专题05 二次函数（解答题） 7大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

专题05 二次函数（解答题） 7大高频考点概览 考点01 二次函数的图象与性质 考点02 二次函数与方程、不等式的关系 考点03二次函数与几何图形面积综合问题 考点04 二次函数与几何图形角度综合问题 考点05 二次函数与特殊四边形综合问题 考点06 二次函数应用之销售利润问题 考点07 二次函数应用之图形面积问题 地 城 考点01 二次函数的图象与性质 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数，且）． (1)该函数的图象必经过两个定点______， _____； (2)若该函数图象与轴只有一个交点，求函数图象的顶点坐标； (3)若点都在该函数图象上，且，直接写出的取值范围． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）数学研究小组发现，研究二次函数相关问题时，既可以从“形”的角度入手，也可以从“数”的角度进行． (1)二次函数的图像上有两点、，当时，______；（用“＞”“=”或“<”填空） (2)对于二次函数的图像上有两点、，若，判断，之间的关系，并通过代数推理加以证明； (3)过二次函数的图像的顶点M作轴，垂足为N，在线段上有两点P、Q（P在Q的上方），且，，R为线段上一点，若的最大值与最小值的比值为2，求k的值． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数（、为常数）． (1)若把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位后，所得的抛物线的顶点坐标为，求，的值； (2)若点，在二次函数的图象上，且，求的取值范围． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点． (1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________； (2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围； (3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数 (是常数)的图象是抛物线． (1)若图象经过点，求的值和图象的顶点坐标． (2)若抛物线的顶点在轴上，则 ； (3)若点，在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数，（是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式； (2)若，求b的取值范围． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象与轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数y的取值范围； 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数． (1)当这个函数的二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该函数图像一定与轴有两个公共点； (2)若这个函数图像与轴有两个公共点，那么该函数二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例． 10．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数． (1)该函数图像的对称轴是______； (2)无论取何值，该函数的图像都经过两个定点，直接写出这两个定点的坐标； (3)若点，在该函数图像上，比较，的大小并说明理由． 地 城 考点02 二次函数与方程、不等式的关系 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数）． (1)该函数的图象的顶点坐标是______．（用含的代数式表示） (2)已知，是该函数图象上的点．若，求的取值范围． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数的图象经过，两点，对称轴为直线． (1)该函数的图象与轴的公共点的个数是________． A．0    B．1    C．2 (2)当时，试说明． (3)若点，都在该函数的图象上．当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知：二次函数过点 (1)求出二次函数的表达式； (2)在给定坐标系中画出这个二次函数的图像； (3)根据图像回答：当时，y的取值范围是_______ (4)当时自变量x的取值范围是_______ 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数）． (1)求证：该函数的图像与轴总有两个公共点； (2)已知该函数上有两点、，且始终满足，则的取值范围是_______ 5．（24-25九年级上·江苏·期末）如图，二次函数图像顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． (1)该函数图像与x轴的另一个交点坐标为_______； (2)求这个二次函数的表达式； (3)若将该二次函数沿x轴翻折，则翻折后的图像的函数表达式为_______． 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点 (1)求b的值及点B的坐标； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)若直线l：（、n为常数且）经过B、C两点，则关于x的不等式的解集为______． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知二次函数 (a，b，c是常数，)，其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示： x … m 1 … y … 0 0 … (1)则 ； (2)求该二次函数的表达式； (3)当时，则y的取值范围是 ． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数（其中为常数）． (1)若该函数图像经过点和，求的值； (2)若，判断二次函数的图像与轴公共点的个数，并说明理由； (3)若点都在二次函数的图像上，试比较的大小． 9．（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． (3)已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． 10．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知y关于x的二次函数． (1)判断该二次函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由； (2)若该二次函数的图象经过点和，当时，求y的取值范围． 11．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）我们学习了二次函数的图象和性质，借助图象，利用二次函数的增减性和对称性解决问题尤为方便．请结合图象，研究二次函数的有关问题． 【特例探究】 （1）若点，是该二次函数图象上两点，则该二次函数的对称轴为直线______； （2）当，时，若，则的取值范围为______． 【拓展探究】 （3）当时，的取值范围是，则该二次函数的图象开口向______(填“上”或“下”)，对称轴为直线______； （4）在（3）的条件下，已知，，该二次函数的图象与线段只有一个公共点，求的取值范围． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数． (1)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 13．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图象经过B、C、三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则________； ②求的取值范围． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． (1)则________，________； (2)该二次函数图象的顶点坐标为________； (3)在所给坐标系中画出该二次函数的图象； (4)根据图象，当时，y的取值范围是________． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数）． (1)求证：无论m取何值，函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若点，在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是______． 16．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知和是关于x的一元二次方程的两个实数根，二次函数图像与y轴交点的纵坐标为6． (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若点M、N是二次函数图像上的两点，请比较p与q的大小； (3)直接写出不等式的解集． 17．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）二次函数的部分图像如图所示，根据图像解决下列问题： (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，x的取值范围是______． 地 城 考点03 二次函数与几何图形面积综合问题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，直线上方抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3，若存在，写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，记，的面积分别为，，求的最大值． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值； (3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为． (1)若点，点，求点的坐标； (2)①小明在探究两个函数图象时发现：二次函数与一次函数的图象始终交于点（_______，0）和点（1，_______）；（用含，的代数式表示） ②若且，试判断的面积是否会发生变化，若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由； (3)二次函数与一次函数图象围成的封闭区域记作，若，当点落在区域内部（不含边界）时，直接写出的取值范围． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P 在直线上方的抛物线上，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过原点0作直线I交抛物线于E、F两点，点E的横坐标为e，点F的横坐标为f，求证：是一个定值． 5．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为，点D是抛物线在x轴上方一动点，则面积的最大值为 ． 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点． (1)则点A坐标为 ；B坐标为 ； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D，P点在抛物线上运动，横坐标为m． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在第三象限时， ①求四边形面积的最大值； ②当以为直径的圆M与坐标轴相切时，求点P的横坐标m的值． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数（为常数，且）的图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)填空：点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)若点为第一象限内该二次函数图像上一点，连接，交直线于点，试求的最大值，并求出此时点的横坐标． (3)若过点的直线将分成一个三角形与一个梯形，并且分成的面积相等，求的值． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)如图2，当的面积最大时，过P 作轴于点D， 交直线于 点E． 点， 连接 并延长交直线于点M， 点 N 是x轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 地 城 考点04 二次函数与几何图形角度综合问题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； (3)抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在第三象限，抛物线与轴，轴分别交于点． (1)直接写出点的坐标（用含的代数式表示）； (2)当抛物线的对称轴在轴左侧时，求的取值范围； (3)连接，求证：． 地 城 考点05 二次函数与特殊四边形综合问题 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上，以为边在第一象限作矩形． (1)点的坐标为___________； (2)若点在该函数的图象上，且矩形的长宽之比为，求点的坐标； (3)若矩形的面积为10，则的最大值是___________． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知二次函数（m为常数，且）． (1)当时，求该二次函数的图象的顶点坐标； (2)直线与该二次函数的图象交于两点，若当时，有，求b的取值范围； (3)顺次连接， ，，，得到矩形，若该二次函数的图象与矩形有三个公共点，请直接写出m的取值范围． 地 城 考点06 二次函数应用之销售利润问题 1．（24-25九年级下·江苏徐州·期末）一名批发商经销某产品，该产品的成本为20元/千克，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 80 … 销售量y（千克） … 100 90 80 70 … (1)求y与x的函数表达式； (2)该批发商若要获得4000元的利润，应将售价定为多少？ (3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润w（元）最大？求最大利润． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为元/千克，日销售量为千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为千克，售价为元/千克（且为正整数）， (1)求与之间的函数关系式； (2)若政府将销售价格定为不超过元/千克．设每日销售额元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值； (3)市政府每日给农户补贴元后（为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于元，请直接写出所有符合题意的值： ． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）海安滨海新区是驰名中外的“紫菜之乡”，拥有万亩海上养殖基地，所产干紫菜销往世界各地．某超市月份以元/袋的价格购进一批紫菜，经市场调查后发现，这种紫菜的月销售量（袋）与售价（元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： (1)求与之间的函数表达式； (2)设该紫菜的总销售利润为元，若要使销售利润最大，售价应定为多少元？该月进货数量多少袋？ (3)若该超市想要获利不高于进价的，则售价定为多少元时，销售利润达到最大？ 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某种纪念品的成本价为每件10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为20元时，每天可售出600件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件．设每天的销售量为y（件），销售单价为x（元件）． (1)直接写出y关于x之间的函数关系式； (2)若销售该纪念品每天的利润为6720元，求该纪念品的销售单价； (3)若商家决定，每销售一件纪念品就捐赠a元（）给慈善机构，当每天销售最大利润为6400元时，求a的值． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）李明投资销售一种进价为每件200元的护眼台灯，他在销售过程中发现，当售价为每件300元时，每月的销量为150件，销售单价每增加10元，每月的销量减少5件，在销售过程中销售单价不低于进价，且每件的利润不高于进价的． (1)设李明每月获得利润为w（单位：元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得18200元的利润？ (3)当销售单价定为多少元时，每月利润最大？每月最大利润为多少？ 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车，已知每辆租出的汽车支付月维护费200元． (1)每辆汽车月租费为3500元时，则该出租公司可以租出______辆汽车； (2)每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）圣女果，常被称为小西红柿，中文正式名称为樱桃番茄，是一年生草本植物，属茄科番茄属．某水果店对一款成本价为每盒20元的圣女果进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出60盒．通过市场调查发现，每盒圣女果售价每上涨1元，则日销售量减少2盒． (1)若该水果店某天销售圣女果的盈利为1248元，求每盒圣女果的售价； (2)当每盒圣女果的售价定为多少元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润？并求出最大日利润； (3)若该水果店销售圣女果获得的利润不低于1218元，则圣女果售价m（元/盒）的取值范围为_____． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）某商场以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，月销量达到40件，现决定降价促销，提高利润，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加2件． (1)求出月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当售价定为何值时，该商品月销售利润最大，求最大利润． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． (1)房价定为200元时，则有_______个房间有游客居住； (2)房价定为多少时，宾馆利润最大？ 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）某商店的一种服装，每件成本50元．经市场调研，售价为60元时，每月可销售800件；售价每提高5元，每月销售量将减少100件．该商店通过涨价增加每月利润，设涨价后的售价为x元，每月获得的利润为y元． (1)涨价后这种服装每月销量将减少______件（用含x的代数式表示）； (2)当售价为多少时，每月获的利润最大？最大利润为多少？ 11．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是出售价x（元/件）的一次函数，其出售价、销售量的对应值如下表： 出售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 (1)直接写出y与x的函数关系式： ； (2)若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？ (3)设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 12．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）连云港底蕴深厚，物产丰富，水晶是连云港的特产之一．某商家销售一种水晶饰品，平均每天可销售100件，每件可盈利20元，为了扩大销量，增加盈利，商家采取了降价措施．假设在一定范围内，每件水晶饰品每降价1元，该水晶饰品平均每天可多售出10件． (1)如果降价后商家销售这批水晶饰品平均每天盈利2240元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件水晶饰品应降价多少元？ (2)新年将至，商家决定每销售一件该水晶饰品就赠送顾客一件价值a元的纪念品，若每件饰品降价不超过4元，赠送礼品后，商家为确保每天销售该水晶饰品能获得的最大利润为1960元，求a的值． 地 城 考点07 二次函数应用之图形面积问题 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，已知新建墙的总长为，．设的长为，储料场的面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，储料场的面积为？ (3)该储料场的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的二边靠墙，另三边一共用了米木栏． (1)为尽可能利用旧墙使所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长； (2)怎样围可使围出的矩形菜园面积最大？请予以解答说明． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，某饲养员想用长为的栅栏，并借助一段围墙围成一个矩形鸡场，在边上留一个宽为的门（门不需要栅栏），已知围墙的长度为． (1)当为多少米时，能围成一个面积为的鸡场？ (2)求鸡场能围成的最大面积． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，沿这个菜园垂直于墙的一边的长为，与墙平行的边的长为． (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时围成的矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 试卷第1页，共3页 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次函数（解答题） 7大高频考点概览 考点01 二次函数的图象与性质 考点02 二次函数与方程、不等式的关系 考点03二次函数与几何图形面积综合问题 考点04 二次函数与几何图形角度综合问题 考点05 二次函数与特殊四边形综合问题 考点06 二次函数应用之销售利润问题 考点07 二次函数应用之图形面积问题 地 城 考点01 二次函数的图象与性质 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数，且）． (1)该函数的图象必经过两个定点______， _____； (2)若该函数图象与轴只有一个交点，求函数图象的顶点坐标； (3)若点都在该函数图象上，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）求得对称轴和与轴的交点，然后利用抛物线的对称性可知点也在抛物线上； （2）利用对称轴直接写出顶点坐标； （3）分两种情况讨论，得出关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：二次函数（为常数，且）， 抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为， 关于直线的对称点也在抛物线上， 该函数的图象必经过两个定点，． 故答案为：，； （2）解：该函数图象与轴只有一个交点，对称轴为直线， 函数图象的顶点坐标为； （3）解：点，，都在该函数图象上，且， ①当时，抛物线开口向下，点，在对称轴直线的左侧，在对称轴的右侧符合题意， ， 解得， ②当，抛物线开口向上，，都在对称轴的右侧，，不合题意； 点，，都在该函数图象上，且， 的取值范围是． 2．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）数学研究小组发现，研究二次函数相关问题时，既可以从“形”的角度入手，也可以从“数”的角度进行． (1)二次函数的图像上有两点、，当时，______；（用“＞”“=”或“<”填空） (2)对于二次函数的图像上有两点、，若，判断，之间的关系，并通过代数推理加以证明； (3)过二次函数的图像的顶点M作轴，垂足为N，在线段上有两点P、Q（P在Q的上方），且，，R为线段上一点，若的最大值与最小值的比值为2，求k的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)4 【知识点】求一元一次不等式的解集、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）用用待定系数法将点、代入函数表达式，然后利用作差的方法，得出，然后根据即可得出答案； （2）将、，代入函数表达式，并利用平方差化简，然后根据得出，，再根据，即可解答； （3）设则，，然后代入，利用配方的方法，分别得出最大值和最小值，根据它们的比即可解答。 【详解】（1）解：∵点、在二次函数的图像上， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵二次函数的图像上有两点、， ∴，， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， （3）设则，， ∴， 当时，取得最大值为， 当或时，取得最小值 ， ∴最大值与最小值的比为2， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的最值，解一元一次不等式，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数（、为常数）． (1)若把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位后，所得的抛物线的顶点坐标为，求，的值； (2)若点，在二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】此题考查了二次函数的平移，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到平移后的表达式为，然后根据平移规律求解即可； （2）首先得到二次函数开口向上，然后分和两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）根据题意得，平移后的表达式为 ∴原二次函数表达式为 ∵二次函数 ∴，； （2）∵二次函数中二次项系数为 ∴开口向上， ∵点，在二次函数的图象上，且， ∴当时，即时， 解得 ∴ 当时， 解得 综上所述，． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点． (1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________； (2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围； (3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3)或5 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化——平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由二次函数的图象交轴于点，可得，又将点向右平移4个单位得到，故此时在二次函数上，从而计算得解； （2）依据题意，由点，在二次函数的图象上，从而，，结合，故，进而计算可以得解； （3）依据题意，分当、和进行分类讨论，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，二次函数的图象交轴于点， ， 将点向右平移4个单位得到， 又此时在二次函数上， ， ， 故答案为：2； （2）解：∵点，在二次函数的图象上， ，         ，         ， ，         ． （3）解：①当时， 二次函数在的范围内随的增大而增大， 当时，的最小值为3． ， 解得，（舍去）；         ②当时， 二次函数的最小值为，不合题意，舍去；         ③当时， 二次函数在的范围内随的增大而减小， 当时，的最小值为3． ， 解得（舍去），． 综上可知，的值为或5． 5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点A，C为抛物线为常数，且上两定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线于点，过点A，C作直线的垂线，垂足分别为F，D． (1)若，点A，B，C的横坐标分别为，m，1，， ①求直线的函数关系式； ②______；（用含m的代数式表示） ③试猜想，，之间的数量关系并证明： (2)若（1）中a的值改为，其余条件不变，请直接写出，，之间的数量关系； (3)当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时，，，之间的数量关系是______． 【答案】(1)①；②； ③；证明见解析 (2) (3) 【知识点】计算多项式乘多项式、求一次函数解析式、y=ax²+k的图象和性质、坐标与图形综合 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图像与性质，求点的坐标，整式的乘法． （1）①若，抛物线的表达式为：，从而得到，，， 根据待定系数法即可求出直线的解析式； ②求出点E的坐标，根据即可解答； ③根据各点坐标得到，，，即可得到； （2）同（1）思路即可解答； （3）设点，点，由点A、C的坐标得，直线的表达式为：，设点，则点，表示出，，即可解答． 【详解】（1）解：①若，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为：； ②对于直线：，当时，， ∴， ∴， 故答案为：； ③，理由如下： ，，，， ，，， ； （2）解：，理由如下： 当时，抛物线的表达式为：， ∴，，， 同理可得：直线的表达式为：， ∴， ∴， ，， ∴； （3）解：，理由如下： 设点，点， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， ，， 则， ， ， 故答案为： 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数 (是常数)的图象是抛物线． (1)若图象经过点，求的值和图象的顶点坐标． (2)若抛物线的顶点在轴上，则 ； (3)若点，在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 (3) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质，将一般式化为顶点式； （1）将点，代入，即可求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式求出顶点坐标，进而求解； （3）分别把，代入函数关系式得：，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵图象经过点，代入 ∴ 解得： ∴二次函数的解析式为 ∴顶点坐标为 （2）∵，抛物线的顶点在轴上， ∴， 解得 故答案为：或． （3）把，代入函数关系式得：，， ∵， ∴, 解得：， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数，（是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的表达式； (2)若，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由点和都在二次函数（是常数）的图象上，从而，，结合，求出a，b，即可判断得解； （2）依据题意，当时，二次函数为，从而，结合，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，点和都在二次函数（是常数）的图象上， ， 又， ， 二次函数为． （2）由题意，当时，二次函数为， ， 又， ， ． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数的图象与轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数y的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键． （1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）先分别求出当时和当时，的值，再求出二次函数的顶点坐标，根据二次函数的增减性求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 所以二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数， 当时，， 当时，， 将二次函数化成顶点式为，其顶点坐标为， 则在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 所以当时，的取值范围为． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数． (1)当这个函数的二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该函数图像一定与轴有两个公共点； (2)若这个函数图像与轴有两个公共点，那么该函数二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例． 【答案】(1)见解析 (2)不是，如 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象与x轴的交点与根的判别式之间的关系是解题的关键． （1）先确定，而，根据不等式的性质即可证明； （2）函数图像与轴有两个公共点，则根的判别式，举出一个反例即可得到答案． 【详解】（1）证明：根据题意，得， ， ， 方程始终有两个不相等的实数根. 该函数的图像一定与轴有两个公共点； （2）解：不是， 反例不唯一，如． 理由如下：若这个函数图像与轴有两个公共点， ，满足即可． 10．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数． (1)该函数图像的对称轴是______； (2)无论取何值，该函数的图像都经过两个定点，直接写出这两个定点的坐标； (3)若点，在该函数图像上，比较，的大小并说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)当时，；当时，． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用二次函数的对称轴直线代入数值化简，即可作答． （2）先把把代入，得，则二次函数经过点，结合对称性得出点关于直线对称的点为，即可作答． （3）先得出，要进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：∵二次函数， ∴把代入，得， 即二次函数经过点， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为， 则无论取何值，该函数的图像都经过两个定点，且这两个定点的坐标分别为和； （3）解：当时，；当时，．理由如下： ∵点，在该函数图像上， ∴， 则， 当时，则，即； 当时，则，即． 综上：当时，；当时，． 地 城 考点02 二次函数与方程、不等式的关系 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数）． (1)该函数的图象的顶点坐标是______．（用含的代数式表示） (2)已知，是该函数图象上的点．若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用二次函数的对称性求得对称轴，进一步求得顶点坐标； （2）分三种情况：当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的右半部分；当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的左半部分；当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的两侧，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：令，解得，， 二次函数与x轴的交点为和， 对称轴为直线， ， 顶点为， 故答案为：； （2）解：二次函数的开口向上，对称轴为直线， 当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的右半部分，此时y随x的增大而增大，则，符合题意； 当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的左半部分，此时y随x的增大而减小，则，不符合题意； 当，即时，此时点，在二次函数的对称轴的两侧，由得出点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， ， 解得：， ， 综上所述，m的取值范围为． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数的图象经过，两点，对称轴为直线． (1)该函数的图象与轴的公共点的个数是________． A．0    B．1    C．2 (2)当时，试说明． (3)若点，都在该函数的图象上．当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)C (2)见解析 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】（1）根据二次函数的图象经过，两点，得到，再计算的值，根据其值的属性，判定函数的图象与轴的公共点的个数即可． （2）根据（1）得，计算抛物线的对称轴为，结合，得，结合对称轴为直线即可得证． （3）根据前面的解答，抛物线的解析式可以表达为，把点，分别代入解析式，结合，分类解答即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴ ， ∴函数的图象与轴的公共点的个数为2个， 故选：C． （2）解：根据（1）得， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴， ∵对称轴为直线， ∴． （3）解：根据， 得抛物线的解析式可以表达为，把点，分别代入解析式，得，， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 当，且时， ∴，且 解得， 且； 此时得解为； 当时， ∴， 解得； 综上所述，m的取值范围是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求对称轴，用一个字母表示其余字母，一元二次方程根的判别式的应用，分类思想求不等式的解集，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与方程的关系，抛物线与不等式的关系是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）已知：二次函数过点 (1)求出二次函数的表达式； (2)在给定坐标系中画出这个二次函数的图像； (3)根据图像回答：当时，y的取值范围是_______ (4)当时自变量x的取值范围是_______ 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质、图象法解一元二次不等式 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2） 确定开口方向，对称轴，顶点坐标，即可作出大致函数图象； （3）依据题意，由二次函数为，则当时，取最小值为，又当时，；当时，，进而可以判断得解； （4）确定抛物线与交于点，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解： 二次函数过点，， ． 解得： 二次函数解析式为； （2）解：由题意，由（1）二次函数为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为． 作图如下． （3）解：由题意，二次函数为， 当时，取最小值为． 又当时，；当时，， 当时，． 故答案为：． （4）解：当时，， 解得：或， ∴抛物线与交于点，如图， ∴由图象可知：当时自变量x的取值范围是：或， 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数）． (1)求证：该函数的图像与轴总有两个公共点； (2)已知该函数上有两点、，且始终满足，则的取值范围是_______ 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、求一元一次不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】（1）把代入二次函数，再利用根的判别式判断根的情况，即可解答； （2）把，代入二次函数，再利用，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 整理后得：， ， 有两个不同的根， 二次函数与轴总有两个公共点； （2）解：把，两点代入得： ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了通过一元二次方程根的判别式判断根的情况、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、不等式的解法，掌握以上知识点是解答本题的关键． 5．（24-25九年级上·江苏·期末）如图，二次函数图像顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． (1)该函数图像与x轴的另一个交点坐标为_______； (2)求这个二次函数的表达式； (3)若将该二次函数沿x轴翻折，则翻折后的图像的函数表达式为_______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的轴对称性质，得该函数图像与x轴的另一个交点坐标为，即可作答． （2）依题意，设二次函数的表达式为，再把代入，求出二次函数的解析式为，即可作答． （3）因为将该二次函数沿x轴翻折，且原函数的顶点坐标是，二次项系数是1，故翻折后的图像的函数的顶点坐标是，二次项系数是，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图像顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． ∴， ∴该函数图像与x轴的另一个交点坐标为， 故答案为：； （2）解：∵该函数图像与x轴的交点坐标为和， ∴设二次函数的表达式为， 把代入， 得， 解得， ∴； （3）解：∵将该二次函数沿x轴翻折，且原函数的顶点坐标是，二次项系数是1， ∴翻折后的图像的函数的顶点坐标是，二次项系数是， ∴， ∴整理得， 则翻折后的图像的函数表达式为， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点 (1)求b的值及点B的坐标； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)若直线l：（、n为常数且）经过B、C两点，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、画y=ax²+bx+c的图象、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数与不等式，掌握待定系数法和函数与不等式的关系是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）根据描点法作图； （3）根据函数与不等式的关系求解． 【详解】（1）解：把代入， 得：，， ， 令，则， 解得：，， ∴； （2）解：列表： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点，连线， 图象如图所示： ； （3）解：当时，， ∴， 直线l的图象如图示： 由图象得：当时，， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知二次函数 (a，b，c是常数，)，其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示： x … m 1 … y … 0 0 … (1)则 ； (2)求该二次函数的表达式； (3)当时，则y的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，也考查了二次函数的性质． （1）利用抛物线的对称性先确定抛物线的对称轴为直线，然后利用当和 时函数值相等得到的值； （2）设交点式为，然后把代入求出即可； （3）先利用配方法得到 则当时，有最小值 由于当时，从而可确定当时，的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当和 时，即 故答案为：； （2）解：设抛物线解析式为把代入得，解得， ∴抛物线解析式为即； （3）解：， ∴当时，有最小值，最小值为 ∵当时，；当时，； ∴当时，则的取值范围是 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数（其中为常数）． (1)若该函数图像经过点和，求的值； (2)若，判断二次函数的图像与轴公共点的个数，并说明理由； (3)若点都在二次函数的图像上，试比较的大小． 【答案】(1) (2)只有一个公共点，理由见解析 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题以及二次函数的图像和性质等知识． （1）利用待定系数法求解即可． （2）根据根的判别式判断即可． （3）法一：把两点分别代入二次函数得出和，然后做差即可比较． 法二：利用二次函数的图像和性质比较即可． 【详解】（1）解：将和代入， 得， 解得． （2）解：， ， 图像与轴只有一个公共点． （3）解：法一： 由题意知 法二：对称轴为， 与关于对称轴对称， ∴当时，随着的增大而增大， ． ∴． 9．（24-25九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数且）． (1)若，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和两点在抛物线上，且，当时，都有，求的取值范围． (3)已知二次函数，当时，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值、利用不等式求自变量或函数值的范围 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求解析式； （1）先求出二次函数的解析式为，再配方求顶点坐标即可； （2）由可得，得到抛物线的解析式为，对称轴为，当根据时， 和都在右侧， 当时， 在对称轴左侧，在对称轴右侧，最后利用增减性求解即可； （3）设过和，且，则方程有解，得到，当时，当时，的取值范围为，得到，，对称轴为直线，整理得， 代入得解不等式即可； 当时，开口向下，当时，的取值范围为或，与矛盾，不合题意． 【详解】（1）解：若，，则二次函数的解析式为， 配方得：， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：， ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为，与轴交点为，， 当时，开口向上，时随的增大而增大， ∵，在抛物线上， ∴， ∴和都在右侧， ∵当时，都有， ∴， 解得， 此时； 当时，开口向下，时随的增大而减小， ∴， ∴在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∵关于对称轴的对称点为， ∵当时，都有， ∴， 解得， 此时； 综上所述，或； （3）解：设过和，且， ∴方程有解， ∴， 当时，开口向上， ∴当时，的取值范围为， ∵当时，的取值范围为， ∴，， 即过和， ∴对称轴为直线， 整理得， 把代入得，解得或； 此时； 当时，开口向下， ∴当时，的取值范围为或， ∵当时，的取值范围为， ∴不合题意， 综上所述，． 10．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知y关于x的二次函数． (1)判断该二次函数的图象与x轴的交点个数，并说明理由； (2)若该二次函数的图象经过点和，当时，求y的取值范围． 【答案】(1)二次函数的图象与x轴有2个交点，理由见解析 (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数图像与一元二次方程的关系，二次函数的性质，掌握一元二次方程根的判别式和数形结合思想是解答本题的关键． （1）计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义确定该函数的图象与x轴的交点的个数； （2）根据对称性求出m的值，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴二次函数的图象与x轴有2个交点； （2）解：∵二次函数的图象经过点和， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴函数图象开口向下， ∴当时，y有最大值为1， ∵， ∴当时，y有最小值为， ∴当时，y的取值范围为． 11．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）我们学习了二次函数的图象和性质，借助图象，利用二次函数的增减性和对称性解决问题尤为方便．请结合图象，研究二次函数的有关问题． 【特例探究】 （1）若点，是该二次函数图象上两点，则该二次函数的对称轴为直线______； （2）当，时，若，则的取值范围为______． 【拓展探究】 （3）当时，的取值范围是，则该二次函数的图象开口向______(填“上”或“下”)，对称轴为直线______； （4）在（3）的条件下，已知，，该二次函数的图象与线段只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）下，；（4） 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查了二次函数的增减性和对称性，二次函数与不等式，二次函数与线段的交点问题以及分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数的图象与性质、运用分类讨论的数学思想是解题关键． （1）点，关于对称轴对称，根据对称性可得答案； （2）当，时，二次函数，令，得；令，得，故当时，的取值范围为或； （3）由时，的取值范围是，故抛物线开口向下，根据对称性可求对称轴， （4）在（3）的条件下可得，当时，根据函数图象，则必须满足当时，且当时，，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：（1）∵点，关于对称轴对称， ∴对称轴为直线 故答案为：． （2）当，时，二次函数， 令，得；令，得， 故当时，的取值范围为或． （3）时，的取值范围是， 抛物线开口向下， 从而可知当时，或， 故对称轴为直线． 故答案为：下，； （4）在（3）的条件下，对称轴为直线，则 ∴， 当时， 二次函数的图象与线段只有一个公共点，则必须满足当时，且当时，， ∴， 解得：． 12．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数． (1)求该二次函数图象与x轴、y轴的交点； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)和； (2)图见解析 (3) 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、画二次函数的图象，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）令，，分别求解即可； （2）利用描点法画出图象即可； （3）根据函数图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，，解得，， ∴该二次函数图象与x轴的交点为和， 当时，，即该二次函数图象与y轴的交点为; （2）解：∵， ∴该二次函数的顶点坐标为， 画出函数图象如图所示： ； （3）解：当时，，当时，或， ∴当时，x的取值范围． 13．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图象经过B、C、三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则________； ②求的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①4；②且 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征． （1）令，解方程，可得出点A，B的坐标；再根据顶点式可直接得出点C的坐标； （2）①设二次函数为，用待定系数法求出函数解析式，再根据图象过，得，进而可以判断得解； ②依据题意，由，在二次函数的图象上，则二次函数图象的对称轴是直线，又B、D两点关于对称轴对称，点，从而，又D在线段上，且与端点不重合，得，结合时，过点B、C、M三点的二次函数不存在，最后可以判断得解． 【详解】（1）解：令， 解得或， ∴，； ∵二次函数的图象的顶点为C，， ∴； （2）解：①由题意得，图象过，，， 设二次函数为， ∴， ∴， ∴， 又∵图象过， ∴， ∴或4， ∵， ∴， 故答案为：4； ②∵，在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为：直线， ∵B，D两点关于对称轴对称，点， ∴， ∵点D在线段上，且与端点不重合， ∴， 解得：， ∵时，过点B，C，M三点的二次函数不存在， ∴且． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． (1)则________，________； (2)该二次函数图象的顶点坐标为________； (3)在所给坐标系中画出该二次函数的图象； (4)根据图象，当时，y的取值范围是________． 【答案】(1)，； (2)； (3)见解析； (4)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、已知二次函数的函数值求自变量的值 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、画二次函数的图象、求自变量的取值范围，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． （1）将点代入二次函数的解析式，可得关于的方程组，解方程组即可得； （2）将代入二次函数的解析式， 求得的二次函数配方后即可确定顶点坐标； （3）令即可求得值，从而确定其与轴的交点坐标，根据对称性得出抛物线与轴的另一交点坐标，然后画出函数图象即可；； （4）根据图形得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入二次函数的解析式， 可得， 解得， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知， 把代入二次函数的解析式， 即， 其顶点坐标为， 故答案为：； （3）解：由（2）可知， 二次函数的解析式对称轴为直线， 当时，， 当时，， 即，解得或， 则此抛物线与轴的另一交点坐标为， 此抛物线与轴的另一交点坐标为 根据这些信息，先描出顶点，与轴交点，与轴交点、的关键点，然后用平滑的曲线连接起来，可画出二次函数的图象，如图所示， ； （4）解：由图像可知，当满足时，， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数（为常数）． (1)求证：无论m取何值，函数的图象与x轴总有两个公共点； (2)若点，在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，不等式的解法，掌握一元二次方程的根与抛物线与x轴交点的关系是解题的关键． （1）证明便可； （2）把，两点代入，然后整理、化简，最后解不等式求解即可． 【详解】（1）证明：当时，， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 不论m为何值，函数图象与x轴总有两个不同的公共点； （2）解：把，两点代入得： ， ， ， ， ∴， ∴或 解得：或 故答案为：或． 16．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知和是关于x的一元二次方程的两个实数根，二次函数图像与y轴交点的纵坐标为6． (1)求该二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若点M、N是二次函数图像上的两点，请比较p与q的大小； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，二次函数图像与性质， （1）先设二次函数的交点式，再将点B坐标代入即可得出答案； （2）根据两个点的横坐标与对称轴的的大小关系，即可判断答案； （3）求出时x的值，再根据二次函数的增减性得出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式是， ∵抛物线与y轴的交点的纵坐标为6， ∴抛物线经过点， 即， 解得：， ∴抛物线的解析式是， 则，顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，离对称轴越远函数值越小. ∵，， ∴， ∴； （3）解：当时，， 解得． 当时，． 17．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）二次函数的部分图像如图所示，根据图像解决下列问题： (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，x的取值范围是______． 【答案】(1) (2)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式． （1）由图可得二次函数的图像过点，，将这两个点坐标代入解析式，即可解答； （2）根据，则函数图像在直线的下方，所以找出函数图像在直线的下方的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，二次函数的图像过点，， ∴，解得， ∴这个二次函数的表达式为． （2）解：∵， ∴该二次函数的图像对称轴为，已知一个点为， 根据抛物线的对称性，则点关于对称轴对称的另一个点为， ∴时，的取值范围是或． 故答案为：或 地 城 考点03 二次函数与几何图形面积综合问题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，直线上方抛物线上是否存在点M，使得的面积等于3，若存在，写出点M的坐标，若不存在，请说明理由． (3)P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线上方，连接交于点D，记，的面积分别为，，求的最大值． 【答案】(1) (2)存在，， (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由直线与两坐标的交点可得，，然后利用待定系数法求解即可； （2）在图1中，过点M作交直线于点N，设，则，，利用坐标与图形可得，由求得t值，进而可求解； （3）过点P作交直线于点E，则，所以，设点 ，利用坐标与图形可得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： 直线与坐标轴交于A、B两点， 当时，，当时，， ，， 将A、B代入抛物线，得 ，解得 ， 抛物线的解析式为：． （2）解：存在． 在图1中，过点M作交直线于点N， 依题意，设，则，， ， ∴， 由得， 解得，， 当时，，则； 当时，，则， 综上，存在点M，使得的面积等于3，此时，； （3）解：在图2中，过点P作交直线于点E，则， ，则， 设点 ， ， ， ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的交点问题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，坐标与图形，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是添加合适的辅助线构造． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）二次函数的图像与x轴分别交于点、，与y轴交于点C，点P是这个函数图像的一个动点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如图1，当点P在直线下方时，过点P作，垂足为M，求的最大值； (3)如图2，当点P在x轴上方时，连接、，直线l是二次函数图像的对称轴，过点P作，垂足为N，以点N为圆心作圆，与相切，切点为T．若以的长为边长的正方形的面积与的面积相等，试说明的半径是常量． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、切线的性质定理、面积问题(二次函数综合)、圆与函数的综合(圆的综合问题) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，切线的性质、勾股定理、正方形、三角形面积的计算等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键； （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）连接、，过点P作，交BC于点D，求直线的解析式，设点P坐标为，则，得出，根据，运用三角函数的性质可得结论； （3）设点P坐标为，则 设的半径为r．根据切线的性质得，然后根据的长为边长的正方形的面积与的面积相等，列式计算即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， ∴； （2）连接、，过点P作，交于点D． 由题意，可得点，设直线对应函数表达式为，则 ∴， ∴ 设点P坐标为，则， 则 当时，的最大值为8． ∴， ∴， ∴最大． （3）设点P坐标为，则 设的半径为r． ∵与相切，切点为T． ∴ ∵以的长为边长的正方形的面积与的面积相等 ∴， ∴ ∵， ∴， ∴的半径是常量． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为． (1)若点，点，求点的坐标； (2)①小明在探究两个函数图象时发现：二次函数与一次函数的图象始终交于点（_______，0）和点（1，_______）；（用含，的代数式表示） ②若且，试判断的面积是否会发生变化，若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由； (3)二次函数与一次函数图象围成的封闭区域记作，若，当点落在区域内部（不含边界）时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；②不变， (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求出解析式即可得到a、b，进而得解； （2）①令求出x值即可得解；②根据a的范围可得到b的范围，进而可得到A、B、C三点的大致位置，再利用铅锤法求解即可； （3）由点C在区域P内部可得，即，进而解不等式求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， ，解得， ∴点C的坐标为； （2）解：①令， 整理得， ∴， 解得，， 当时，， 当时，， ∴二次函数与一次函数的图象始终交于点和， 故答案为：，； ②∵， ∴， ∵， ∴， 点A、点B、点C位置如图所示，过C作轴交于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不变，； （3）解：∵， ∴，且二次函数对称轴为， 设，， ∵， ∴，， 如图，当点C在区域P内部时， ，即， ∵， ∴， 令， ∴，， ∴时，， ∴， ∴． 【点睛】本题主题要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一次函数交点问题、二次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）综合与探究：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点P 在直线上方的抛物线上，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，过原点0作直线I交抛物线于E、F两点，点E的横坐标为e，点F的横坐标为f，求证：是一个定值． 【答案】(1)； (2)面积的最大值是，点的坐标为； (3)见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法把点和点的坐标代入，得到，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式； （2）过点作轴，交于点，把分成和，可得的面积为，配方可得，从而可知当时，的面积有最大值，此时的坐标为； （3）设直线的解析式为，联立可得方程，整理得，根据一元二次方程根与系数的关系可证是一个定值． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是， 当时，， 此时点的坐标为； （3）证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． 5．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）如图，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为，点D是抛物线在x轴上方一动点，则面积的最大值为 ． 【答案】15 【知识点】利用菱形的性质求线段长、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题考查的是二次函数与x轴的交点，菱形的性质，设点，根据的面积，即可求解． 【详解】解：菱形顶点C的坐标为， 由勾股定理得， ∴， 设点， ∴的面积 ， ∵， 故面积有最大值为15， 故答案为：15． 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点． (1)则点A坐标为 ；B坐标为 ； (2)求的面积； (3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？ 【答案】(1)； (2)3 (3)存在点，使得和面积相等，坐标为 【知识点】求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键． （1）把代入求解即可； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴于点，交于点，可得，根据，即可求解； （3）根据题意，点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，设，计算方法如（2），由此即可求解． 【详解】（1）解∶ 把代入，得， 解得，， ∴；， 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，把代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点作轴于点，交于点， ∴点的横坐标为， 把代入直线得，， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为3； （3）解：如图所示， ∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点， ∴设， ∴点的横坐标为， ∴，即 ∴， 根据（2）的计算方法得，， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， 当时，， ∴， ∴存在点，使得和面积相等，坐标为． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D，P点在抛物线上运动，横坐标为m． (1)求此抛物线的解析式； (2)当点P在第三象限时， ①求四边形面积的最大值； ②当以为直径的圆M与坐标轴相切时，求点P的横坐标m的值． 【答案】(1) (2)①四边形面积的最大值；②m的值为或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、求直线平移到与圆相切时运动的距离、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）由题意可得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①连接，过作轴交于，求出，得出，从而可得，求出直线的解析式为，设，则，得出，表示出，结合二次函数的性质即可得解；②连接，由题意可得的中点坐标为，从而得出的半径满足，分两种情况：当与轴相切时，到轴的距离等于；当与轴相切时，到轴的距离等于，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 代入得， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①连接，过作轴交于，如图： ， 在中，令，得， 解得：或， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，为， ∴四边形面积的最大值为； ②连接，如图， ， ∵，，为的直径， ∴的中点坐标为， ∴的半径满足， 当与轴相切时，到轴的距离等于， ∴， 解得（此时与重合，舍去）或； 当与轴相切时，到轴的距离等于， ∴， 变形整理得：， 解得：（此时不在第三象限，舍去）或； 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数综合—面积问题，直线与圆的位置关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数（为常数，且）的图像与x轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)填空：点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)若点为第一象限内该二次函数图像上一点，连接，交直线于点，试求的最大值，并求出此时点的横坐标． (3)若过点的直线将分成一个三角形与一个梯形，并且分成的面积相等，求的值． 【答案】(1)； (2)最大值，横坐标 (3)或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）当时，，解方程求得结果即可； （2）作，交于，可推出，从而得出，从而当最大时，最大，可求出设的解析式，进而设，进而得出点坐标，从而表示出的关系式，进一步得出结果即可； （3）根据题意，分三种情形讨论求解：当过点的直线时，设交于，根据得出，进而得出的值，同样求出当过点的直线时点坐标，进而根据得出关于的方程，从而得出的值，同样求出当过点的直线时的结果． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴，， 故答案为：；； （2）解：作，交于，如图1所示： ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 当时，，即， 设的解析式为，由题意得： ∴， 解得， ∴， 设， 由点为第一象限内该二次函数图像上一点，连接，交直线于点，可知， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， 当时，即点的横坐标； （3）解：如图2所示： 当过点的直线时，设交于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，或（不合题意舍去） 当过的直线时， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∵直线时，， ∴， ∴， 当过点的直线时， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（舍去）； 综上所述：或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、解方程等知识，熟练掌握二次函数综合题型解法，数形结合分类讨论是解决问题的关键． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)如图2，当的面积最大时，过P 作轴于点D， 交直线于 点E． 点， 连接 并延长交直线于点M， 点 N 是x轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由． 【答案】(1) (2)4， (3)存在，点Q的坐标为或或或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的解析式为，如图：过P作轴交于点G， 设，则，可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求出直线的解析式为，进而求得；设， 然后分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的性质列方程组求解即可． 【详解】（1）解：将、代入可得： ，解得：， 所以抛物线解析式为． （2）解：∵， ∴ 设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴直线的解析式为， 如图：过P作轴交于点G， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∴当时，的面积最大为4，此时点P的坐标为． （3）解：∵，， ∴设直线的解析式为，则： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当的面积最大时，过P 作轴于点D，连接 并延长交直线于点M， ∴M的横坐标为，则纵坐标为，即， 设， 如图：当为平行四边形的边时，由平行四边形的性质可得： ，解得：或， ∴或； 如图：当为平行四边形的对角线时，由平行四边形的性质可得： ，解得：或， ∴或； 综上，点Q的坐标为或或或． 地 城 考点04 二次函数与几何图形角度综合问题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； (3)抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)1或3或或 (3)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、待定系数法求二次函数解析式、一次函数、二次函数图象综合判断、角度问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据待定系数法，将点、点代入抛物线解析式，解关于、的一元一次方程，即可求得抛物线的解析式； （2）通过点、求出直线的解析式，设点、的坐标，结合轴，以、、、为顶点的四边形是平行四边形得，解一元二次方程即可． （3）过点作于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点．设点，当在右侧时，证明，得、，故可推出，解二元一次方程组可得，即，结合点推出直线的解析式为，联立解一元二次方程即可得；当在左侧时，同理可得． 【详解】（1）解：将点、代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设点， 抛物线与轴交于点， ． 设直线的解析式为， 将点、代入，得：， 解得：，， 直线的解析式为． 设， ， 轴， ， 当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 解得或或或． （3）解：抛物线上存在点，使，理由如下： 过点作于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点． 设点． ①当在右侧时，如图： ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， 解得：， ， 由，可得直线的解析式为， 联立， 解得：（此时点，点重合，舍去）或， ． ②当在左侧时，如图： 同理可得：， 解得：， ，直线的解析式为， 联立，解得：（此时点，点重合，舍去）或， ． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，一线三垂直模型判定三角形全等和全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，解二元一次方程组等，用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度且利用待定系数法求函数的解析式是解题关键． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在第三象限，抛物线与轴，轴分别交于点． (1)直接写出点的坐标（用含的代数式表示）； (2)当抛物线的对称轴在轴左侧时，求的取值范围； (3)连接，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、判断三边能否构成直角三角形、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】主要考查了二次函数的图象和性质，和与几何图形结合的综合能力，解题的关键是会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． （1）由抛物线的表达式即可求解； （2）由题意得∶抛物线的对称轴为直线，解得，再由顶点在第三象限，确定的取值范围． （3）先得出坐标，可求得：的长，由勾股定理逆定理，可得是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵点是抛物线的顶点， ∴． （2）解：， 其对称轴为直线， 抛物线的对称轴在轴的左侧， ，解得：， 又顶点在第三象限， ， 的取值范围． （3）证明：方法一：连接， 求得， 又， 可求得， 且， 于是和中，， ， ， 又， ， 即：； 方法二：连接， 由，求得： ，由，且， 是等腰直角三角形，且， ． 地 城 考点05 二次函数与特殊四边形综合问题 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，点在轴的正半轴上，以为边在第一象限作矩形． (1)点的坐标为___________； (2)若点在该函数的图象上，且矩形的长宽之比为，求点的坐标； (3)若矩形的面积为10，则的最大值是___________． 【答案】(1) (2)点 的坐标为（1，0）或（4，0） (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的三边关系求最值，直角三角形的性质，熟练掌握以上内容并正确作出辅助线是解题关键． （1）令，则，即； （2）设，，作轴于点，如图1所示，根据“一线三垂直”模型证明，从而可得比例式，再根据矩形的长宽之比为，可得到当和两种情况，再根据每种情况分别列比例式得到点坐标，把点坐标代入解析式中求解方程即可； （3）如图2所示，作垂直于轴交直线于点，先证明，从而，即，可得，取中点，连接，，，则由斜边中线定理可得，由勾股定理可得，故，当且仅当、、三点共线时取等号，所以最大值为． 【详解】（1）解：令，则，即， 故答案为：． （2）解：设，，作轴于点，如图所示， 由， 可得， ， ， ， ， ， ，， 当时，则，， 即点， 把代入中可得， 整理得，解得或（负值舍去）； 当时，则，， 即点， 把代入中可得， 整理得，解得或（负值舍去）， 综上，点坐标为或． （3）解：如图所示，作垂直于轴交直线于点， ，， ， ， ， ，即， ，即， 取中点，连接，，，如图， 则，， 故，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以最大值为， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求得．设，求得，，，从而得出，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知二次函数（m为常数，且）． (1)当时，求该二次函数的图象的顶点坐标； (2)直线与该二次函数的图象交于两点，若当时，有，求b的取值范围； (3)顺次连接， ，，，得到矩形，若该二次函数的图象与矩形有三个公共点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）把代入，然后化为顶点式求解即可； （2）联立方程组并化简可得，根据根与系数的关系得，，由，可得，化简得，代入化简得出，最后利用不等式的性质求解即可； （3）先求得抛物线顶点坐标为，当时，，则抛物线过定点，然后根据不同情况画出图象，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：联立方程组， 整理，得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， ∴抛物线过定点， 当时，， ∴， ∴， 当，即时，， 此时抛物线的顶点在x轴上， 如图1， 该抛物线与矩形有2个公共点， 当时，如图2， 该抛物线与矩形有2个公共点， 当时，如图3， 该抛物线与矩形恰好有3个公共点， 当时，当顶点在时，，解得，如图4， 该抛物线与矩形恰好有3个公共点， 抛物线经过时， 解得，如图5， 该抛物线与矩形恰好有3个公共点， 综上，该抛物线与矩形恰好有3个公共点时，m的取值范围或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；理解题意，熟练掌握二次函数的图象及性质，结合二次函数的图象是解题关键． 地 城 考点06 二次函数应用之销售利润问题 1．（24-25九年级下·江苏徐州·期末）一名批发商经销某产品，该产品的成本为20元/千克，物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元．销售过程中发现该产品的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如表： 售价x（元/千克） … 50 60 70 80 … 销售量y（千克） … 100 90 80 70 … (1)求y与x的函数表达式； (2)该批发商若要获得4000元的利润，应将售价定为多少？ (3)该产品每千克售价为多少元时，该批发商获得的利润w（元）最大？求最大利润． 【答案】(1) (2)应将售价定为元 (3)该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法． （1）根据图表中的各数可得出与成一次函数关系，从而结合图表的数可得出与的关系式． （2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可； （3）根据批发商获得的总利润（元售量每千克利润可表示出与之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，把、代入得， ，    解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：根据题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该批发商若想获得元的利润，应将售价定为元； （3）解：由题意得， ， ， 当时，值最大，最大值是 答：该产品每千克售价为元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为元． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为元/千克，日销售量为千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设日销售量为千克，售价为元/千克（且为正整数）， (1)求与之间的函数关系式； (2)若政府将销售价格定为不超过元/千克．设每日销售额元，求关于的函数表达式，并求的最大值和最小值； (3)市政府每日给农户补贴元后（为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于元，请直接写出所有符合题意的值： ． 【答案】(1)； (2)，最大338元，最小240元 (3)a的值为或或． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质． （1）售价为x元/千克（且为正整数），则提价元，根据题意，即可得到结论； （2）根据日销售额=日售价×日销售量，计算即可； （3）由题意得：，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15，从而计算可得a值． 【详解】（1）解：设产品售价为元/千克（且为正整数），则提价元， 根据题意得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：设售价为元/千克（且为正整数），销售额为元，则提价元， 故销售量为千克， ∴， ∴， ∵，且对称轴右侧，w随x的增大而减小，到对称轴距离越大，函数值越小，且，， ∴时，w取得最大值，且最大值为338元， ∴时，w取得最小值，且最小值为240元， 故，w的最大338元，w的最小240元； （3）解：由题意得：，由二次函数的对称性可知x的取值为11，12，13，14，15， ∴时，元 ∴时，元， ∴时，元， 且，， ∴， ∵a是正整数， ∴a的值为或或． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）海安滨海新区是驰名中外的“紫菜之乡”，拥有万亩海上养殖基地，所产干紫菜销往世界各地．某超市月份以元/袋的价格购进一批紫菜，经市场调查后发现，这种紫菜的月销售量（袋）与售价（元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： (1)求与之间的函数表达式； (2)设该紫菜的总销售利润为元，若要使销售利润最大，售价应定为多少元？该月进货数量多少袋？ (3)若该超市想要获利不高于进价的，则售价定为多少元时，销售利润达到最大？ 【答案】(1)； (2)当售价为元时销售利润最大，此时月进货量为袋； (3)当售价定为时，销售利润最大，最大利润为元． 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求法、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据二次函数的图象和性质求最值． 把、代入，得到二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得到函数表达式； 根据销售利润销量单价利润，得到二次函数，整理成顶点坐标式可得：，从而可知当售价定为元时销售利润最大，此时月进货量为袋； 根据二次函数的图象与性质可知抛物线开口向下，对称轴为，在对称轴的左侧随的增大而增大，所以当售价定为时，销售利润最大，最大利润为元． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式是， 把、代入， 可得：， 解得：， 与之间的函数表达式是； （2）解：根据题意可得：， 整理可得：， 当售价定为元时，销售利润最大， 此时月进货量应为， 该月进货数量为袋； （3）解：该超市想要获利不高于进价的， 此时的售价最多应为(元)， 的图象开口向下，对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 当售价定为时，销售利润最大， 最大利润为(元)， 答：当售价定为时，销售利润最大，最大利润为元． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）某种纪念品的成本价为每件10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为20元时，每天可售出600件，销售单价每上涨1元，每天销售量就减少20件．设每天的销售量为y（件），销售单价为x（元件）． (1)直接写出y关于x之间的函数关系式； (2)若销售该纪念品每天的利润为6720元，求该纪念品的销售单价； (3)若商家决定，每销售一件纪念品就捐赠a元（）给慈善机构，当每天销售最大利润为6400元时，求a的值． 【答案】(1)y关于x之间的函数关系式为 (2)该纪念品的销售单价为22 (3)a的值为4 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是一次函数，二次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）由600减去减小的数量，再列函数关系式即可； （2）由单件利润乘以销售数量可得总利润，再建立方程求解即可； （3）由单件利润乘以销售数量可得总利润，再建立二次函数解决问题即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 整理得：． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ∴． （2）解：由题意，得：， 解之得：， ， ∵， ∴． 答：该商品的销售单价为22元． （3）解：由题意可得：， 整理得：， 对称轴为直线：， ∵， ∴当，函数取得最大值， 最大值为：， 解得：； 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）李明投资销售一种进价为每件200元的护眼台灯，他在销售过程中发现，当售价为每件300元时，每月的销量为150件，销售单价每增加10元，每月的销量减少5件，在销售过程中销售单价不低于进价，且每件的利润不高于进价的． (1)设李明每月获得利润为w（单位：元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)当销售单价定为多少元时，每月可获得18200元的利润？ (3)当销售单价定为多少元时，每月利润最大？每月最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为340元时，每月可获得18200元的利润 (3)当销售单价定为360元时，每月最大利润为19200元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用．得到销售量的表示方法是解决本题的易错点；用配方法解答二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程比较简便． （1）每月获得的利润=每件护眼灯的利润×销售量，把相关数值代入整理即可； （2）取，求得合适的x的值即可； （3）易得抛物线的开口方向和对称轴，进而根据x的取值范围可得销售单价为多少时利润最大及最大利润． 【详解】（1）解： 又， 解得，， ∴； （2）解：， 整理得，， ， ， 解得，，， ∵， ∴， 答：销售单价定为340元时，每月可获得18200元的利润； （3）解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴时，w最大，最大为：（元）． 答：销售单价定为360元时，每月利润最大，每月最大利润为19200元． 6．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车，已知每辆租出的汽车支付月维护费200元． (1)每辆汽车月租费为3500元时，则该出租公司可以租出______辆汽车； (2)每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【答案】(1)90 (2)每月租出78辆汽车时，出租公司的月收益最大，最大月收益是304200元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值问题，正确的列出函数解析式是解题的关键． （1）根据每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车，列式计算即可； （2）设每月租出x辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益是y元，根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：（辆） 则每辆汽车月租费为3500元时，该出租公司可以租出辆汽车； （2）解：设每月租出x辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益是y元， 根据题意：：， 即：． 配方得：， ， ∴当时，， 故每月租出78辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304200元． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）圣女果，常被称为小西红柿，中文正式名称为樱桃番茄，是一年生草本植物，属茄科番茄属．某水果店对一款成本价为每盒20元的圣女果进行销售，如果按每盒40元销售，每天可卖出60盒．通过市场调查发现，每盒圣女果售价每上涨1元，则日销售量减少2盒． (1)若该水果店某天销售圣女果的盈利为1248元，求每盒圣女果的售价； (2)当每盒圣女果的售价定为多少元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润？并求出最大日利润； (3)若该水果店销售圣女果获得的利润不低于1218元，则圣女果售价m（元/盒）的取值范围为_____． 【答案】(1)每盒圣女果的售价为或元； (2)当每盒圣女果的售价定为45元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润1250元； (3) 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设每盒圣女果的售价为元，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每盒圣女果的售价为元，日利润为元，根据题意列式得到二次函数，再配方求最值即可； （3）先求出时对应的售价，再根据二次函数的性质，即可得到售价m取值范围． 【详解】（1）解：设每盒圣女果的售价为元， 则， 解得：，， 即每盒圣女果的售价为或元； （2）解：设每盒圣女果的售价为元，日利润为元， 则， ， 当时，有最大值为， 即当每盒圣女果的售价定为45元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润1250元； （3）解：由（2）可知，， 当时，， 解得：，， 由（2）可知，当时，有最大值为， 若该水果店销售圣女果获得的利润不低于1218元，则圣女果售价m（元/盒）的取值范围为， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）某商场以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，月销量达到40件，现决定降价促销，提高利润，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加2件． (1)求出月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)当售价定为何值时，该商品月销售利润最大，求最大利润． 【答案】(1)月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式为，自变量x的取值范围为 (2)当售价定为55元时，利润最大，最大利润为1250元 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润××销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，然后根据销量大于0，销售价不低于成本求出自变量的取值范围即可； （2）根据利润=单件利润××销售量列出函数解析式，然后二次函数的性质求出函数最大值． 【详解】（1）解：∵该商品每降1元，销售量增加2件, ∴， ∴月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式为； ∵， ∴， ∴， ∵某商场以每件30元的进价购进一批商品， ∴； （2）解：设该商品月销售利润为， 开口向下， 在时，有最大值， 把代入 当售价定为55元时，利润最大，最大利润为1250元． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． (1)房价定为200元时，则有_______个房间有游客居住； (2)房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【答案】(1)48 (2)350元 【知识点】列代数式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确列出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意列式计算即可得到答案； （2）设每个房间定价增加元，根据题意，得出利润的关系式，再根据二次函数的性质，即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意得：（个， 故答案为：48； （2）解：设每个房间定价增加元， 依题意得：所获利润， 当元时，利润最大， （元， 即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值． 10．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）某商店的一种服装，每件成本50元．经市场调研，售价为60元时，每月可销售800件；售价每提高5元，每月销售量将减少100件．该商店通过涨价增加每月利润，设涨价后的售价为x元，每月获得的利润为y元． (1)涨价后这种服装每月销量将减少______件（用含x的代数式表示）； (2)当售价为多少时，每月获的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当售价75元时，每月获的利润最大，最大利润为12500元 【知识点】列代数式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由售价每提高5元，每月销售量将减少100件，且涨价后的售价为元，从而涨价后这种服装每月销量将减少的量为：，进而得解； （2）依据题意，当售价为元时，每月获的利润，再结合二次函数的性质，即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，售价每提高5元，每月销售量将减少100件，且涨价后的售价为元， 涨价后这种服装每月销量将减少的量为：． 故答案为：． （2）解：由题意，当售价为元时，每月获的利润， 当售价为75元时，每月获的利润最大，最大利润为12500元． 11．（24-25九年级上·江苏淮安·期末）某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是出售价x（元/件）的一次函数，其出售价、销售量的对应值如下表： 出售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 (1)直接写出y与x的函数关系式： ； (2)若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？ (3)设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ 【答案】(1) (2)60元/件或90元/件 (3)销售单价定为75元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答； （2）根据总利润＝单个利润×总数量进行计算，即可解答； （3）根据总利润＝单个利润×总数量进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设， 把代入中得： ， 解得：， ∴， 故答案为：； （2）由题意得：， ， 解得：， ∴该天的售价为60元/件或90元/件； （3）由题意得： ， ∵， ∴当时，W最大， ∴当销售单价定为元时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大． 12．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）连云港底蕴深厚，物产丰富，水晶是连云港的特产之一．某商家销售一种水晶饰品，平均每天可销售100件，每件可盈利20元，为了扩大销量，增加盈利，商家采取了降价措施．假设在一定范围内，每件水晶饰品每降价1元，该水晶饰品平均每天可多售出10件． (1)如果降价后商家销售这批水晶饰品平均每天盈利2240元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件水晶饰品应降价多少元？ (2)新年将至，商家决定每销售一件该水晶饰品就赠送顾客一件价值a元的纪念品，若每件饰品降价不超过4元，赠送礼品后，商家为确保每天销售该水晶饰品能获得的最大利润为1960元，求a的值． 【答案】(1)每件水晶饰品应降价元； (2)． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）设每件水晶饰品应降价元，原来每件盈利20元，降价后每件盈利元，原来平均每天可销售100件，降价后每天可销售件，根据平均每天盈利2240元，列出一元二次方程，解之即可求解； （2）设每件水晶饰品降价元，则每天可销售件，每件盈利元，根据题意列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件水晶饰品应降价元， 根据题意得， 解得或， 由于让顾客尽可能多得实惠， ∴， 答：每件水晶饰品应降价元； （2）解：设每件水晶饰品降价元， 根据题意得 ， ∵， ∴函数图象开口向下，对称轴为， ①当即时， 时，取最大值，则，解得：(舍去) ②当即时， 对称轴，取最大值， 即， 整理得， 解得或(不符合题意，舍去)， ③当即时， 时，取最大值，则， 解得：(舍去) 综上所述． 地 城 考点07 二次函数应用之图形面积问题 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，已知新建墙的总长为，．设的长为，储料场的面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，储料场的面积为？ (3)该储料场的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当取时，储料场的面积为 (3)存在，储料场面积的最大值为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、等腰三角形的判定，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）过点作的垂线，垂足为．先根据等腰三角形的判定得到，进而，，然后利用梯形面积公式求解即可； （2）解一元二次方程即可求解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的垂线，垂足为． 四边形是梯形， ． ，， ，， ， ． ∴，， ，即． （2）解：令，得， 解得（舍去）． 答：当取时，储料场的面积为． （3）解：， ∵， 当时，取最大值54． 答：储料场面积的最大值为． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的二边靠墙，另三边一共用了米木栏． (1)为尽可能利用旧墙使所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长； (2)怎样围可使围出的矩形菜园面积最大？请予以解答说明． 【答案】(1)所利用旧墙的长为米； (2)当米，米时，可使围出的矩形菜园面积最大． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）设米，则米，根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）设矩形菜园面积为平方米，根据题意可得：，然后进行即可解答． 【详解】（1）解：设米，则米， 由题意得：， 解得：，， 当时，米， 当时，米，（尽可能利用旧墙，舍去） 所利用旧墙的长为米； （2）解：设矩形菜园面积为平方米， 由题意得： ， ， 当时，最大，此时米， 当米，米时，可使围出的矩形菜园面积最大． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，某饲养员想用长为的栅栏，并借助一段围墙围成一个矩形鸡场，在边上留一个宽为的门（门不需要栅栏），已知围墙的长度为． (1)当为多少米时，能围成一个面积为的鸡场？ (2)求鸡场能围成的最大面积． 【答案】(1)当为米时，能围成一个面积为的鸡场； (2)鸡场能围成的最大面积是． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找到周长等量关系列出方程与矩形的边的二次函数关系是解决本题的关键． （1）根据栅栏总长，再利用矩形面积公式即可求出； （2）根据题意求出鸡场的面积与矩形的边的二次函数关系，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设， 根据题意，得， 解得，， ∵门的宽度是1m，围墙的长度为， ， 解得：， ， 答：当为米时，能围成一个面积为的鸡场； （2）解：设羊圈的面积为，则矩形的边， 根据题意，得， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴鸡场能围成的最大面积是， 答：鸡场能围成的最大面积是． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，沿这个菜园垂直于墙的一边的长为，与墙平行的边的长为． (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当为何值时围成的矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当的值为10时，围成的矩形菜园的面积最大，最大面积是 【知识点】一次函数与几何综合、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，易错点是根据平行于墙的一边长应大于0而不大于墙长得到相应的的取值范围． （1）篱笆长垂直于墙的一边长，进而根据大于0且不大于可得的取值范围； （2）设矩形菜园的面积为，得到与的关系比，整理成顶点式，根据抛物线的开口方向和的取值范围可为何值时围成的矩形菜园的面积最大以及最大面积是多少． 【详解】（1）解： 由题意得：， ， 解得：， ． （2）解：设矩形菜园的面积为． 则．     ， 当时，有最大值200．         当的值为10时，围成的矩形菜园的面积最大，最大面积是． 试卷第1页，共3页 1 / 96 学科网（北京）股份有限公司 $