高教版《一课一练》第111练-两角和与差的正切公式 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第111练，内容是第六章三角计算6.1.3 两角和与差的正切公式。 高教版《数学》拓展模块下册 第111练 第六章 三角计算 6.1.3 两角和与差的正切公式 一课一练 1、 选择题 1．两角和的正切公式tan(A+B)正确的是（　　） A. B. C. D. 2．计算tan75∘时，可拆分为下列哪种形式应用两角和的正切公式（　　） A.tan(90∘−15∘) B.tan(60∘+15∘) C.tan(45∘−30∘) D.tan(45∘+30∘) 3．已知tanα=1，tanβ=，则tan(α+β)的值为（　　）​ A. B.1 C.2 D.-2 4．下列计算正确的是（　　） A.tan(60∘−30∘)=tan60∘−tan30∘ B.tan(30∘+30∘)=​ C.tan(45∘−30∘)=​ D.tan(90∘+30∘)= 5．已知tan(α−β)=，若tanα=2，tan(α−β)=，则tanβ的值为（　　） A.7 B.-7 C.1 D.-1 6．若tan(A+B)=0，且A、B均为锐角，则下列说法正确的是（　　） A.tanA+tanB=0 B.tanAtanB=1 C.A+B=90∘ D.A+B=180∘ 2、 填空题 7．两角差的正切公式：tan(α−β)= 。 8．已知tan45∘=1，tan30∘=，用两角和的正切公式计算tan75∘的结果为 。（最简形式） 3、 解答题 9．已知tanα=2，tanβ=，求tan(α−β)的值，并判断α−β是锐角还是钝角。 10．用两角差的正切公式求tan15∘的值（结果用最简形式表示）。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第111练，内容是第六章三角计算6.1.3 两角和与差的正切公式。 高教版《数学》拓展模块下册 第111练 第六章 三角计算 6.1.3 两角和与差的正切公式 一课一练 一、选择题 1．两角和的正切公式tan(A+B)正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】两角和正切公式的核心结构。 【详解】核心依据：直接记忆两角和的正切公式标准形式，同时区分它与两角差的正切公式的结构差异，关键关注分子符号和分母符号。：为两角和的正切公式标准形式，分子为“和”、分母为“1减乘积”。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 2．计算tan75∘时，可拆分为下列哪种形式应用两角和的正切公式（　　） A.tan(90∘−15∘) B.tan(60∘+15∘) C.tan(45∘−30∘) D.tan(45∘+30∘) 【答案】D 【分析】公式的适用场景。 【详解】核心依据：应用两角和的正切公式，需满足两个条件——①拆分后是“两角和”形式（tan(M+N)）；②拆分的两个角是特殊角（如30°、45°、60°），方便代入正切值计算。tan(45∘+30∘)：45°+30°=75°，角度匹配，且两者均为特殊角，符合“两角和”形式。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，符合上述求解结果，故D正确. 故选：D. 3．已知tanα=1，tanβ=，则tan(α+β)的值为（　　）​ A. B.1 C.2 D.-2 【答案】C 【分析】公式的直接计算。 【详解】核心依据：直接套用两角和的正切公式tan(α+β)=，代入已知的 tanα和tanβ的值计算即可。 分步计算：第一步，代入公式：将tanα=1、tanβ=代入，得tan(α+β)=。第二步，计算分子分母：分子1+=，分母1−=。第三步，化简结果：=2。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 4．下列计算正确的是（　　） A.tan(60∘−30∘)=tan60∘−tan30∘ B.tan(30∘+30∘)=​ C.tan(45∘−30∘)=​ D.tan(90∘+30∘)= 【答案】C 【分析】公式的应用与易错点。 【详解】核心依据：判断关键是紧扣两角和/差的正切公式（tan(A+B)=、tan(A−B)=），同时注意90°的正切值不存在，且正切无“分配律” （无tan(M±N)=tanM±tanN）。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 5．已知tan(α−β)=，若tanα=2，tan(α−β)=，则tanβ的值为（　　） A.7 B.-7 C.1 D.-1 【答案】C 【分析】公式的逆用求解未知量。 【详解】核心依据：已知两角差的正切公式tan(α−β)=，将tanα=2、 tan(α−β)=代入公式，通过解方程求出tanβ。 分步计算：第一步，代入公式列方程：=。第二步，交叉相乘消分母： 3(2−tanβ)=1×(1+2tanβ)，展开得6−3tanβ=1+2tanβ。第三步，移项求解：6−1=2tanβ+3tanβ，即5=5tanβ，得tanβ=1。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 6．若tan(A+B)=0，且A、B均为锐角，则下列说法正确的是（　　） A.tanA+tanB=0 B.tanAtanB=1 C.A+B=90∘ D.A+B=180∘ 【答案】C 【分析】公式的性质与特殊角正切值。 【详解】核心依据：结合两角和的正切公式tan(A+B)=，及锐角的正切值性质（锐角正切值均为正）分析。 对于A中，由tan(A+B)=0，公式分子需为0（分母不为0，因tanA、tanB为正， 1−tanAtanB若为0则tan(A+B)无意义），故tanA+tanB=0不成立（两正数和不可能为0），故A错误； 对于B中，若tanAtanB=1，则分母为0，tan(A+B)无意义，与题意矛盾，故B错误； 对于C中，结合选项排除，且A+B=90∘时，tan90∘无意义，实际逻辑为：锐角和中仅 A+B=0∘（不可能）或180∘（超范围）时正切为0，故C正确； 对于D中，A、B为锐角，故0∘<A+B<180∘。在此范围内，tan0∘=0、tan180∘=0，但A+B=180∘不符合锐角和的范围，故D错误. 故选：C. 二、填空题 7．两角差的正切公式：tan(α−β)= 。 【答案】 【分析】两角差正切公式的结构。 【详解】核心依据：两角差的正切公式是两角和正切公式的衍生，关键区分分子、分母的符号规律——和角公式分子为“加”、分母为“1减”，差角公式则相反。 公式结构：公式右侧分子为tanα−tanβ，分母为1+tanαtanβ，标准形式为 tan(α−β)=. 故答案：. 8．已知tan45∘=1，tan30∘=，用两角和的正切公式计算tan75∘的结果为 。（最简形式） 【答案】2+ 【分析】先将75∘拆为45∘+30∘，代入两角和的正切公式。 【详解】核心依据：先确定75°可拆分为45°+30°（两个特殊角的和），再套用两角和的正切公式tan(A+B)=，代入已知特殊角正切值计算。 分步计算：第一步，拆分角度并代入公式：tan75∘=tan(45∘+30∘)=。 第二步，代入已知值：tan45∘=1，tan30∘=，得。 第三步，化简计算：分子分母同乘3消分母，得；再分母有理化（同乘3+），最终结果为2+. 故答案：2+. 三、解答题 9．已知tanα=2，tanβ=，求tan(α−β)的值，并判断α−β是锐角还是钝角。 【答案】tan(α−β)=>0，α−β是锐角。 【分析】两角差的正切公式计算与角型判断。 【详解】核心依据：先套用两角差的正切公式tan(α−β)=计算值，再结合 tanα、tanβ的大小判断α−β的范围，进而确定角的类型。 分步计算与判断：第一步，代入公式计算：将tanα=2、tanβ=代入，得 tan(α−β)==。 第二步，判断角的类型：tanα=2、tanβ=，可知α、β均为锐角且α>β，故 0∘<α−β<90∘。又因tan(α−β)=>0，所以α−β是锐角。 故答案：tan(α−β)=>0，α−β是锐角. 10．用两角差的正切公式求tan15∘的值（结果用最简形式表示）。 【答案】2-。 【分析】两角差的正切公式的逆用。 【详解】核心依据：先确定15∘可拆分为45°-30°（两个特殊角的和），再套用两角和的正切公式tan(α−β)=，代入已知特殊角正切值计算。 分步计算：第一步，拆分角度并代入公式：tan15∘=tan(45∘-30∘)=。 第二步，代入已知值：tan45∘=1，tan30∘=，得。 第三步，化简计算：分子分母同乘3消分母，得；再分母有理化（同乘3-），最终结果为2-。 故答案：2-. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $