大题专项-专题04 数列（讲义）-2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第4个专题，内容为数列。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题04 数列 一、课标解读 1.等差数列 · (1)等差数列的通项公式及其性质 · (2)等差数列的前n项和公式及其性质 2.等比数列 · (1)等比数列的通项公式及其性质 · (2)等比数列的前n项和公式及其性质 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2021 解答题 21 等差数列的通项公式与等比数列的前n项和 10 （1）题型：解答题。 （2内容及分值：等差、等比数列的通项公式及前n项和公式；分值10分。 2022 解答题 22 求等差数列的通项公式及等比数列的前n项和 10 2023 解答题 21 等差数列与等比数列的综合应用 10 2024 解答题 21 求等差数列的通项公式及等比数列的前n项和 10 2025 解答题 21 求等差数列的通项公式及等比数列的前n项和 10 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年内蒙古对口招生考试依然有1道解答题对等差、等比数列的通项公式及前n项和公式进行考查，分值10分。 具体考点可能涉及如下内容： · （1）由条件求等差数列的通项公式 · （2）求等比数列的前n项和 · （3）已知数列等差或等比求参数的值 四、知识梳理 1．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为. 若等差数列}的第m项为，则其第项可以表示为. (2)等差数列的前项和公式 .(其中n∈N*，为首项，d为公差，为第n项) 2．等差数列及前n项和的性质 (1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝. (2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 3．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，. 4．等比数列及前n项和的性质 (1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. (4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，仍是等比数列． 五、知识检测 1．已知数列满足.等差数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 2．在等差数列中，，，求： (1)该数列的通项公式. (2)该数列的前项和. 3．等差数列中， (1)求及公差d； (2)当n为多少时，前n项和开始为负？ 4．已知是等差数列，． (1)求的通项公式； (2)若等比数列满足，，求的前n项和． 5．在等比数列{}中，已知，. (1)求通项公式； (2)设，求数列{}的前n项和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．(1) (2) 【分析】（1）有题意可知是等比数列，根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）由题设，得数列成等比数列且公比为， 又因为，故数列的通项公式为. （2）由（1），得，， 数列的公差为且，所以， 故数列的前n项和. 2．(1). (2). 【分析】（1）设等差数列的公差，列出方程组，求出首项与公差即可得解. （2）代入等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，. 所以. 解得 所以. （2）因为. 所以. 3．(1) (2)当时，的值开始为负 【分析】（1）由等差数列的通项公式列方程组即可求及公差d； （2）由等差数列前项和，解不等式即可求解. 【详解】（1）由，即，得， 由，即，得； 另法：，解得. （2）， 令，即，解得或. 所以当时，的值开始为负. 4．(1) (2)或 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程组求出，再代入通项公式中即可. （2）根据等比数列的通项公式求出公比的值，再和一起代入等比数列的前n项和公式中即可. 【详解】（1）已知是等差数列，设公差为，首项为， 则由，可得， 解得，， 所以的通项公式， 所以. （2）由（1）可知， 所以，则有，， 且为等比数列，设公比为， 则有，解得， 所以当时，的前n项和， 当时，的前n项和， 所以的前n项和为或. 5．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列出方程组，求出首项与公比，从而得解； （2）通过对数的运算性质，求出，验证数列{}是等差数列，然后根据等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】（1）设等比数列{}的公比为， 因为，， 所以，解得， 所以. （2）因为，由（1）问，有， 所以，， 所以数列{}是以首项，公差的等差数列， 所以. 六、经典例题解析 【例1】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）根据等比数列的通项公式和前n项和公式可求出，再由对数的运算性质求出，从而利用等差数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）因为成等比，， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以. （2）因为，所以， 有数列的公比，因此， 由等比数列的前n项和公式有，故， 又， 因此为等差数列，所以由等差数列前n项和公式有. 【例2】（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知等差数列中，， (1)求数列的通项公式 (2)调整数列前三项的顺序，使它们成为等比数列的前三项，且公比小于，求数列的前n次和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出等差数列的公差，进而得到通项公式. （2）由等比数列的性质确定等比数列的首项与公比，进而得到答案. 【详解】（1）因为等差数列中，. 所以. 所以. （2）因为. 所以. 因为， 所以，等比数列的前三项中，同号，与异号，即. 若，不满足. 所以，，即数列首项为1，公比为. 所以. 【例3】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知数列满足，且前三项和为12. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【详解】（1）数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. （2）数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则. 【例4】（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知等差数列的前3项和，且． (1)求的通项公式； (2)若等比数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由条件列出方程组求出，由等差数列的通项公式求出结果； （2）由条件求出等比数列的首项和公比，由等比数列的求和公式求出． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得， 整理得，解得． 所以． （2）由（1）知，，即． 设等比数列的公比为，则，得． 所以等比数列的前项和． 【例5】（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8. (1)求等差数列的通项公式； (2)若，且成等比数列，求数列的前n项和. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意列出等式，求解出首项与公差，进而得到通项公式. （2）由条件得到等比数列的首项与公比，再利用等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）由题可知即. 解得或. 所以等差数列的通项或. （2）当时，. 所以不成等比数列，故不满足题意. 当时，. 此时成等比数列，符号题意. 即. 所以. 【例6】（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，，成等比数列，求正整数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得关于与公差的方程组，再由等差数列的通项公式得答案； （2）由等差数列的通项公式，结合等比数列的性质列式求解． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，，得，解得， ∴数列的通项公式为． （2）由，，成等比数列，可得， 即， 整理得，解得(舍)，或． 【例7】（23-24高三·内蒙古通辽·一模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且 (1)数列的通项公式； (2)若求数列{}的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等比数列的首项，求出公比即可求出通项公式； （2）已知首项，根据题意可求出等差数列的公差，即可求出数列的前n项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 已知， 则数列的通项公式， 综上所述， 数列的通项公式为； （2）由（1）可求， 设等差数列的公差为d， ， 综上所述， 数列{}的前n项和. 【例8】（23-24高三·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知等差数列中，，， (1)求公差d； (2)求前多少项的和最大，此时最大值是多少? 【答案】(1) (2)当时，最大，此时. 【分析】（1）根据等差数列的前项和公式即可求解； （2）根据等差数列的前项和的函数性质即可求解. 【详解】（1）设公差为，因为，所以， 即，即. （2）由（1）可知， 所以， 当时，最大，此时. 【例9】（24-25高三下·江西·职教高考）已知等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解等差数列的首项与公差即可； （2）先表示出数列的通项公式，再根据分组求和，即等差数列与等比数列的前n项和公式求解即可. 【详解】（1）∵等差数列满足， 设等差数列的公差为， ∴，即， 解得， ∴. （2）由（1）知，， ∴， ∴ . 【例10】（20-21高三·湖南·对口/高职单招）已知各项为正数的等比数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据条件结合等比数列的通项公式求出即可； （2）由，得知是等差数列，接着利用等差数列的求和公式求出答案即可. 【详解】（1）且，， （2） 七、专题归纳小结 1．等差数列的判断方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列． (4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列． 2．方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．　　 1．等比数列的判定方法有以下几种： (1)定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (2)通项公式：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列． (3)等比中项法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． 2．方程观点以及基本量(首项a1和公比q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二． 3．在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $