专题04 二次函数（小题） 6大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

专题04 二次函数（小题） 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数的图象与性质 考点03二次函数图象与性质 考点04 待定系数法求二次函数表达式 考点05 二次函数的平移 考点06 二次函数与方程、不等式的关系 地 城 考点01 二次函数的概念 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）下列函数中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）已知二次函数，则 ． 地 城 考点02 二次函数k的图象与性质 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏·期末）已知二次函数，当时，函数y的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数有最大值是 D．函数有最小值是 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像的顶点的坐标为（） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 8．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 9．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的图象的开口向 ． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）请写出一个二次函数的表达式，使其图像关于轴对称： ． 地 城 考点03 二次函数的图象与性质 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值 D．顶点坐标是 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）二次函数图像的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）二次函数图象的顶点坐标为 ． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知点，在抛物线上．若，则 0．（用“”或“”连接） 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）请用一般式写出一个二次函数的表达式 ，使它满足以下两个条件：①图象经过原点，②函数的最小值为． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数，，，为抛物线上的点，若，则m的取值范围是 ． 地 城 考点04 待定系数法求二次函数表达式 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值 D．顶点坐标是 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）二次函数图像的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）二次函数图象的顶点坐标为 ． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知点，在抛物线上．若，则 0．（用“”或“”连接） 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）请用一般式写出一个二次函数的表达式 ，使它满足以下两个条件：①图象经过原点，②函数的最小值为． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数，，，为抛物线上的点，若，则m的取值范围是 ． 地 城 考点05 二次函数的平移 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将二次函数向上平移3个单位长度得到对应的函数解析式是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）将二次函数的图象向下平移3个单位长度所得图象的解析式为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）将抛物线向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）将抛物线的图象向上平移3个单位后，所得抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）将二次函数的图像向右平移3个单位长度，得到的函数图像表达式是 ． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后的函数表达式为 ． 10．（24-25九年级上·江苏南通·期末）将抛物线向右平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为 ． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）在同一平面直角坐标系中，函数的图像向左平移4个单位长度得到的函数图像相应的函数表达式为 ． 12．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是 ． 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式是 ． 地 城 考点06 二次函数与方程、不等式的关系 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知抛物线与轴两个交点间的距离为4，将此抛物线向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到一条新抛物线，则新抛物线与轴两个交点间的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中n为任意实数）．中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，抛物线经过，对称轴为直线．有如下结论：①；②；③对于任意正数m，总有；④对于a的每一个确定的值，若一元二次方程（P为常数，且）的根为整数，则满足条件的P的值有且只有三个．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）二次函数（，，是常数，且）的图象的顶点坐标为，且与轴的两个交点位于原点两侧，则，，中为正数的（   ） A．只有 B．只有 C．只有 D．均为正数 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）抛物线与x轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25九年级上·江苏南通·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（   ） … … … … A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）关于二次函数的图象，下列说法正确是（   ） A．与x轴没有交点 B．经过原点 C．有最大值 D．对称轴：直线 8．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图为二次函数的图象，则下列说法正确的个数是（　　） ①二次函数的最大值为；②；③；④当时，． A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 10．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根最接近于（   ） A．0 B． C． D． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）关于抛物线（m 是常数），下列结论正确的是（     ） ①若此抛物线与x 轴只有一个公共点，则； ②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则； ③若点在抛物线上，则 ； ④无论m 为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 二、填空题 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）把二次函数向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件 ． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）二次函数的图像与x轴交于A、B两点，将函数的图像向上平移，平移后的图像与x轴交于C、D两点．若，则平移后的图像对应的函数表达式为 ． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为 ． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，二次函数．与一次函数的图象交点的横坐标分别为，3，则关于的不等式的解集为 ． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和抛物线都经过点和点，当时，的取值范围是 ． 17．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程较小的根是 ． 18．（24-25九年级上·江苏常州·期末）若抛物线的图像与轴有且只有一个交点， ． 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）定义：若一次函数的图像与二次函数的图像有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的“轴点二次函数”．请你写出一次函数的一个轴点二次函数为 ． 20．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）已知二次函数的图象与轴没有公共点，则的取值范围为 ． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，点在该图像上．有下列结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在2和3之间；④对于任意实数，恒成立；⑤点，在该图像上，当实数时，．其中，正确的是 ．（填写正确的序号） 22．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 0 则方程的所有解的和是 ． 23．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数有且只有一个“三倍数”，则c的值为 ． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数（小题） 6大高频考点概览 考点01 二次函数的概念 考点02 二次函数的图象与性质 考点03二次函数图象与性质 考点04 待定系数法求二次函数表达式 考点05 二次函数的平移 考点06 二次函数与方程、不等式的关系 地 城 考点01 二次函数的概念 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的定义、识别一次函数、二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义．一般地，形如（a，b，c为常数）的函数叫做二次函数． 根据定义逐一判定．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B．是二次函数，故符合题意； C．是正比例函数，故不符合题意； D．，当时是一次函数，故不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数都是整式成为解题的关键． 直接根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不合题意； B、是二次函数，符合题意； C、，当时，是二次函数，不合题意； D、是一次函数，符合题意． 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数叫二次函数，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、是二次函数，故本选项符合题意； C、不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：不符合二次函数的定义，它们不是二次函数； 符合二次函数的定义，它是二次函数； 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．一般地，把形如（是常数，且）的函数叫作二次函数．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.该函数是一次函数，不是二次函数，本选项不符合题意； B. 不是二次函数，本选项不符合题意； C.不是函数，所以也不是二次函数，本选项不符合题意； D. 是二次函数，本选项符合题意． 故选：D 6．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）下列函数中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意； B、是反比例函数，故本选项不符合题意； C、符合二次函数的定义，故本选项符合题意； D、，当时，该函数是一次函数，故本选项不符合题意． 故选：C． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）已知是关于x的二次函数，则m的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选C． 二、填空题 8．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）已知二次函数，则 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如，这样的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义得到，，进行求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：． 地 城 考点02 二次函数k的图象与性质 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的顶点坐标是是解题的关键．根据抛物线的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏·期末）已知二次函数，当时，函数y的最小值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据题意得二次函数的对称轴为直线，进而可根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，二次函数有最小值，即为：． 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数有最大值是 D．函数有最小值是 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向上，函数有最小值，为 ∴A、B、C选项错误，D选项正确 故选：D 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线的顶点坐标是． 由抛物线顶点式即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像的顶点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用顶点式是关键．依据题意，由二次函数为，其顶点为，从而可以判断得解． 【详解】解：由题意，二次函数为， 顶点为． 故选：D． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是根据顶点式写出顶点坐标．根据二次函数的解析式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标． 【详解】解：二次函数， 该函数图象的顶点坐标为， 故选：B 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握根据顶点式得出顶点坐标是解题的关键．根据顶点式中，顶点坐标是，即可得到答案． 【详解】解：抛物线， 抛物线的顶点坐标为：， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据的顶点坐标进行作答即可． 【详解】解：依题意，抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）二次函数的图象的开口向 ． 【答案】下 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题关键是掌握二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口．由即可判断开口方向． 【详解】解：二次函数，， 则图象的开口向下， 故答案为：下 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）请写出一个二次函数的表达式，使其图像关于轴对称： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意可以写出一个符合要求的函数表达式，注意本题答案不唯一，只要符合要求即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：（答案不唯一）． 地 城 考点03 二次函数的图象与性质 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值 D．顶点坐标是 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，把题目中的函数解析式化为顶点式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，即可作出判断．解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数的性质． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次项系数，则图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时取得最大值，故选项C不符合题意； 顶点坐标是，故选项D符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）二次函数图像的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数顶点坐标的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 利用配方法化为顶点式即可得解． 【详解】解：， ∴顶点为， 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等，①由图象得，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断．能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， 图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（为任意实数）， ∴，故③正确； ④由②得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，把，代入整理后即可判断①；利用二次函数的性质，根据二次函数的最值即可判断②；把代入解析式即可判断③．正确理解二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：函数，，是常数，且图象经过，， ， 解得，故①正确； 如果为顶点时，抛物线开口向下， 那么时，，故②不正确； ， ， ， ， ， ，故③正确； 故选：B． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．将解析式化为顶点式，然后根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解： ． 则顶点坐标为． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）二次函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的性质．化成顶点式，根据抛物线顶点式直接可求顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的顶点坐标是． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 【答案】①③/③① 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据抛物线的图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，逐一判断各结论，即可得到结果． 本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的图象开口向上， ， 故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 故结论②错误； 抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的图象开口向上，点在抛物线上， ， 故结论③正确； 抛物线的图象与y轴交点坐标为，点在抛物线上且， 或， 故结论④错误， 故正确结论的序号为①③． 故答案为：①③． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知点，在抛物线上．若，则 0．（用“”或“”连接） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图形和性质，求出抛物线的对称轴，根据函数值的大小关系确定开口方向，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点，在抛物线上，且， ∴在对称轴的左侧随着的增大而减小， ∴抛物线的开口向上， ∴； 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）请用一般式写出一个二次函数的表达式 ，使它满足以下两个条件：①图象经过原点，②函数的最小值为． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，设函数为由图象过原点，从而，再由函数的最小值为，可知，进而可以得解． 【详解】解：由题意，设函数为 ∵图象过原点， ∴． 又∵函数的最小值为 ∴ ∴若取，则b可取． 综上，函数的表达式可以是 故答案为：（答案不唯一）． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数，，，为抛物线上的点，若，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得二次函数的对称轴为直线，根据可知，然后根据“开口向上，离对称轴越近，其函数值越小”可建立不等式进行求解． 【详解】解：由二次函数可得：对称轴为直线， ∵，，为抛物线上的点，且， ∴， ∴， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）； 故答案为． 地 城 考点04 待定系数法求二次函数表达式 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．有最小值 D．顶点坐标是 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，把题目中的函数解析式化为顶点式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，即可作出判断．解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数的性质． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次项系数，则图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时取得最大值，故选项C不符合题意； 顶点坐标是，故选项D符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）二次函数图像的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数顶点坐标的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 利用配方法化为顶点式即可得解． 【详解】解：， ∴顶点为， 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等，①由图象得，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断．能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， 图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（为任意实数）， ∴，故③正确； ④由②得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，把，代入整理后即可判断①；利用二次函数的性质，根据二次函数的最值即可判断②；把代入解析式即可判断③．正确理解二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：函数，，是常数，且图象经过，， ， 解得，故①正确； 如果为顶点时，抛物线开口向下， 那么时，，故②不正确； ， ， ， ， ， ，故③正确； 故选：B． 二、填空题 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的顶点坐标是 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．将解析式化为顶点式，然后根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解： ． 则顶点坐标为． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）二次函数图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数的性质．化成顶点式，根据抛物线顶点式直接可求顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的顶点坐标是． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 【答案】①③/③① 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】根据抛物线的图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，逐一判断各结论，即可得到结果． 本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的图象开口向上， ， 故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 故结论②错误； 抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的图象开口向上，点在抛物线上， ， 故结论③正确； 抛物线的图象与y轴交点坐标为，点在抛物线上且， 或， 故结论④错误， 故正确结论的序号为①③． 故答案为：①③． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知点，在抛物线上．若，则 0．（用“”或“”连接） 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图形和性质，求出抛物线的对称轴，根据函数值的大小关系确定开口方向，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点，在抛物线上，且， ∴在对称轴的左侧随着的增大而减小， ∴抛物线的开口向上， ∴； 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）请用一般式写出一个二次函数的表达式 ，使它满足以下两个条件：①图象经过原点，②函数的最小值为． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，设函数为由图象过原点，从而，再由函数的最小值为，可知，进而可以得解． 【详解】解：由题意，设函数为 ∵图象过原点， ∴． 又∵函数的最小值为 ∴ ∴若取，则b可取． 综上，函数的表达式可以是 故答案为：（答案不唯一）． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数，，，为抛物线上的点，若，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得二次函数的对称轴为直线，根据可知，然后根据“开口向上，离对称轴越近，其函数值越小”可建立不等式进行求解． 【详解】解：由二次函数可得：对称轴为直线， ∵，，为抛物线上的点，且， ∴， ∴， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）； 故答案为． 地 城 考点05 二次函数的平移 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将二次函数向上平移3个单位长度得到对应的函数解析式是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，正确掌握平移规律是解题关键．直接利用二次函数的平移规律“上加下减”，进而得出答案． 【详解】解：将二次函数向上平移3个单位长度得到对应的函数解析式是，即， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）将二次函数的图象向下平移3个单位长度所得图象的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握图象的平移规律“上加下减”是解题的关键． 根据函数图象平移规律，可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度所得图象的解析式为， 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）将抛物线向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．根据抛物线的平移规律，即得答案． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了抛物线的平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 所得新抛物线的解析式为，即：， 故选：A． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规则；先把一般式化为顶点式，再根据二次函数图象的平移规则：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【详解】解：， 将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的解析式为：， 新抛物线的顶点坐标为， 故选：． 6．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）将抛物线的图象向上平移3个单位后，所得抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握二次函数图象的平移法则左加右减，上加下减是关键． 直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减进而得出答案． 【详解】解：将抛物线的图象向上平移3个单位后， 所得抛物线的表达式是． 故选：C． 7．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的图象的平移，利用二次函数平移规律 “上加下减，左加右减”的原则进行解答即可，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴平移后的函数关系式是， 故选：． 二、填空题 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）将二次函数的图像向右平移3个单位长度，得到的函数图像表达式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“上加下减、左减右加”进行作答即可． 【详解】解：∵二次函数的图像向右平移3个单位长度， ∴得到的函数图像表达式是， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是正确掌握平移规律． 根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后的函数表达式为，即． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏南通·期末）将抛物线向右平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数的图象的平移．首先根据二次函数的顶点式解析式可以得到抛物线的顶点坐标是，又因为抛物线向右平移个单位长度，所以顶点也要向右平移个单位长度，则顶点的横坐标加，纵坐标不变． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 把抛物线向右平移个单位长度后， 得到的新抛物线的顶点坐标为， 即． 故答案为： ． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）在同一平面直角坐标系中，函数的图像向左平移4个单位长度得到的函数图像相应的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：函数的图像向左平移4个单位长度得到的函数图像相应的函数表达式为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是关键．根据抛物线图象的平移法则“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度可得：，再向下平移2个单位长度得到 故答案为： 13．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 利用二次函数平移规律“左加右减，上加下减”求出答案即可． 【详解】解：把二次函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，平移后的函数表达式是：． 故答案为：． 地 城 考点06 二次函数与方程、不等式的关系 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知抛物线与轴两个交点间的距离为4，将此抛物线向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到一条新抛物线，则新抛物线与轴两个交点间的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换等知识点，把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程成为解题的关键． 设抛物线与x轴两个交点的坐标为，则抛物线向右平移5个单位长度后所得抛物线与x轴两个交点的坐标为，利用交点式写出此时抛物线的解析式为，接着把抛物线解析式为向上平移3个单位长度所得新抛物线解析式为，然后解方程得到新抛物线与x轴的交点坐标，从而得到新抛物线与x轴两个交点间的距离． 【详解】解：设抛物线与x轴两个交点的坐标为， 把抛物线向右平移5个单位长度后所得抛物线与x轴两个交点的坐标为， 此时抛物线解析式为， 把抛物线解析式为向上平移3个单位长度所得新抛物线解析式为， 整理得， 当时，， ，解得：， ∴新抛物线与x轴的交点坐标为， ∴新抛物线与x轴两个交点间的距离． 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中n为任意实数）．中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据时，即可判断②；根据函数对称，与时，的值相等，即，即可判断③；由，即可判断④；根据时，函数的值最大，即可判断⑤． 【详解】解：∵开口向下， ， ∵抛物线和y轴的正半轴相交， ， ∵对称轴为， ， ，故①正确； 当时，，则， ，故②正确； 函数的对称轴为， 所以与时，的值相等，即， ，故③正确； ∵，，则， ∴， ∴，故④错误； ∵当时，二次函数有最大值， 当m为任意实数时，有， ，故⑤错误； 综上，正确的是①②③， 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，抛物线经过，对称轴为直线．有如下结论：①；②；③对于任意正数m，总有；④对于a的每一个确定的值，若一元二次方程（P为常数，且）的根为整数，则满足条件的P的值有且只有三个．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系、点的坐标特征．根据二次函数图象与根据二次函数图象与系数的关系，点的坐标特征进行解答即可． 【详解】解：①由图象可知：，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； ②∵当时，， ∴，故②不符合题意； ③∵，m为正数， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； ④由对称性可知抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，， ∴交点的横坐标为整数的情况有，1或，0或，共3种情况， ∴P的值有且只有三个， 故④符合题意， 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）二次函数（，，是常数，且）的图象的顶点坐标为，且与轴的两个交点位于原点两侧，则，，中为正数的（   ） A．只有 B．只有 C．只有 D．均为正数 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等知识点，熟练掌握其性质并能把求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程是解决此题的关键．先利用顶点式写出抛物线解析式得即，根据根的判别式的意义得到，解得，所以，再利用根与系数的关系得，所以，即． 【详解】解：图象的顶点坐标为， 可设抛物线解析式为，即， ，， 抛物线与轴的两个交点， ，解得， ， 抛物线与轴的两个交点位于原点两侧， ， ， ， 故选：． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）抛物线与x轴的交点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数，当时，抛物线与x轴有两个交点，当时，抛物线与x轴有一个交点，当时，抛物线与x轴有没有交点，根据解析式列式判断，即可解题． 【详解】解：， 又， ， 抛物线与x轴的交点个数是个， 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期末）下表给出了二次函数中的部分对应值，可以估计方程的一个解的取值范围是（   ） … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根 【分析】本题考查了利用二次函数求一元二次方程的解，根据表中的数据可知当时，，当时，，可知当时，对应的值的取值范围是． 【详解】解：从表中可以看出： 当时，， 当时，， 当时，对应的值的取值范围是． 故选：C ． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）关于二次函数的图象，下列说法正确是（   ） A．与x轴没有交点 B．经过原点 C．有最大值 D．对称轴：直线 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与轴的交点问题，根据二次函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴与x轴有两个交点，故A错误，不符合题意； 当时，，故经过原点，B错误，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向上，有最小值，故C错误，不符合题意； ∵， ∴对称轴：直线，故D错误，不符合题意； 故选：B． 8．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图为二次函数的图象，则下列说法正确的个数是（　　） ①二次函数的最大值为；②；③；④当时，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值及抛物线与x轴的交点，根据所给二次函数图象，得出抛物线的对称轴为直线，再结合抛物线的对称性及增减性对所给说法依次进行判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知， 因为抛物线与x轴的交点坐标为和， 所以抛物线的对称轴为直线． 又因为抛物线开口向下， 所以当时，函数取得最大值为．故①正确． 因为抛物线经过点， 所以．故②错误． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以．故③错误． 当时，抛物线在x轴上方，即， 所以当时，．故④正确． 综上，正确的结论是①④，共2个， 故选：B． 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查考查一元二次方程的根的情况与二次函数的图象与x轴交点的个数之间的关系．根据题意得到的最大值是8，进而求解即可． 【详解】解：∵的图象顶点纵坐标为8， ∴的最大值是8 ∴ ∴关于x的方程没有实数根． 故选：D． 10．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … … 根据以上信息，关于x的一元二次方程的两个实数根中，其中的一个根最接近于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了利用二次函数求对应一元二次方程的近似根，理解“当自变量取两个值，对应的函数值由负数变为正数时，则对应方程的一个根在两个自变量之间，求函数值的绝对值，取较小绝对值所对应的自变量的值为近似根．”是解题的关键．根据表格中的数据进行判断即可． 【详解】解：根据题意，设方程的一个根为， 当时， ， 当时， ， ， ， ， 故选：C． 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）关于抛物线（m 是常数），下列结论正确的是（     ） ①若此抛物线与x 轴只有一个公共点，则； ②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则； ③若点在抛物线上，则 ； ④无论m 为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、根据二次函数的对称性求函数值、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的对称性；①由求解即可判断；②由求解即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的对称性求解即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，设直线与轴交于点，过点A作直线于点B，求出，则即可判断． 【详解】解：①此抛物线与x 轴只有一个公共点， ， 解得：， 故①不正确； ②此抛物线与坐标轴只有一个公共点， ， 解得：， 故②正确； ③抛物线， 对称轴为直线， ，， ， 故③不正确； ④抛物线， 抛物线的顶点为：， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 直线直线， 如图，设直线与轴交于点，过点A作直线于点B，则， 当时，，解得：， ， 是等腰直角三角形， ， 抛物线的顶点到直线的距离都等于， 故选：． 二、填空题 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）把二次函数向上平移个单位长度（），如果平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点，那么应满足条件 ． 【答案】且 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象的平移 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换．先写出平移后的抛物线解析式为，根据题意平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点，则根据根的判别式的意义得到且，然后解不等式组得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数向上平移k个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有三个公共点， ∴平移后所得抛物线与x轴有两个公共点，且不经过原点， ∴且， 解得且， ∴k的取值范围为且． 故答案为：且． 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）二次函数的图像与x轴交于A、B两点，将函数的图像向上平移，平移后的图像与x轴交于C、D两点．若，则平移后的图像对应的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数象上点的坐标特征，二次函数的性质，正确解题意是解题的关键． 根据二次函数的性质得到，设将函数的图象向上平移个位，根据，得到，根据平移的性质得到平移后的图象对应的函数表达式为，解方程，，根据根与系数的关系得到，，根据，得到，即，解得，于是得到结论． 【详解】解；， 顶点坐标为为， 二次函数的图象与轴交于A、B两点， 令，则，解得或， ，， ， ， ， 设将函数的图象向上平移个单位， 平移后的图象对应的函数表达式为， 令，则，设，， ，， ， ， ，即， 解得， 平移后的图象对应的函数表达式为． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解成为解题的关键． 先根据二次函数图象的性质确定抛物线与与x轴的交点横坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的关系即可解答． 【详解】解：由图象得：抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的根为：，． 故答案为：，． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，二次函数．与一次函数的图象交点的横坐标分别为，3，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组）．依据题意，由可得，结合与关于y轴对称，与关于y轴对称，可以作图，再由不等式的解集是的图象在函数下方对应的自变量的取值范围，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴， 又∵与关于y轴对称，与关于y轴对称， ∴作图如下． ∵， ∴此时不等式的解集是的图象在函数下方对应的自变量的取值范围． ∴． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和抛物线都经过点和点，当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握与数形结合． 由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象上方对应的所有的的取值，然后数形结合求解即可． 【详解】解：由题意知，当时，则的取值范围是抛物线图象在直线图象上方对应的所有的的取值， ∵图象交于点，点， ∴当时，或， 故答案为：或． 17．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程较小的根是 ． 【答案】 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 是常数，与一次函数图象的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 利用抛物线与直线的两个交点的意义得到当或时，，于是得到方程的解，从而确定方程较小的根。 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 当或时，， 方程的解为，， 方程较小的根是， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·江苏常州·期末）若抛物线的图像与轴有且只有一个交点， ． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，把求二次函数（是常数，）与轴的交点问题转化为解关于的一元二次方程，决定抛物线与轴的交点个数． 根据抛物线与轴有且只有一个交点，可得方程有两个相等的实数根，再利用根的判别式得到，进而求出的值． 【详解】解：抛物线的图像与轴有且只有一个交点， 方程有两个相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）定义：若一次函数的图像与二次函数的图像有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的“轴点二次函数”．请你写出一次函数的一个轴点二次函数为 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由一次函数为，从而与轴的交点为，与轴的交点为，又设二次函数为，从而二次函数为一次函数的“轴点二次函数”，则，则，，可得，最后可以判断得解． 【详解】解：由题意，一次函数为， 其与轴的交点为，与轴的交点为． 设二次函数为， 又二次函数为一次函数的“轴点二次函数”， ． ，． ． 故答案为：（答案不唯一）． 20．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）已知二次函数的图象与轴没有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴没有公共点， ∴关于x的一元二次方程没有实数解， ∴， 解得， 即m的取值范围为． 故答案为：． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，点在该图像上．有下列结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在2和3之间；④对于任意实数，恒成立；⑤点，在该图像上，当实数时，．其中，正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】②③④⑤ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，即可判断①；把和代入抛物解析式可对②选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在与之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对③进行判断；根据时，，则，来判断④；利用二次函数的增减性对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 把代入抛物线得， 而， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标在与之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在与之间， ∴一元二次方程的正实数根在2和3之间，故③正确； ∵抛物线开口向上， ∴时，， ∴ ∴， ∴，故④正确； ∵点，在抛物线上， ∴当点都在直线的右侧时，，此时； 当点在直线的左侧，点在直线的右侧时，，此时且，即， ∴当或时，即当实数时，，故⑤正确， ∴正确的有②③④⑤， 故答案为：②③④⑤． 22．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y 5 0 则方程的所有解的和是 ． 【答案】4 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、已知抛物线上对称的两点求对称轴、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键． 先根据所给数据求出对称轴，进而求出点在抛物线上的对称点，点及其对称点的横坐标即为方程的解，然后即可求出和． 【详解】解：解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得： 当时，， ∴点关于对称轴的对称点为点， ∴关于x的方程的解是，． 方程的所有解的和是． 故答案为：4． 23．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）对于一个函数，当自变量x取n时，其函数值y等于，我们称n为这个函数的“三倍数”．若二次函数有且只有一个“三倍数”，则c的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查二次函数的性质，新定义，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数与方程的关系解答． 先设二次函数的三倍点为，然后即可得到方程，再根据二次函数有且只有一个“三倍数”，可知方程有两个相等的实数根，从而可以求得的值． 【详解】解：设二次函数的三倍点为， 则， ， ， ∵二次函数有且只有一个“三倍数”， ， 解得：， 故答案为：2． 试卷第1页，共3页 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $