大题专项-专题03 二次函数及其应用（B卷·能力提升）--2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第3个专题，内容为二次函数及其应用。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题03 二次函数及其应用 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 1．已知二次函数，求： (1)函数的顶点坐标和对称轴； (2)函数在区间上的最大值和最小值． 2．某商店中一个小熊玩具售价为元时，销售总量为个，如果每个小熊玩具的售价上涨，那么销售总量就会减少.当x取什么值时，小熊玩具的销售金额最大？最大销售金额为多少元？此时一个小熊玩具的售价为多少元？ 3．小明在暑假实习期间，参与了某产品市场定价调研，发现该产品在试销期间，每天的销售量（件）是销售单价（元/件）的一次函数. (1)下表为该产品试销期间某三天的销售单价、销售量对应表.请根据下表，写出（件）与（元/件）之间的函数解析式； 销售单价元/件） 65 60 55 销售量件 50 60 70 (2)若该产品每件成本为50元，每天的销售利润为元，则该产品定价为何值时当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 4．已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，求其值域． 5．函数的图象如图所示： (1)求该图象与坐标轴的交点的坐标； (2)求出以为直径的圆的周长和面积. 6．在一场军事演习中，先进的检测设备精确的记录了一枚高性能微型炮弹的飞行数据．当炮弹的水平射程依次为0米、80米、160米时，对应的高度分别为0米、80米、128米，已知炮弹的飞行高度与水平射程符合二次函数关系．求： (1)此二次函数的解析式； (2)当水平射程为多少米时，高度最大，并求出最大高度； (3)此炮弹的水平射程的最大值． 7．已知一元二次函数. (1)当，求的取值范围； (2)求在区间上的最小值. 8．高速铁路运行速度快，条件好，但票价较高.已知某条线路的高铁，当票价为200元时，日实际运送量为8万人次.估计票价每下降20元，实际运送量将提高1万人次.问：当票价定为多少时，旦售票收入最大？最大收入为多少万元？ 9．某宾馆有50个房间供游客住宿，每间客房的房租为180元/天时，每天客满.宾馆欲提高档次，并提高租金，如果每间客房的房租每增加10元/天，客房出租数就会减少1间；宾馆需对有游客居住的房间每天支出20元的日常管理费用.根据规定，每间客房的房租不得高于340元/天.设每间客房的房租增加个10元/天，宾馆一天的利润为元. (1)当每间客房的房租为280元/天时，求利润的值； (2)求关于的函数解析式； (3)求每间客房的房租为多少时，宾馆一天的利润最大？最大利润为多少元？ （温馨提示：利润=房租收入一支出） 10．已知二次函数的顶点坐标为，其图像与y轴交于点. (1)这个函数的解析式； (2)在区间上的最大值. 11．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销量（件）之间满足如图所示的关系. (1)求出与的函数关系式； (2)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将价格定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少? 12．已知二次函数，. (1)若函数是偶函数，求实数m的值； (2)若，求函数的值域； (3)若函数在区间上具有单调性，求实数m的取值范围. 13．某公司生产某种智能产品，其固定成本为3万元，每生产一个这种智能产品需增加投入100元，已知每周的总收入R（单位：元）关于每周的产量x（单位：个）满足的函数解析式为． (1)写出每周的利润（单位：元）关于x的函数解析式； (2)当每周的产量x为多少个时，该公司每周的利润最大？最大利润为多少元？ 14．已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 15．已知函数，其中m为常数. (1)若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围； (2)若，都有，求实数m的取值范围. 16．为了促进制造业绿色转型升级，某工厂积极响应“降碳减排三年行动计划”，准备从形状为直角梯形的铝合金边角料中，截取矩形铝皮（如图中阴影部分）备用． (1)求截取矩形铝皮的面积S关于矩形边长x的函数关系式； (2)当矩形铝皮的两边长x，y分别为多少时，截取的矩形铝皮面积最大？并求出最大面积． 17．已知是二次函数，且对恒成立，方程的两个实根之差等于5，. (1)求此二次函数的解析式； (2)求在区间上的最大值和最小值. 18．用长为的铁丝做一个如图所示的框架，其中和是半径相等的半圆，四边形是矩形. (1)设，阴影部分的面积为，试写出y与x之间的函数关系式； (2)问：当的长为多少时，y取得最大值?最大值是多少? 19．已知二次函数满足，且有等根，的图像被轴截得的线段长为4. (1)求的解析式. (2)若，求函数的最值. 20．已知二次函数. (1)若满足，求二次函数解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围； (3)若，都有，求实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第3个专题，内容为二次函数及其应用。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题03 二次函数及其应用 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 1．已知二次函数，求： (1)函数的顶点坐标和对称轴； (2)函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)顶点坐标为，对称轴； (2)最大值为5，最小值为1． 【分析】（1）利用配方法把二次函数的解析式化为顶点式，进而写出顶点坐标和对称轴； （2）先求出对称轴，再判断对称轴是否在给定区间内，然后利用函数的单调性求出给定区间的最值. 【详解】（1）由配方法可得，函数 所以顶点坐标为，对称轴方程为. （2）因为函数可得 所以函数的图像开口方向向上 又因为函数的对称轴， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 所以当时，；当时，. 因此函数在区间上的最大值为，最小值为. 2．某商店中一个小熊玩具售价为元时，销售总量为个，如果每个小熊玩具的售价上涨，那么销售总量就会减少.当x取什么值时，小熊玩具的销售金额最大？最大销售金额为多少元？此时一个小熊玩具的售价为多少元？ 【答案】答案见解析 【分析】设出售价并根据题中信息列出函数解析式，再根据二次函数最值求解即可解得. 【详解】设小熊玩具的销售金额为y元， 则， 当时，， 此时的售价为， ∴当时，小熊玩具的销售金额最大，最大销售金额为元，此时一个小熊玩具的售价为元． 3．小明在暑假实习期间，参与了某产品市场定价调研，发现该产品在试销期间，每天的销售量（件）是销售单价（元/件）的一次函数. (1)下表为该产品试销期间某三天的销售单价、销售量对应表.请根据下表，写出（件）与（元/件）之间的函数解析式； 销售单价元/件） 65 60 55 销售量件 50 60 70 (2)若该产品每件成本为50元，每天的销售利润为元，则该产品定价为何值时当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)定价为70元时，利润最大为800元 【分析】（1）设与之间的函数解析式为，将表中数据代入解析式中即可求解. （2）由题意列式，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设与之间的函数解析式为， 将表中数据代入得，解得， 所以与之间的函数解析式为. （2）由题意得：， 所以当时，取最大值，最大值为， 即该产品定价为70元时当天的销售利润最大，最大利润是800元. 4．已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，求其值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得对称轴为，求出即可； （2）根据二次函数的单调性确定值域即可. 【详解】（1）二次函数且满足， 可得该二次函数的对称轴为，且， 则，从而得， 所以函数的解析式. （2）， 可得函数在上单调递增，在上单调递减, 且， 则时，， 所以在上的值域为. 5．函数的图象如图所示： (1)求该图象与坐标轴的交点的坐标； (2)求出以为直径的圆的周长和面积. 【答案】(1)，，. (2)，. 【分析】（）根据二次函数解析式即可求出与坐标轴交点坐标. （）根据（）求出的距离，代入圆的周长公式与面积公式即可得解. 【详解】（1）∵， ，解得，， 当，， 即，，. （2）∵， ∴， ∴周长，面积. 6．在一场军事演习中，先进的检测设备精确的记录了一枚高性能微型炮弹的飞行数据．当炮弹的水平射程依次为0米、80米、160米时，对应的高度分别为0米、80米、128米，已知炮弹的飞行高度与水平射程符合二次函数关系．求： (1)此二次函数的解析式； (2)当水平射程为多少米时，高度最大，并求出最大高度； (3)此炮弹的水平射程的最大值． 【答案】(1) (2)当水平射程为240米时，高度最大，最大高度为144米 (3)480米 【分析】（1）设此二次函数的解析式为，，将点代入解析式中即可求解. （2）根据二次函数的性质即可求解. （3）由（1）可知，令，代入解析式中即可求解. 【详解】（1）设此二次函数的解析式为，， 将点，，代入解析式中， 则，解得， 即此二次函数的解析式为. （2）因为， 所以当水平射程为240米时，高度最大，最大高度为144米． （3）由（1）可知，令，即， 解得或，则炮弹的水平射程的最大值为480米． 7．已知一元二次函数. (1)当，求的取值范围； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目解一元二次不等式即可解得. （2）求出二次函数对称轴，结合二次函数单调性即可解得. 【详解】（1）由题，， ，即， 可化为， 解得，的取值范围为. （2）由题，二次函数对称轴为， 由解析式可知二次函数开口向上，在上单调递增， 故. 8．高速铁路运行速度快，条件好，但票价较高.已知某条线路的高铁，当票价为200元时，日实际运送量为8万人次.估计票价每下降20元，实际运送量将提高1万人次.问：当票价定为多少时，旦售票收入最大？最大收入为多少万元？ 【答案】当票价定位180元时，日票价收入最大，最大收入为1620元. 【分析】设票价下降元，售票收入为万元,根据题意列出方程，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】设票价下降元，售票收入为万元. 则， 当时，取得最大值，最大值为1620， 此时的票价为元. 故当票价定位180元时，日票价收入最大，最大收入为1620元. 9．某宾馆有50个房间供游客住宿，每间客房的房租为180元/天时，每天客满.宾馆欲提高档次，并提高租金，如果每间客房的房租每增加10元/天，客房出租数就会减少1间；宾馆需对有游客居住的房间每天支出20元的日常管理费用.根据规定，每间客房的房租不得高于340元/天.设每间客房的房租增加个10元/天，宾馆一天的利润为元. (1)当每间客房的房租为280元/天时，求利润的值； (2)求关于的函数解析式； (3)求每间客房的房租为多少时，宾馆一天的利润最大？最大利润为多少元？ （温馨提示：利润=房租收入一支出） 【答案】(1)10400元 (2)（且）， (3)房租为340元/天时，最大利润为10880元 【分析】（1）根据房租价格求得空房数，进而得到答案； （2）根据题意列出函数解析式即可； （3）根据二次函数的解析式求解最值即可； 【详解】（1）当每间客房的房租为280元/天时，由题意得，有10间客房空出. （元）. （2）若每间客房的房租增加个10元/天，则有间客房空出， ， 由题意得，解得，且， 关于的函数解析式为（且）， （3）∵二次函数的对称轴方程为， 函数（且）在区间上为增函数， 即当时，取得最大值， 每间客房的房租为340元/天，宾馆一天的利润最大， 最大利润为（元）. 10．已知二次函数的顶点坐标为，其图像与y轴交于点. (1)这个函数的解析式； (2)在区间上的最大值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）先设二次函数的顶点式，再根据图像与y轴交于点即可求解； （2）根据二次函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由二次函数的顶点坐标为， 可设二次函数， ∵函数的图像交y轴于点， ，∴， ∴这个函数的解析式为； （2）由（1）知，其对称轴为直线， ∴函数在区间上是增函数， . 11．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销量（件）之间满足如图所示的关系. (1)求出与的函数关系式； (2)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将价格定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少? 【答案】(1). (2)，将价格定为元/件，可保证每天获得的利润最大，最大利润是元. 【分析】（1）由图象中的点求出一次函数的解析式即可. （2）首先写出利润与销售单价之间的函数关系式，再根据二次函数求解最大值. 【详解】（1）根据图像可知，与的满足一次函数的关系， 可设， 函数过点和， ，解得， 所以与的函数关系式为. （2）由题意可知，一件商品的利润为，共卖出了件商品， 则利润与销售单价的函数表达式为， . 当时，利润最大，最大为. 综上所述，，将价格定为元/件，可保证每天获得的利润最大，最大利润是元. 12．已知二次函数，. (1)若函数是偶函数，求实数m的值； (2)若，求函数的值域； (3)若函数在区间上具有单调性，求实数m的取值范围. 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】（1）由偶函数性质列方程得恒成立，即可求出的值. （2）根据二次函数顶点式求最值即可. （3）根据二次函数的区间单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）若二次函数为偶函数， 则有，即， 得，即. （2）若，则， 其中，开口向上， 所以当时，， 所以函数的值域为. （3）已知二次函数， 函数图像的对称轴为， 函数在区间上具有单调性， 则或， 解得或， 所以实数m的取值范围为. 13．某公司生产某种智能产品，其固定成本为3万元，每生产一个这种智能产品需增加投入100元，已知每周的总收入R（单位：元）关于每周的产量x（单位：个）满足的函数解析式为． (1)写出每周的利润（单位：元）关于x的函数解析式； (2)当每周的产量x为多少个时，该公司每周的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1). (2)当个时，每周利润最大，利润最大为元. 【分析】（）由题意，根据利润=总收入-总成本，写出函数解析式即可. （）利用二次函数的性质及一次函数的性质分别求出最大值，再取较大的即可得解. 【详解】（1）由题意得， 当时，； 当时，； 所以. （2）由（1）得， 当时，， 所以当时，最大为元； 当时，为减函数， 时，利润最大元， 因为，所以，当时，每周利润最大，利润最大为元. 14．已知定义在上的偶函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义写出分段函数解析式即可解得. （2）根据函数单调性列出不等式即可解得. 【详解】（1）当时，则，， 又∵为偶函数，∴． ∴当时，，∴. （2）由题可知在上单调递减，又知函数是偶函数. ∴在上单调递增. 又∵在上单调递增，∴. ∴，则，故实数a的取值范围是. 15．已知函数，其中m为常数. (1)若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围； (2)若，都有，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的开口方向和对称轴易得答案； （2）根据开口向上的二次函数恒成立，只需根的判别式小于易得答案. 【详解】（1）因为函数开口向上， 所以该函数的对称轴， 即，解得； 所以实数m的取值范围； （2）因为函数恒成立， 所以根的判别式， 整理得，解得； 所以实数m的取值范围. 16．为了促进制造业绿色转型升级，某工厂积极响应“降碳减排三年行动计划”，准备从形状为直角梯形的铝合金边角料中，截取矩形铝皮（如图中阴影部分）备用． (1)求截取矩形铝皮的面积S关于矩形边长x的函数关系式； (2)当矩形铝皮的两边长x，y分别为多少时，截取的矩形铝皮面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1) (2)当时，截取的矩形铝皮面积最大，最大面积为160 【分析】（1）利用平行线的性质找到x、y的关系，进而得矩形的面积S与其边长x的函数解析式； （2）利用二次函数的性质求解． 【详解】（1） 如图所示标注字母，过点A作于点F， 易得，所以与相似， 所以， 化简得， 所以． （2）因为的对称轴， 当时，截取的矩形铝皮面积最大，最大面积为160． 17．已知是二次函数，且对恒成立，方程的两个实根之差等于5，. (1)求此二次函数的解析式； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）求二次函数对称轴和轴交点，列出解析式，将代入即可； （2）利用二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）∵，∴的对称轴为， 又∵方程的两个实根之差等于5，与轴交点距离对称轴为，即与， ∴的图像与轴交于，两点. 可设，，， 则， ∴， ∴. （2）∵，开口向下，对称轴为在区间上， ， . 18．用长为的铁丝做一个如图所示的框架，其中和是半径相等的半圆，四边形是矩形. (1)设，阴影部分的面积为，试写出y与x之间的函数关系式； (2)问：当的长为多少时，y取得最大值?最大值是多少? 【答案】(1) (2)时，阴影部分的面积取最大值，最大值为. 【分析】（1）根据题意结合长方形面积和圆的面积公式列函数关系式即可. （2）根据（1）建立的二次函数模型，结合二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）设，则，则 . 设阴影部分的面积为，则 . 即. （2）由（1）得， 化为顶点式为， 即当，即时， 阴影部分的面积取最大值，最大值为. 19．已知二次函数满足，且有等根，的图像被轴截得的线段长为4. (1)求的解析式. (2)若，求函数的最值. 【答案】(1) (2)最小值，最大值3 【分析】（1）由两根式设函数解析式，再由有等根这个条件求解函数解析式即可. （2）求解函数对称轴，在对称轴处取得最小值，再分别求解和的值，确定最大值即可. 【详解】（1）∵， ∴的图像的对称轴为， 又∵的图像被轴截得的线段长为4， ∴图像过点，， ∴设， 又有等根， 即， 有等根， ∴，∴， ∴. （2）由（1）得对称轴为， ∴当时，取最小值， 因为，， 当时，取最大值3. 20．已知二次函数. (1)若满足，求二次函数解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围； (3)若，都有，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知方程求的值即可求二次函数解析式； （2）由二次函数的性质，由单调性列不等式求实数m的取值范围； （3）利用一元二次不等式恒成立求实数m的取值范围. 【详解】（1）因为二次函数满足， 所以， 整理得， ， 因此所求二次函数解析式为：. （2）二次函数的对称轴为：直线. 因为函数在区间上单调递增， 所以解得， 所以实数m的取值范围为：. （3）因为，都有， 所以方程的判别式. 即： 解得： 所以实数m的取值范围为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $