大题专项-专题03 二次函数及其应用（A卷·基础巩固）--2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第3个专题，内容为二次函数及其应用。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题03 二次函数及其应用 （A卷·基础巩固） 1．已知一元二次函数. (1)求函数图象的对称轴方程和顶点坐标； (2)作出该函数的图象的草图，并写出函数的单调区间. 2．已知函数. （1）作出函数的图象； （2）求出函数的单调区间及最小值. 3．已知点在二次函数的图像上. (1)求b的值及该二次函数的对称轴方程； (2)若该二次函数的图像恒在直线的上方，求实数k的取值范围. 4．已知二次函数， (1)求函数的对称轴方程、顶点坐标； (2)求出函数的单调区间； (3)当时，求函数的最大值和最小值. 5．已知二次函数满足． (1)求的解析式． (2)求在上的值域． 6．已知二次函数. (1)指出图象的开口方向､对称轴方程､顶点坐标; (2)求函数在上的最大值和最小值. 7．第届亚运会于年月在杭州举行，铅球比赛中运动员巩立姣在A点处将铅球投出（铅球在地面的垂直投影恰好在投掷圈的内边缘点处），此时铅球离地面的高度为米，铅球的运动轨迹为抛物线，当铅球到达最高点时，铅球与点的水平距离8米，她这次投掷的成绩为20米（即铅球落地点到点的距离）    (1)求铅球离地面的高度（米）关于铅球离点的水平距离（米）的函数解析式； (2)当铅球到达最高点时，铅球离地面的高度为多少米？ 8．某青年旅社共有200张普通床位．若每张普通床位每晩租金为20元时，可全部租出；若每张普通床位每晩租金提高1元，便少租出5张床位．求每张普通床位每晩的租金定为多少元时，该青年旅社获得的利润最多？ 9．如图，已知，米，米，动点和同时从点分别沿路径和方向匀速移动.已知动点的速度为米/秒，动点的速度为米/秒.在动点向点移动过程中，当移动时间为多少时，的面积最大，最大面积是多少？ 10．中秋国庆双节期间，全国各地景区景点游客逐渐增多，旅游市场回暖升温．某景区山下的海景酒店有50间海景房，若每间房一天的住宿费用为600元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元()，则入住的房间数会相应减少x间． (1)求该温泉酒店每天的收入y元关于x的函数解析式； (2)若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当日收入为多少元？ 11．如图，把长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆的半径为x，求此框架围成的面积y与x的解析式，并写出它的定义域. 12．直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件. (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ (2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 13．将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售100件，若每件商品售价涨价1元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使每天所赚的利润最大，并求出这个最大利润. 14．如图，某班级要在一块直角三角形的空地上围出一块矩形区域作为劳动实践教育基地，矩形两边落在两条直角边上，矩形一个顶点在直角三角形斜边上.已知直角三角形两条直角边、分别为4米和8米，设为米.    (1)用表示； (2)写出矩形面积与边长的函数关系式； (3)当边长为何值时矩形面积最大，并求出最大面积. 15．某农户生产销售某种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克，市场调查发现该产品每天的销售量与销售价（元/千克）有以下关系：，设这种产品每天销售利润为（元）. (1)求与的关系式； (2)当销售价定位多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少？ 16．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：      (1)写出方程的两个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 17．已知二次函数． (1)画出函数图像，并比较，，的大小（不需要写画图过程）； (2)求不等式的解集． 18．已知函数. (1)求函数的顶点坐标、单调区间、最值. (2)写出函数在的值域. 19．已知二次函数图象过点，且经过直线与坐标轴的两个交点， (1)求此函数的解析式； (2)求此函数在区间上的值域． 20．已知函数，（a为正的常数），且函数在与的图象在y轴上截距相等. (1)求a的值； (2)求函数与的单调递增区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第3个专题，内容为二次函数及其应用。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题03 二次函数及其应用 （A卷·基础巩固） 1．已知一元二次函数. (1)求函数图象的对称轴方程和顶点坐标； (2)作出该函数的图象的草图，并写出函数的单调区间. 【答案】(1)， (2)草图见解析；单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】（1）根据二次函数对称轴和顶点坐标公式，代入即可求解； （2）解方程可求出函数图像与坐标轴的交点，已知图像开口方向即可画出草图，根据二次函数的图像和性质即可求出单调区间. 【详解】（1）由可知， 所以， 则函数的对称轴方程为，顶点坐标为. （2）因为中，所以该函数的图象是开口向上的抛物线. 令，可得抛物线与x轴的交点为和，结合（1）的对称轴方程和顶点坐标，可得函数的草图如图所示.    由函数图象可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 2．已知函数. （1）作出函数的图象； （2）求出函数的单调区间及最小值. 【答案】（1）图象见解析；（2）单调递减区间为；单调递增区间为；. 【分析】（1）分别在和的情况下得到解析式，根据解析式可确定图象； （2）根据图象可确定单调区间和最值. 【详解】（1）当时，；当时，； 又，则的图象如下图所示， （2）由图象可知：的单调递减区间为；单调递增区间为； 最小值为. 3．已知点在二次函数的图像上. (1)求b的值及该二次函数的对称轴方程； (2)若该二次函数的图像恒在直线的上方，求实数k的取值范围. 【答案】(1)；对称轴方程为 (2) 【分析】（1）将点代入可得b的值，进而可得二次函数的对称轴方程； （2）根据题意转化为在恒成立，即在恒成立，由可求解. 【详解】（1）因为点在二次函数的图像上， 所以， 解得. 故二次函数为，对称轴方程为； （2）由题知，在恒成立， 即在恒成立， 所以， 解得. 故实数k的取值范围. 4．已知二次函数， (1)求函数的对称轴方程、顶点坐标； (2)求出函数的单调区间； (3)当时，求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)对称轴方程为；顶点坐标为 (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3)最大值；最小值 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求得对称轴，再代入求解得到最值，即可得到顶点坐标. （2）根据二次项系数判断函数图象开口方向，继而得到单调区间. （3）通过判断函数在上的单调性，确定其最大值和最小值. 【详解】（1）对称轴方程为， 将代入得 ， 所以顶点坐标为. （2）因为二次函数的图象开口向下，对称轴为， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）因为二次函数的图象开口向下，对称轴为， 所以当时，函数单调递减， 所以当时，函数有最大值，即 ， 所以当时，函数有最小值，即 . 5．已知二次函数满足． (1)求的解析式． (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，则，利用换元法代入可求得的解析式； （2）由（1）可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案. 【详解】（1）令，则， ，∴. （2）因为， 所以的图象对称轴为，在上递减，在上递增， ∴，， 即的值域为. 6．已知二次函数. (1)指出图象的开口方向､对称轴方程､顶点坐标; (2)求函数在上的最大值和最小值. 【答案】(1)图象开口向下，对称轴方程为，顶点坐标为； (2)最大值为1，最小值为 【分析】（1）根据二次项系数的正负得到开口方向，由公式求出对称轴方程，进而求出顶点坐标； （2）在（1）的基础上求出函数的单调性，进而得到最值. 【详解】（1）中二次项系数，故图象开口向下， 对称轴方程为， 当时，，故顶点坐标为； （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为， 又当时，，当时，， 故最小值为， 综上，在上的最大值为1，最小值为. 7．第届亚运会于年月在杭州举行，铅球比赛中运动员巩立姣在A点处将铅球投出（铅球在地面的垂直投影恰好在投掷圈的内边缘点处），此时铅球离地面的高度为米，铅球的运动轨迹为抛物线，当铅球到达最高点时，铅球与点的水平距离8米，她这次投掷的成绩为20米（即铅球落地点到点的距离）    (1)求铅球离地面的高度（米）关于铅球离点的水平距离（米）的函数解析式； (2)当铅球到达最高点时，铅球离地面的高度为多少米？ 【答案】(1) (2)4米. 【分析】（1）由题知，抛物线的对称轴为，设函数解析式为，将，代入可求解析式；                  （2）由（1）知，当时，铅球到最高点，此时铅球离地面的高度为4米. 【详解】（1）由题知，抛物线的对称轴为，设函数解析式为，                          将，代入上式得                                         ，解得.                       为所求； （2）由（1）可知，当时，铅球到最高点，此时铅球离地面的高度为4米. 8．某青年旅社共有200张普通床位．若每张普通床位每晩租金为20元时，可全部租出；若每张普通床位每晩租金提高1元，便少租出5张床位．求每张普通床位每晩的租金定为多少元时，该青年旅社获得的利润最多？ 【答案】元，元 【分析】由题意设租金为元，利润为元，列出函数关系式求最值即可. 【详解】设每张普通床位每晩的租金元，利润为元， 由题意可得，每晚租出的床位数，， 则利润， 当时，取最大值. 所以每张普通床位每晩的租金定为元时，该青年旅社获得的利润最多，为元. 9．如图，已知，米，米，动点和同时从点分别沿路径和方向匀速移动.已知动点的速度为米/秒，动点的速度为米/秒.在动点向点移动过程中，当移动时间为多少时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】当移动时间秒时，面积最大，最大面积为平方米. 详解见解析. 【分析】由题设移动时间为秒时，知米，米，由面积可得二次函数，二次函数在对称轴处取得最值即可得结果. 【详解】解：由题可知移动时间为秒时，知米，米，由三角形面积公式知 ，可知当时， 面积最大，最大为. 10．中秋国庆双节期间，全国各地景区景点游客逐渐增多，旅游市场回暖升温．某景区山下的海景酒店有50间海景房，若每间房一天的住宿费用为600元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元()，则入住的房间数会相应减少x间． (1)求该温泉酒店每天的收入y元关于x的函数解析式； (2)若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当日收入为多少元？ 【答案】(1)且； (2)每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元. 【分析】（1）根据题意有，展开并确定其定义域，即得解析式； （2）利用二次函数性质求最大值，确定每间房的住宿费用和当日收入即可. 【详解】（1）由题意，且. （2）由（1），， 所以，当时，元， 故每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元. 11．如图，把长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆的半径为x，求此框架围成的面积y与x的解析式，并写出它的定义域. 【答案】. 【解析】根据题意，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，分别计算其面积，可得框架围成的面积y与x的解析式，根据实际意义，可写出它的定义域. 【详解】由题意，得，的长为， 所以， 所以， 即， 由得， 故函数的定义域为. 【点睛】本题考查的重点是函数模型的构建，解题的关键是正确表示出上、下两部分的面积. 12．直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件. (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ (2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)50元 (2)55元， 450元 【分析】（1）结合题意列出等式即可. （2）化为顶点式即可求. 【详解】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元， 日销售量为件， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：每件售价应定为50元； （2）设每天的销售利润为元.依题意，得： 整理得：，化成顶点式得， ∴当时.每天的销售利润最大，最大利润是450元. 13．将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售100件，若每件商品售价涨价1元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使每天所赚的利润最大，并求出这个最大利润. 【答案】售价定为14元时，赚的利润最大，最大利润为360元. 【分析】设每件商品售价为元，由已知求出每天所赚的利润y关于x的函数解析式，进而根据二次函数的图象和性质，可得函数的最大值. 【详解】设每件商品售价定价元，则销售量为件，由题得， 每天所赚的利润， 故当时，即售价定为14元时，最大利润为360元. 14．如图，某班级要在一块直角三角形的空地上围出一块矩形区域作为劳动实践教育基地，矩形两边落在两条直角边上，矩形一个顶点在直角三角形斜边上.已知直角三角形两条直角边、分别为4米和8米，设为米.    (1)用表示； (2)写出矩形面积与边长的函数关系式； (3)当边长为何值时矩形面积最大，并求出最大面积. 【答案】(1) (2) (3)当边长等于2米时，矩形的面积最大，最大面积是8平方米. 【分析】（1）由与相似可得出与的关系. （2）由（1）用表示，利用面积公式即可写出矩形面积与边长的关系. （3）由（2）求出的二次函数，根据二次函数的图象和性质求最值即可. 【详解】（1）由题意可得，， 所以与相似， 可得，为米 （2）由（1）， 矩形的面积， 即 （3）由（2）得， 该二次函数图象开口向下， 故当米时，平方米 所以当边长等于2米时，矩形的面积最大，最大面积是8平方米. 15．某农户生产销售某种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克，市场调查发现该产品每天的销售量与销售价（元/千克）有以下关系：，设这种产品每天销售利润为（元）. (1)求与的关系式； (2)当销售价定位多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当售价定为30元时，每天的销售利闰最大，最大利润为200元 【分析】（1）根据销售利润与销售价的关系列出函数解析式，再根据销售量大于零和销售价大于等于成本列式求定义域即可. （2）配方法求二次函数最值即可. 【详解】（1）. 且由可得：， 与的关系式为：. （2）因为 因为函数图像开口向下， 所以当时，有最大值200. 所以当售价定为30元时，每天的销售利闰最大，最大利润为200元. 16．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：      (1)写出方程的两个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）观察图象，求出二次函数的图象与轴的交点坐标即可. （2）观察图象，求出直线与二次函数的图象有两个交点的k值范围. 【详解】（1）观察图象知，二次函数的图象与轴交于，， 所以方程的两个根是，． （2）若方程有两个不相等的实数根，则二次函数的图象与直线有两个不同的交点， 观察图象知，二次函数图象的顶点纵坐标为2，于是， 所以的取值范围是． 17．已知二次函数． (1)画出函数图像，并比较，，的大小（不需要写画图过程）； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)图像见解析， (2) 【分析】（1）利用二次函数的画法画出图像即可 （2）结合图像解不等式. 【详解】（1）由二次函数，即的图像如图所示： 由图像，可知． 注意：图像应体现关键点，，，． （2）∵不等式， ∴当时，，由图像可知，； 当时，，由图像可，； ∴不等式的解集为． 18．已知函数. (1)求函数的顶点坐标、单调区间、最值. (2)写出函数在的值域. 【答案】(1)顶点，增区间减区间，最小值2 (2) 【分析】（1）由顶点坐标公式代入即可求解顶点坐标和最值，求出对称区间即可求解单调区间. （2）结合对称轴求解值域即可. 【详解】（1）顶点坐标公式为， 即顶点坐标为， 最小值为2， 对称轴， 所以增区间为，减区间为. （2）对称轴方程， ， 函数在的值域为. 19．已知二次函数图象过点，且经过直线与坐标轴的两个交点， (1)求此函数的解析式； (2)求此函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的两个交点，再由过点，求出二次函数的解析式即可. （2）由二次函数的图象和性质分别求出此函数在区间上的最小值和最大值即可求出其值域. 【详解】（1）由直线，令，则， 令，则， 所以直线与坐标轴的两个交点坐标分别为， 不妨令， 设所求二次函数为， 此函数图象过点， 则 解得， 所以此函数的解析式. （2）由（1）知此函数的解析式， 该二次函数开口向上，对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，此函数区间上有最小值，最小值为， 当时，此函数区间上有最大值，最大值为， 所以此函数在区间上的值域为. 20．已知函数，（a为正的常数），且函数在与的图象在y轴上截距相等. (1)求a的值； (2)求函数与的单调递增区间. 【答案】(1)1 (2)函数的单调递增区间，函数的单调递增区间. 【分析】（1）函数在y轴的截距，即当时y的取值，从而得到a. （2）分别求出函数与函数的单调递增区间即可. 【详解】（1）由题意， 可得， 又    . （2）由（1）知， 所以， 故时，函数单调递增. 又有，其对称轴为， 当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减. 因此，函数的单调递增区间为， 函数的单调递增区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $