高教版《一课一练》第109练-两角和与差的余弦公式 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第109练，内容是第六章三角计算6.1.1 两角和与差的余弦公式。 高教版《数学》拓展模块下册 第109练 第六章 三角计算 6.1.1 两角和与差的余弦公式 一课一练 一、选择题 1．两角和的余弦公式cos(A+B)正确的表达式是（　　） A.cosAcosB+sinAsinB B.cosAcosB−sinAsinB C.sinAcosB+cosAsinB D.sinAcosB−cosAsinB 【答案】B 【分析】两角和余弦公式的核心形式。 【详解】核心依据：直接记忆两角和的余弦公式标准形式，同时区分它与两角和差正弦公式的结构差异。cosAcosB−sinAsinB：为两角和的余弦公式标准形式。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 2．计算cos105∘时，可将其拆分为下列哪种形式应用两角和的余弦公式（　　） A.cos(60∘+45∘) B.cos(60∘−45∘) C.cos(180∘−75∘) D.cos(90∘+15∘) 【答案】A 【分析】公式的适用场景。 【详解】核心依据：应用两角和的余弦公式，需满足两个条件——①拆分后是“两角和”形式（cos(M+N)）；②拆分的两个角是特殊角（如30°、45°、60°），方便代入三角函数值计算。cos(60∘+45∘)：60°+45°=105°，角度匹配，且两者均为特殊角，符合“两角和”形式。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 3．已知cosα=，cosβ=，且α、β均为锐角，则cos(α−β)的值为（　　）​ A. B. C. D. 【答案】A 【分析】公式的综合计算。 【详解】核心依据：计算cos(α−β)需用两角差的余弦公式 cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ。已知cosα和cosβ，需通过“同角三角函数平方关系”sin2x+cos2x=1，结合α、β为锐角（正弦值为正），求出sinα和sinβ。 分步计算：第一步，求sinα：sinα==。第二步，求sinβ：sinβ==。 第三步，代入公式计算：cos(α−β)=×+×=。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 4．下列计算正确的是（　　） A.cos(30∘+60∘)=cos30∘+cos60∘ B.cos(60∘−30∘)=cos60∘−cos30∘ C.cos(45∘+45∘)=cos45∘cos45∘−sin45∘sin45∘ D.cos(90∘−30∘)=cos90∘cos30∘+sin90∘sin30∘ 【答案】C 【分析】公式的应用与易错点。 【详解】核心依据：判断关键是紧扣两角和/差的余弦公式（cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB、cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB），同时排除“余弦分配律”的错误认知 （余弦无cos(M±N)=cosM±cosN的规律）。 对于A中，cos(30∘+60∘)=cos30∘+cos60∘：左边用和角公式得cos90∘=0，右边为+≠0，且违背和角公式结构，故A错误； 对于B中，cos(60∘−30∘)=cos60∘−cos30∘：左边用差角公式得cos30∘=，右边为 −≠，且违背差角公式结构，故B错误； 对于C中，cos(45∘+45∘)=cos45∘cos45∘−sin45∘sin45∘：完全符合两角和的余弦公式，左边cos90∘=0，右边×−×=0，等式成立，故C正确； 对于D中，cos(90∘−30∘)=cos90∘cos30∘+sin90∘sin30∘：左边cos60∘=，右边用差角公式计算（90∘−30∘是差角）得0×+1×=，但选项写法错误（差角公式需明确“差”的形式，且此式本质是诱导公式cos(90∘−θ)=sinθ的误用形式），故D错误. 故选：C. 5．利用两角和的余弦公式计算cos(π+θ)，结果为（　　） A.cosθ B.sinθ C.-cosθ D.-sinθ 【答案】C 【分析】公式的变形应用。 【详解】核心依据：套用两角和的余弦公式cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB，将π+θ拆分为A=π、B=θ，再代入特殊角π的三角函数值计算。 分步计算：第一步，代入公式：cos(π+θ)=cosπcosθ−sinπsinθ。第二步，代入特殊角值：cosπ=−1，sinπ=0，得(−1)×cosθ−0×sinθ。 第三步，化简结果：计算得−cosθ。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 6．已知cos(α+β)=，且α、β均为锐角，则下列说法正确的是（　　） A.sinαsinβ>cosαcosβ B.sinαsinβ=cosαcosβ C.α+β=30∘ D.α+β=60∘ 【答案】D 【分析】公式的逆用与特殊角三角函数值。 【详解】核心依据：先利用两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ推导关系，再结合α、β为锐角确定α+β的范围，进而判断选项。 推导sinαsinβ与cosαcosβ的关系：已知cos(α+β)=，代入公式得 cosαcosβ−sinαsinβ=，即cosαcosβ=sinαsinβ+，故cosαcosβ>sinαsinβ，确定α+β的度数：α、β为锐角，故0∘<α+β<180∘。在此范围内，cos60∘=， cos30∘=≠，因此α+β=60∘。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，符合上述求解结果，故D正确. 故选：D. 二、填空题 7．两角差的余弦公式：cos(α−β)= 。 【答案】cosαcosβ+sinαsinβ 【分析】两角差余弦公式的结构。 【详解】核心依据：两角差的余弦公式是三角函数基本公式，需准确记忆其标准结构，与两角和的余弦公式对比区分（和角公式为“减”，差角公式为“加”）。 公式推导逻辑：公式右侧由两项组成，分别是“cosαcosβ”和“sinαsinβ”，两项符号为正，即cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 故答案：cosαcosβ+sinαsinβ. 8．用两角和的余弦公式计算cos75∘，结果为 。（最简根式） 【答案】 【分析】先将75∘拆为45∘+30∘，代入特殊角三角函数值。 【详解】核心依据：先套用两角和的余弦公式cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB，将75°拆分为两个特殊角的和（如30°+45°），代入特殊角三角函数值计算后化简为最简根式。 分步计算：第一步，拆分角度并代入公式： cos75∘=cos(30∘+45∘)=cos30∘cos45∘−sin30∘sin45∘。 第二步，代入特殊角值：cos30∘=，cos45∘=，sin30∘=，sin45∘=，得 ×−×。 第三步，化简结果：计算得−=. 故答案：. 三、解答题 9．已知α、β均为锐角，cosα=，cosβ=，求cos(α+β)的值。 【答案】0。 【分析】同角三角函数关系与两角和的余弦公式。 【详解】核心依据：计算cos(α+β)需用两角和的余弦公式 cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ。已知cosα和cosβ，需通过“同角三角函数平方关系”sin2x+cos2x=1，结合α、β为锐角（正弦值为正），求出sinα和sinβ。 分步计算：第一步，求sinα：sinα==。第二步，求sinβ：sinβ==。 第三步，代入公式计算：cos(α+β)=×−×=0。 故答案：0. 10．用两角差的余弦公式求cos15∘的值（结果用最简根式表示）。 【答案】。 【分析】公式逆用。 【详解】核心依据：先套用两角差的余弦公式cos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB，将15°拆分为两个特殊角的差（如45°-30°或60°-45°），再代入特殊角三角函数值计算并化简。 分步计算：第一步，拆分角度：选择15∘=45∘−30∘，代入公式得 cos15∘=cos(45∘−30∘)=cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘。 第二步，代入特殊角值：cos30∘=，cos45∘=，sin30∘=，sin45∘=，代入得 ×+×。 第三步，化简结果：计算每一项得+，合并为。 故答案：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第109练，内容是第六章三角计算6.1.1 两角和与差的余弦公式。 高教版《数学》拓展模块下册 第109练 第六章 三角计算 6.1.1 两角和与差的余弦公式 一课一练 1、 选择题 1．两角和的余弦公式cos(A+B)正确的表达式是（　　） A.cosAcosB+sinAsinB B.cosAcosB−sinAsinB C.sinAcosB+cosAsinB D.sinAcosB−cosAsinB 2．计算cos105∘时，可将其拆分为下列哪种形式应用两角和的余弦公式（　　） A.cos(60∘+45∘) B.cos(60∘−45∘) C.cos(180∘−75∘) D.cos(90∘+15∘) 3．已知cosα=，cosβ=，且α、β均为锐角，则cos(α−β)的值为（　　）​ A. B. C. D. 4．下列计算正确的是（　　） A.cos(30∘+60∘)=cos30∘+cos60∘ B.cos(60∘−30∘)=cos60∘−cos30∘ C.cos(45∘+45∘)=cos45∘cos45∘−sin45∘sin45∘ D.cos(90∘−30∘)=cos90∘cos30∘+sin90∘sin30∘ 5．利用两角和的余弦公式计算cos(π+θ)，结果为（　　） A.cosθ B.sinθ C.-cosθ D.-sinθ 6．已知cos(α+β)=，且α、β均为锐角，则下列说法正确的是（　　） A.sinαsinβ>cosαcosβ B.sinαsinβ=cosαcosβ C.α+β=30∘ D.α+β=60∘ 2、 填空题 7．两角差的余弦公式：cos(α−β)= 。 8．用两角和的余弦公式计算cos75∘，结果为 。（最简根式） 3、 解答题 9．已知α、β均为锐角，cosα=，cosβ=，求cos(α+β)的值。 10．用两角差的余弦公式求cos15∘的值（结果用最简根式表示）。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $