大题专项-专题01 平面向量（A卷·基础巩固）--2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》（原卷版+解析版）

公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 一-编写说明：2026年内蒙古（对口招生）三轮复习《数学考纲专题练)依据《中等 职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试！ ！动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每 !个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第 {1个专题，内容为平面向量。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题1平面向量 (A卷·基础巩固) 班级 姓名 学号 成绩 1.已知平行四边形OABC,O为坐标原点，0A=(4,2),0C=(2,6),求OB与AC的夹角的 余弦值· 2.已知向量ā=(2,1，b=(-3,2),求k为何值时： (1)ka-b与ā+2b垂直： (2)ka-b与a+2b平行. 6⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 9A职教 》 3.已知向量a,z满足d=1,=2,(2a-列a+2)=-3 (1)求a与的夹角0： (2)求a-2的值 4.双曲线r少2 F。F=1(>0,b0),圆D:r2+y2=r2,双曲线与圆交于M(3,4),双曲 线的一条渐近线为y=√2x (1)求双曲线的方程 (2)点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线1交双曲线于A、B两点，且PB=2BA,求1 的方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 5.已知倾斜角为45且过点P0,2)的直线1与抛物线y2=2px(p>0)交于A、B两点，若 0A.0B=-4.求： (1)直线1的方程 (2)抛物线的标准方程· 6.已知向量ā=(2,1)，6=(3,4)·当ta+b1有最小值时，求实数t的值并求出|ta+b1的最小 值. 7.已知向量a=(m,1),b=(1,-2),=(2,3). (1)若a+b与c垂直，求实数m的值 (2)求cos(b,c)的值. 9原创精品资源学科网强家享有版权。侵权必究 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 8.化简下列各式： (1)CE+AC-DE-AD; (2)已知a=(2,-3),b=(1,4),求2a-36 9.已知向量ā=(3,4)，b=(2,x),c=(2,y),且ā116，ā1c,求，c的坐标及五与c的夹 角。 10.已知a=4,6=3,且(2d-36)-(2ā+6)=61.求： (1)a.6 (2)ā与的夹角； 3a-61 。原创精品资源学科网盈家享有版权.侵权必究 公共基础课考纲专题练 醇A职教 》 11.设e、e,是两个不共线的向量，已知向量AB-2+ke2,CB=+3E,CD=2e1-e2, 若A、B、D三点共线，求k的值· 12.已知d=1,=2. (1)若a/b,求ab 2若(a,i)=60°，求a+d: 3诺a-b与a垂直，求当k为何值时，(ka-)1(a+2b)? 13.已知a=1,6=2 (1)若a与的夹角为45°，求ā+61： (2)若a-b与a垂直，求a与的夹角大小 今原创精品资源学科网强家享有版权。侵权必究 公共基础课考纲专题练 9A职教 》 14.已知向量a=(2,-3),b=(3,2) (1)求向量a+2b和向量6-a的坐标； (2)判断向量a与是否垂直. 15.已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,设ABa,AD=b,试用a,b表示 MA,MB,M元，MD: D M 16.已知向量a=(-2,1),万=(-1,1)，c=(2,3),若(a+)1c,求实数元的值. 。原创精品资源学科网强家享有版权.侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 17.已知向量a=(2,3),b=(-3,n),c=(-1,k), (1)若a与共线，求n的值， (2)若(2d-c)(a+c)=13,求k的值. 18.已知平面向量a,i,a=2,i=5,且6(a-)=0. (1)求a与的夹角0的值； (2)当5-入d取得最小值时，求实数入的值. 19.已知任意两个非零向量，6，若0A=2ā+3b,0B=2ā+2b,0C=2a+5b,你能判断A, B,C三点之间的位置关系吗？为什么？ 匀原创精品资源学科网强家享有版权。侵权必究 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 20.已知向量a与6 (1)若a=(1,-3),万=(2,4)，求ab; (2)若|a=3,6=2,且向量a与的夹角为60°，求ā.b. 9原创精品资源学科网强家享有版权，侵权必究！ 编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第1个专题，内容为平面向量。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题1 平面向量 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 1．已知平行四边形OABC，O为坐标原点，，求与的夹角的余弦值． 【答案】 【分析】先根据向量的坐标运算求出来向量与向量，再由向量夹角的坐标运算求解即可. 【详解】平行四边形OABC， ， ， ， ， ， 与夹角的余弦值为． 2．已知向量，，求为何值时： (1)与垂直； (2)与平行． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示，求得，，利用垂直的坐标表示可求解； （2）由（1）知，，根据向量共线的坐标表示可求解. 【详解】（1）由题意得，， ． 因为与垂直， 所以，化简得， 解得； （2）由（1）知，， 因为与平行， ，解得． 3．已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用内积公式求夹角即可； （2）利用内积公式求模即可. 【详解】（1）因为，，， 所以， ， ， 解得，因为， 所以. （2）因为，，与的夹角， 所以 ． 4．双曲线（a>0，b>0），圆D:，双曲线与圆交于M（3，4），双曲线的一条渐近线为 (1)求双曲线的方程 (2)点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于A、B两点，且，求l的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线和一个点易得答案； （2）根据向量关系找到根的关系，联立方程组利用韦达定理易得答案. 【详解】（1）因为， 所以设双曲线的方程为，因为双曲线与圆交于， 所以， 所以双曲线的方程为； （2）设， 因为， 所以圆：，所以，设直线的方程为， 所以， 因为， 联立方程， 根的判别式为 所以， 所以， 所以. 5．已知倾斜角为且过点的直线l与抛物线交于A、B两点，若．求： (1)直线l的方程； (2)抛物线的标准方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据斜率的定义和直线方程的点斜式即可求解； （2）根据直线和抛物线的位置关系和向量的数量积的坐标运算即可求解. 【详解】（1）直线斜式 由直线点斜式方程得，即. 直线l方程为． （2）设，联立消y， 得 抛物线方程为． 6．已知向量．当有最小值时，求实数t的值并求出的最小值． 【答案】当时， 【分析】根据向量坐标的模长公式求解即可. 【详解】， ． ． 当时，． 7．已知向量，，． (1)若与垂直，求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示即可求解； （2）根据向量夹角的坐标表示求解. 【详解】（1）∵，，∴， ∵与垂直，， ∴，解得． （2）∵，， ∴，，， 故． 8．化简下列各式： (1)； (2)已知，，求． 【答案】(1) (2). 【分析】（）根据向量加法与减法法则即可得解. （）根据向量的线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】（1）原式. （2）因为，， . 9．已知向量且，求，的坐标及 与 的夹角． 【答案】； ；. 【分析】根据两向量平行和两向量垂直的坐标关系求未知数，再根据向量的夹角公式易得答案. 【详解】∵且， ∴ 解得 ，即 ； 又∵且 ， ∴，解得 ，即 ； ∵，， ∴； ∵，∴； 综上所述，，， 与 的夹角为. 10．已知，且．求： (1)； (2)与的夹角； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量内积的运算法则计算； （2）利用向量的夹角公式计算； （3）利用计算． 【详解】（1），， ， ． （2）， ，． （3）． 11．设、是两个不共线的向量，已知向量，，，若A、、三点共线，求的值． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，由三点共线可得，据此可求解. 【详解】由题意得 ． ∵三点共线， ∴，即， ∴，解得． 12．已知，． (1)若，求； (2)若，求； (3)若与垂直，求当k为何值时，？ 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由可知，两向量的夹角为或，利用向量内积的定义结合已知条件即可求解. （2）根据向量内积的运算律即可求解. （3）由向量垂直则内积为零结合已知条件列式即可求解. 【详解】（1）由可知，两向量的夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，； 所以，. （2）由题意可知， 若，则， 所以， 则. （3）由与垂直可得，即； 若，则， 即，得，解得， 所以当时，. 13．已知． (1)若与的夹角为，求； (2)若与垂直，求与的夹角大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的值，再利用向量的模长公式计算即可. （2）由与垂直，可求解的值，进而得到的值，再由夹角的范围即可求解. 【详解】（1）， . （2）， ， ， . 14．已知向量． (1)求向量和向量的坐标； (2)判断向量与是否垂直． 【答案】(1)， (2)垂直 【分析】（1）根据向量的线性运算的坐标表示求解即可； （2）根据向量垂直的坐标表示判断即可； 【详解】（1）因为向量， 所以，． （2）因为，所以． 15．已知平行四边形的两条对角线相交于点，设，，试用，表示，，，.    【答案】答案见解析 【分析】利用向量加法和减法法则、向量的数乘运算、相反向量的定义即可求解. 【详解】因为平行四边形，，， 所以， ， ， . 16．已知向量，，，若，求实数的值． 【答案】2 【分析】先由向量线性运算的坐标表示求出，再利用平面向量垂直的坐标表示列式即可得解. 【详解】因为，， 所以． 又，， 所以，解得． 17．已知向量，，． (1)若与共线，求n的值； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2)5或． 【分析】（1）根据共线向量的坐标表示可构造方程求得结果； （2）由向量坐标的线性运算以及向量内积运算的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为与共线，所以，解得． （2），，     ，即， 解得或， 所以k的值为5或． 18．已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的内积及向量的模求向量的夹角即可； （2）由向量的模结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由，， 可得， 又，所以， 又，所以； （2）因为，， 所以 ， 所以的最小值为，此时. 19．已知任意两个非零向量，若，你能判断A，B，C三点之间的位置关系吗？为什么？ 【答案】A，B，C三点共线，理由见解析 【分析】由平面向量共线定理即可求解. 【详解】 A，B，C三点共线． ， ， 与有公共点， ，B，C三点共线． 20．已知向量与 (1)若，，求； (2)若，，且向量与的夹角为，求. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据平面向量内积的坐标运算即可得解. （）根据平面向量的内积公式即可得解. 【详解】（1）因为，， 则. （2）因为，，且向量与的夹角为， 则， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $