2.2.2等差数列的前n项和（教案）-人教版《数学 拓展模块一》《上好课》

人教版《数学 拓展模块一》 第二章 数列 2.2.2等差数列的前n项和 一、教材 人民教育出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 2课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 《数列》是人民教育出版社《数学拓展模块一》中的核心内容，属于代数板块重要部分.它以学生已掌握的等差数列概念、通项公式为基础，是数列知识从“单一项的规律探究”向“多项和的量化计算”的重要跨越，也是学生首次系统接触的数列求和模型，在后续学习中承担着承上启下的作用.一方面，它深化前期知识关联：公式推导以等差数列“等差”本质为核心，将通项公式的线性规律转化为前n项和的二次函数特征，助力学生从“项的规律”延伸至“和的规律”，深化对等差数列的理解，推导过程既巩固逻辑推理与代数运算能力，又强化归纳推理能力，为后续复杂数列求和奠定方法论基础.另一方面，它搭建学用桥梁：作为最基础的求和模型，它是学习等比数列求和、混合数列求和及数列与函数、不等式综合问题的直接基础.其实际应用广泛，生活中“堆放钢管总根数”等案例，能让学生直观感受实用价值，打破“抽象难懂”误区。通过公式推导与问题解决，可提升逻辑推理、数学建模等能力，培育严谨思维与用数学解决实际问题的意识. 五、学情分析 学生前期已掌握等差数列概念、通项公式及二次函数基本性质，具备初中加法运算能力与“倒序相加”初步思维雏形，为理解前n项和函数特征及推导求和公式奠定基础.学科核心素养方面，经通项公式学习，学生已有一定数学抽象、逻辑推理素养，代数运算能力也得到锤炼.但薄弱点显著：对核心技巧“倒序相加法”理解应用不足，难关联等差数列对称性与求和；将前n项和二次函数特征与等差数列线性特征关联时，迁移能力欠缺；解决工程总量、座位统计等实际问题时，建模意识与转化能力薄弱.教学需遵循“实例启智、技巧拆解、建模进阶”原则，以“堆放钢管求和”感知需求，分步拆解倒序相加推理过程，结合实际问题分层训练建模能力，提升核心素养，为后续复杂数列求和筑牢根基. 六、教学目标 1. 理解等差数列前n项和的含义，掌握等差数列前n项和的两个核心公式，能根据已知条件选择合适公式计算前n项和，解决简单的求和问题； 2. 通过自主探究、合作研讨，归纳前n项和公式的结构特征，建立前n项和与二次函数的关联，培养数学建模思想与转化思想，提升数学运算、逻辑推理等核心素养； 3.以传统文化引入，结合生活实例，感受数学与历史、生活的紧密关联，增强文化自信；体会公式推导中蕴含的对称美与简洁美，感悟数学思想的严谨性，激发主动探究的学习兴趣．  七、教学重点 1.理解等差数列前 n 项和的含义，掌握等差数列前 n 项和的两个核心公式； 2.能根据已知条件选择合适公式，熟练计算等差数列前 n 项和. 八、教学难点 能够利用等差数列前 n 项和解决最值问题 九、教学方法 情境引入法：从学生熟悉的生活或数学实例出发，降低抽象概念的理解门槛，激发学习兴趣. 问题驱动教学法：教师围绕教学目标设计 “阶梯式问题链”（从基础到进阶、从具体到抽象），以问题为线索，引导学生主动思考、自主探究，最终通过解决问题掌握知识. 分层教学法：根据学生的数学基础、学习能力将学生分为不同层次，设计不同的 “教学目标、教学内容、作业任务”，确保每个层次的学生都能 “在原有基础上进步”. 多媒体辅助法：利用 PPT、几何画板、动画等工具，将数列的变化规律可视化，帮助学生理解抽象概念. 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 引入 回顾等差数列的相关内容 1.定义式 (常数) 2. 通项公式 3.性质 若，则; 若，则 练习 （1）在等差数列{an}中，首项 a1＝3，公差 d=4，求an． （2）在等差数列{an}中，第 10 项 a10＝40，公差 d=3，求a1． 解：(1); (2). 教师通过提问引导学生回顾相关知识点，了解学生对关键知识点的掌握情况，并呈现练习题目，强调通项公式的灵活运用技巧 巩固学生已学的知识，为前n项和公式的学习奠定基础 通过练习检验学生对旧知识的掌握程度，及时发现薄弱点并补充强化 探索新知 1．引入问题：如下图，工厂仓库里堆放着一批钢管，共堆放 7 层， 求钢管的总数． 分析：怎样求得钢管的总数呢？显然，把各层钢管数直接相加就 可得出结果．如果钢管的层数很多，例如铺了50 层，有无简便方法 来计算呢？ 2.倒序相加法计算钢管总数，解决导入问题． 图形分析：显然从最上一层钢管数开始，各层钢管数 4，5，6，7， 8，9，10 组成公差为 1，项数为 7 的等差数列．观察上图补齐的平 行四边形，可知每层数目为梯形最高层的钢管数与最低层的钢管数 之和，由此可利用乘法简便运算．补齐的平行四边形可以用倒序相 加法实现计算钢管总数． 解：用 S7来表示钢管的总数，则 S7 = 4+5+6+7+8+9+10； ① 将上式右边各项次序反过来，又可写成 S7 = 10+9+8+7+6+5+4． ② 把①②两式上下对应项相加，其和都等于 14，所以把①②的两 边分别相加，得 2S7 =(4+10)×7， S7 = ， S7 = 49． 3．推导等差数列前 n 项和公式． 一般地，数列 {an } 的前n项和记作Sn ，即 Sn = a1 + a2 + a3 + … + an ． 可以得到等差数列前n项和公式 ４．等差数列前 n 项和公式的推导(拓展延伸)． 由上例算法启示，对于公差为 d 的等差数列，我们用两种方法表 示 Sn ： 把（1）（2）两边分别相加，得到 由此得到 因为 an = a1+(n－1)d，所以公式又可写成 问题　（1）你能说出两个公式中包含的变量有哪些吗? Sn ，a1，n ，d ，an （2）两个公式从哪些角度反映等差数列性质，公式如何选择？ （3）前n项和公式为关于n的一元二次函数，且无常数项，即Sn＝An2＋Bn. 教师展示仓库钢管堆放示意图，提出“求7层钢管总数”的问题，先让学生尝试直接相加计算，再追问“若有50层如何简便计算”，引发学生思考 教师借助图形动画演示补齐平行四边形的过程，引导学生观察“每层和相等”的规律，师生共同用倒序相加法推导钢管总数 教师引导学生从具体实例迁移到一般情况，共同推导等差数列前n项和的两个核心公式，随后提出关于公式变量、选择依据的问题，组织学生小组讨论并发言，教师总结归纳 从生活实际问题切入，降低抽象概念的理解门槛，激发学生的探究兴趣 通过“具体实例→特殊方法→一般公式”的推导路径，让学生直观理解倒序相加法的本质，培养逻辑推理和转化思想 借助小组讨论深化学生对公式的理解，明确公式的适用场景，提升学生的自主探究能力 例题讲解 例1（1）在等差数列{an}中，a1=5，an =95，n=10，求 Sn． （2）在等差数列{an}中，a1 = 100，d =－2，n = 50，求 S50． 练习 1.等差数列中，. 2.等差数列中，. 例2　 见下图，一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面放 120 支， 这个 V 形架上共放多少支铅笔？ 分析： （1） V形架上每层铅笔数有什么联系？成什么数列？ （2）问题是否可转化为等差数列问题，涉及等差数列哪些量？已知哪些量？求哪些量？ （3）如何将问题用数学语言表达？ 解：由题意可知，这个 V 形架上共放 120 层铅笔，且自下向上各层的 铅笔数组成等差数列，记为{ an }， 其中 a1=1，n=120，d=1，a120=120， 根据等差数列前 n 项和公式，得 即 V 型架上共有 7260 支铅笔． 练习 某阶梯教室有20排座位，第一排有26个座位，从第2排起，每一排都比前一排多2个座位，求第15排有多少个座位？该阶梯教室总共有多少个座位？ 解　依题意，得每排座位数成等差数列，其中 第15排座位数 阶梯教室总共有20排座位，即n=20，所以，阶梯教室总共座位数 . 例3　小于 100 的正整数中，有多少个数是7的倍数？求它们的和． 分析： （1）小于100 的正整数中，7的倍数有哪些？共有多少个？ （2）这些数按一定的顺序排列后，构成了一个什么样的数列？ （3）如何用数列符号表示已知量和所求量？ 解　小于100 的正整数中，以下各数是 7 的倍数： 7，7×2，7×3，…，7×14． 即 7，14，21，…，98，共有14个． 显然， 7，14，21，…，98是一个等差数列，其中 a1＝7，d ＝7，项数n＝14，a14＝98， 即小于100 的正整数中，有14个数是 7 的倍数，它们的和是 735 ． 例4　在等差数列－5，－1，3，7，… 中，前多少项的和是345？ 分析： （1）题目中已知哪些量？求什么量？ （2）如何用数列符号表示？选择哪个公式？ （3）项数的取值范围是什么？ 解　这里 a1=－5，d =－1－(－5)=4，Sn =345． 根据等差数列的前 n 项和公式得 ， 整理得 2n2 －7n －345 = 0，解得 n1 = 15，n2 = （舍去）． 所以n = 15，即这个数列的前 15 项的和是 345 ． 练习 1.在等差数列{an}中，a1＝20，an＝54，Sn＝999，则n等于(　C　) A．26 B．36 C．27 D．37 2.在等差数列{an}中，a5＝2，前5项和S5＝0，则S10等于(　C　) A．12 B．24 C．25 D．50 例6 已知在等差数列{an}中，a1＝13，且S3＝S11. 当n取何值时，Sn有最大值？ 解　方法一：设其公差为d，则由S3＝S11可得 ，解得d＝－2， ∴an＝13－2(n－1)＝15－2n， 由即解得6.5≤n≤7.5， ∴当n＝7时，Sn有最大值． 方法二：由方法一知a1＝13，d＝－2， ∴ ＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49， ∴当n＝7时，Sn有最大值． 思路总结 方法一 ：等差数列求前n项和取最值有： 若a1>0，d<0，前n项和有最大值， 利用求出n； 若a1<0，d>0，前n项和有最小值， 利用求出n. 方法二：利用二次函数求最值时n取正整数． 练习 已知在等差数列{an}中，an＝3n－33，求前n项和Sn的最小值． 解：由an＝3n－33可知a1＝－30，d＝3， 由解得10≤n≤11， ∴n＝10或11时，Sn最小， 最小值为 例7 在等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝15，a4＋a5＋a6＝60，则a7＋a8＋a9等于(　D　) A．35 B．45 C．75 D．105 解 ∵a1＋a2＋a3＝15，a4＋a5＋a6＝60， 观察可得 a4＋a5＋a6−（a1＋a2＋a3）=9d=60-15=45, ∴a7＋a8＋a9=a4＋a5＋a6＋9d=60＋45=105，故选D. 思路总结 根据例7，可以看出也成等差数列. 由特殊到一般，可得 若数列是等差数列，则成等差数列， 而新公差是. 练习 已知等差数列{an}的前m项和为10，前2m项和为40，则前3m项和等于(　B　) A．80 B．90 C．100 D．110 教师先引导学生明确已知量和未知量，提问“该如何选前n 项和公式？”，待学生确定公式后，示范代入计算步骤，强调易错点 学生独立完成后，教师抽取2名学生的解答展示并点评 教师先带领学生分析问题，引导学生列出a₁，d，n，再让学生以小组为单位讨论问题 教师巡视时，对未找准对应关系的小组及时提示 小组代表分享解题思路后，教师规范书写建模过程和解题步骤 教师提出问题，逐步引导学生完成例3，并形成规范答案 教师引导学生找出已知量和未知量，以及如何选择公式， 学生独立完成并板演，教师强调项数的取值等易错点 学生完成练习后，教师抽取典型解答进行展示点评，纠正错误思路，总结解题规律 教师给出例题，先提问“公差为负时，数列项的变化规律是什么？前n项和何时最大？”，引导学生从“项由正变负”的角度思考 学生独立尝试后，教师邀请不同解法的学生发言，并板书两种解法的步骤，对比优劣。最后总结“当d≠0时，Sₙ是关于n的二次函数，可结合数列项的符号或二次函数性质求最值” 教师出示练习题，学生独立完成，并邀请学生进行板演讲解，教师进行点评 教师呈现例题，引导学生思考。学生小组合作推导S₁₅与S₅、S₁₀的关系，教师对推导困难的小组提示。 学生完成后，教师总结解题思路，学生及时记笔记 教师出示练习题，学生独立完成，核对答案 聚焦前n项和基本公式的直接应用，通过明确已知量与公式的匹配关系，强化学生“根据已知条件选公式”的核心能力，同时针对计算中易忽略的项数、符号等细节进行强化，夯实公式应用的基础 以贴近生活的场景为载体，降低数学建模的抽象性，引导学生经历“实际问题→分析量的关系→转化为等差数列模型→求解”的完整过程，培养学生将实际问题数学化的建模思想。 通过例题，全面覆盖教学重点和难点，让学生掌握公式的灵活运用 通过例题，巩固学生的掌握情况 针对前n项和的重点难点——最值问题，通过两种解法的对比呈现，让学生理解“数列项的符号变化”和“二次函数性质”两种思路的内在联系，培养学生逻辑推理和多角度解题的能力，突破知识难点 结合前n项和的核心性质，通过“复习性质→引导推导→应用验证”的流程，深化学生对等差数列整体性的理解，避免学生仅停留在公式表面应用，提升学生对知识的综合运用和迁移能力 巩固学生的掌握情况 课堂小结 1. 等差数列的前n项公式 五个基本量，可以知三求二． 2. 求等差数列前n项和公式求最值的方法 ①利用等差数列的单调性 ②利用二次函数的性质 3.若数列是等差数列，则成等差数列，而新公差是. 教师引导学生自主梳理本节课核心知识点，鼓励学生用自己的语言总结； 教师补充完善，形成结构化知识框架 帮助学生梳理知识脉络，强化记忆核心概念； 培养学生归纳总结能力，让学生形成系统的知识认知 当堂检测 1.在等差数列{an}中，若第4项为15，则它的前7项和为(　D　) A．120 B．115 C．110 D．105 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则该数列的公差是(　C　) A．1 B．-1 C．2 D．3 3.等差数列{an}的前n项和为30，前2n项和为100，则它的前3n项和为__210______． 4.在等差数列{an}中，已知a1＝51，d＝－2，求此数列的前n项和Sn的最大值． 解：由题意，知an＝a1＋(n－1)d＝51＋(n－1)×(－2)＝－2n＋53， 由 解得，n∈N＋， 所以n＝26， 学生单人单桌进行当堂检测，小组互批，教师抽查，并进行针对性日清 检测学生本节课的知识掌握情况 作业布置 1. 书面作业 （1） 课后习题第×题写到作业本上。 （2） 完成《同步练习》2.2.2； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾 板书设计 2.2.2等差数列的前n项和 1、 等差数列的前n项和公式 练习 小结 2、 性质 练习 作业 3、 最值问题 十一、教学反思 教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $