大题专项-专题03 二次函数及其应用（讲义）-2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第3个专题，内容为二次函数及其应用。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题03 二次函数及其应用 一、课标解读 · (1)二次函数的解析式 · (2)二次函数的值域及恒成立问题 · (3)二次函数的单调性 · (4)二次函数的应用 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2021 解答题 22 二次函数的解析式、恒成立等问题 10 （1）题型：解答题。 （2）内容及分值：二次函数的解析式、值域、单调性以及二次函数在生活中的实际应用；分值一般在10-12分。 2022 解答题 23 二次函数的解析式、恒成立等问题 12 2023 解答题 22 二次函数在生活中的实际应用 10 2024 解答题 22 二次函数在生活中的实际应用 10 2025 解答题 23 二次函数在生活中的实际应用 12 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年内蒙古对口招生考试依然有1道解答题对二次函数的解析式、值域、单调性以及二次函数在生活中的实际应用进行考查，分值10-12分。 具体考点可能涉及如下内容： · 求二次函数的解析式 · 二次函数图像的性质 · 二次函数恒成立问题 · 二次函数在生活中的实际应用问题 四、知识梳理 1.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 对称轴 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当x＝－时， y有最小值ymin＝ 当x＝－时， y有最大值ymax＝ 五、知识检测 1．已知二次函数满足且. (1)求的解析式; (2)求函数在区间上的值域. 2．已知二次函数， (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上的最小值为3，求的值． 3．2025年国庆假期即将来临，某海边景区的酒店有80间海景房，若每间房每天的住宿费为500元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元，则人住的房间数会相应减少间． (1)该酒店每间海景房每天住宿费为多少元时每天的收入不少于60000元？ (2)若该海景酒店每天的固定消耗成本为30000元，每间入住的房间消耗成本为200元，问每间海景房每天住宿费为多少元时利润最大？最大为多少元？ 4．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果每件商品售价上涨1元，则每个月少卖出10件.设每件商品的售价上涨x元，每个月的销售利润为y元. (1)求x与y的函数关系式； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 5．如图所示，某生态农场计划建造一个由矩形ABCD和矩形AEFG组成的“L”形种植区，，其中需要把拐角处边长为的正方形用作灌溉操作区（阴影部分），设实际种植面积为.    (1)写出种植面积关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当取何值时，实际种植面积最大？并求出最大面积. 【答案】 1.(1) (2) 【分析】（1）首先设出函数的解析式，再根据题目条件列式求解. （2）根据（1）的结果，求二次函数的值域即可. 【详解】（1）设二次函数，. 又， ∴且， （2）由(1)可得， ∴在区间上，当时，函数取得最小值； 当时，函数取得最大值. ∴函数在区间上的值域 . 2.(1) (2)或． 【分析】（1）根据二次函数的单调性即可解答. （2）根据函数的单调性分情况讨论即可. 【详解】（1）对进行配方得， ， 所以其对称轴方程，且图像开口向上， 故的单调递减区间为. （2）由（1）可知，其对称轴方程， 当时，函数在上单调递增， ，即， 又，所以， 当时，，即，即无解， 当时，函数在上单调递减，， 即，解得或， 又，所以， 综上所述，或． 3.(1)每天住宿费在元之间时每天的收入不少于60000元 (2)每天住宿费为1350元时利润最大，最大为22900元 【分析】（1）由题意列出不等式求解； （2）设海景酒店每天的利润为元，得出的表达式，利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）由题意得， 化简得，即，，解得， 当时，；当时，， 所以该酒店每间海景房每天住宿费在元之间时每天的收入不少于60000元． （2）设海景酒店每天的利润为元， 则， 化简得，， 所以当时，， 即每间海景房每天住宿费为1350元时利润最大，最大为22900元． 4.(1). (2)售价定为55或56元时，最大的月利润是2400元. 【分析】（1）由利润等于售价减去进价乘以销售量列式即可求解. （2）利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题可知， 因为，则， 所以x与y的函数关系式为. （2）由（1）可知， 所以当售价上涨元，函数取最大值，又因为， 当时，， 当时，， 所以上涨5元或6元时，利润最大， 即售价为55或56元时，利润最大为元. 5.(1) (2)时，实际种植面积最大，最大面积是 【分析】（1）先根据题意表示出边长，再根据长方形的面积公式列式求解即可； （2）由二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）∵， ，， 则种植面积. （2）由（1）知， 当时，有最大值， , 即当时，实际种植面积最大，最大面积是. 六、经典例题解析 【例1】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 【答案】(1). (2)，日销售利润最大为元. 【分析】（）根据题意设出解析式，列出方程组即可得解. （）根据利润公式列出解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系， 设， 则，解得， 所以. （2）商品进价为每件30元， 则， 整理得， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，日销售利润最大为元， 综上所述，，日销售利润最大为元. 【例2】（22-23高一下·内蒙古赤峰·期中）某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为l，如果要使墙围出的面积最大，则矩形的长、宽各等于多少？ 【答案】，. 【分析】设出长与宽列出二次函数，求最大值即可. 【详解】设长为，则宽为， 则面积为， 由上式可知，当取面积最大值为， 这时宽为， 则当长为，宽为时，围出的面积最大. 【例3】（24-25高一上·内蒙古包头·期中）用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计）    【答案】平方米 【分析】首先设矩形的宽为，再由矩形面积公式建立二次函数模型，由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】设矩形的宽为米，则矩形的长为米， 设矩形场地的面积为， 则， 所以当米时，有最大值为平方米. 所以围成的矩形场地的最大面积是平方米. 【例4】（24-25高三下·江西·职教高考）已知函数（，）的图像过点. (1)求的值； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数求值即可； （2）根据二次函数和指数函数的单调性求出复合函数的值域即可. 【详解】（1）因为函数的图像过点， 将其代入得，解得或（舍）. （2）令，则， 对于二次函数，对称轴为，开口向上， 当时，t取最小值：. 当时，， 当时，，所以. 因为函数是增函数， 所以当时，； 当时，， 因此时，函数的值域为. 【例5】（24-25高三下·天津·职教高考）已知二次函数，且， (1)求实数c； (2)解不等式； (3)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】根据题意，结合二次函数解析式，及函数值，代入即可求解； 根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解； 根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可求得函数的最值. 【详解】（1）因为二次函数，且， 所以，解得； （2）由（1）知，， 所以， 又，即， 所以，即， 解得， 所以不等式的解集为； （3）因为，函数图像开口向上，对称轴为轴， 所以当时，；. 【例6】（23-24高三下·河北·对口/高职单招）某植物园有一块长40米、宽20米的矩形空地（如图），计划种植不同品种的花卉，为了提升观赏效果，需使阴影部分面积最大，求x为多少米时，阴影部分面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】当米时，阴影部分面积最大，面积最大为平方米. 【分析】设阴影部分的面积为，根据题意列出阴影部分面积的函数，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】设阴影部分的面积为， 则， 所以当米时，阴影部分面积最大，面积最大为平方米. 【例7】（24-25高三下·江苏·职教高考）江苏无锡成为2025年央视春晚的分会场后，旅游业迎来了新的机遇．为了促进旅游业的发展，当地某景区推出了一个特色文化展览项目．该项目每天最多能接待的游客数为1500人，当票价为50元时，当天游客数达到上限．鉴于市场需求旺盛，景区欲提高票价，经市场调查发现，每天的票价每提高5元，游客数将减少100人．该项目每天的维护成本（元）是当天游客数的5倍，在不考虑其他因素的前提下，问： (1)当天的游客数为1000人时，当天的票价应为多少元？ (2)当天的票价为多少元时，当天的收益最大？并求最大收益． 【答案】(1)75元 (2)65元；72000元 【分析】（1）我们可以根据票价和游客数的变化关系来计算当游客数为1000人时的票价． （2）需要先建立收益与票价的函数关系，再通过函数性质求出最大收益以及对应的票价. 【详解】（1）当天的游客数为1000人时，当天的票价设为元． 所以，解得， 即当天的游客数为1000人时，当天的票价应为75元． （2）设票价为元，利润为元．票价相对于50元的提高量为元， 票价每提高5元，游客数减少100人， 因此游客数减少量为人， 游客数为人． 收益为票价乘以游客数：， 维护成本为游客数的5倍：成本， 利润为收益减去成本： 一成本， 这是一个关于的二次函数，开口向下，其最大值出现在顶点处．顶点的横坐标为：元， 计算最大利润： 此时，游客数人． 即当天的票价应为65元时，最大收益为72000元． 【例8】（24-25高三·全国·对口/高职单招）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【分析】（）求出二次函数的对称轴，结合二次函数的单调性即可得解. （）因为对一切实数都成立，则即可得解. 【详解】（1）易知函数的图象开口向上，对称轴为直线． 因为函数在区间上单调递增， 所以，解得，即实数的取值范围是． （2）若，即对一切实数都成立， 则方程无实数解， 所以，解得，所以实数的取值范围是． 【例9】（21-22高三下·天津·职教高考）已知函数，求 (1)函数图象与坐标轴的交点坐标 (2)不等式的解集 (3)函数的单调递减区间 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）令，求出对应的x的值,，令代入函数解析式中求出函数的值即可求解. （2）根据一元二次不等式的解法即可求解. （3）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）在函数中，令，则，解得或， 所以函数图象与x轴的交点坐标为； 在函数中，令，则， 所以函数图象与y轴的交点坐标为. （2）由，则，解得或， 所以不等式的解集为. （3）函数的图像为开口向上的抛物线，其对称轴为， 所以函数的单调递减区间为. 【例10】（23-24高三下·天津·职教高考）已知二次函数满足条件，， (1)写出函数的解析式； (2)解不等式 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数特殊点的值及性质，即可求解. （2）解一元二次不等式，即可求解. 【详解】（1）设二次函数的解析式为 由题意知，， 则，化简得， 解得、、 所以. （2）由（1）知， 所以，化简得， 解得. 七、专题归纳小结 1.二次函数虽属于初中内容，在考试大纲中也没有明确要求，但二次函数、一元二次方程和一元二次不等式又是高考的热点内容之一，因此，二次函数的重要性在于它的工具性和基础性，从题型上看，选择、填空、大题都有．掌握好二次函数的关键是掌握其图象，记住它的图象，其性质就很容易掌握。 2.解答二次函数在区间上的最值问题的基本方法有两种：一是图象法，即利用二次函数的图象来确定二次函数在区间上的单调性，从而确定其最值在何处取得，当二次函数的解析式含有参数或区间含有参数而不确定时，则应抓住图象开口方向及图象的对称轴，依据对称轴是位于区间上，还是位于左边、右边进行分类讨论，从而确定函数在区间上的单调性；二是导数法，二次函数的导函数为一次函数，利用它很容易确定其在区间上的符号，进而确定其单调性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $