大题专项-专题05 立体几何（讲义）-2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为立体几何。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题05 立体几何 一、课标解读 · 1.异面直线所成的角 · 2.直线与平面平行的判定定理与性质定 · 3.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 · 4.平面与平面平行的判定定理与性质定 · 5.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 · 6.直线与平面所成的角 · 7.平面与平面所成的角 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2021 解答题 23 证线面平行、求异面直线所成角 12 （1）题型：解答题。 （2）内容及分值：立体几何证明题为每年必考知识点，考查内容主要为线面平行与垂直的证明、异面直线所成的角等；分值10-12分。 2022 解答题 21 证线面平行、涉及异面直线所成角 10 2023 解答题 22 证线面平行、面面垂直 10 2024 解答题 23 求线面角、证线面垂直 12 2025 解答题 22 证线面平行与垂直 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年内蒙古对口招生考试依然有1道解答题对异面直线所成的角、线面的平行与垂直、线面角等进行考查，分值10-12分。 具体考点可能涉及如下内容： · 求异面直线所成的角 · 证明线面平行 · 证明线面垂直 · 证明面面垂直 · 求直线与平面所成的角 四、知识梳理 1.异面直线所成的角 （1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． （2）范围： 2．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b 3．直线与平面垂直 (1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 4．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：. 5.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 6．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β. 7．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． 五、知识检测 1．如图所示，已知正方形和所在的平面相交于，点分别为正方形和的中心，说出平面的原因．    2．如图所示，已知直三棱柱的所有棱长都相等，分别是棱的中点．求DE与平面ABC所成角的正切值． 3．如图，在直三棱柱 中，，点 是 的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 4．如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)证明：直线平面. 5．如图，在正方体中， (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】 1.【分析】由线线平行证明线面平行即可求解. 【详解】如图所示，连接， 因为，所以是一个平面. 因为分别是正方形的中心， 所以是的中点，是的中点. 所以. 因为不在平面内，在平面内. 所以平面.      2.2 【分析】根据线面垂直的判定定理验证EF⊥平面ABC，再通过线面角的定义找到∠EDF就是DE与平面ABC所成的角，求出对应比值即可求解. 【详解】取的中点，连接． 因为直三棱柱的所有棱长都相等，分别是棱的中点， 即∥，CC1⊥平面ABC，且DF是的一条中位线， 所以平面 ， 所以∠EDF是DE与平面ABC所成的角． 设三棱柱的棱长为2，则． 所以． 3.(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而得到线线垂直； （2）根据线线平行证明线面平行即可； 【详解】（1）因为 ，所以 ； 又在直三棱柱 中，有 ， 因为，平面，平面， 所以 平面， 因为平面，所以； （2） 设 与 交于点 ，连接 ， 易知 是 的中点，又 是 的中点， 所以 ． 因为 平面，平面， 所以 平面． 4.(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明直线垂直于平面内两条相交直线即可证明直线平面； （2）证明直线所在的平面平面平面，即可证明直线平面. 【详解】（1）∵在正方体中， 平面，平面， ∴， 又∵在正方形中，为线段中点， ∴， 又，平面， ∴直线平面. （2）连接，如图， 在正方体中， 四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 在正方体中，四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 5.(1) (2) 【分析】（1）找出是异面直线与所成的角，结合正方体的结构特征，正三角形的性质即可求解. （2）先找出二面角的平面角，结合正方体的结构特征即可求解. 【详解】（1）在正方体中，连接， 因为，即四边形是平行四边形， 即，所以是异面直线与所成的角， 因为三角形是等边三角形，所以， 所以异面直线与所成的角的大小为. （2）在正方体中，平面，平面， 所以， 即是二面角的平面角， 由正方体的性质可知，即二面角的大小为. 六、经典例题解析 【例1】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，侧面底面，且.    (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，由中位线可得，再由线面平行的判定即可证明. （2）根据面面垂直的性质得平面，从而得出，再由勾股定理逆定理得出，由线面垂直的判定即可证明. 【详解】（1）如图，连接， 因为底面是正方形，分别为的中点， 所以也为的中点，又为的中点， 所以为的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面.    （2）因为底面是正方形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，底面， 所以侧面，又侧面， 所以， 因为， 所以， 所以，即， 因为平面，， 所以平面. 【例2】（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，且分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若，求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)（或） 【分析】（1）由题意得，然后由线面平行的判定定理证得结论； （2）因为，所以就是异面直线与所成的角，在直角中求解即可. 【详解】（1）连结． 在中，因为分别是的中点，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）连结． 在长方体中，平面，平面， 则，即为直角三角形． 因为，所以就是异面直线与所成的角． 在中，，则． 在中，， 则，得（或）． 即异面直线与所成的角为（或）． 【例3】（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，分别为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)已知，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）先由中位线的性质可得线面平行，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）先由线线平行将异面直线转化为相交直线知道线面角，再由边的关系即可得解. 【详解】（1）因为分别为线段的中点， 所以EF为的中位线， 所以， 因为面，面， 所以面. （2）连接，由（1）知，， 所以为异面直线EF与BC所成的角， 因为底面是边长为2的正方形， 所以,所以, 又因为，所以， 在直四棱柱中， 底面，底面， 所以， 在直角三角形中，， 又因为面，面， 所以， 所以在直角三角形中， . 所以异面直线与所成角的余弦值为.    【例4】（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）如图，在四棱锥P—ABCD底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PB，PD中点.求证：    (1)MN∥平面ABCD (2)若，求异面直线CN与AD所成角的余弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直求各边长，再由余弦定理求解. 【详解】（1）    如图，连接. 在中，分别为的中点 所以.因为不在平面内，在平面内. 所以平面. （2）由平面,底面为正方形，可得. 因为.平面， 所以平面. 因为平面.所以. 又因为. 所以. . 所以. 连接，则. 因为. 所以由余弦定理得：. 又因为.所以与所成角即为与所成角. 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【例5】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，E，F分别是BD，PB的中点.    求证： (1)平面PCD； (2)平面平面PCD. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）利用中位线的性质，由线线平行证明线面平行即可. （2）先由面面垂直证明线面垂直，再由线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为E，F分别是BD，PB的中点， 所以， 因为平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD. （2）因为底面ABCD为矩形，， 平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面， 因为平面PCD，所以， 又因为，，平面PAB， 所以平面PAB， 因为平面PCD，所以平面平面PCD. 【例6】（19-20高三下·内蒙古·期末）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，， ，，平面. (1)求证：. (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解. (2). 【分析】（）根据余弦定理求出，根据勾股定理得出，结合线面垂直的性质及判断即可得解. （）根据异面直线的定义找到异面直线与所成角，结合勾股定理及余弦定理即可得解. 【详解】（1） 如图所示，连接， 因为，，， 所以，， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）因为底面为平行四边形，所以， 所以异面直线与所成角为与所成的角，即， 平面，平面，所以， 因为，， 因为平面，所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值. 【例7】（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）如图,是平行四边形所在平面外一点，M，N分别是的中点    (1)求证：平面； (2)若，求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线定理以及线面平行的判定定理求解即可； （2）通过构造平行线找出异面直线所成角，求解角度即可. 【详解】（1）    取的中点，连接、， 分别是的中点，， 又是平行四边形，是中点，， ，是平行四边形，， 平面，平面， 平面； （2）由（1）得， 是异面直线与所成的角或其补角， ，. 又是中点，. 在中，， , 异面直线与所成的角是． 【例8】（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·三模）如图，平面，四边形为正方形，，点分别是的中点. (1)求证：平面； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，取的中点E，连接，易证四边形是平行四边形，结合线面平行的判定定理，即可证明结论成立； （2）根据题意，结合异面直线所成角，易得即为直线与所成角，结合解直角三角形和余弦定理，即可求解. 【详解】（1） 取的中点E，连接， 因为点分别是的中点， 所以， 所以, 所以四边形是平行四边形， 所以, 因为平面，平面， 所以平面； （2） 由（1）知， 所以即为直线与所成角， 因为四边形为正方形，， 所以， 因为平面，平面，平面， 所以，， 所以， ， 所以. 即与所成角的余弦值是. 【例9】（22-23高三下·内蒙古巴彦淖尔·一模）如图所示，为正方形，所在的平面，，，. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）构造平行四边形，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）根据直线平行，找到异面直线所成的角，再根据余弦定理即可求解余弦值. 【详解】（1）设与的交点为，连， ∵为正方形，且， ∴，， ∵且，即， ∴为平行四边形，∴， 而平面，平面， ∴平面； （2）∵， ∴即为异面直线与所成的角， ∵平面，平面， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，，，， . 【例10】（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，， (1)求直线PD与BC所成的角的大小； (2)求证：面PAC 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）先由线线平行找到异面直线所成的角，再由边的关系即可求解角度. （2）应用线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）取AB的中点E，连接DE，PE， 因为，所以， 因为， 所以， 因为， 所以四边形BCDE为平行四边形， 所以， 所以为直线与所成的角， 因为面ABCD，面ABCD， 所以，因为， 所以， 因为，， 所以， 所以为等腰直角三角形，， 所以， 因为面，面， 所以，又， 所以， 所以为等边三角形， 所以 所以PD与BC所成的角为. （2）因为面ABCD，面ABCD， 所以， 因为四边形是直角梯形，，， 所以，又， 所以， 由（1）知，又， 在中有，， 所以， 即， 又因为，面PAC，面PAC， 所以面PAC. 七、专题归纳小结 1. 求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 2 .判断线面关系时不要漏掉线在面内的情况 3．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线 平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要 注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．　 4．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．　 5.注意在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等. 6.注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $