大题专项-专题05 立体几何（B卷·能力提升）--2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等、 职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试！ !动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每 1个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第 「5个专题，内容为立体几何。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题05立体几何 (B卷·能力提升) 班级 姓名 学号 成绩 1.如图所示，正六棱柱ABCDEF-AB,CD,E,F的底面边长为1，高为√5. F B (1)证明：平面ADF/平面ABC: (2)求平面ADF与平面ABC间的距离. 66原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 2.如图，平面∥B,A,Cea,B,D∈B,直线AB与CD交于点S,且AS=3, BS=9,CD=34,求CS的长. S A C Q D B 3.如图，正方形ABCD为圆柱OO'的轴截面，EF是圆柱上异于AD,BC的母线，M,N分 别是DE,BF的中点，AB=2,DF=√5 D M ------- (1)证明：MN/1平面ABE; (2)设平面BDE与圆0所在平面的交线为1，证明：111平面BEF, 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 4.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠ACB=90°，点D是AB的中点 (1)求证：AC⊥BC; (2)求证：AC,∥平面CDB 5.如图，四边形ABCD为长方形，PD=AB=2,AD=4,点E、F分别为AD、PC的中点· 设平面PDC∩平面PBE=I· D (1)证明：DF∥平面PBE; (2)证明：DF∥1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 6.如图，四棱柱ABCD-A,B,C,D,的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，其中侧面B,BCC,为 平行四边形，E,F分别为BC,B,C的中点，P在线段AE上，且满足AP:PE=I:2,过B,C和 点P的平面交AB于G,交DC于H.证明：B,C/1GH; A D B G 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，，AB⊥AD,BCIIAD,AD=2BC=2PA=2AB=2,E 、F、G分别为线段AD、DC、PB的中点， 证明：直线PF/平面ACG E 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 8.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，AA⊥平面ABC,4AA=3AB,ABC是等边三角形， D,E,F分别是棱B,C,AC,BC的中点.证明：AD∥平面C,EF, E A B 9.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD,BC⊥平面ABD,AB=BC=1,AD=2,点E、F分 别为棱AD、BD的中点 (1)在图中作出经过EF且与平面ABC平行的截面图，并给出你的作法理由； (2)求点D到平面ABC的距离. 66 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 10.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. E D (1)证明：PB/1平面AEC: 2设直线Pm与底面48CD所成角的正切值为子，AP-1,D=5,求宜线PC与平面 PAD所成角的正弦值， 11·如图，在三棱锥D-ABC中，E,F分别为AC,BC的中点· D F B (1)证明：EF/平面ABD (2)若△ABC,△ACD均为正三角形，AB=2V3,BD=3√2，求直线BD与平面ABC所成角的大 小 66 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 12.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD,E为PC的中点， PD=2· D D B (1)求证：AC⊥平面PBD: (2)若∠BCD=60°，求直线OE与平面ABCD所成的角的大小 13.如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，高为4.求： B (1)该四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值， (2)二面角P-AB-C的正切值， 66 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 14.如图，已知三棱锥P-ABC的底面是边长为4的正三角形，侧棱PA⊥底面ABC,且体 积'p-4Bc=12,求 B (1)棱PA的长 (2)侧面PBC与底面ABC所成的二面角的正切值. 15.如图正方体ABCD-A'B'CD'中，棱长为1， D 求 (1)平面ADC与平面AD'C所成二面角的平面角的余弦值； (2)求点D到平面ACD'的距离， 66 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 16.棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，P为BC的中点. D D (1)求A,B与DC所成的角. (2)求DP与平面BCCB所成角的正切值， 17.如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，O是底面ABCD两条对角线的交点 D A B B (1)求证：BD⊥平面AACC: (2)求直线BA与平面AACC所成的角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 18.如图，在直三棱柱ABC-A,B,C中，∠BAC=90°，AB=AC=AA· C B B (1)证明：AB⊥A,C; (2)求二面角A-BC-A的正弦值 19.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD,中， D A B D C (1)求二面角A-B,D,-C的余弦值； (2)求二面角C-BD-C的正切值， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为立体几何。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题05 立体几何 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 1．如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明; （2）将面面距转化为点面距，再由等体积法求出距离即可. 【详解】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    2．如图，平面，，，，，直线与交于点，且，，，求的长． 【答案】 【分析】由平面与平面平行的性质定理可以确定，再由∽求解即可. 【详解】∵直线与交于点，∴设直线与确定一个平面，，，，， 又∵，，，，∴，， 又∵平面，∴由平面与平面平行的性质定理知，， ∴∽， ∴，即，解得. ∴的长为. 3．如图，正方形为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线，分别是的中点，． (1)证明：平面； (2)设平面与圆所在平面的交线为，证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接、，根据圆柱的性质可得四边形为平行四边形，即可得到 为的中点，从而得到，即可得证； （2）根据面面平行的性质得到，即可得证； 【详解】（1）证明：如图连接、， 根据圆柱的性质可得且，所以四边形为平行四边形， 因为为的中点，所以为的中点，又为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面， （2）证明：根据圆柱的性质可得圆平面， 又平面圆，平面平面， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 4．如图，在直三棱柱 中，，点 是 的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而得到线线垂直； （2）根据线线平行证明线面平行即可； 【详解】（1）因为 ，所以 ； 又在直三棱柱 中，有 ， 因为，平面，平面， 所以 平面， 因为平面，所以； （2） 设 与 交于点 ，连接 ， 易知 是 的中点，又 是 的中点， 所以 ． 因为 平面，平面， 所以 平面． 5．如图，四边形ABCD为长方形，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面． (1)证明：平面PBE； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理、平行四边形的性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据面面平行的性质进行证明即可. 【详解】（1）取PB中点，连接FG，EG， 因为点E、F分别为AD、PC的中点， 所以，， 因为四边形ABCD为长方形，所以，且， 所以，，所以四边形DEGF为平行四边形， 所以因为平面PBE，平面PBE，平面PBE； （2）由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面， 所以. 6．如图，四棱柱的底面为菱形，，其中侧面为平行四边形，分别为的中点，在线段上，且满足，过和点的平面交于，交于.证明：； 【答案】证明见解析 【分析】由平面//平面,根据面面平行的性质定理证明两条交线平行即可； 【详解】证明：由题意四棱柱中，平面//平面， 因为过和点的平面交于，交于，则平面， 设过和的平面为，则平面，平面， //. 7．如图，在四棱锥中，，，，，、、分别为线段、、的中点， 证明：直线平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接、，与相交于点，连接，则由已知结合三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得平面，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得平面，由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性质可得结论 【详解】如图，连接、，与相交于点，连接， 因为，，为线段的中点，， 所以四边形为矩形，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线，， 因为平面，平面，所以平面， 因为、分别为线段、的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面. 8．如图，在三棱柱中，⊥平面，，是等边三角形，分别是棱的中点．证明：平面．    【答案】证明见解析 【分析】由线线平行证明面面平行，再由面面平行证明线面平行； 【详解】    连接BD. 因为E，F分别是棱AC，BC的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为D，F分别是棱，BC的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，则. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面ABD，平面ABD，且，平面 所以平面平面， 因为平面ABD，所以平面. 9．如图，在三棱锥中，平面，点分别为棱的中点 (1)在图中作出经过且与平面平行的截面图，并给出你的作法理由； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)截面图以及作法理由见解析； (2)2. 【分析】（1）取中点为，构造平面，再通过线面平行证明面面平行即可； （2）利用线线垂直证明面，即可求得点面距离. 【详解】（1）取中点为，连接，如下所示平面即为所求截面： 下证平面//面： 在△中，因为分别为的中点，故可得//， 又面面，故//面； 在△中，因为分别为的中点，故可得//， 又面面，故//面； 又面，故面//面. （2）因为面面，故， 又，面，故面， 故点到平面的距离即为. 10．如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设直线与底面所成角的正切值为，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取底面中心，利用三角形中位线得线线平行，再证线面平行即可； （2）根据线面夹角的定义及已知可求得AB长，再根据线面垂直判定直线与平面所成角即∠CPD，解三角形即可. 【详解】（1）连接，记， 为中点， 为中点， ， 又，，∴平面；    （2）因为平面， 所以即为直线与平面所成线面角，则.   因为矩形中，所以.   因为平面，平面，所以， 计算可得. 又，，，平面，所以， 所以即为直线与平面所成线面角，解得. 11．如图，在三棱锥中，分别为的中点．    (1)证明：//平面． (2)若均为正三角形，，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义进行求解即可. 【详解】（1）因为分别为的中点， 所以，而平面．平面． 所以//平面； （2）连接， 因为均为正三角形，，分别为的中点． 所以，， 而，因为， 所以，因为平面， 所以平面，因此是直线与平面所成角， 而，所以.    12．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由底面，可得，根据线面垂直的定义结合已知条件即可求解. （2）取F为直线的中点，连接，根据线面角的定义可知为直线与平面所成的角，在直角三角形中，根据已知条件即可求解. 【详解】（1）因为四边形是边长为2的菱形，所以， 又因为底面，且底面， 所以， 因为，平面， 所以平面. （2）如图，取F为直线的中点，连接， 因为为的中点， 所以为三角形的中位线， 所以. 又因为底面， 所以底面. 又底面， 所以， 所以为直线与平面所成的角. 因为四边形是边长为2的菱形， 所以O为AC的中点，F为直线的中点， 所以为三角形的中位线，所以， 所以在直角三角形中，， 又，所以. 13．如图所示，正四棱锥的底面边长为4，高为4．求： (1)该四棱锥的侧棱与底面所成角的余弦值； (2)二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意连接辅助线结合线面角的定义找到侧棱与底面所成角，利用余弦的定义即可得解. （）根据题意作出辅助线找到二面角的平面角结合正切的定义即可得解. 【详解】（1） 如图所示，连接，交于点，连接，则为正四棱锥的高，则为侧棱与底面所成的角. 因为底面为边长为的正方形，所以，所以， 因为，所以， 则， 所以侧棱与底面所成角的余弦值为. （2） 如图所示，作于点，连接， 因为，，所以为中点， 因为底面为正方形，则，所以为等腰三角形，， 则平面平面，，，且平面，平面， 所以为二面角的平面角， 因为正方形，，，，所以在中，， 所以， 所以二面角的正切值为. 14．如图，已知三棱锥的底面是边长为4的正三角形，侧棱底面，且体积，求： (1)棱的长； (2)侧面与底面所成的二面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三棱锥的面积公式易得答案； （2）根据二面角的定义找到二面角的平面角，再根据三角函数的定义易得答案. 【详解】（1） 取的中点记为，连接， 因为是边长为的正三角形， 所以，， 因为是的中点， 所以， 因为平面， 所以， 所以， 解得. （2）连接， 因为平面，平面， 所以， ，， 所以， 所以， 所以是等腰三角形， 因为是中点， 所以，又， 所以是侧面与底面所成的二面角的平面角， 因为， 所以， 所以侧面与底面所成的二面角的正切值为. 15．如图正方体中，棱长为1， 求： (1)平面与平面所成二面角的平面角的余弦值； (2)求点D到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，可证得，，则为所求二面角的平面角，求解即可； （2）利用等体积法求点D到平面的距离即可. 【详解】（1）连接， ∵正方体中，棱长为1，∴， ∵，为的中点，∴， ∵，为的中点，∴， ∴为平面与平面所成二面角的平面角， ∵平面，平面，∴， 在直角中，，, ∴, ∴， 即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为. （2）∵，，∴， ∵，∴， 设点D到平面的距离为， ∵平面， ∴由，得， ∴，解得， ∴点D到平面的距离为. 16．棱长为2的正方体中，为的中点. (1)求与所成的角. (2)求与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先找出为与所成的角，再结合正方体的结构特征即可求解. （2）先找出是与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）∵，∴为与所成的角. 在正方体中，三角形为直角三角形， 所以，∴与所成的角为. （2）连接，因为平面， 所以是在平面内的射影. ∴是与平面所成角. ∵在正方体中，平面， 因为平面，不在平面内，所以. 因为为的中点，所以. 在直角三角形中，. ∴与平面所成角的正切值为. 17．如图所示，在正方体中，是底面两条对角线的交点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：因为在正方体中，可知平面， 又平面，所以， 又因为､是正方形ABCD的对角线，因此， 又､是平面内的两条相交直线， 所以平面. （2）连接，由（1）可知直线和平面所成的角为， 且为直角三角形，， 设正方体棱长为1，可得，， 所以，且， 所以，因此和平面所成的角为.    18．如图，在直三棱柱中，．    (1)证明：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析. (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定即可证明； （2）根据二面角的概念可知二面角的平面角，设，根据直角三角形的正弦定义即可求解. 【详解】（1）因为在直三棱柱中，平面，平面, 所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. （2）    取BC的中点为D，连接AD，，设， 在直三棱柱中，因为， 所以， 又，从而， 所以二面角的平面角， 在直角三角形中，, ，. 所以. 故二面角的正弦值为. 19．在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中， (1)求二面角 的余弦值; (2)求二面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先找到二面角对应的平面角，求得平面角所在三角形各边长，再利用余弦定理求余弦值. （2）先找到二面角对应的平面角，求得平面角所在三角形各边长，即可求解. 【详解】（1） 取的中点，连接,, ∵是正方体， ∴和是等边三角形. ∴, ∴是二面角的平面角. ∵正方体的棱长为1 ， ∴. 在中，. 而. 故根据余弦定理可知，. 二面角 的余弦值为. （2） 过作于， ∵是正方体， ∴平面, 而平面，得到. 而与相交，故平面. 即，则O是BD的中点， ∴为二面角的平面角. . 故，在直角中，. 20．如图所示，在与同侧，过M作直线a与b，直线a分别与平面相交于，直线b分别与平面相交于． (1)判断直线与直线是否平行； (2)如果，求的长． 【答案】(1)平行 (2) 【分析】（1）判断直线与直线是否平行，可以利用两个平面平行的性质判断即可． （2）在平面中，利用初中学习的平行线的性质，可以求出线段的长． 【详解】（1）解：因为， 又平面与平面相交于直线，平面与平面相交于直线． 由两个平面平行的性质，知． （2）在平面中，因为， 则， 所以， 故． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $