大题专项-专题06 解析几何（讲义）-2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第6个专题，内容为解析几何。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题06 解析几何 一、课标解读 1.圆的方程 · (1)圆的标准方程 · (2)圆的一般方程 2.直线与圆的位置关系 · (1)直线与圆相交 · (2)直线与圆相切 · (3)直线与圆相离 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2021 解答题 24 圆的标准方程、直线与圆的位置关系 12 （1）题型：解答题。 （2）内容及分值：直线与圆为近5年高考必考知识点，考查内容主要为圆的方程、点到线的距离、直线与圆相交求弦长等；分值12分。 2022 解答题 24 求直线的方程、圆的方程 12 2023 解答题 24 圆的标准方程、直线与圆的位置关系 12 2024 解答题 24 圆的标准方程、直线与圆的位置关系 12 2025 解答题 24 直线与圆的位置关系（相切、相交） 12 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年内蒙古对口招生考试依然有1道解答题目对圆的方程、直线与圆的位置关系进行考查，分值12分。 具体考点可能涉及如下内容： · 求圆的方程 · 求点到线的距离 · 求直线的方程 · 直线与圆相交就弦长 · 直线与圆相切的有关知识 四、知识梳理 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2．直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 　　方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d＜r Δ＞0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d＞r Δ＜0 五、知识检测 1．过点的直线与圆：相切. (1)求圆心坐标和半径. (2)求直线的方程. 2．已知圆. (1)直接写出圆C的圆心坐标及半径； (2)讨论直线与圆C的位置关系. 3．已知圆． (1)写出圆C的圆心坐标和半径； (2)设直线为圆C的切线，求b的值． 4．已知直线和圆．求： (1)直线被圆截得的弦的弦心距； (2)弦长． 5．已知圆C过点，且圆心C在直线上. (1)求圆C的方程； (2)若直线l过点，且与圆心C的距离为4，求直线l的方程. 【答案】 1．(1)圆，3. (2)或 【分析】（1）将圆的一般方程转换为标准方程即可求解. （2）根据直线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率，由斜截式方程即可求解. 【详解】（1）将可化为：， 所以圆心坐标为，半径为. （2）当直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即：， 圆心到直线的距离为：，得：， ∴此时直线方程为： 即：. 综合得直线方程为：或. 2．(1)圆心坐标，半径 (2)直线与圆相交 【分析】（1）根据圆的标准方程即可得圆心坐标及半径. （2）对圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，即可得到直线与圆的位置关系. 【详解】（1）圆的标准方程， 所以圆方程可化为：， 所以圆心坐标为，半径为. （2）由（1）知圆心圆心坐标为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交. 3．(1)，2 (2) 【分析】（1）根据圆的标准方程可得圆心坐标和半径. （2）由圆心到切线的距离等于半径，可求出b的值. 【详解】（1）根据圆的标准方程为， 可得圆心坐标为，圆C的半径为2. （2）将切线，化为， 则圆心到切线的距离为2． 由点到直线距离公式，得 ， 解得， 即. 4．(1) (2) 【分析】（1）利用点到直线的距离公式，求圆心到直线的距离即可； （2）根据垂径定理可得弦长，据此可求解. 【详解】（1）由圆可知，圆心坐标为，半径， 所以直线被圆截得的弦的弦心距； （2）由（1）知， 弦长. 5．(1) (2)或 【分析】（1）由题可求的垂直平分线方程，并与直线联立，可得圆心坐标，进而可得半径，据此可求直线方程； （2）分两种情况讨论，当所求直线斜率不存在时，符合题意；当所求直线斜率存在时，设直线的点斜式方程，并化为一般式，由已知和点到直线的距离公式可求解. 【详解】（1）由得， 直线的斜率的中点， 所以直线的斜率，其方程为即. 联立， 解得：即. 所以圆的半径. 所以圆的方程为：； （2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时满足圆心C到直线的距离为4，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为即. 由圆心到直线的距离 解得 则直线为 ，即. 综上所述：直线方程为或. 六、经典例题解析 【例1】（24-25高三下·内蒙古·一模）已知圆C过点和，且圆心在y轴上. (1)求圆C的标准方程； (2)若点D在圆C上，且经过点D的圆C的切线与直线平行，求点D的坐标； (3)若直线与圆交于E，F，求弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意可设圆的方程为，再将两个点的坐标代入到方程中可求出的值，即可得圆的标准方程； （2）由题意可知切线的斜率，设点，切线方程为，根据圆心到切线的距离等于半径求出的关系，再将点D的坐标代入到圆的方程得到另一个的关系，进而分析计算出具体的值，点D的坐标即可得解； （3）根据圆的弦长公式代入求解即可. 【详解】（1）因为圆的圆心在y轴上，设圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为， 又因为圆C过点和， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为. （2）设点，因为过点D的圆C的切线与直线平行， 所以切线的斜率，设切线方程为， 即， 圆心到切线的距离， 所以， 又因为在圆上，所以， 当，即时， ， 解得：，， 即； 当，即时， ， 解得：，， 即， 综上，点D的坐标为或. （3）因为直线与圆交于E，F， 圆心到直线的距离，半径， 所以弦长. 【例2】（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知圆C经过点两点，且圆心在直线上， (1)求圆C的标准方程; (2)求过点且与圆相切的直线l方程; (3)已知点Q在圆C上运动，直线m经过点且交圆C于点两点，当最小时，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设圆的标准方程为，再将点代入列方程中求解即可. （2）首先判断点与圆的位置关系，再设切线方程为，再由圆心到切线的距离等于半径列方程求解即可. （3）首先判断点与圆的位置关系，根据两条直线垂直的条件求出直线的方程，再由弦长公式求出的值，再由以为底，为高时面积最大，并由三角形面积公式求值即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 圆心为， 由圆C经过点两点，且圆心在直线可得， ，即 解得， 所以圆的方程为. （2）由（1）可知，圆的方程为， 且圆心为，半径， 由点到圆心的距离为， 所以点在圆上，当斜率不存在时， 到圆心的距离为，不符合题意， 设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离为， 即，则， 解得，所以切线方程为. （3）点，圆心为， 则点到圆心的距离为， 所以点在圆内， 又直线m经过点且交圆C于点两点， 当最小时，即与垂直时， 则，所以，即， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则当的面积为最大时，， 此时. 【例3】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知点，，圆C经过A，B两点且周长最小． (1)求圆C的标准方程； (2)求经过点且与圆C相切的直线l的方程； (3)已知点，，点P是圆C上的动点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【分析】（1）当AB为圆C的直径时，圆C的周长最小，即可求出圆心C的坐标和半径r，故可得出圆C的标准方程. （2）分两种情况进行讨论:直线l的斜率不存在以及直线l的斜率存在，由圆心到直线的距离即可求解斜率. （3）易知点O，M，圆心C都在y轴上，以及OM的长，所以可判断出当轴时，的面积取得最大值，故可求出答案. 【详解】（1）当AB为圆C的直径时，圆C的周长最小， 所以圆心C的坐标为，即， 半径， 所以圆C的标准方程为. （2）当直线l的斜率不存在时:， 与圆C相切，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设:，即. 由题意得圆心到直线距离为，，即， 解得. 所以， 综上，直线l的方程为或. （3）由题意知， 点O，M，圆心C都在y轴上，点P是圆C上的动点，所以当轴时， 的面积取得最大值，此时. 故，. 【例4】（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）圆心在x轴上的圆与抛物线的准线相切且圆被y轴截得弦长为6； (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线l被圆截得弦长为10，求点到直线l的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由弦心距，抛物线的准线方程，圆的半径三者之间的关系求解圆的标准方程即可. （2）先根据直线与圆的关系求解直线，再由点到直线的距离求解即可. 【详解】（1）由题意设圆心坐标为，半径为r， 因为抛物线方程为， 所以，， 则准线方程为， 所以半径， 又圆被y轴所截弦长为6，由弦心距，弦长，半径三者之间的关系可得： ， 所以，解得， 则圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. （2）由直线l过点，可设l的方程为， 因为l被圆所截弦长为10，而直径为， 故l过圆心， 所以，， 所以l的方程为， 即， 所以点到直线l的距离为. 【例5】（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知圆C的圆心为，且截y轴所得的弦长为. (1)求圆C的方程； (2)若直线过点，且交圆C与两点，求弦长最短时直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用垂径定理，结合圆心到y轴的距离求得圆的半径，从而得解； （2）分析得最短时有，从而利用两直线垂直的性质求得直线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得解. 【详解】（1）依题意，设圆与y轴交于两点，则， 因为圆C的圆心为，所以圆心到y轴的距离为， 所以由垂径定理得圆半径的平方为， 所以圆的方程为. （2）依题意，设，    当弦长最短时，， 又，所以，则， 又直线过点， 所以直线的方程为，即. 【例6】（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知圆经过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若经过点的直线交圆于两点，且直线与直线垂直，求弦的中点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆心的坐标为，圆的半径为，由求解即可； （2）由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，列方程求解即可； （3）求直线的方程，联立直线与圆的方程，解方程组得的坐标， 根据中点坐标公式得的中点坐标. 【详解】（1）由已知，设圆心的坐标为，圆的半径为． 由题可知， 得，即． 则． 即圆的标准方程为． （2）由直线与圆相切，得圆心到直线的距离． 由（1）知，圆心为，半径． 则，解得或． 即直线的方程为或． （3）由已知，得． 由直线与直线垂直，得，则． 由点斜式，得直线的方程为，即． 联立直线与圆的方程，得， 解得，即． 根据中点坐标公式，得的中点坐标为． 即弦的中点坐标为． 【例7】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知圆与直线相切于点. (1)求的值； (2)过圆内一点的直线与圆交于两点，求弦长的最小值. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（）根据直线与圆相切的性质列出方程组即可得解. （）根据直线时，弦为最小值，结合两点解距离公式及弦长公式即可得解. 【详解】（1）圆，则圆心坐标为， 圆与直线相切于点， 直线，则直线斜率为， 所以直线的斜率为，即， 又因为点在圆上，则， 联立方程组得，解得， 所以，. （2）因为，， 所以圆， 所以圆心坐标，半径， 当直线时，弦为最小值， ， ， 所以弦长的最小值为. 【例8】（24-25高三下·浙江·职教高考）已知圆，T为圆上的点. 以T为切点的切线经过点，. (1)求圆的半径r； (2)若T为第一象限内的点，求T的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合切线的性质，可得，根据圆的标准方程求得圆心坐标，结合勾股定理，即可求得圆的半径; （2）根据题意，可设出切线的方程，结合圆心到斜线的距离等于半径，即可求得切线的斜率，继而得到切线方程，与圆的方程联立方程组，即可求得切点的坐标. 【详解】（1）    由题意，连接,则, 所以， 因为圆， 所以圆心为，又点，， 所以， 所以，解得； （2）由题意，切线PT的斜率一定存在，又过点， 故可设切线PT的方程为，即， 所以圆心到切线的距离， 又T为第一象限内的点，所以， 所以或（舍） 所以切线PT的方程为， 由，消元化简得， 解得， 故点T的坐标为. 【例9】（24-25高三下·四川·对口/高职单招）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，两点. (1)若点，求直线的方程； (2)若点在抛物线上，求的范围？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，根据与圆相切找出三点满足的圆的方程，再与圆的方程作差即可求直线的方程. （2）先由题意求出点到圆心的距离、切线长及切点弦的长度，建立的表达式，结合抛物线方程分析的范围，最后确定的范围即可求解. 【详解】（1）由题意，点距离圆圆心的距离为， 以点为圆心，为半径的圆方程为①， 又在圆②上， ②①得，即，所以直线的方程为. （2）点到圆心的距离为，切线长， 如图，在四边形中，    由得切点弦的长度为， 在中，利用余弦定理得， 又点在抛物线上，代入得， 配方得，当且仅当时，取得最小值， 当时，，因此，， 当时，；当时，. 因此的取值范围为. 【例10】（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知圆，直线恒过点． (1)若直线与圆相切，求的方程； (2)若直线的倾斜角为，且与圆相交于两点，求（点为圆的圆心）的面积． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出斜率，进而得到直线的方程； （2）根据题意得到直线方程，求出圆心到直线的距离，进而根据弦长公式求出弦的长度，最后根据面积公式求解即可. 【详解】（1）易知圆的圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，因为直线恒过点）， 所以直线的方程为，此时直线和圆相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为， 即，因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， 所以直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离， 所以， 故的面积． 七、专题归纳小结 1. 两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 2. 圆的弦长的常用求法： (1) 几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则； (2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $