大题专项-专题05 立体几何（A卷·基础巩固）--2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等、 职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试！ 动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每 !个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第 5个专题，内容为立体几何。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题5立体几何 (A卷·基础巩固) 班级 姓名 学号 成绩 1.如图所示，点P是直角梯形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°， ADI/BC,AB=BC=a,AD=2a,PD与底面成30°角，BE⊥PD,求直线BE与平面 PAD所成的角. 2.如图，已知棱长为2的正四面体ABCD,E为AD的中点，求： D (1)AB与CE所成角的余弦值； (2)直线AB与平面BCD所成角的正切值， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 3.如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C,中，AA⊥底面ABC,AC⊥AB, AB=AC=AA=2. C B A. (1)求证：AB1AC; (2)求点A到平面ABC的距离. 4.如图，在三棱锥P-ABC中，ABC是边长为2的等边三角形.PC=PB=2,PA=√5 C (1)证明：PA⊥BC (2)求点P到平面ABC的距离 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 5,如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C,中，A4⊥底面ABC,AA,=AB=BC,∠ABC=90°， D为AC的中点 B A C B-- D (1)求证：BD⊥平面AACC; (2)求直线B4与平面AACC所成角的大小. 6.在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=BC=2,过A,C,B三点的平面截去长方体的 个角后，得到如图所示的几何体ABCD-AC,D,这个几何体的体积为40 D C D y (1)求棱AA,的长； (2)求二面角B-4,C,-D,的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 7,如题图所示，在三棱锥S-ABC中，已知SA⊥平面ABC,∠CAB=60°，且 SA=AB=AC=3,D是BC的中点，求： S A (1)二面角C-SA-B的平面角的正弦值： (2)SD与平面ABC所成角的余弦值. 8.在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，已知E,F分别是BC,CC的中点. D B (1)求证：A,D⊥EF; (2)求点F到直线BD,的距离. 原创精品资源学科网强家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 9.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=60°，平面 PAB⊥平面ABCD,PA=PB=O 2 A B4 (1)证明：PC⊥CD; (2)求点B到平面PCD的距离 10.四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形，∠ADC=60, PA=AD=2,E为AD的中点，求PC与平面PAD所成角的正切值， A E 原创精品资源学科网强家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 11.如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC-A,B,C,中，D是BC的中点 D B (1)求证：AD⊥平面BCC,B,; (2)求直线AC,与平面BCC,B,所成角的正弦值， 12·如图所示，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，D为AA,的中点，底面边长为2，侧棱长为 2√6，求： B B (1)二面角D-BC-A的平面角的正切值 (2)点A到平面BCD的距离， 原创精品资源学科网强家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 13.如图，已知正四棱锥ABCD,底面面积为16，一条侧棱长为210.求斜高M与底面 所成角的余弦值 D 14,如图，已知正四棱锥S-ABCD的底面是面积为4的正方形ABCD,侧面是全等的等腰 三角形，一条侧棱长为3，M为棱BC的中点，O为底面正方形ABCD的中心. S D =C M B (1)求四棱锥的高S0: (2)求四棱锥S-ABCD侧面三角形底面上的高SM· 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 15.如图，圆柱的高为4cm,底面半径为3cm,已知上底面一条半径OA与下底面的一条半 径0B成60°角，求： (1)直线AB'与圆柱的轴O0'所成的角的大小； (2)线段AB的长. 16.已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为π的扇形 (1)求该圆锥的高： (2)求圆锥的母线与底面所成角的大小. 原创精品资源学科网强家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 17.如图，长方体ABCD-ABCD1中，底面ABCD1是正方形，O是BD的中点，E是 棱A4上任意一点 (I）证明：BD⊥EC; (I）如果AB="2",AE=√2，OE⊥EC,求A4的长. D C B B 18.如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C、D的点· ⊙ (1)证明：DM⊥平面BMC; (2)在线段AM上是否存在点P,使得MC/平面PBD?说明理由， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 19.如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，求： D 6 D (1)异面直线AD与BC所成角的大小； (2)异面直线BC与AC所成角的大小. 20.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，O为线段BD的中点. D B B (1)证明：直线BD⊥平面AOA: (2)证明：直线A,O∥平面B,CD,. 原创精品资源学科网强家享有版权，侵权必究！ 编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为立体几何。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题5 立体几何 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 1．如图所示，点是直角梯形所在平面外一点，平面，，，，，与底面成角，，求直线与平面所成的角. 【答案】 【分析】先证明平面，可得是与平面所成的角，根据条件解直角三角形，求得的大小. 【详解】平面，平面， 是与平面所成的角，， ，， 平面， 平面，是在平面上的投影， 是与平面所成的角， 平面，， ，，平面，平面， 平面，， 在中，，， ，， 所以直线与平面所成角为. 2．如图，已知棱长为2的正四面体，为的中点，求：    (1)与所成角的余弦值； (2)直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点F，连接，，在求得所求角的余弦值； （2）取的中点，连接交于点O，连接，由平面确定是直线与平面所成的角，进而求解. 【详解】（1）取的中点F，连接，， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∴是与所成的角， 在中，，，， ， ∴与所成的角的余弦值.    （2）取的中点，连接交于点O，连接， ∵平面， ∴是在平面上的射影， ∴是直线与平面所成的角， 在中，，，，， 直线与平面所成的角的正切值为.    3．如图所示，在三棱柱中，底面，，. (1)求证：； (2)求点A到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】（1）由题意首先证得线面垂直，然后由线面垂直可得异面直线垂直； （2）根据已知可证平面，则即为点A到平面的距离，即可求解. 【详解】（1）证明：由于底面,故，且， 由线面垂直的判定定理可得，平面，平面 从而； （2） 连接交于D， 由于平面， 由正方形的性质可知， ， 由线面垂直的判定定理可得平面， 则即为点A到平面的距离， 且，所以为正方形， 在正方形中，， 故点A到平面的距离为. 4．如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形．，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取M为BC的中点，然后得到，，进一步得到BC⊥平面PAM，然后得到结果； （2）得到PN⊥平面ABC，然后计算长度，然后得到△APM为等边三角形，最后计算即可. 【详解】（1）证明： 如图，取M为BC的中点，连接AM、PM ∵△ABC为等边三角开形 ∴ 又∵ ∴，，平面PAM ∴BC⊥平面PAM，平面PAM ∴ （2）过P作交AM于N 由（1）知BC⊥平面PAM ∴，，平面ABC ∴PN⊥平面ABC PN即为P点到平面ABC的距离 由，得 由，得 又∵ ∴△APM为等边三角形 ∴ 5．如图所示，在三棱柱中，底面，，，D为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明过程见解析. (2). 【分析】（1）由直线与平面垂直的定义与判定方法即可得解. （2）由直线与平面所成的角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】（1）在三棱柱中,底面. 所以. ,,为中点. 所以. ，且两直线在平面内， 所以. （2） 连接,因为,所以是直线与平面形成的角. 在直角中. 所以. 综上所述:直线与平面所成角为 6．在长方体中，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，这个几何体的体积为. (1)求棱的长； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）根据柱体、锥体体积公式计算，可得结果； （2）取中点，找到二面角的平面角，然后根据余弦定理计算即可. 【详解】（1）设，依题意可得，解得， 故棱的长为4. （2）取中点，连结、， 因为取、，所以就是二面角的平面角， 又、、，由余弦定理可知，， 所以二面角的余弦值为. 7．如题图所示，在三棱锥中，已知平面，，且，D是的中点，求： (1)二面角的平面角的正弦值； (2)与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用垂面法找到二面角的平面角，再求正弦值即可解答； （2）利用线面角定义找到此角，再求余弦值. 【详解】（1）因为平面，且平面,平面, ， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以， 即二面角的平面角的正弦值为. （2）因为平面，平面，所以, 那么为与平面所成的线面角， 因为为中点，，所以, 所以, 所以, 即有, 故与平面所成角的余弦值为. 8．在棱长为2的正方体中，已知E，F分别是BC，的中点. (1)求证：； (2)求点F到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的对角线垂的关系，以及中位线平行来证明. （2）先找到点到直线的距离线段，再根据关系求长度. 【详解】（1）证明：连接、 ∵为正方形，、为对角线， ∴， ∵E，F分别是BC，的中点， ∴在中为中位线， ∴， 在平面中，，， ∴①， ∵正方体， ∴平面， ∵平面， ∴②， ， ∴平面， ∵平面， ∴. （2）连接与交点为，则正方体中为与的中点， ∵为的中点， ∴中为中位线， ∴，且， ∵， ∴， ∵平面，平面， ∴， ∴ ∵， ∴平面， ∵平面， ∴， ∴到直线的距离为， ∵， ∴， ∴， 故点F到直线的距离为. 9．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，，平面平面，． (1)证明： ； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）取的中点H，连接.易证平面，可得平面，从而得证； （2）由于平面,故点到平面的距离可转化为H到平面的距离，在内作垂直于M，易证平面，即为所求.在中，利用等面积法可求得. 【详解】（1） 如图，取的中点H，连接. 因为底面是边长为1的菱形，， 所以是等边角形， ， 平面 ， 平面， （2）平面， 所以平面, 所以点B到平面的距离与H到平面的距离相等. 在内作垂直于M， 由（1）知平面， ，又 平面，即为所求. 因为平面平面，， 所以平面， ， 在中，， 在中，， 在中，， . 故点B到平面的距离. 10．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．求与平面所成角的正切值． 【答案】 【分析】先找到线面角的平面角,再用三角函数的定义求出答案. 【详解】 连接, 因为四边形是菱形,,为的中点, 所以,所以是等边三角形,是的中线,所以, 因为平面,平面, 所以, 因为,平面,平面, 所以平面, 所以与平面所成角的平面角是, 因为, 所以,,, 所以, 所以与平面所成角的正切值为. 11．如图，在棱长均为1的直三棱柱中，D是的中点．      (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）在直三棱柱中平面，则，在等边中，有，且平面，故命题得证； （2）由（1）知直线在平面内的射影为，所以是直线与平面所成角，分别在等边和中，求得，，在中可求解. 【详解】（1）直三棱柱中， 平面，平面， ， 在等边，D是的中点． ，且平面， 平面； （2）    如图，连接 由（1）知平面， 所以直线在平面内的射影为， 所以是直线与平面所成角. 在等边，各边长为1， 故得， 在中，， 故， 在中， . 故直线与平面所成角的正弦值是. 12．如图所示，在正三棱柱中，为的中点，底面边长为2，侧棱长为，求：    (1)二面角的平面角的正切值； (2)点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二面角定义解答即可； （2）利用点到平面的距离求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示，   ，，   为二面角的平面角，   ，，   ， ∴二面角的平面角的正切值为. （2）设点到平面的距离为， ，   由可得，   又， . 13．如图，已知正四棱锥V-ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为.求斜高VM与底面所成角的余弦值. 【答案】 【分析】根据正四棱锥的结构特征即可找到线面角，进而在直角三角形中即可求解. 【详解】过V作底面的垂线，由正棱锥的定义，交底面于底面中心O，连接OM，所以斜高VM与底面所成角为. 由底面面积为16可知 ,进而， ，得. 即斜高VM与底面所成角的余弦值为. 14．如图，已知正四棱锥的底面是面积为4的正方形，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为3，为棱的中点，为底面正方形的中心．    (1)求四棱锥的高； (2)求四棱锥侧面三角形底面上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的几何性质，利用勾股定理，结合正方形的性质对进行求解即可； （2）利用等腰三角形的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为是正四棱锥，且为底面正方形的中心， 所以底面，而底面， 因此， 因为是正方形，且面积为4， 所以该正方形的边长为2，， 在直角三角形中，； （2）因为侧面是全等的等腰三角形，且为棱的中点， 所以， 在直角三角形中，； 15．如图，圆柱的高为4cm，底面半径为3cm，已知上底面一条半径OA与下底面的一条半径成角，求： (1)直线与圆柱的轴所成的角的大小； (2)线段的长． 【答案】(1) (2)5cm 【分析】（1）由圆柱体的结构特征及线线角的定义确定异面直线夹角的平面角，进而求其大小； （2）结合（1）应用勾股定理求线段长度. 【详解】（1）由题设知：，则，且， 所以直线与圆柱的轴所成的角为，且底面圆， 而圆，故，且， 在Rt△中，则. （2）由（1）知：在Rt△中cm. 16．已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为π的扇形. (1)求该圆锥的高； (2)求圆锥的母线与底面所成角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用底面周长为侧面展开图的弧长，求出母线长，然后利用勾股定理求解即可；（2）求母线与底面夹角的余弦值，计算出其夹角即可. 【详解】（1）因为底面半径，所以底面周长，及侧面展开图的弧长为，因为侧面展开图的圆心角，所以侧面展开图的半径，及母线长为，根据勾股定理可知圆锥的高； （2）圆锥与底面所成角记作，则，所以. 17．如图，长方体中，底面是正方形，是的中点，是棱上任意一点． （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）如果="2" ,=,, 求 的长． 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）因底面是正方形，故，又侧棱垂直底面，可得,而,所以面，因,所以面,又面，所以 ； （Ⅱ）因="2" ,=,,可得,,设，由得，即，解得，即 的长为． 18．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于、的点． （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析. 【分析】（1）利用垂直关系转化为证明，，即可证明； （2）利用线线平行，证明线面平行，即可求得点. 【详解】（1）连结，由题设知，平面平面，交线为． 因为，平面，所以平面，故． 因为M为上异于C，D的点，且为直径，所以． 又，所以平面． （2）当P为的中点时，平面． 证明：如图，连接交于O．因为四边形为矩形，所以O为的中点． 连接，因为P为的中点，所以． 平面，平面，所以平面．    19．如图所示，在正方体中，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)异面直线与所成角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线与直线的位置关系，异面直线的概念即可求解. （2）先找出是异面直线与所成角，即可求解. 【详解】（1）在正方体中，， ，异面直线与所成角的大小为. （2）连接，，是异面直线与所成角. 在正方体中，， 则是等边三角形，， 异面直线与所成角为. 20．如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)证明：直线平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明直线垂直于平面内两条相交直线即可证明直线平面； （2）证明直线所在的平面平面平面，即可证明直线平面. 【详解】（1）∵在正方体中， 平面，平面， ∴， 又∵在正方形中，为线段中点， ∴， 又，平面， ∴直线平面. （2）连接，如图， 在正方体中， 四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 在正方体中，四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $