2.2.2等差数列的前n项和（课件）--人教版《数学 拓展模块一》《上好课》

2.2.2 等差数列的前n项和 第二章 数列 目 录 学习目标 01 新课导入 02 探究新知 03 课堂小结 04 当堂检测 05 学习目标 知识目标 理解等差数列前n项和的含义，掌握等差数列前n项和的两个核心公式，能根据已知条件选择合适公式计算前n项和，解决简单的求和问题； 能力目标 通过自主探究、合作研讨，归纳前n项和公式的结构特征，建立前n项和与二次函数的关联，培养数学建模思想与转化思想，提升数学运算、逻辑推理等核心素养； 情感目标 以传统文化引入，结合生活实例，感受数学与历史、生活的紧密关联，增强文化自信；体会公式推导中蕴含的对称美与简洁美，感悟数学思想的严谨性，激发主动探究的学习兴趣； 核心素养 通过思考、讨论等活动，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 新课导入 回顾旧知，做实铺垫 回顾等差数列的相关内容 1.定义式 2.通项公式 3.性质 若m+n=p+q，则; 若m+n=2p，则 回顾旧知，做实铺垫 练习 （1）在等差数列{an}中，首项 a1＝3，公差 d=4，求an． （2）在等差数列{an}中，第 10 项 a10＝40，公差 d=3，求a1． 解：（1） (2) 创设背景，生成问题 问题 某工厂的仓库里堆放着一批钢管，共堆放了 7 层，从上到下每层钢管的数量为 4，5，6，7，8，9，10 ，怎样求得这堆钢管的总数呢？ 　　显然每一层钢管数累加即可．但是如果钢管很多，例如有50层怎么办？不 妨考虑下拼接一个倒放的梯形，观察各层钢管数特点． 4+10=14 5+9=14 6+8=14 7+8=14 … 10+4=14 创设背景，生成问题 S7 = 49． 用S7来表示钢管的总数，则 S7 = 4+5+6+7+8+9+10．　 ① 把①②两式对应项相加，和都等于14， 所以把①②两式分别相加，得2 S7 =（4+10）×7，即 把上面的图形运算转化为代数式推导： 将各项次序反过来，又可写成 S7 = 10+9+8+7+6+5+4． ② 探究新知 调动思维，探究新知 等差数列的前n项和 　　一般地，数列 {an } 的前 n 项和记作 Sn ，即 Sn = a1 + a2 + a3 + … + an ． 可以得到等差数列前 n 项和公式 等差数列前 n 项的和等于首末两项的和乘项数除以 2 ． 调动思维，探究新知 　等差数列的前 n 项和公式　　　　　　　的推导 对于公差为d的等差数列，我们用两种方法表示Sn． 调动思维，探究新知 　等差数列的前 n 项和公式　　　　　　　的推导 （1）+（2）得到 由此得到 调动思维，探究新知 等差数列的前n项和 问题　（1）你能说出两个公式中包含的变量有哪些吗？ Sn ，a1，n ，d ，an （2）两个公式从哪些角度反映等差数列性质，公式如何选择？ 因为 an = a1+(n－1)d，所以公式　　　　　　　又可写成 （3）前n项和公式为关于n的一元二次函数，且无常数项，即Sn＝An2＋Bn. 巩固练习，提升素养 例1（1）在等差数列 中， （2）在等差数列 中，a1 = 100，d = －2，n = 50，求 巩固练习，提升素养 练习 1.等差数列中，，求 2.等差数列中，,，求 等差数列的前n项和公式的应用 例2　见下图，一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面放 120 支， 这个 V 形架上共放多少支铅笔？ 分析： （1） V形架上每层铅笔数有什么联系？成什么数列？ （2）问题是否可转化为等差数列问题，涉及等差数列哪些量？已知哪些量？求哪些量？ （3）如何将问题用数学语言表达？ 等差数列的前n项和公式的应用 例2　见下图，一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面放 120 支， 这个 V 形架上共放多少支铅笔？ 解　由题意可知，这个V形架上共放120层铅笔， 自下向上各层的铅笔数组成等差数列，记为{an}． 其中a1=1，d=1， a120=120，n=120． 根据等差数列前n项和公式，得 即V型架上共有7260支铅笔． 巩固练习，提升素养 练习 某阶梯教室有20排座位，第一排有26个座位，从第2排起，每一排都比前一排多2个座位，求第15排有多少个座位？该阶梯教室总共有多少个座位？ 解　依题意，得每排座位数成等差数列，其中 阶梯教室总共有20排座位，即n=20，所以，阶梯教室总共座位数 巩固练习，提升素养 例3　小于 100 的正整数中，有多少个数是7的倍数？求它们的和． 分析： （1）小于100 的正整数中，7的倍数有哪些？共有多少个？ （2）这些数按一定的顺序排列后，构成了一个什么样的数列？ （3）如何用数列符号表示已知量和所求量？ 巩固练习，提升素养 解　小于100 的正整数中，以下各数是 7 的倍数： 7，7×2，7×3，…，7×14． 即 7，14，21，…，98，共有14个． 显然， 7，14，21，…，98是一个等差数列，其中 a1＝7，d ＝7，项数n＝14，a14＝98， 即小于100 的正整数中，有14个数是 7 的倍数，它们的和是 735 ． 巩固练习，提升素养 例4　在等差数列－5，－1，3，7，… 中，前多少项的和是345？ 分析： （1）题目中已知哪些量？求什么量？ （2）如何用数列符号表示？选择哪个公式？ （3）项数的取值范围是什么？ 巩固练习，提升素养 例5　在等差数列－5，－1，3，7，… 中，前多少项的和是345？ 解　这里 a1=－5，d =－1－(－5)=4，Sn =345． 根据等差数列的前 n 项和公式得 　　整理得 2n2 －7n －345 = 0，解 得 n1 = 15，n2 = （舍去）． 所以 n = 15，即这个数列的前 15 项的和是 345 ． 巩固练习，提升素养 练习 1.在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝999，则n等于(　　)A．26 B．36 C．27 D．37 C 2.在等差数列{an}中，a5＝2，前5项和S5＝0，则S10等于(　　)A．12 B．24 C．25 D．50 C 解 1.根据等差数列的前n项和公式 ，代入数值可得 ，解得n＝27. 2.根据等差数列的前n项和公式 ，代入数值可得 ， 解得 ，由 ，故 . 巩固练习，提升素养 例6 已知在等差数列{an}中，a1＝13，且S3＝S11. 当n取何值时，Sn有最大值？ 解　方法一：设其公差为d，则由S3＝S11可得 ，解得d＝－2，∴an＝13－2(n－1)＝15－2n， 由 即 解得6.5≤n≤7.5，∴当n＝7时，Sn有最大值． 巩固练习，提升素养 方法二：由方法一知a1＝13，d＝－2，∴Sn＝na1＋ d＝13n＋ ×(－2) ＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，∴当n＝7时，Sn有最大值． 巩固练习，提升素养 思路总结 方法一 ：等差数列求前n项和取最值有：若a1>0，d<0，前n项和有最大值， 利用 求出n； 若a1<0，d>0，前n项和有最小值， 利用 求出n. 方法二：利用二次函数求最值时n取正整数． 巩固练习，提升素养 练习 已知在等差数列{an}中，an＝3n－33，求前n项和Sn的最小值． 解：由an＝3n－33可知a1＝－30，d＝3， 由 解得10≤n≤11， ∴n＝10或11时，Sn最小， 最小值为 巩固练习，提升素养 例7 在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝15，a4＋a5＋a6＝60，则a7＋a8＋a9等于(　　)A．35 B．45 C．75 D．105 解 ∵a1＋a2＋a3＝15，a4＋a5＋a6＝60， 观察可得 a4＋a5＋a6（a1＋a2＋a3）=9d=60-15=45, ∴a7＋a8＋a9=a4＋a5＋a6＋9d=60＋45=105，故选D. D 巩固练习，提升素养 思路总结 根据例7，可以看出也成等差数列. 由特殊到一般，可得 若数列是等差数列，则成等差数列， 而新公差是 巩固练习，提升素养 练习 已知等差数列{an}的前m项和为10，前2m项和为40，则前3m项和等于(　　)A．80 B．90 C．100 D．110 解 由等差数列的性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列可得2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，即2×(40－10)＝10＋S3m－40，解得S3m＝90，故选B. B 课堂小结 课堂小结 1.等差数列的前n项公式 五个基本量 ，可以知三求二． 2.求等差数列前n项和公式求最值的方法 ①利用等差数列的单调性 ②利用二次函数的性质 3.若数列是等差数列，则成等差数列，而新公差是 当堂检测 随堂检测，查漏补缺 1.在等差数列{an}中，若第4项为15，则它的前7项和为(　　)A．120 B．115 C．110 D．105 D 3.等差数列{an}的前n项和为30，前2n项和为100，则它的前3n项和为________． 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则该数列的公差是(　　) A．1 B．-1 C．2 D．3 C 210 随堂检测，查漏补缺 4.在等差数列{an}中，已知a1＝51，d＝－2，求此数列的前n项和Sn的最大值． 解：由题意，知an＝a1＋(n－1)d＝51＋(n－1)×(－2)＝－2n＋53， 由 解得 ，n∈N＋， 所以n＝26， 谢谢 THANKS $