专题01 集合与充要条件（讲义）-江西省（三校生对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及江西省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年江西省三校生对口升学考试二轮复习《数学考纲专题练》的第1个专题，内容为集合与充要条件。 2026年江西省三校生对口升学考试《数学考纲专题练》 专题01 集合与充要条件 一、考纲解读 本专题依据江西省三校生对口升学考试考纲要求，聚焦三大核心考点，具体解读如下： 1. 集合 · (1)集合基础：理解集合与元素的概念，掌握元素与集合的 “属于（∈）”“不属于（∉）” 关系，熟记常用数集符号（自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R）；掌握列举法（如 {1,2,3}）和描述法（如 {x|x>2}）两种集合表示方法，能根据场景选择合适表示形式。 · (2)集合关系与运算：理解子集（A⊆B）、真子集（A⫋B）、集合相等（A=B）的定义，能判断两个集合的关系；熟练掌握交集（A∩B，公共元素组成）、并集（A∪B，所有元素组成）、补集（CuA，全集中不属于 A 的元素组成）的运算规则及性质。 2. 充要条件 精准理解充分条件（p⇒q，p 成立可推 q 成立）、必要条件（q⇒p，q 成立需 p 成立）、充要条件（p⇔q，双向推导成立）的含义，能结合不等式、方程、简单几何等知识点，判断命题间的充分必要关系。 注：本专题是后续函数、不等式、立体几何等知识的学习基础，为高考必考基础模块，难度较低，是稳定得分点。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 是非选择题 T01 补集及元素与集合关系的判断 3 1、题型规律：以是非选择题（3 分 / 题）为主，占比约 80%；偶尔出现单项选择题（5 分 / 题），无填空题、解答题等主观题型，2025 年延续这一命题形式，仅考查是非选择题。 2、分值占比：每年该专题总分 6 分（2 道是非选择题），占数学试卷（150 分）的 4%，是基础得分模块，2025 年分值与往年一致，难度稳定在易 - 中水平。 3、考查重点：集合部分侧重 “补集运算与元素关系判断”（如 2025 年 T01）；充要条件部分侧重 “与函数性质结合的必要不充分条件判断”（如 2025 年 T05），命题更贴近基础概念的实际应用，不涉及复杂推导。 4、命题趋势：题目形式常规，注重对核心概念的理解与直接应用，2025 年无偏题、怪题，复习时无需过度拓展难题，聚焦基础即可。 T05 简单命题间的充分不必要条件判断（涉及到函数定义） 3 2024 是非选择题 T02 集合关系判断 3 T07 “x＞0 且 y＞0” 与 “xy＞0” 的充分必要关系判断 3 2023 是非选择题 T02 集合运算（交集 / 并集）结果判断 3 T07 简单命题间的充分不必要条件判断 3 2021 是非选择题 T03 全集与补集的关系判断（元素是否属于补集） 3 T06 “a>1 时 x≥a” 与 “x≥1” 的充分必要关系判断 3 2020 是非选择题 T02 两个具体集合的包含关系判断 3 三、考点预测 预测考点 题型 分值 命题方向具体示例 集合补集与元素关系判断 是非选择题 3 分 已知全集 U={1,2,3,4,5}，集合 A={2,4,5}，判断 “1∉CuA” 是否正确 集合交集 / 并集运算 是非选择题 3 分 已知 A={x|x<3}，B={x|x≥1}，判断 “A∩B={x|1≤x<3}” 是否正确 函数背景的充要条件判断 是非选择题 3 分 判断 “f (x) 是偶函数” 是 “f (-1)=f (1)” 的充分不必要条件是否正确 不等式背景的充要条件 单项选择题 5 分 “x²>4” 是 “x>2” 的（ ）（A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件） 四、知识梳理（聚焦考点・关联 2025 年真题） 1. 集合的基本概念 （1） 元素与集合的关系 · 元素与集合之间只有 “属于（∈）” 和 “不属于（∈/）” 两种关系，如 “2∈{1,2,3}”“4∈/{1,2,3}”。 · 常用数集的符号表示：自然数集记为N，整数集记为Z，有理数集记为Q，实数集记为R，需熟记且规范书写。 （2）集合的表示方法 · 列举法：将集合中的元素逐一列出，用大括号括起来，适用于元素个数较少的集合，如 “{1,2,3}”“{−2,0,5}”。 · 描述法：用 “{x∣x满足的条件}” 表示，其中 “x” 是代表元素，“|” 后是元素满足的本质特征，适用于元素个数较多或有规律的集合，如 “{x∣x>2}”（表示大于 2 的所有实数）、“{x∣x是小于 10 的正整数})”。 （3）集合元素的性质 · 确定性：集合中的元素必须是确定的，不能模糊不清，如 “好人”“漂亮的花” 不能组成集合（因标准不明确）。 · 互异性：集合中的元素不能重复，如集合 “{1,1,2}” 需修正为 “{1,2}”。 · 无序性：集合中的元素没有顺序之分，如 “{1,2,3}” 与 “{3,2,1}” 是同一个集合。 2. 集合间的关系 （1）子集 · 定义：若对任意一个元素x，只要x∈A，就有x∈B，则称集合A是集合B的子集，记为A⊆B（读作 “A 包含于 B”）。 · 特殊情况：空集（∅，不含任何元素的集合）是任何集合的子集，即对任意集合A，都有∅⊆A；任何集合都是它自身的子集，即A⊆A。 （2）真子集 · 定义：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于A，则称集合A是集合B的真子集，记为A⫋B（读作 “A 真包含于 B”）。 · 示例：{1,2}⫋{1,2,3}，∅⫋{1,2}（空集是任何非空集合的真子集）。 （3）集合相等 · 定义：若A⊆B且B⊆A，则称集合A与集合B相等，记为A=B，表示两集合的元素完全相同。 · 示例：若A={x∣x 2 −4=0}，B={−2,2}，则A=B。 3. 集合的运算 （1）交集 · 定义：由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记为A∩B（读作 “A 交 B”），即A∩B={x∣x∈A且x∈B}。 · 运算性质：A∩A=A（一个集合与自身的交集是它本身）；A∩∅=∅（一个集合与空集的交集是空集）；A∩B=B∩A（交集满足交换律）。 · 示例：若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。 （2）并集 · 定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记为A∪B（读作 “A 并 B”），即A∪B={x∣x∈A或x∈B}（注意：“或” 包含两者都有的情况，元素需去重）。 · 运算性质：A∪A=A（一个集合与自身的并集是它本身）；A∪∅=A（一个集合与空集的并集是原集合）；A∪B=B∪A（并集满足交换律）。 · 示例：若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。 （3）补集 · 定义：设U是全集（包含所有研究对象的集合），集合A是U的子集，由所有属于U但不属于A的元素组成的集合，称为A在U中的补集，记为CUA（读作 “A 在 U 中的补集”），即CuA={x∣x∈U且x∈A}。 · 运算性质：A∩CuA=∅（一个集合与它的补集没有公共元素）；A∪CuA=U一个集合与它的补集的并集是全集）；CuA(CuA)=A（补集的补集是原集合）。 · 示例：若U={0,1,2,3,4}，A={1,2,3}，则CuA={0,4}（2025 年 T01 考点）。 4. 充分条件与必要条件 （1）定义 · 充分条件：若 “若p，则q”（记为p⇒q）是真命题，说明p成立能推出q成立，则称p是q的充分条件，可通俗理解为 “有p就行”。 · 必要条件：若 “若q，则p”（记为q⇒p）是真命题，说明q成立必须p成立，则称p是q的必要条件，可通俗理解为 “没p不行”。 · 充要条件：若p⇒q且q⇒p（记为p⇔q），则称p是q的充分必要条件（简称充要条件），说明p与q成立的条件完全等价。 （2）判断步骤 · 明确 “条件p” 和 “结论q”：先确定题目中哪个命题是条件，哪个是结论（如 “p是q的 XX 条件” 中，p是条件，q是结论）。 · 判断p⇒q是否成立：验证 “条件p成立时，结论q是否一定成立”，若成立，则p是q的充分条件；若不成立，则不是充分条件。 · 判断q⇒p是否成立：验证 “结论q成立时，条件p是否一定成立”，若成立，则p是q的必要条件；若不成立，则不是必要条件。 · 综合结论：根据前两步的结果，确定p是q的充分不必要条件（p⇒q但q⇏p）、必要不充分条件（q⇒p但p⇏q）、充要条件（p⇔q）或既不充分也不必要条件（p⇏q且q⇏p）。 （3）常见示例与真题关联 · 示例 1（2025 年 T05）：p：f(0)=0，q：f(x)为奇函数。q⇒p（必要性成立），p⇏q（充分性不成立），故p是q的必要不充分条件。 · 示例 2：p：x>3，q：x>5。p⇏q（充分性不成立），q⇒p（必要性成立），故p是q的必要不充分条件。 · 示例 3：p：x=2，q：x 2 =4。p⇒q（充分性成立），q⇏p（必要性不成立，因x=−2时q成立但p不成立），故p是q的充分不必要条件。 五、10分钟小测验 一、是非选择题（判断对选 A，错选 B） 1、若全集 U={0,1,2,3,4}，集合 A={1,2,3}，则 0 ∉CuA………………（A B）（改编自 2025 年 T01） 2、已知函数 f (x) 的定义域为 R，则 “f (0)=0” 是 “f (x) 为奇函数” 的必要不充分条件………………（A B）（改编自 2025 年 T05） 3、若集合 M={x|x<5}，N={x|x≥2}，则 M∩N={x|2≤x<5}（A B） 4、“x>3” 是 “x>5” 的充分不必要条件………………（A B） 二、单项选择题 5、已知全集 U={0,1,2,3}，集合 P={1,3}，则CuP=（ ） A. {0,2} B. {1,2} C. {0,3} D. ∅ 6、下列集合中，与集合 {x|x²-4=0} 相等的是（ ） A. {2} B. {-2} C. {-2,2} D. {x|x=2} 7、若集合 A={1,2,3}，B={3,4,5}，则 A∪B=（ ） A. {3} B. {1,2,3,4,5} C. {1,2,4,5} D.{1,2,3,3,4,5} 8、下列选项中，p 是 q 的充要条件的是（ ） A. p：x=0，q：x²=0 B. p：x>3，q：x>2 C. p：x=y，q：|x|=|y| D. p：x+1=0，q：x=-2 测验解析： 1、 答案：B 2、 解析：先求CuA，全集 U 中不属于 A 的元素为 0 和 4，即CuA={0,4}，故 0 ∈CuA，原命题错误。 2、答案：A 解析：若 f (x) 为奇函数（q），则 f (-x)=-f (x)，令 x=0 得 f (0)=0（p），必要性成立；但 f (0)=0（p）不能推出 f (x) 为奇函数（如 f (x)=x²），充分性不成立，故 p 是 q 的必要不充分条件，原命题正确。 3、答案：A 解析：交集是两集合公共元素组成的集合，M 中 x<5 与 N 中 x≥2 的公共范围为 2≤x<5，故 M∩N={x|2≤x<5}，原命题正确。 4、答案：B 解析：“x>3”（p）不能推出 “x>5”（q），充分性不成立；“x>5”（q）可推出 “x>3”（p），必要性成立，故 p 是 q 的必要不充分条件，原命题错误。 5、答案：A 解析：补集是全集中不属于集合的元素组成的集合，U 中不属于 P={1,3} 的元素为 0 和 2，故∁ᵤP={0,2}。 6、答案：C 解析：解方程 x²-4=0 得 x=±2，故集合 {x|x²-4=0}={-2,2}，与选项 C 相等。 7、答案：B 解析：并集是两集合所有元素组成的集合（去重），A 与 B 的元素合并后为 {1,2,3,4,5}。 8、答案：A 解析：A 选项中，x=0（p）可推出 x²=0（q），x²=0（q）也可推出 x=0（p），故 p 是 q 的充要条件；B 选项 p 是 q 的充分不必要条件，C、D 选项 p 是 q 的既不充分也不必要条件。 六、经典例题解析 题型一：集合补集与元素关系判断 1、（2025・江西・T01）若全集 U={0,1,2,3,4}，集合 A={1,2,3}，则 0∉CuA………………（A B） 【答案】B 【解析】第一步，根据补集定义计算CuA：全集 U 中所有不属于 A 的元素组成补集，A 的元素为 1,2,3，故 U 中不属于 A 的元素是 0 和 4，即CuA={0,4}。 第二步，判断元素与补集的关系：0 是CuA 的元素，即 0∈CuA，原命题 “0∉CuA” 与事实矛盾。 故选：B（错误）。 题型二：充要条件与函数性质结合 2、（2025・江西・T05） 已知函数 f (x) 的定义域为 R，则 “f (0)=0” 是 “f (x) 为奇函数” 的必要不充分条件………（A B） 【答案】A 【解析】第一步，明确条件 p 和结论 q：p 为 “f (0)=0”，q 为 “f (x) 为奇函数”。 第二步，判断必要性（q⇒p）：若 f (x) 为奇函数，根据奇函数定义 f (-x)=-f (x)，令 x=0，得 f (-0)=-f (0)，即 f (0)=-f (0)，移项得 2f (0)=0，故 f (0)=0，因此 q 成立可推出 p 成立，必要性成立。 第三步，判断充分性（p⇏q）：举反例，如函数 f (x)=x²，其定义域为 R，且 f (0)=0²=0，但 f (-x)=(-x)²=x²=f (x)，f (x) 是偶函数而非奇函数，即 p 成立不能推出 q 成立，充分性不成立。 第四步，结论：p 是 q 的必要不充分条件，原命题正确。 故选：A（正确）。 题型三：集合基本概念与表示 3、（2018・江西・T13） 已知集合 A={x|x²-3x+2=0}，那么错误的是（ ） A. 2∈A B. 1∈A C. A=∅ D. -1∉A 【答案】C 【解析】第一步，化简集合 A：解方程 x²-3x+2=0，因式分解得 (x-1)(x-2)=0，解得 x=1 或 x=2，故 A={1,2}。 第二步，逐一判断选项： A 选项：2 是 A 的元素，2∈A，正确； B 选项：1 是 A 的元素，1∈A，正确； C 选项：A 含 1、2 两个元素，不是空集，错误； D 选项：-1 不是 A 的元素，-1∉A，正确。 故选：C 4、（校内模拟题） 用描述法表示 “大于 3 且小于 8 的整数组成的集合”，正确的是（ ） A. {4,5,6,7} B. {x|3<x<8} C. {x|x 是大于 3 且小于 8 的整数} D. {x∈Z|3≤x≤8} 【答案】C 【解析】第一步，明确 “描述法” 的结构：{代表元素 | 元素满足的条件}，且需符合 “整数” 范围。 第二步，分析选项： A 选项是 “列举法”，不符合题干要求，排除； B 选项缺少 “整数” 条件，包含 3<x<8 的所有实数（如 4.5），错误； C 选项明确 “代表元素 x” 且条件为 “大于 3 且小于 8 的整数”，正确； D 选项范围错误（3≤x≤8 包含 3 和 8，且未明确整数，但符号∈Z 可修正，仍范围错），错误。 故选：C。 题型四：集合间的关系 5、 （2023・江西・T02） 已知集合 A={1,2}，B={1,2,3}，则 A⊆B………（A B） 【答案】A 【解析】第一步，根据子集定义：若 A 中所有元素都在 B 中，则 A⊆B。第二步，验证：A 的元素 1∈B，2∈B，满足子集定义。 故选：A 6、 （校内模拟题） 若集合 P={x|x²=9}，Q={-3,3}，则 P 与 Q 的关系是（ ） A. P⫋Q B. P⊇Q C. P=Q D. 无包含关系 【答案】C 【解析】第一步，化简集合 P：解方程 x²=9 得 x=±3，故 P={-3,3}。第二步，对比 P 与 Q：元素完全相同，符合 “集合相等” 定义。 故选：C 题型五：充要条件综合判断 7、 （2024・江西・T07） “x＞0 且 y＞0” 是 “xy＞0” 的必要不充分条件………（A B） 【答案】B 【解析】第一步，确定 p 和 q：p 为 “x＞0 且 y＞0”，q 为 “xy＞0”。第二步，判断充分性（p⇒q）：若 x＞0 且 y＞0，则 xy＞0（正数 × 正数 = 正数），充分性成立。第三步，判断必要性（q⇒p）：若 xy＞0，则 x＞0 且 y＞0 或 x＜0 且 y＜0（负数 × 负数 = 正数），即 q 成立不能推出 p 成立，必要性不成立。第四步，结论：p 是 q 的充分不必要条件，原命题 “必要不充分条件” 错误。 故选：B 8、 （2020・江西・T15） 已知直线 l₁、l₂分别在平面 α、β 内，则 “直线 l₁和 l₂相交” 是 “平面 α 和 β 相交” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 B. C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】第一步，确定 p 和 q：p 为 “l₁和 l₂相交”，q 为 “α 和 β 相交”。第二步，判断充分性（p⇒q）：若 l₁∩l₂=P，则 P∈l₁⊂α，P∈l₂⊂β，即 α 和 β 有公共点 P，故 α∩β≠∅（平面相交），充分性成立。第三步，判断必要性（q⇒p）：若 α 和 β 相交，l₁、l₂可能平行（如 α∩β=l，l₁∥l，l₂∥l）或异面，不一定相交，必要性不成立。 故选：A 9、（校内模拟题） “x=2” 是 “x²-4=0” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 无关系 【答案】A 【解析】第一步，p：x=2；q：x²-4=0（即 x=2 或 x=-2）。第二步，p⇒q（x=2 时，x²-4=0 成立），充分性成立；第三步，q⇏p（x=-2 时，q 成立但 p 不成立），必要性不成立。 故选：A 10、（校内模拟题） “a+c=b+d” 是 “a=b 且 c=d” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 B. C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】第一步，p：a+c=b+d；q：a=b 且 c=d。第二步，p⇏q（如 a=1,c=3，b=2,d=2，a+c=b+d=4，但 a≠b），充分性不成立；第三步，q⇒p（a=b 且 c=d 时，a+c=b+d 显然成立），必要性成立。 故选：B 七、专题归纳小结 1. 解题策略（分模块・结合 2025 年真题） （1）集合补集问题解题步骤（对应 2025 年 T01） · 定全集：明确题目给出的全集 U（如 2025 年 T01 中 U={0,1,2,3,4}）； · 找补集：逐一筛选 U 中不属于集合 A 的元素，组成CuA（如 A={1,2,3}，则CuA={0,4}）； · 判关系：判断指定元素是否属于补集（如 0∈CuA，故 “0∉CuA” 错误）。 （2）函数背景充要条件解题步骤（对应 2025 年 T05） · 忆性质：回忆相关函数性质（如奇函数性质：f (-x)=-f (x)，x=0 时 f (0)=0）； · 分 p q：明确 p（f (0)=0）和 q（f (x) 为奇函数）； · 双向判：先判 q⇒p（必要性，利用奇函数性质推导），再举反例判 p⇏q（充分性，如 f (x)=x²）；④ 下结论：根据双向判断结果确定条件类型（必要不充分条件）。 2. 易错点警示（高频错误汇总・关联真题） 易错类型 示例与纠正 真题关联 补集计算遗漏元素 错误：U={0,1,2,3,4}，A={1,2,3}，CuA={0}（遗漏 4）；纠正：补集需包含全集中所有不属于 A 的元素，故CuA={0,4} 2025 年 T01：若遗漏 4，不影响 0∈CuA 的判断，但需养成完整计算补集的习惯 混淆充分性与必要性 错误：“f (x) 为奇函数⇒f (0)=0”，说 “f (0)=0 是 f (x) 为奇函数的充分条件”；纠正：f (0)=0 不能推出 f (x) 为奇函数，故是必要条件而非充分条件 2025 年 T05：核心易错点为颠倒充分性与必要性，需严格按 “p⇒q 为充分，q⇒p 为必要” 判断 忽略函数特殊反例 错误：认为 “f (0)=0” 一定能推出 “f (x) 为奇函数”；纠正：举反例 f (x)=x²，f (0)=0 但为偶函数，证明充分性不成立 3. 专题核心总结 本专题核心是 “概念 + 应用”，无需复杂计算，关键在于 “精准理解”： · 集合的本质是 “元素的汇集”，补集运算需紧扣 “全集 + 不属于”，2025 年 T01 直接考查补集与元素关系，是基础中的基础； · 充要条件的本质是 “命题间的推导关系”，尤其结合函数性质（如奇函数）时，需先回忆性质、再双向判断、最后举反例验证，2025 年 T05 正是这一思路的典型体现。 注：职教高考对本专题的考查均为基础题，只要牢记概念、规避易错点、按步骤解题，就能轻松得分。复习时建议重点练习 2025 年真题及近 5 年同类题目，熟悉命题形式，提高解题速度（建议每道题耗时不超过 1 分钟）。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $