微专题08 解直角三角形8题型（专项训练）数学苏科版九年级下册

微专题08 解直角三角形 题型一 解直角三角形的相关计算 解直角三角形选择合适的锐角三角函数的原则：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原(原始数据)避中(中间数据). 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为的直径，是的中点，与，分别交于点，.若，，则的值为（   ） A．2.5 B． C．3 D． 3．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，点D、E分别在、上，、交于，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的交于点，将沿翻折恰好经过圆心，若，，则的半径为（    ） A．1 B． C．2 D．4 5．（24-25九年级下·江苏·阶段练习）我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结并延长交于点H，若，则（  ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为1，一次函数的图象被截得的弦的长为，则b的值是 ． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情景：如图1，在中，于点于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)实际应用：如图2，在中，于点，于点于点，求三角形的周长． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为等腰三角形，，O是底边的中点，腰与相切于点D，与相交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)在（2）的条件下，图中阴影部分的面积为______． 题型二 解非直角三角形的相关计算 在解斜三角形时，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题. 9．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 11．（2022·河北沧州·二模）某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 13．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 14．（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 15．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 题型三 网格问题 16．（23-24九年级下·陕西西安·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　） A． B． C． D． 17．（2025九年级下·全国·专题练习）在的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则（　　） A． B． C．2 D． 18．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（   ） A． B． C． D． 19．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，点、、、都在的正方形网格的格点上，、相交于点，则的正切值是（    ）    A．2 B． C． D． 20．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 22．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（忽略图中D点） (1)在边上取点F，使得； (2)作的高． 23．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）新定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“射影点”． (1)如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用无刻度的直尺画出边上的一个“射影点”． (2)中，，点D是边上的“射影点”，求线段的长． (3)如图3，是的内接三角形，于点H，连接并延长交于点D． ①求证：点H是中边上的“射影点”． ②若的半径为9，，请直接写出的值． 题型四 胡不归问题 对形如a•PA+b•PB(a>b)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造，作垂线即可求出最小值. 24．（2024年湖南省邵阳市新邵县中考二模数学试题）如图，在中，．若D是边上的动点，则 的最小值是 ． 25．（2025·江苏无锡·三模）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为，点为对称轴上一动点，的最小值为（  ） A． B． C． D．1 26．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）在中，，，分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接交于点，连接，为延长线上一点，连接，．为上的点，连接，那么的最小值是（   ）    A． B． C． D．5 27．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，，连接，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C． D． 28．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）已知：如图等腰中，，是边上的高，，是上一动点，则的最小值为 ． 题型五 解直角三角形与实际问题（仰角/俯角） 1）实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长. 2）利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数. 29．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）2024年5月3日17时27分，搭载“嫦娥六号”探测器的“长征五号遥八”运载火箭在海南文昌航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面处竖直向上发射，当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为，求火箭从处到处的飞行距离．（结果保留根号） 30．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）清江浦楼是我市标志性建筑，我校九年级学生想利用所学知识测量清江浦楼的高度．如图，他在清江浦楼对面一幢建筑物楼顶A处观测，测得顶部B处的仰角为，测得底部C处的俯角为．已知观测点A处距地面的高度为（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．求清江浦楼与观测点水平距离以及清江浦楼的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，，） 31．（2025·江苏淮安·二模）如图，利用无人机测量某小区南北大门之间的距离，无人机在处测得北大门上方标志物的俯角为，南大门上方标志物的俯角为，无人机沿方向继续飞行到处，此时测得北大门上方标志物的俯角为．图中，点、、、、、在同一竖直平面内，和均与地面平行．求、之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，，， 32．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）某中学为了丰富同学们的课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．小明的无人机放飞到与水平地面距离为米的 P点，测得斜坡A地的俯角为，斜坡B地的俯角为，斜坡的斜面坡度为 (1)求斜坡A 地到B地的距离； (2)下课前，老师要求同学们在A地集合，小明对无人机P发出回收指令以后，他立即从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡与水平地面夹角为，小明上坡的跑步速度为，无人机的速度为，在小明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由． （， ，，， ，结果精确到） 题型六 解直角三角形与实际问题（方位角） 方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，需要添加辅助线.在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程(组)来求解. 33．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向；从凉亭A处沿湖岸向东方走了120米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）；求湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，） 34．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求．（参考数据：，， 35．（2025·江苏泰州·二模）近期，我市各学校积极开展“行走的思政课”活动，让思政课从“书本本”走向“心窝窝”．某校精心挑选两条研学线路供选择：如图，①号线路；②号线路．经勘测，在的正北方向，在正东方向且在南偏西方向，同时在南偏东方向，在北偏东方向，、两地相距千米． (1)求的度数； (2)请通过计算说明①、②两条线路中哪条线路路程更短？（参考数据：，，） 36．（2025·江苏宿迁·二模）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶20千米至B地，再沿北偏东（方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)求的度数； (2)求B，C两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号） 题型七 解直角三角形与实际问题（坡度/坡比） 坡角是水平面与坡面的夹角，不要误解为铅垂面与坡面的夹角，坡度是坡角的正切值.解决这类问题时，要利用已知角度构造直角三角形，在直角三角形中求解. 37．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成角， 斜坡的坡度为， 求旗杆的高度．（精确到1米）． 38．（2025·江苏盐城·三模）如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，） 39．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端的仰角为．再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为．已知斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． (1)求点D到地平线的距离； (2)求大树的高度．（参考数据：，，） 40．（2025·江苏泰州·一模）如图，水坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，背水坡的坡度（即）为，背水坡，坝顶，坝底．    (1)求坝高； (2)求迎水坡的坡角的度数．（结果精确到）（参考数据：，，，） 题型八 解直角三角形与实际问题（实物模型） 41．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 42．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）2025年春节联欢晩会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点线在同一个平面内）． (1)经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号） (2)设抓手到直线的水平距离为． ①当时，求的值． ②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，）． 43．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 44．（2025·江苏宿迁·三模）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)求的长； (2)该充电站有10个停车位，求的长． 45．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图1是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知．（参考数据：，，） (1)在图2中，______； (2)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度， (3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点B处，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，请在图3中画出梅花桩的影子并计算出的高度． 46．（2025·江苏镇江·二模）近期，镇江京畿路整体焕新，通过“微改造、精提升”，植入更多年轻、新颖的消费业态，迅速成为旅游网红打卡地．一商铺为更好的服务游客，在门口放一个遮阳伞，供游客遮阳． 图1是摆放的遮阳伞，图2是其完全打开时截面示意图，主伞骨厘米，支伞骨厘米，伞柄垂直于地面且平分．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当遮阳伞完全打开时，达到最大为也达到最大为． (1)在遮阳伞完全打开时，A、B之间的距离为______________厘米； (2)求支伞骨的长度； (3)在伞打开的过程中（即：从变到），点上升了____________厘米． （参考数据：，计算结果保留根号） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题08 解直角三角形 题型一 解直角三角形的相关计算 解直角三角形选择合适的锐角三角函数的原则：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原(原始数据)避中(中间数据). 1．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中锐角三角函数的定义（正弦函数），解题的关键是明确正弦函数的核心关系——，并准确对应直角三角形中的边（对边为，斜边为，代入已知条件计算． 在中，先根据确定的对边是、斜边是；再根据正弦定义列出的等式；最后将、代入等式，求解的长度，匹配选项得出答案． 【详解】解：在中，，． 已知，，代入得：． 解得． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，为的直径，是的中点，与，分别交于点，.若，，则的值为（   ） A．2.5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂径定理的推论，解直角三角形，连接，证明，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， 在中，， 在中，， ∴ ∴ 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，点D、E分别在、上，、交于，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质（），解直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用证明，从而可得，再证明，列出比例式求得，然后结合，求得，从而可求得的值． 【详解】解：如图，过A作，交的延长线于点G， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ， 解得：， ， 故选：A． 4．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的交于点，将沿翻折恰好经过圆心，若，，则的半径为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，折叠问题，解直角三角形，关键是由锐角的正弦定义求出的度数，由平行线分线段成比例定理推出．连接，作半径于，由垂径定理得到，由题意知：垂直平分，由，求出，由圆周角定理得到，判定，推出，得到，因此，由，求出，即可得到的半径长． 【详解】解：连接，作半径于， ， 由题意知：垂直平分， ， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径长为． 故选：C． 5．（24-25九年级下·江苏·阶段练习）我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结并延长交于点H，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，直角三角形的性质，解直角三角形及解一元二次方程，设出与所求比值相关的未知数，利用相等角的正切值相等求得的长度是解决本题的关键．可设，易得，得到，求得x的正数解，即为所求的比值． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 解得：或， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为1，一次函数的图象被截得的弦的长为，则b的值是 ． 【答案】0或2/2或0 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握垂径定理是解题的关键．先证明直线与x轴、y轴的夹角都是，再分两种情况：当点P在直线上方时，当点P在直线下方时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：设直线与y轴交于点M，与x轴交于点N， 把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即直线与x轴、y轴的夹角都是， 当点P在直线上方时，作于点，连接，并延长，交x轴于点D，如图所示， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：； 当点P在直线下方时，作于点，连接，如图所示， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即轴， ∴轴， ∵的半径为1，且， ∴点A在y轴上， ∴， 把代入得：； 综上分析可知：或． 故答案为：0或2． 7．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情景：如图1，在中，于点于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)实际应用：如图2，在中，于点，于点于点，求三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查相似三角形的判定和性质，解三角形的应用，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据垂直及角的等量代换得出，再由正弦函数得出，利用相似三角形的判定证明即可； （2）根据直角三角形的性质得到，，根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算； （3）根据余弦的概念、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式、勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ∴ ∴ ∴，即 又， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 同理，， ∴，又， ∴， ∴ ， ∴； （3）∵， ∴ ， 同理，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴； ∵，，， ∴ ，， 由勾股定理得， ， ∵， ∴， 由勾股定理得， ， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴的周长 ． 8．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，为等腰三角形，，O是底边的中点，腰与相切于点D，与相交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径； (3)在（2）的条件下，图中阴影部分的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3) 【分析】本题考查切线的性质和判定，勾股定理，求阴影部分的面积，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）作，根据三线合一结合角平分线的性质，得到，即可得证； （2）设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：作于点， ∵，O是底边的中点， ∴平分， ∵腰与相切于点D， ∴， 又∵， ∴，即为的半径， ∴是的切线； （2）设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理，得，即， 解得； 故的半径为1． （3）由（2）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ． 题型二 解非直角三角形的相关计算 在解斜三角形时，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题. 9．（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 10．（22-23九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 11．（2022·河北沧州·二模）某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱的高为6，，，，根据锐角三角函数的定义，线段的和差，三角形的面积分别对各个结论进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，这个三棱柱的高为6，，，． ，， ，故选项A结论正确，不符合题意； ，， ，即，故选项B结论正确，不符合题意； ． 在中，， 因此选项C结论不正确，符合题意； 俯视图三角形的底边为7，高为2， 所以， 因此选项D结论正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，涉及到了三角函数的知识，其中理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提． 12．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 13．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 14．（22-23九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． 15．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在中，、、所对的边分别为、、，求证：． 证明：如图1，过点作于点，则： 在中， CD=asinB 在中， 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，、、所对的边分别为、、，求证：； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解； （2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解． 【详解】（1）证明：如图2，过点作于点， 在中，， 在中，， ， ； （2）解：如图3，过点作于点， ，， ， 在中， 又 ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． 题型三 网格问题 16．（23-24九年级下·陕西西安·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上（网格线的交点），则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，取格点，连接，由网格线的特征易得共线，根据勾股定理得到，然后利用勾股定理求出，，然后利用代入求解即可．解题的关键是正确作出辅助线． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格线的特征得共线， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 17．（2025九年级下·全国·专题练习）在的网格中，点A，B，C均是网格线的交点，则（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， 故选：B． 18．（2025·江苏宿迁·一模）如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正弦的定义，网格线与勾股定理及二次根式的除法，利用网格线的特点取格点D，连接，利用勾股定理求出，易证是直角三角形，且，最后利用正弦的定义即可解答． 【详解】解：如图，取格点D， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：C． 19．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，点、、、都在的正方形网格的格点上，、相交于点，则的正切值是（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理和勾股定理的逆定理，如图，取格点，连接，．利用勾股定理得到,，，进而由勾股定理的逆定理得到，由网格的特点推出，解直角三角形求出即可得到答案． 【详解】解：如图，取格点，连接，． 由网格的特点和勾股定理可知,， ， ∴， ∴是直角三角形，且，    由网格的特点可知， ， ， 故选：C． 20．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查网格中的锐角三角函数．利用勾股定理求出，勾股定理逆定理，得到，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图，可知：， ∴， ∴， ∴，，，， 综上：只有选项A是错误的， 故选A． 21．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 22．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（忽略图中D点） (1)在边上取点F，使得； (2)作的高． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查无刻度直尺作图、腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）过点B作的垂线，在垂线上寻找一个点使得它到点B的距离等于的一半，连接这个点与点A交于点F，点F即为所求； (4)由（3）所画图可知，，则只需找到点B往上移动长度的点，即往上移动2长度，再往上移动长度的点，再连接这个点和F点交于点G即可，利用等腰三角形的性质可知，即即为所求作的高； 【详解】（1）解：如图，点F即为所求． 由网格可知：，， ∴． （2）解：如图，即为所求． ∵， ∴，即，解得：， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 由作图可得：， ∴，即即为所求作的高． 23．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）新定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“射影点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“射影点”． (1)如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用无刻度的直尺画出边上的一个“射影点”． (2)中，，点D是边上的“射影点”，求线段的长． (3)如图3，是的内接三角形，于点H，连接并延长交于点D． ①求证：点H是中边上的“射影点”． ②若的半径为9，，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)①见解析；② 【分析】本题考查的圆中的新定义问题，考查了圆的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定及性质是关键． （1）根据相似三角形的判定和性质进行作图即可； （2）分两种情况进行解答即可； （3）①连接，证明，得到，证明，即可得到结论；②求出．，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，当时，； （2）作于点E，由 可设， 则 ， ， 设， ①如图2，若点D在点E左侧， 由点D是边上的“射影点”知，， ， 即， 解得（舍去） ． ②如图3，若点D在点E右侧， 由点D是边上的“射影点”知，， ， 即， 解得（舍去） ． 或5． （3）①如图4，连接， ， ，即， ， ， ∴点H是中边上的“射影点”． ②． 理由如下：如图4， ， 是直径， ． 又， ． ∵点O是线段的中点， 是的中位线， ． 在直角中，由勾股定理知：． ∴由垂径定理得到：． 在直角中，由勾股定理知：． 又由①知，，即，则． ， 即． 题型四 胡不归问题 对形如a•PA+b•PB(a>b)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造，作垂线即可求出最小值. 24．（2024年湖南省邵阳市新邵县中考二模数学试题）如图，在中，．若D是边上的动点，则 的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正切，正弦，垂线段最短等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 由题意得，如图，作，使，过作于，过作于，则，，，可知当三点共线且时，最小，为，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 如图，作，使，过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴当三点共线且时，最小，为， ∴， 故答案为：6． 25．（2025·江苏无锡·三模）如图，抛物线与轴交于点，，顶点为，点为对称轴上一动点，的最小值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，连接，，过点作，连接，过点作于点，设对称轴与轴交于点，得，进而可得当重合时 ，此时取得最小值，根据等面积法求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作，连接，过点作于点，设对称轴与轴交于点， ∵抛物线与轴交于点，，顶点为， ∴， 当时 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 当重合时 ，此时取得最小值， ∵ ∴，即的最小值， 故选：A． 26．（24-25九年级下·辽宁锦州·开学考试）在中，，，分别以为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于两点，连接交于点，连接，为延长线上一点，连接，．为上的点，连接，那么的最小值是（   ）    A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，解直角三角形，垂线段最短，过点作，可得，则可得 的最小值为点到的垂线段的长度，利用解直角三角形，列方程，求解即可，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，   ， 由题意可得为的垂直平分线， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 当三点共线时，最小，为点到的垂线段的长度， 如图，   ， 设，则， ， ， ， ， 则可得， 解得， ， 故选：B． 27．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，，连接，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点P作垂足为H，过点Q作垂足为，先求出A，C，B的坐标，得到为等腰直角三角形，求出，得到，利用垂线段最短可知，的最小值为，进而得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点P作，垂足为H，过点Q作，垂足为， 令，即， 解得：或， ，， 当时，， ，， ， ， .， 即， 根据垂线段最短可知，的最小值为的长度， ， ， ， 即的最小值为6． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数中的线段最值问题，等腰直角三角形的判定与性质，特殊三角函数的应用，垂线段最短等知识，解题的关键得到的最小值为的长度． 28．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）已知：如图等腰中，，是边上的高，，是上一动点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查动点最值问题-胡不归，涉及等腰三角形性质、勾股定理、正弦三角函数值定义、等面积法求线段长等知识，过点作，如图所示，由等腰三角形性质结合勾股定理求出及，在中，求出，从而得到当三点共线，且时，有最小值为，利用三角形等面积列方程求解即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-胡不归问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如图所示： 在等腰中，是边上的高， 在中，，，则，由勾股定理可得， ， 在中，，则， ， 如图所示，当三点共线，且时，有最小值，为， 由等面积可知，则， 故答案为：8． 题型五 解直角三角形与实际问题（仰角/俯角） 1）实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长. 2）利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数. 29．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）2024年5月3日17时27分，搭载“嫦娥六号”探测器的“长征五号遥八”运载火箭在海南文昌航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面处竖直向上发射，当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；当火箭到达处时，从位于地面处的雷达站测得仰角为，求火箭从处到处的飞行距离．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形应用-仰角俯角问题﹒先求出，，再求出，即可求出﹒ 【详解】解：在中，∵，， ∴，﹒ 在中，∵，， ∴﹒ ∴﹒ 30．（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）清江浦楼是我市标志性建筑，我校九年级学生想利用所学知识测量清江浦楼的高度．如图，他在清江浦楼对面一幢建筑物楼顶A处观测，测得顶部B处的仰角为，测得底部C处的俯角为．已知观测点A处距地面的高度为（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．求清江浦楼与观测点水平距离以及清江浦楼的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，，） 【答案】清江浦楼与观测点水平距离约为，清江浦楼的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过A作于E，可证明四边形是矩形，则，，在中，根据正切的定义可求出，在中，根据正切的定义可求出，即可求解． 【详解】解：过A作于E， 由题意知：，，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 答：清江浦楼与观测点水平距离约为，清江浦楼的高度约为． 31．（2025·江苏淮安·二模）如图，利用无人机测量某小区南北大门之间的距离，无人机在处测得北大门上方标志物的俯角为，南大门上方标志物的俯角为，无人机沿方向继续飞行到处，此时测得北大门上方标志物的俯角为．图中，点、、、、、在同一竖直平面内，和均与地面平行．求、之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，，， 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出和的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 设米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ∴ ， 在中，， ， ， 、之间的距离约为． 32．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）某中学为了丰富同学们的课外实践活动，组织科技爱好者在斜坡A地进行无人机试飞．小明的无人机放飞到与水平地面距离为米的 P点，测得斜坡A地的俯角为，斜坡B地的俯角为，斜坡的斜面坡度为 (1)求斜坡A 地到B地的距离； (2)下课前，老师要求同学们在A地集合，小明对无人机P发出回收指令以后，他立即从山脚的C地跑回到A地，已知斜坡与水平地面夹角为，小明上坡的跑步速度为，无人机的速度为，在小明跑到A地时，无人机是否已经回到A地？请说明理由． （， ，，， ，结果精确到） 【答案】(1)斜坡A地到B地的距离为100米 (2)小明跑到A地时，无人机已经回到A地 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，过点作，解直角三角形求出的长，根据坡度求出，进而推出为等腰直角三角形，得到即可； （2）分别求出的长，根据时间等于路程除以速度求解即可． 【详解】（1）解：过点作，过点作， 由题意，得：，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵斜坡的斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； 故斜坡A地到B地的距离为100米； （2）解：是，理由如下： 在中，， ∴， 在中，， ∴小明跑到A地时需要秒； ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴无人机到达A地时需要秒， ∵， ∴小明跑到A地时，无人机已经回到A地． 题型六 解直角三角形与实际问题（方位角） 方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，需要添加辅助线.在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程(组)来求解. 33．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向；从凉亭A处沿湖岸向东方走了120米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东方向（点A、B、C在同一平面上）；求湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，） 【答案】湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离为253米 【分析】根据题意，结合图形，在中表示出，在中表示出，结合的长度，得到结果． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过C点作，交的延长线于点D， 设米， 依题意，，， ∵在中，，， ∴， ∵在中，， ∴， ， ∵米， ∴， 即， 解得（米）， ∴（米）， 答：湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离为253米． 34．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，． (1)求岛与港口之间的距离； (2)求． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数即可求解； （2）在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 得：， 在中，由， 得． 答：岛与港口之间的距离为； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，． 35．（2025·江苏泰州·二模）近期，我市各学校积极开展“行走的思政课”活动，让思政课从“书本本”走向“心窝窝”．某校精心挑选两条研学线路供选择：如图，①号线路；②号线路．经勘测，在的正北方向，在正东方向且在南偏西方向，同时在南偏东方向，在北偏东方向，、两地相距千米． (1)求的度数； (2)请通过计算说明①、②两条线路中哪条线路路程更短？（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)②号线路的路程更短，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，理解题意，将问题转化为解直角三角形问题是解题的关键． （1）由题意得：，，，，根据平行线的性质可得，进而在，中，根据三角形内角和定理，即可求解． （2）先解，过点作，垂足为点，解，分别求得①、②两条线路的路程，比较大小，即可求解． 【详解】（1）由题意得：，，， ， ， ， 在中，， 在中，， ； （2）在中， ， 过点作，垂足为点， 在中，， ，， 在中，， ，， ①号线路的路程为， ②号线路的路程为， ， ②号线路的路程更短． 36．（2025·江苏宿迁·二模）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶20千米至B地，再沿北偏东（方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东方向． (1)求的度数； (2)求B，C两地的距离．（如果运算结果有根号，请保留根号） 【答案】(1) (2)两地的距离是千米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得：，，，从而可得，然后利用平角定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）过点作于点，在中，可求出，，由可得，进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示：    由题意得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：过点作于点， 在中， ， ，， ， ， （千米） 答：两地的距离是千米． 题型七 解直角三角形与实际问题（坡度/坡比） 坡角是水平面与坡面的夹角，不要误解为铅垂面与坡面的夹角，坡度是坡角的正切值.解决这类问题时，要利用已知角度构造直角三角形，在直角三角形中求解. 37．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影子长米，斜坡坡面上的影子米，太阳光与水平地面成角， 斜坡的坡度为， 求旗杆的高度．（精确到1米）． 【答案】16米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是作出辅助线得到的影长．延长，两线交于E，过点D作于点Q，利用坡比，解直角三角形的知识点解答即可． 【详解】解：延长，两线交于E，过点D作于点Q， ∵太阳光与水平地面成角， ∴， ∵米， 斜坡的坡度为， ∴, 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴（米） ∵米， ∴（米）， ∴， ∴ （米）， ∴旗杆的高度约为16米． 38．（2025·江苏盐城·三模）如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米． (1)求山坡的长； (2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)山坡的长为米 (2)此时无人机离地面的高度的长米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，由题意可得米，由山坡的坡比，求出米，再由勾股定理计算即可得解； （2）延长交于点，则，易得四边形为矩形，由矩形的性质可得米，，证明为等腰直角三角形，得出，设米，则米，米，解直角三角形，即可得解． 【详解】（1）解：如图，作交的延长线于， 由题意可得：米， ∵山坡的坡比， ∴， ∴米， ∴米， ∴山坡的长为米； （2）解：如图：延长交于点，则， 则：， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设米，则米，米， ∵， ∴， ∴米，即此时无人机离地面的高度的长米． 39．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端的仰角为．再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为．已知斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． (1)求点D到地平线的距离； (2)求大树的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1)点到地平线的距离为4米 (2)大树的高度是20米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键． （1）过点D作于点H，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （2）过点D作于点G，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米然后利用仰角，俯角及正切即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则， 由题意知：米，斜面的坡比为， ， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， ， ，即米， 点到地平线的距离为4米； （2）解：如图2，过点作于点，设米， 由（1）得：米， 米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， 在中，， ， ，经检验：是原方程的解， （米）， 答：大树的高度是20米． 40．（2025·江苏泰州·一模）如图，水坝的横截面是梯形，迎水坡的坡角为，背水坡的坡度（即）为，背水坡，坝顶，坝底．    (1)求坝高； (2)求迎水坡的坡角的度数．（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）过点分别作的垂线，垂足分别为，得出四边形是平行线四边形，根据背水坡的坡度（即）为，设， 则，勾股定理求得，进而得出，即可求解； （2）解，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过点分别作的垂线，垂足分别为，则    ∴ ∵梯形 ∴ ∴四边形是平行线四边形， ∵ ∴四边形是矩形，则 ∵背水坡的坡度（即）为，则 设， 则 ∴ 在中，， ∴ ∴即坝高为 （2）解：∵坝底，坝顶， ∴ ∴ ∵ ∴迎水坡的坡角的度数约为 题型八 解直角三角形与实际问题（实物模型） 41．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点距地面为0.3米．道闸打开的过程中，边固定，连杆AB、CD分别绕点A、D转动，且边始终与边平行． (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点到地面的距离为1.3米，求点到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.9米，高1.8米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)点到的距离的长为米． (2)轿车能驶入小区，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题关键． （1）过点作于点，利用正切值求出米，即可得解； （2）利用正切值求出米，从而得出米，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意可得：，米，米，米， ，米， 米， 米， 答：点到的距离的长为米． （2）解：由题意可得：，米， 则，米， 在中，， 米， 米， ， 轿车能驶入小区． 42．（25-26九年级上·江苏常州·阶段练习）2025年春节联欢晩会上，我们看到了机器人跳舞的场景，随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点线在同一个平面内）． (1)经过实验发现，当取最大值，且点、、三点共线时（如图2），抓手距离地面高度最大，则抓手距离地面的最大高度是 米．（结果保留根号） (2)设抓手到直线的水平距离为． ①当时，求的值． ②当时，则的最大值为 米（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)米 (2)①；②2 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。 （1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， 求出，解得到（米），解得到（米），据此求出的长即可得到答案； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H，根据，可推出当时，有最大值，即此时有，则可求出，，即r的最大值为2． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得米， ∴米 ∴机械臂机器人抓手距离地面的最大高度为米； （2）解：①如图，过点C作交延长线为E，过点D作交延长线为F， ∴， 由题意得：， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∵， ∴， 在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴； ②如图所示，过点D作交延长线于E，设交于H， ∵， ∴当点E和点H重合，且最小时，有最大值， ∴当时，有最大值，即此时有， ∴此时，， ∴， ∴， ∴r的最大值为2． 43．（2025·江苏淮安·中考真题）综合与实践 【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】（1）①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是 米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分 米．（参考数据：，，） 【问题探究】（2）如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【问题解决】（3）在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点顺时针旋转一定角度（点到地面的距离保持不变），使得与雨线垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出的最小值；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）可以，的最小值为． 【分析】本题主要考查实际情景中的数学问题，涉及解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构建直角三角形进行求解． （1）①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直接三角形求解； （2）延长交于点，先求出相关角，再利用，接着可得，延长交于点，过作交于，为保证头部不被淋湿，即，建立不等式求解即可； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时的值，再判断此时头部是否被淋湿即可． 【详解】解：（1）①由题意知，米，米， 米， 即点到地面的距离是米， 故答案为：； ② 米，点为中点， 米， ， ， ， ， 在中，米， 米， 故答案为：； （2）如图，延长交于点， 则， 米， ， ， ， ， 在中，米， ， 即， 延长交于点，过作交于， 则（米），，， 为使头部不被淋湿， 所以， 解得，又， 所以； ； （3）设小丽将手臂水平前伸了米时，身体恰好不会被淋湿，如图， 延长交于点，过作交于， 延长交于，过作交于， 则，，， ， 所以在中，，， 在中，， 所以， 在中，， 又， 所以此时头部不会被淋湿， 综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，的最小值为． 44．（2025·江苏宿迁·三模）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） (1)求的长； (2)该充电站有10个停车位，求的长． 【答案】(1)约为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，理解题目意思是解题的关键． （1）先求出和的长度，进而可以解决问题； （2）求出的长度，因为四边形是矩形，所以． 【详解】（1）解： 四边形是矩形， ， 在中，，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：在中，， 在中，， 该充电站有10个停车位， ， 四边形是矩形， ． 45．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图1是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知．（参考数据：，，） (1)在图2中，______； (2)醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径的长度， (3)醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩的影子顶端恰好落在点B处，梅花桩的影子顶端恰好与点N重合，请在图3中画出梅花桩的影子并计算出的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，添加适当的辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：延长至H，根据平行线的性质可得、，再根据角的和差即可解答； （2）如图：过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接，则四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，由矩形的性质可得、，再解直角三角形结合勾股定理即可解答； （3）线段、为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子．再利用相似三角形的性质求解即可； 【详解】（1）解：如图：延长至H， 由题意可得：， ∴、， ∴． 故答案为：． （2）解：如图：过点B作直线，分别交、于点E、F，过点A作直线，交于点D，连接，． 由题意得：， ∴四边形，四边形，四边形，四边形均是矩形，， ∴、， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴．即“采青”路径的长度约为． （3）解：线段、为梅花桩的影子，线段为梅花桩的影子． ∵，， ∴， ∴， 由（2）得， ∴，解得：． 经检验且符合题意， 所以的高度约为． 46．（2025·江苏镇江·二模）近期，镇江京畿路整体焕新，通过“微改造、精提升”，植入更多年轻、新颖的消费业态，迅速成为旅游网红打卡地．一商铺为更好的服务游客，在门口放一个遮阳伞，供游客遮阳． 图1是摆放的遮阳伞，图2是其完全打开时截面示意图，主伞骨厘米，支伞骨厘米，伞柄垂直于地面且平分．使用遮阳伞时，可以通过调节点在伞柄上的位置来确定的大小．当遮阳伞完全打开时，达到最大为也达到最大为． (1)在遮阳伞完全打开时，A、B之间的距离为______________厘米； (2)求支伞骨的长度； (3)在伞打开的过程中（即：从变到），点上升了____________厘米． （参考数据：，计算结果保留根号） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形综合，熟练掌握解直角三角形的运算是解本题的关键，综合行较强，难度适中． （1）在完全打开伞时，连接交于点垂直于地面且平分，则 ，进而求出的值； （2）在完全打开伞时，连接交于点，则，进而可求出的值； （3）在完全打开伞时，先求出的值；当没有打开伞时，、、三点共线，此时，，进而可求出点上升的数值． 【详解】（1）解：在完全打开伞时， 如图所示，连接交于点， ∵垂直于地面且平分， ∴， ∴， ∴， ∴在遮阳伞完全打开时，、之间的距离为厘米， 故答案为：； （2）解：在完全打开伞时， 如图所示，连接交于点， ∵垂直于地面且平分， ∴， ∴， ∴， ∴支伞骨的长度为厘米； （3）解：在完全打开伞时， 由（2）可得：， ∴ ， 当没有打开伞时，、、三点共线， 此时，， ， 在伞打开的过程中（即：从变到），点上升了厘米， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $