第三章 圆锥曲线（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了圆锥曲线的性质及运算等常见考点。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知曲线：，若曲线表示椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 或 D. 2.若双曲线（）的一条渐近线方程为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3.抛物线上一点到焦点的距离为 3，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.若直线与椭圆相交于，两点，则的长度为（ ） A. B. C. D. 5.双曲线 的一条渐近线方程为 ，且直线 与该双曲线相交，则 的取值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 3 6.抛物线 上一点 P 到焦点的距离为 6，则点 P 的横坐标和该抛物线的准线方程分别是（ ） A. -3， B. 3， C. -3， D. 3， 7.已知椭圆 () 的离心率为 ，且直线 与该椭圆交于 A、B 两点，则下列说法正确的是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 8.双曲线 的焦点到渐近线的距离与该双曲线的离心率之和为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9.抛物线 的顶点到直线 的距离与该抛物线的离心率之积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆 上一点 M 到左焦点的距离为 4，则点 M 到右焦点的距离及该椭圆的短轴长分别是（ ） A. 6，8 B. 6，4 C. 10，8 D. 10，4 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分) 1. 已知椭圆，下列说法正确的有（ ） A. 该椭圆关于 x 轴、y 轴和原点均对称 B. 椭圆的长轴长为 10，短轴长为 6 C. 椭圆的离心率为 D. 直线与该椭圆有 2 个交点 2. 关于双曲线，下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的焦点坐标为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若双曲线过点，则 D. 直线与该双曲线相交于两点 3. 下列关于椭圆和双曲线的说法中，正确的有（ ） A. 椭圆（）的离心率，双曲线的离心率 B. 椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为 C. 椭圆与双曲线有相同的焦点 D. 椭圆的对称轴有 2 条，双曲线的对称轴有 4 条 4. 已知双曲线，下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的顶点坐标为 B. 双曲线的范围是，x 为任意实数 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 若直线与该双曲线有且只有一个公共点，则 5. 关于抛物线，下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的对称轴为 y 轴 B. 抛物线的离心率为 1 C. 直线与该抛物线相切 D. 若点、在抛物线上，则 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 1.椭圆的离心率为_______。 2.双曲线的焦点坐标为_______。 3.抛物线的准线方程为_______。 4.直线 与抛物线 相切，则 的值及该抛物线的焦点坐标分别是__________。 5.若直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是_______。 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 1．已知椭圆的长轴顶点在 x 轴上，且长轴顶点坐标为 ，焦点坐标为 。求： （1）该椭圆的标准方程； （2）该椭圆的离心率。 2. 已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点。求： （1）该双曲线的标准方程； （2）该双曲线的焦点坐标。 3. 已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点。求： （1）该双曲线的标准方程； （2）该双曲线的焦点坐标。 4．已知抛物线与直线相交于 M、N 两点（直线过抛物线焦点）。求： （1）抛物线的焦点坐标； （2）线段 MN 的长度。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【湖北专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了圆锥曲线的性质及运算等常见考点。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知曲线：，若曲线表示椭圆，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 或 D. 【答案】： B 【解析】： 曲线表示椭圆需满足两个条件：①分母均为正数，即且，解得；②分母不相等（若相等则为圆，圆是特殊的椭圆，但题目未明确包含圆，按标准椭圆定义需排除），即，解得。综上，的取值范围是且，故选 B。 2.若双曲线（）的一条渐近线方程为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】： A 【解析】： 双曲线（，）的渐近线方程为。本题中，即，已知一条渐近线为，则，即，解得，故选 A。 3.抛物线上一点到焦点的距离为 3，则点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】： B 【解析】： 抛物线（）的焦点坐标为，准线方程为，且抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离（抛物线定义）。本题中，即，准线方程为。设点的横坐标为，则，解得，故选 B。 4.若直线与椭圆相交于，两点，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】： A 【解析】： 联立直线与椭圆方程： 将代入椭圆方程得：，展开整理：，即，提取公因式得：，解得，。对应，。 根据两点间距离公式，代入得： 故选 A。 5.双曲线 的一条渐近线方程为 ，且直线 与该双曲线相交，则 的取值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】：A 【解析】：双曲线焦点在 轴上，渐近线方程为 ，其中 ()， ()，故 ，即 。选项中只有 ，此时直线与双曲线相交；若 ，直线与双曲线可能相离或相切，故选 A。 6.抛物线 上一点 P 到焦点的距离为 6，则点 P 的横坐标和该抛物线的准线方程分别是（ ） A. -3， B. 3， C. -3， D. 3， 【答案】：A 【解析】：抛物线 () 中， ()，准线方程为 ；由抛物线定义，点 P 到焦点的距离等于到准线的距离，设 P 的横坐标为 ，则 。因抛物线 中 ，故 ，解得 ，故选 A。 7.已知椭圆 () 的离心率为 ，且直线 与该椭圆交于 A、B 两点，则下列说法正确的是（ ） A. ，且 B. ，且 C. ，且 D. ，且 【答案】：B 【解析】：因 ，椭圆焦点在 轴上，，，离心率 ，平方得 ，解得 ；联立直线 与椭圆方程 ，代入整理得 。根据 且选项 B 的值，故选 B。 8.双曲线 的焦点到渐近线的距离与该双曲线的离心率之和为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】：C 【解析】：双曲线中 ，，，焦点为 ，渐近线方程为 （即 ）；焦点 到渐近线 的距离为 ；离心率 ；距离与离心率之和为 。根据选项 C，故选 C。 9.抛物线 的顶点到直线 的距离与该抛物线的离心率之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】：A 【解析】：抛物线 的顶点为原点 ，到直线 的距离为 ；抛物线离心率恒为 ，故积为 ，故选 A。 10. 已知椭圆 上一点 M 到左焦点的距离为 4，则点 M 到右焦点的距离及该椭圆的短轴长分别是（ ） A. 6，8 B. 6，4 C. 10，8 D. 10，4 【答案】：A 【解析】：椭圆中 ，。由椭圆定义，点 M 到两焦点距离之和为 ，已知到左焦点距离为 4，则到右焦点距离为 ；短轴长 ，故选 A。 二、多项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.在每小题给出四个备选项中，有多项符合题目要求，请将其选出。全部选对的得 3 分，有选错的或未选的得 0 分) 1. 已知椭圆，下列说法正确的有（ ） A. 该椭圆关于 x 轴、y 轴和原点均对称 B. 椭圆的长轴长为 10，短轴长为 6 C. 椭圆的离心率为 D. 直线与该椭圆有 2 个交点 【答案】：ABCD 【解析】：A 选项，椭圆标准方程满足 “代、、方程不变”，故关于 x 轴、y 轴、原点对称，正确；B 选项，（长半轴），长轴长，（短半轴），短轴长，正确；C 选项，，离心率，正确；D 选项，联立，整理得，判别式，有 2 个交点，正确。 2. 关于双曲线，下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的焦点坐标为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 若双曲线过点，则 D. 直线与该双曲线相交于两点 【答案】：ABCD 【解析】：A 选项，，，，焦点在 x 轴上，坐标，正确；B 选项，焦点在 x 轴的双曲线渐近线为，正确；C 选项，将代入方程得，即，解得，，正确；D 选项，联立，得，整理，有两个不等实根，相交于两点，正确。 3. 下列关于椭圆和双曲线的说法中，正确的有（ ） A. 椭圆（）的离心率，双曲线的离心率 B. 椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为 C. 椭圆与双曲线有相同的焦点 D. 椭圆的对称轴有 2 条，双曲线的对称轴有 4 条 【答案】：ABC 【解析】：A 选项，椭圆离心率（）故，双曲线离心率（）故，正确；B 选项，椭圆定义 “距离和为”，双曲线定义 “距离差的绝对值为”，正确；C 选项，椭圆，双曲线，焦点均为，正确；D 选项，椭圆和双曲线均有 2 条对称轴（x 轴、y 轴），错误。 4. 已知双曲线，下列结论正确的有（ ） A. 双曲线的顶点坐标为 B. 双曲线的范围是，x 为任意实数 C. 双曲线的渐近线方程为 D. 若直线与该双曲线有且只有一个公共点，则 【答案】：BC 【解析】：A 选项，双曲线焦点在 y 轴上，顶点坐标为，错误；B 选项，焦点在 y 轴的双曲线满足，即，x 任意，正确；C 选项，渐近线方程为（），正确；D 选项，联立，整理得，当（）时，方程为一次方程，有 1 个公共点；当时，判别式，解得，故或，错误。 5. 关于抛物线，下列说法正确的有（ ） A. 抛物线的对称轴为 y 轴 B. 抛物线的离心率为 1 C. 直线与该抛物线相切 D. 若点、在抛物线上，则 【答案】：ABD 【解析】：A 选项，抛物线对称轴为 y 轴，正确；B 选项，所有抛物线离心率恒为 1，正确；C 选项，联立，得，无实根，相离，错误；D 选项，代入得，，故，正确。 三、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 1.椭圆的离心率为_______。 【答案】： 【解析】： 椭圆（）中，，即；。由得，即。离心率。 2.双曲线的焦点坐标为_______。 【答案】： 【解析】： 双曲线焦点在轴上，标准方程为，其中，。由得，即，故焦点坐标为。 3.抛物线的准线方程为_______。 【答案】： 【解析】： 抛物线（）的准线方程为。本题中，即，故准线方程为。 4.直线 与抛物线 相切，则 的值及该抛物线的焦点坐标分别是_______ 【答案】：1，(1,0) 【解析】：联立方程：，整理为 ；直线与抛物线相切，判别式 ，解得 。抛物线 的焦点坐标为 。故为1，(1,0)。 5.若直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是_______。 【答案】： 或 【解析】： 联立直线与双曲线方程： 将代入双曲线方程得：，通分整理：，即。 直线与双曲线无公共点，即方程无实根。 判别式。 令，即，解得，即或。 四、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 1．已知椭圆的长轴顶点在 x 轴上，且长轴顶点坐标为 ，焦点坐标为 。求： （1）该椭圆的标准方程； （2）该椭圆的离心率。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 （1）根据椭圆标准方程形式及已知条件计算： 椭圆长轴在 x 轴上时，标准方程为（），其中： 长轴顶点坐标为 ，已知顶点 ，故，； 焦点坐标为 ，已知焦点 ，故； 由椭圆核心关系，代入得。 将、代入标准方程，得。 （2）根据椭圆离心率定义计算： 椭圆离心率公式为（），代入、，得。 2. 已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点。求： （1）该双曲线的标准方程； （2）该双曲线的焦点坐标。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 （1）根据渐近线设双曲线方程并求解： 双曲线渐近线为，焦点在 x 轴上时，设标准方程为（，由渐近线推导，满足，即，令、）。 将过的点代入方程：。 因点在双曲线上，故，解得。 代入得标准方程：，即。 （2）根据双曲线焦点公式计算： 双曲线焦点在 x 轴上时，焦点坐标为 ，其中。 由标准方程知、，故，（）。 因此焦点坐标为。 3. 已知双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点。求： （1）该双曲线的标准方程； （2）该双曲线的焦点坐标。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 （1）根据渐近线设双曲线方程并求解： 双曲线渐近线为，焦点在 x 轴上时，设标准方程为（，由渐近线推导，满足，即，令、）。 将过的点代入方程：。 因点在双曲线上，故，解得。 代入得标准方程：，即。 （2）根据双曲线焦点公式计算： 双曲线焦点在 x 轴上时，焦点坐标为 ，其中。 由标准方程知、，故，（）。 因此焦点坐标为。 4．已知抛物线与直线相交于 M、N 两点（直线过抛物线焦点）。求： （1）抛物线的焦点坐标； （2）线段 MN 的长度。 【答案】（1）；（2）16。 【解析】 （1）根据抛物线标准方程求焦点： 抛物线（）的焦点坐标为，已知，故，解得。 因此，焦点坐标为（验证直线过：当时，，符合）。 （2）联立方程用韦达定理求弦长： 联立方程组 将代入抛物线方程：，展开并整理：，移项得。 设、，由韦达定理得（二次方程的两根和为）。 抛物线中，过焦点的弦长公式为（由抛物线定义：抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，准线，故）。 代入、，得。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $