大题专项-专题01 平面向量（讲义）-2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第1个专题，内容为平面向量。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题01 平面向量 一、课标解读 · 1.向量的线性运算及共线向量定理 · 2.平面向量的坐标运算 · 3.平面向量的数量积及运算律 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2021 解答题 20 平面向量的数量积及共线向量定理 8 （1）题型：解答题。 （2）内容及分值：平面向量的线性运算及数量积；分值8分。 2022 解答题 20 平面向量的数量积及共线向量定理 8 2023 解答题 20 平面向量的数量积及共线向量定理 8 2024 解答题 20 平面向量数量积的坐标运算 8 2025 解答题 20 平面向量数量积的坐标运算 8 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年内蒙古对口招生考试依然有1道解答题对平面向量的数量积及共线向量定理进行考查，分值8分。 具体考点可能涉及如下内容： · 求平面向量的数量积 · 求向量的模 · 由向量平行或垂直求参数 · 由向量共线求参数 四、知识梳理 1.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. （3）平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 2．平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. （2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． （3）平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝＝. ③夹角：cos θ＝＝. ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 五、知识检测 1．已知向量，求： (1)； (2) 2．已知a，b是平面上两个不共线的非零向量，且，且，求向量的坐标． 3．已知求： (1)当k为何值时，； (2)当k为何值时，． 4．已知向量，，求：、、、． 5．已知与的夹角为，求，. 【答案】 1．(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示即可求解. （2）根据向量线性运算的坐标表示和向量内积的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为向量， 所以. （2）因为向量， 所以， 所以. 2．或 【分析】设，利用内积公式及模长公式可求 【详解】，可设， ，， 则有，即，即，，解得， 将代入得， 将代入得； 的坐标为或. 3．(1)或 (2)或 【分析】（1）两向量互相平行，则对应坐标，即可求解. （2）两向量互相垂直，则对应坐标，即可求解. 【详解】（1） 或 （2）， 或． 4．-4， 【分析】利用平面向量的坐标运算直接求解即可． 【详解】因为 所以． ． 同理，． ． 5．； 【分析】根据内积的定义及运算律可求解. 【详解】由题知， ， ； . 六、经典例题解析 【例1】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知向量，向量与的夹角为. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合平面向量的模长公式及平面向量内积的定义即可得解. （）根据题意结合平面向量垂直的性质即可得解. 【详解】（1）向量，向量与的夹角为，， 则由，解得. （2）因为，且， 则，故 则，解得. 【例2】（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知向量满足与的夹角为． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据向量模的坐标运算及向量内积的定义即可求解. （2）根据共线向量模的关系即可得解. 【详解】（1）由，得，又， 则． （2）由，得，则． 所以． 【例3】（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知 (1)若，求 (2)若，且方向相反，求 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由所给向量计算模长，再根据所给角度，运用向量的内积计算即可. （2）因为向量平行，且方向相反，由此列式计算即可. 【详解】（1）已知， 所以， 若， . （2）因为，且方向相反， 所以， 因为 ， 所以. 【例4】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）平面内给定三个向量，，，且． (1)求满足条件的实数m，n的值； (2)若满足，且，求的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先由向量的坐标运算表示出，再联立向量垂直和相等向量求解t的值即可. （2）设出的坐标，由向量的线性坐标运算和共线向量坐标运算，以及模长公式联立求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，又因为， 解得，. （2）由（1）知，，所以， 设， ，， 因为， 所以， 所以， 所以①， 又因为，且， 所以②， 将①代入②中有，，可解或， ，或. 则或. 【例5】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行和正弦定理边角互化求解角度即可. （2）由三角形面积公式直接求解即可. 【详解】（1）因为向量与平行， 所以有，即， 由正弦定理得, 又，， 从而, 由于， 所以. （2）因为，， 由（1）知，. 所以三角形的面积为. 【例6】（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知平面向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）运用向量垂直的坐标表示列式计算即可得解. （2）运用向量平行的坐标表示求得的值，再结合向量线性运算及模的坐标公式即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以. 整理得，解得或. 故的值为或. （2）因为，，， 则，即，解得或， 当时，，，所以，则； 当时，，， 所以，则； 综上，的值为或. 【例7】（24-25高三下·内蒙古·一模）已知，，求： (1)与； (2)与的夹角. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示求得与，再利用模的坐标表示即可得解； （2）利用向量夹角的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为，， 两式相加得，，则， 所以， 则， . （2）由（1）知，， 所以， 又，所以，即与的夹角为. 【例8】（23-24高三下·内蒙古赤峰·模拟预测）已知，与的夹角为. (1)求 的坐标； (2)若与同向，且与垂直，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示求出，利用向量的模的坐标表示分别求出，再由内积的定义列方程求解即可. （2）根据与同向，可设，再由向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】（1）已知， 则， ，， 由与的夹角为，可得， 即，得， 解得或，因为，所以， 即的坐标为. （2）由（1）可知，的坐标为， 由与同向，设，且， 则， 由与垂直，得， 即，， 解得，所以，即. 【例9】（21-22高三下·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）已知 (1)若，求； (2)若，且方向不同，求． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）根据向量的数量积公式、向量模长公式求解即可. （2）根据向量的数量积公式、向量模长公式以及向量平行的性质求解即可. 【详解】（1）， ， . （2）因为，且方向不同， 所以， . 【例10】（21-22高三·内蒙古·模拟预测）已知，，．求： (1)的值； (2)与的夹角的余弦值． 【答案】(1)30 (2) 【分析】（1）利用向量内积的坐标表示计算即可； （2）利用向量的夹角公式求解． 【详解】（1）∵，，，∴， ∴． （2）∵，， ， 设与的夹角为， ∴． 七、专题归纳小结 1. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标． 2. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值． 3. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝要引起足够重视，是求距离常用的公式． 4. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $