专题06 相似三角形 6大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

专题06 相似三角形（小题） 6大高频考点概览 考点01 比例性质与黄金分割 考点02 相似三角形与三角形综合 考点03相似三角形与特殊四边形综合 考点04 相似三角形与圆综合 考点05 位似图形的性质 考点06 相似三角形的应用 地 城 考点01 比例性质与黄金分割 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）A市建设规划图上，城区南北长约，而A市城区南北实际长，规划图采用的比例尺是 ． 2．（24-25九年级下·江苏南京·期末）若，则 ． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若，则 ． 4．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）若，则下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）王老师的电脑显示器分辨率为，当她全屏浏览尺寸为（“”表示像素）的图片时，由于不成比例（），画面两边会出现黑色区域，若成比例就不会出现此问题，王老师全屏浏览以下四种尺寸的图片时，画面四周都不会出现黑边的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形，它给人以美感．若用长的铁丝围成一个黄金矩形，则它的较长一边的长为 ． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知，且，则 ． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若，则 ． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知，则的值为 ． 地 城 考点02 相似三角形与三角形综合 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）若，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，连接，若，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点E、F，则的值为（  ） A． B． C． D．2 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，，且，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 5．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知，相似比为，若，则的长为（   ） A．4 B．9 C．12 D．18 6．（24-25九年级上·江苏南通·期末）若，且，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知，，的面积为1，则的面积为（   ） A．1 B．3 C．9 D．81 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．任意两个等边三角形都相似 B．任意两个直角三角形都相似 C．任意两个菱形都相似 D．任意两个矩形都相似 10．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点D在上，点E，F在上，且，，则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是内部的一点，且，．若，，则的长为 ． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知等边的边长6，点D、E分别在、边上且，，作交边于点F，则的长是 ． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，矩形的四个顶点在等腰的边上，，则矩形面积的最大值为 ． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若两个相似三角形面积之比为，则它们的相似比为 ． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如果两个相似三角形对应角平分线之比为，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 ． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，过点B作，交的平分线于点D，与相交于点E．若，，则的长为 ． 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）在中，，，则的重心和外心的距离为 ． 18．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，是斜边上的中线，是的重心，于，则 ． 19．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是上一点，且．若，则的长为 ． 20．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线分别相交于点和点．若，则 ． 地 城 考点03 相似三角形与特殊四边形综合 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，E为边上的中点，交于点O，若，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．12 D．24 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，将矩形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为，那么线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在边长为4的正方形中，点E在边上，，交于点F，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接，．若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，点E在矩形的对角线上，连接．过点C作，过点D作，与相交于点F，连接，点H是线段的中点，连接和，下列结论：①，且相似比为：②点D，E，C，F在同一个圆的圆周上：③的面积随线段长度的增大而增大；④当面积大于9时，线段长的范围是．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知矩形的边长，，若将矩形绕点C旋转，使点B的对应点恰好落在上，连接，则的长为 ． 7．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为 ． 8．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在正方形中，点在上，，是的中点，连接，，相交于点，若，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且．连接，交于点，则与的面积的比为 ． 10．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）矩形中，点在上，，点为延长线上一点，满足，连接交于点，若，则的长为 ． 地 城 考点04 相似三角形与圆综合 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，分别是，边上的高，连接，是的外接圆．若，，则的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知，相似比为，若，则的长为（   ） A．4 B．9 C．12 D．18 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点C是半圆上一点，是直径且，将弧沿翻折交于点D，再将弧沿翻折交于点E，若E是弧的中点，则阴影部分面积为（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知，如图点A是直线上任意一点，点B在以为圆心1为半径的圆上，以AB为底边作等腰直角（A、B、C按逆时针顺序排列），连接OC，则OC的最小值是 ． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，的直径，、是它的两条切线，直线与相切于点E，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，直径是上一动点，作的垂直平分线，交于D、E两点，连接、．当点与点重合时， ；在点的运动过程中，的最大值为 ． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为 ． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的直径，的角平分线所在直线交于点．若，，则的长为 ，的值为 ． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边长为8，的半径为4，点P是上一个动点，则的最小值为 ． 10．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，，以边上一点为圆心，作与边相切，若与边只有一个公共点，则的取值范围是 ． 地 城 考点05 位似图形的性质 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，与位似，位似中心为点O， ，的面积为18，则面积为（   ） A．54 B．24 C．32 D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，则和的相似比为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似比为．若三角尺的一边长为，则其投影三角形的对应边的长为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，点、，以为位似中心，将放大2倍，则点的对应点(在第四象限)的坐标是 ． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的面积之比为 ． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于 ． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，和是位似图形，点O是位似中心，．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 地 城 考点06 相似三角形的应用 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，小杰从灯杆的底部点B 处沿水平直线前进到达点C 处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B 处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（     ） A．3.5米 B．4.5米 C．5 米 D．5.5 米 二、填空题 3．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，．则建筑物的高为 m． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，左右并排的两颗大树的高分别为，，两树底部的距离，点与树的根部点，点在一条直线上，，小颖估计自己的眼睛（点）离地面，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为 ． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形（小题） 6大高频考点概览 考点01 比例性质与黄金分割 考点02 相似三角形与三角形综合 考点03相似三角形与特殊四边形综合 考点04 相似三角形与圆综合 考点05 位似图形的性质 考点06 相似三角形的应用 地 城 考点01 比例性质与黄金分割 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）A市建设规划图上，城区南北长约，而A市城区南北实际长，规划图采用的比例尺是 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例尺图上距离实际距离是解题的关键．根据比例尺的公式计算即可． 【详解】解：由题意得，比例尺． 故答案为：． 2．（24-25九年级下·江苏南京·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查比例的性质及代数式的求值相关知识点，可通过设未知数的方法，将和用同一个未知数表示，再代入到要求的式子中进行计算． 【详解】解：∵， ∴设，，代入中， 得到， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．设，则，代入原式计算即可． 【详解】解：设， ∴， ∴ 故答案为： 4．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）若，则下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、， ， 故A选项不符合题意； B、， ， 故B选项不符合题意； C、， ， ， 故C符合题意； D、， ， ， 故D不符合题意； 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）王老师的电脑显示器分辨率为，当她全屏浏览尺寸为（“”表示像素）的图片时，由于不成比例（），画面两边会出现黑色区域，若成比例就不会出现此问题，王老师全屏浏览以下四种尺寸的图片时，画面四周都不会出现黑边的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，理解题意并掌握比例的化简是解题的关键．由题意得，当比例不变就不会出现黑色区域，比例化为最简比得到，再逐个分析选项中给出的分辨率的比例化简后是否是，即可解答． 【详解】解：， 由题意得，当比例不变就不会出现黑色区域， A选项：，比例改变，四周出现黑边，不合题意； B选项：，比例改变，四周出现黑边，不合题意； C选项：，比例相同，四周不会出现黑边，符合题意； D选项：，比例改变，四周出现黑边，不合题意． 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】根据题意可知，则有即可求解．此题考查比例的性质，解题关键在于掌握，间的比例关系． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在矩形中，与的比为黄金比，这样的矩形称为黄金矩形，它给人以美感．若用长的铁丝围成一个黄金矩形，则它的较长一边的长为 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，一元一次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．设它的较长一边的长为，则它的较短一边的长为，然后根据题意可得：，从而进行计算即可解答． 【详解】解：设它的较长一边的长为，则它的较短一边的长为， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的根， 它的较长一边的长为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知，且，则 ． 【答案】3 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．根据比例的性质，设，代入已知等式求出的值，即可求出所求． 【详解】解：设，则， 故答案为：3． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若，则 ． 【答案】/ 【知识点】比例的性质 【分析】此题考查了比例的性质，掌握比例的基本性质是解题的关键，较简单． 根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案． 【详解】解：∵， ， ， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知，则的值为 ． 【答案】/ 【知识点】分式的求值、比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质和分式的求值，首先根据可得，等量代换可，分子、分母约去即可求出代数式的值 ． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 地 城 考点02 相似三角形与三角形综合 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）若，且，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 根据相似三角形的性质得到，代入数值计算即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，连接，若，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，由，求得，则，所以，由，证明，则，，可判断A不符合题意，B不符合题意；由，得，则，可判断C符合题意；而，可求得，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 故A不符合题意，B不符合题意； ∴， ∴， ∴， 故C符合题意； ∵， ∴， 故D不符合题意， 故选：C． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交于点E、F，则的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】重心的有关性质、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的重心，三角形中位线定理，取中点M，连接，取中点M，连接，，点E为的中点，由三角形中位线定理推出，判定，推出，得到，求出，即可得出结果． 【详解】解：取中点M，连接， ∵点G是的重心， ，点E为的中点， ∴是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，，且，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定好性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．由已知可得，再证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知，相似比为，若，则的长为（   ） A．4 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形对应边的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为，， ∴，， 解得， 经检验，符合题意， 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期末）若，且，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解：，且，，， ，即， ， 故选：D． 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用相似三角形的性质求解 【分析】此题考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理．根据三角形内角和定理求出∠ABD=30°，根据相似三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知，，的面积为1，则的面积为（   ） A．1 B．3 C．9 D．81 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴． 故选：C ． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．任意两个等边三角形都相似 B．任意两个直角三角形都相似 C．任意两个菱形都相似 D．任意两个矩形都相似 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似图形，利用相似三角形和相似多边形的判定方法解答即可．解题的关键是掌握相似图形的定义． 【详解】解：A、任意两个等边三角形的内角等于，所以任意两个等边三角形都相似，故选项符合题意； B、任意两个直角三角形有一对直角相等，但直角的夹边不一定成比例，故都任意两个直角三角形不一定相似，故选项不符合题意； C、任意两个菱形对应角不一定相等，故任意两个菱形不一定相似，故选项不符合题意； D、任意两个矩形对应边不一定成比例，故任意两个矩形不一定相似，故选项不符合题意． 故选：A． 10．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，点D在上，点E，F在上，且，，则下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，证明三角形相似是解题的关键． 由平行线分线段成比例可得，，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：，， ，，，， ，，， ， ， 故选：. 二、填空题 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是内部的一点，且，．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，延长交与点，同角的补角相等，得到，三角形的内角和定理推出，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：延长交与点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知等边的边长6，点D、E分别在、边上且，，作交边于点F，则的长是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由等边三角形的性质得，，而，，所以，，因为，所以，则，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：是边长为6的等边三角形， ，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 13．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，矩形的四个顶点在等腰的边上，，则矩形面积的最大值为 ． 【答案】6 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】作于点，交于点，因为，，所以，则，由，证明，得，设矩形的面积为，，则，求得，所以，当时，，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，作于点，交于点，， ，， ， ， 矩形的边在上，顶点、分别在、上， ∴， ，， ， ， 设矩形的面积为，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 整理得， ， 当时，， 矩形面积的最大值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若两个相似三角形面积之比为，则它们的相似比为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴它们的相似比为； 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如果两个相似三角形对应角平分线之比为，其中较小的三角形面积为2，那么另一个三角形的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形中对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．两个相似三角形对应角平分线之比等于相似比，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可假设未知数，列出方程，求得结果． 【详解】解：根据题意可得两个相似三角形的相似比为，设较大三角形的面积为，则： ， 解得：， ∴另一个三角形的面积为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，过点B作，交的平分线于点D，与相交于点E．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．作于点F，交的延长线于点H，证明，得到，进一步得到，则，得到，由勾股定理得到，得到，则，再证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：作于点F，交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）在中，，，则的重心和外心的距离为 ． 【答案】/ 【知识点】重心的有关性质、求三角形外心坐标 【分析】本题主要考查了三角形的内心和外心，掌握三角形的内心距离对边的距离为相应中线的三分之一成为解题的关键． 先根据题意画出示意图，再结合直角三角形外心的位置及内心的性质即可解答． 【详解】解：如图：点O是的外心，点是的重心， ∵点O是的外心， ∴是的中线，即， ∵点是的重心， ∴． ∴的重心和外心的距离为． 故答案为：．    18．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，是斜边上的中线，是的重心，于，则 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．过C点作于E，如图，先利用勾股定理计算出，再利用面积法求出，接着根据G是的重心得到，然后证明，利用相似比可求出的长度． 【详解】解：过C点作于E，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵G是的重心， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是上一点，且．若，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，得出，再结合相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：由题知，， ， ， ， ∴， 则， ， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：2． 20．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，直线与直线分别相交于点和点．若，则 ． 【答案】13 【知识点】利用平行四边形的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，过点作，与，分别相交于点，，可得四边形和四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质求出，进而求出的长，再证明，利用相似三角形的性质求出即可解答．解题的关键是正确添加辅助线． 【详解】解：过点作，与，分别相交于点，， ， 四边形和四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：13． 地 城 考点03 相似三角形与特殊四边形综合 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，E为边上的中点，交于点O，若，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行边形的性质，相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答关键． 根据平行四边形的性质求得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方来求出，同理可得求得，再根据平行四边形的一条对角线将这个平行四边形分成面积相等的两个部分来求解． 【详解】解：中，为边上的中点， ，． ， ，， ， ，， 即， 同理可得， ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，点E、F分别在边、上，将矩形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为，那么线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握用勾股定理构造方程是解题的关键． 连接，过点作于点，证明四边形是矩形，则，，先求出四边形的面积，再证明和相似，得，设，，，则，在中，由勾股定理得，则，， ，四边形的面积， 进而得，由此解出解得，，进而即可得出线段的长． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， ，在矩形中，，， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， 四边形与四边形的面积比为， 四边形的面积为：， 由翻折的性质可得， ，， ， ， ， ， 设，，， 则， 在中， 由勾股定理得：， 即， 解得，， ， ， 四边形的面积， ， 由此解出解得或， 当时， ， 当时， ； 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在边长为4的正方形中，点E在边上，，交于点F，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由正方形的性质得然后证明，运用面积比等于相似比的平方进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴与的面积比是， 故选：C 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接，．若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 如图，连接，，，构成直角三角形以及相似三角形，根据，可得，设，则，，根据勾股定理可得方程求出的长以及的长，即可得到所求的比值． 【详解】解：如图，连接，，， 由旋转可得，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵中，， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴中，由勾股定理得， ∴． 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在矩形中，，，点E在矩形的对角线上，连接．过点C作，过点D作，与相交于点F，连接，点H是线段的中点，连接和，下列结论：①，且相似比为：②点D，E，C，F在同一个圆的圆周上：③的面积随线段长度的增大而增大；④当面积大于9时，线段长的范围是．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． ①由勾股定理可得，再证明，根据相似三角形的性质即可判定①；②如图：连接，然后说明，即可判定②；③先证明四边形是矩形，然后求得为定值，即可判定③；④设，则，，则，再运用二次函数的性质求得x的取值范围即可判定④． 【详解】解：①如图： ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，且相似比为，即①正确； ②如图：连接， ∵，点H是线段的中点， ∴， ∴点D，E，C，F在同一个圆的圆周上，即②正确； ③由②可得：， ∴点H在的垂直平分线上， 如图：过点H分别作，，垂足分别是M、N， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴的面积不随线段长度的增大而增大，即③错误； ④由①可知，且相似比为， 设，则，， ∴， 当面积大于9，即， ∵， ∴抛物线开口方向向下， 当时，解得：或， ∴的x的取值范围为：， ∴，即④正确； 综上，正确的有①②④共3个． 故选B． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知矩形的边长，，若将矩形绕点C旋转，使点B的对应点恰好落在上，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过点作于点，先求出，再由旋转的性质证明，得到，然后由等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 矩形的边长，， ，， ， ， ， 在中，， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识点是解题关键． 7．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，矩形中，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用矩形性质求出对角线长度，结合线段关系确定相似三角形，通过相似比求出相关线段长度，再用勾股定理计算的长． 由矩形性质和勾股定理求对角线的长；根据得，利用证；由相似比求，得；在中用勾股定理求 ． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴对角线． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴， ． 又∵， ，解得． ∵， ∴． 在 中，，，， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在正方形中，点在上，，是的中点，连接，，相交于点，若，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据正方形的性质和勾股定理求得，过点作于点，过点作于点，得四边形是矩形，根据，证明，证明，得，，进而解出和． 【详解】解：在正方形中，， 且，是的中点， ，，， 在中，， ． 如图，过点作于点，过点作于点． ， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，平行的性质和判定，平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，根据题意添加辅助线是解题关键． 9．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且．连接，交于点，则与的面积的比为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由平行四边形的性质得，，则，而，所以，再证明，得，所以与的面积的比为，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 与的面积的比为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）矩形中，点在上，，点为延长线上一点，满足，连接交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，求出是解题的关键．首先可得是的中位线，再说明，可得的长，从而得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ∴， ， ， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 地 城 考点04 相似三角形与圆综合 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，分别是，边上的高，连接，是的外接圆．若，，则的半径为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，连接、，根据等腰直角三角形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据等腰直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 又∵，， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知，相似比为，若，则的长为（   ） A．4 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形对应边的比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为，， ∴，， 解得， 经检验，符合题意， 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点C是半圆上一点，是直径且，将弧沿翻折交于点D，再将弧沿翻折交于点E，若E是弧的中点，则阴影部分面积为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、求其他不规则图形的面积、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，，，过点作于，过点作于．由，得到，弓形的面积弓形的面积，则阴影部分面积四边形的面积，下面证明，设，而，则，由，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，过点作于，过点作于． ， ， ， ∴弓形的面积弓形的面积， ∴阴影部分面积四边形的面积 ， ， 是的中点， ， ，而 ，， 设，则， ， 是直径， ， ， ， ， ∴，， ∵， ∴ ∴， 而，， ∴， ∴， 设，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 解得：（舍负）， ∵四边形的面积， ∴阴影部分面积 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，扇形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用特殊角解决问题是解答本题的关键． 二、填空题 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知，如图点A是直线上任意一点，点B在以为圆心1为半径的圆上，以AB为底边作等腰直角（A、B、C按逆时针顺序排列），连接OC，则OC的最小值是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、一次函数与几何的综合、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：顺时针旋转得到，的对应点为，连接，则，；根据等腰直角三角形的性质推得得到，只需求出的最小值；如图：当共线且垂直于直线时，取最小值；然后说明点，运用两点间距离公式得到，进而得到的最小值为，最后代入即可解答． 【详解】解：如图：顺时针旋转得到，的对应点为，连接，则，， ∴， ∵以AB为底边作等腰直角， ∴，， ∴ ∴，即， ∴ ∴， ∴即， 要求的最小值，直接求得的最小值即可， 如图：当共线且垂直于直线时，取最小值， 设直线与y轴的交点为E，过A作轴与D， 当时，，即， ∴， ∵直线与y轴正方向的夹角为， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴，即， ∴， ∴，即的最小值为． ∴OC的最小值为． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，的直径，、是它的两条切线，直线与相切于点E，则的值为 ． 【答案】9 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题重点考查切线的性质定理，相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，，由的直径是它的两条切线，得于点，于点，则，而直线与相切于点，则，，所以，求得，则，所以，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】连接，， ∵的直径是它的两条切线， ∴， 于点于点， ， ． ∵直线与相切于点， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，直径是上一动点，作的垂直平分线，交于D、E两点，连接、．当点与点重合时， ；在点的运动过程中，的最大值为 ． 【答案】 2 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、利用垂径定理求值、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】当C和O重合时，连接，根据线段垂直平分线的性质得出，根据垂径定理得出，即可求解；设、相交于F，连接，设（），则，证明，并结合垂径定理可求出，在中，根据勾股定理求出，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：当C和O重合时，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 设、相交于F，连接，设（），则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴ ， ∴当即时，取最大值为， 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂径定理，弧与弦的关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、圆周角定理、求特殊三角形外接圆的半径、相似三角形的判定与性质综合 【分析】作的外接圆，由圆周角定理可得，所以，再作于点，可证，进而可得，再利用垂线段最短和三角形三边关系即可得解． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过作于点， 设， ， ， 过作于点，过作于点，则， ， ， ，， ， ，即， ， ， 即， 解得， 的半径最小值为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形的外接圆、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的直径，的角平分线所在直线交于点．若，，则的长为 ，的值为 ． 【答案】 6 / 【知识点】用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，根据勾股定理求出的值；连接，，根据同弧或相等的弧所对的圆周角相等和角平分线的性质得出及是等腰直角三角形，求出的长，再根据相似三角形的性质得出各线段的比例关系，求出的长，即可求的值． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴根据勾股定理得， 连接，， ∵平分，， ∴， 又∵，（同弧所对的圆周角相等）， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，等腰直角三角形的性质等，根据相似三角形的性质得出线段的比例关系是解题的关键． 9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，正方形的边长为8，的半径为4，点P是上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，连接，在上截取，可证得，从而．即当点D，点P，点E三点共线时，有最小值，即有最小值． 【详解】解：如图，连接，在上截取， ∵正方形的边长为8，的半径为4， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D、P、E共线时，最小， ∵， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 10．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，，以边上一点为圆心，作与边相切，若与边只有一个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】分两种情况讨论，一是与相切于点，此时与边只有一个公共点，由，，，求得，设与相切于点，连接、，可证明，，则，求得，则，求得；二是经过点，设此时与相切于点，连接，则，由，得，则，当时，与边只有一个公共点，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解∶如图，当与相切于点，此时与边只有一个公共点 ∵，，， ∴ 设与相切于点，连接、，则，． ∴ ∴，． ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得； 如图，经过点，设此时与相切于点，连接，则， ∴， 解得 ∴ 当时，与边只有一个公共点， ∴ ∴， 综上所述，的取值范围是或， 故答案为∶或． 【点睛】此题重点考查勾股定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 地 城 考点05 位似图形的性质 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，与位似，位似中心为点O， ，的面积为18，则面积为（   ） A．54 B．24 C．32 D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：， ， 与位似， ，， ， ， ， 的面积为18， 面积为32， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，且，则和的相似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似图形、相似比，位似图形的相似比就是位似图形的位似比，位似图形的位似比就等于位似中心与对应点连线段的长度之比． 【详解】解：， ， ， 和的相似比为． 故选： B． 3．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似比为．若三角尺的一边长为，则其投影三角形的对应边的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．设边长为的投影三角形的对应边长为，利用相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质求出即可． 【详解】解：设边长为的投影三角形的对应边长为， 根据题意得， 解得． 故选：B． 二、填空题 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，点、，以为位似中心，将放大2倍，则点的对应点(在第四象限)的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】此题考查了位似图形与坐标的关系．注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标比等于．根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，即可求得答案． 【详解】解：∵点的坐标分别为点，以原点为位似中心，把放大为原来的倍， 则点的对应点 在第四象限的坐标是：． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的面积之比为 ． 【答案】/ 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质．根据位似图形的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， 设的面积为，设的面积为， 和是以点为位似中心的位似图形， ． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于 ． 【答案】或1.5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．根据信息，找到与的比值，即求得相似比；然后根据求解即可． 【详解】解：∵B，D两点的坐标分别为，， ∴，， ∴， ∵把放大后得到， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，和是位似图形，点O是位似中心，．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】此题考查了位似变换，以及坐标与图形的性质，关键是掌握若位似比是k，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．据此求解即可． 【详解】解：∵和是位似图形，点O是位似中心，， ∴和的相似比是， ∵点A的坐标为，， ∴点C的坐标为． 故答案为：． 地 城 考点06 相似三角形的应用 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵和均为直角 ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，小杰从灯杆的底部点B 处沿水平直线前进到达点C 处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B 处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（     ） A．3.5米 B．4.5米 C．5 米 D．5.5 米 【答案】A 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【详解】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是3.5米， 故选：A． 二、填空题 3．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，．则建筑物的高为 m． 【答案】6 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用， 根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴建筑物的高为， 故答案为：6． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，左右并排的两颗大树的高分别为，，两树底部的距离，点与树的根部点，点在一条直线上，，小颖估计自己的眼睛（点）离地面，她从点出发沿方向前进到点时，恰好看不到树顶，则的长为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用．由题意知点F、B、D共线，作于Q，交于P，易得，，计算出，，再证明，然后利用相似比计算出即可求出答案． 【详解】解：作于Q，交于P， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $