择题 1．下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是(　　) A．都含有一个50°的内角 B．都含有一个70°的内角 C．都含有一个80°的内角 D．都含有一个100°的内角 2．（2025九上·顺德月考）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　） A．CA平分 B． C． D． 3．（2024九上·青浦期中）已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，AB=8，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠AED=∠C，若AD•AC=26，则AE的长为（　　） A． B．3 C． D．4 5．下列四个三角形中，与如图所示的△ABC 相似的为(　　) A． B． C． D． 6．（2025九上·衡阳开学考） 在矩形中，，，，分别是边，的中点，于点，的延长线交于点，则的长是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA，OC 分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC 绕着点O逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的点A1处，则点C的对应点 C1的坐标为(　　). A． B． C． D． 8．（2025九上·江北期末）如图，点 为 边 上一点（可与点 重合），已知 ．以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 于点 ；再以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 （点 在点 下方）；最后以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ，连结 并延长且交 于点 ．以下 4 个结论：① ；② ；③ 的最大值为 ；④若 为 中点，则 ．其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题 9．（2025九上·贵港期末）如图，，若，，则的长为　 　． 10．（2024九上·宁波期中）如图，在三角形纸片中，∠A=80°，AB=6，AC=8.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有　 　（请在横线上填上符合条件的序号） 11． 如图，点 B，D，E 在一条直线上，BE 与AC相交于点F， 若∠BAD=21°，则∠EBC 的度数为　 　. 12．（2025九上·温州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB上一点，，连接DE并延长交CB的延长线于点F.连接CE，过点A作AG∥EC交DE于点G，若AG=10，则CE的长为　 　. 13．（2025九上·宝安月考）在中，，，，点D为CB上一点，，连接AD交CE于点M，作关于AD的对称图形，若，则ME为　 　. 三、解答题 14．（2023九上·商河期中）如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 15．（2024九上·上城期末）如图，在中，是边上的点，已知． （1）求证：； （2）若，，求的值． 16．（2025九上·象山月考）如图，四边形ABCD中.AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点， （1）求证：； （2）若，，求的值. 17． 如图，在矩形 ABCD 中，AB =8，AD=4，E 是边DC 上的任一点(不包括端点 D，C)，过点 A 作AF⊥ AE 交CB 的延长线于点 F，设DE=a. （1）求BF 的长(用含 a 的代数式表示). （2） 连结EF 交AB 于点G，连结GC.当GC∥AE 时，求证：四边形 AGCE 是菱形. 18．（2025九上·温州期末）如图， 交于点 ，过点 作 交 于点 ．已知 ．设 ． （1）求 关于 的函数表达式。 （2）若 ，求 的长． 19．（2024九上·杭州期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接有以下四个条件：；；；． （1）请你从中任选一个条件，使得∽，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． （2）在的前提下，若点为中点，，求线段的长． 20．（2024九上·威远期中）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得；再在BD的延长线上确定一点G，使米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米.已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计） 21．（2025九上·兰州期末）如图（1），在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接． 【问题发现】 （1）如图（2），当时，与的数量关系为_________，与的数量关系为_________． 【类比探究】 （2）如图（3），当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请写出线段的长并说明理由． 22．（2024九上·宁波期中）综合与实践 【问题提出】 勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比. （1）【初步感知】 如图1，若，求临金比的值. （2）【类比探究】 如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线. ①求证：点D是线段BC的黄金分割点： ②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积. （3）【拓展应用】 如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗?并说明理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $