重难点 正多边形与圆的12类高频考法（专项训练）数学沪教版五四制九年级下册

重难点 正多边形与圆的12类高频考法 目 录 题型1 求正多边形的中心角 1 题型2 已知正多边形的中心角求边数 3 题型3 正多边形和圆的综合 6 题型4 尺规作图--正多边形 10 题型5 求弧长 12 题型6 求扇形半径 15 题型7 求圆心角 16 题型8 求某点的弧形运动路径长度 18 题型9 求扇形面积 22 题型10 求图形旋转后扫过的面积 25 题型11 求弓形面积 28 题型12 求其他不规则图形的面积 32 题型1 求正多边形的中心角 例1如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义和多边形的内角和公式．设这个正多边形的边数为列方程求出再根据正多边形每条边所对的中心角都相等，列出算式进行计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为列方程得： ， 解得， ∴这个正多边形的中心角的度数为：， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 【变式1-1】边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角函数，正多边形的性质，根据题意画出图形，过点O作交与点M，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，，最后根据余弦的定义求解即可得出答案． 【详解】解：如图，正十边形的中心角， 过点O作交与点M， ∴，，． ∴， ∴ 故选：A． 【变式1-2】一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形中心角．熟练掌握中心角的计算公式是解题的关键． 根据正n边形的中心角的度数为，进行计算即可得到答案． 【详解】解：设正多边形的边数为n， 则有， 解得， 是所列方程的解，且符合题意， ∴该正多边形的边数为6． 故选：A． 【变式1-3】正十边形的中心角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据正多边形的中心角的定义解决问题即可． 【详解】解：正十边形中心角的度数， 故答案为：． 【变式1-4】周长相等的正方形与正六边形的面积分为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的相关计算，涉及解直角三角形，中心角，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 设周长为，则正方形的边长为，正六边形的边长为，则，对于正六边形，由6个等边三角形组成，分割出一个等边，过点O作于点D，解直角三角形求出高，即可求出一个等边三角形的面积，再乘以6就是正六边形的面积． 【详解】解：设周长为，则正方形的边长为，正六边形的边长为， ∴， 对于正六边形，由6个等边三角形组成，分割出一个等边，过点O作于点D， ∴， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型2 已知正多边形的中心角求边数 例2如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 【变式2-1】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【变式2-2】如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算可求出这个多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可得出结果． 【详解】解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5， ∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算以及多边形的内角和公式，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键． 【变式2-3】如果将一个正多边形绕它的中心旋转后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了正多边形中心角与其边数的关系，正多边形的中心角等于360度除以其边数，根据题意可得该正多边形的中心角为，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，该正多边形的中心角为， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：12． 【变式2-4】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正多边形的中心角的度数等于360度除以边数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，正多边形的边数为：． 故答案为：9． 【变式2-5】如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的，那么n的值是 ． 【答案】8 【分析】此题考查正多边形内角与中心角，根据正边形的中心角的度数为，内角和为，列出方程即可，解题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角． 【详解】解：正边形的中心角的度数为，内角和为， 由题意可得：， 解得：，（负值舍去）， 故：，经检验，符合题意， 故答案为：8． 题型3 正多边形和圆的综合 例3下列命题正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．过三点可以确定一个圆 C．两圆的公共弦垂直平分连心线 D．等边三角形外接圆的面积是内切圆面积的4倍 【答案】D 【分析】本题考查了圆的有关性质，熟练掌握垂径定理，确定圆的条件，弧、弦、圆心角的关系，正多边形与圆，两圆的连心线的性质是解答本题的关键．根据根据垂径定理，确定圆的条件，两圆的连心线的性质，正多边形与圆的关系解答即可． 【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原说法错误； B．不在同一直线上的三点确定一个圆，故原说法错误； C．两圆的连心线垂直平分公共弦，故原说法错误； D．如图，为等边三角形，为等边三角形的外接圆与内切圆， ∴， ∴， ∴， ∴的外接圆的面积为，的内切圆的面积为， ∴等边三角形外接圆的面积是内切圆面积的4倍，故原说法正确； 故选：D． 【变式3-1】如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键． 由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴，， ∵已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形， ∴， ∵是所对的圆周角， ∴所对的圆心角等于， ∴的度数为， 故选B． 【变式3-2】正三角形外接圆和内接圆的周长之比为 【答案】 【分析】本题主要考查了正三角形的外接圆和内接圆的周长．设点O是正三角形的内心，连接，过点O作于点D，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，设点O是正三角形的内心，连接，过点O作于点D，则， ∴， ∴正三角形外接圆和内接圆的周长之比为． 故答案为： 【变式3-3】边心距为2的正六边形面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，根据题意，求出正六边形的边长，根据正六边形的面积为6个全等的等边三角形的面积之和，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，作，由题意可知：，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形面积为：； 故答案为：． 【变式3-4】已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据题意可得这个正多边形的一个外角为，求得它的中心角为，于是得到正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形，进而可得边心距． 【详解】解：正多边形的一个外角是其内角的一半， 设外角为，则内角为， ， ， 这个正多边形的边数是， 它的中心角为， 正六边形的边长与正六边形的半径组成等边三角形， 它的边长为， 作， 则， ∴ 此正多边形的边心距是， 故答案为：． 题型4 尺规作图--正多边形 例4如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为 ． 【答案】（，） 【分析】根据图形，利用对称的性质计算即可求出D的坐标． 【详解】解：根据题意，点D与点A关于原点对称， ∵点A的坐标为：（1，）， ∴点D的坐标为：（，）； 故答案为：（，）； 【点睛】此题考查了正多边形和圆，以及坐标与图形性质，熟练掌握对称的性质是解本题的关键． 【变式4-1】补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 【答案】45；8，图见解析 【分析】本题主要考查了中心角，圆和正多边形，尺规作图， 先求出中心角，并作出8个点，再隔一个点依次连接，可得答案. 【详解】解：步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画的角，与圆相交于8个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 画出图形如图所示． 答案为：45；8． 【变式4-2】如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 【答案】见解析 【分析】作AC的垂直平分线交⊙O于B、D，则四边形ABCD就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形ABCD为所作． ∵BD垂直平分AC，AC为的直径， ∴BD为的直径， ∴BD⊥AC，OB＝OD，OA＝OC，BD＝AC， ∴四边形ABCD是的内接正方形． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆的基本性质，正方形的判定． 题型5 求弧长 例5“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式求解即可． 【详解】解：∵等边三角形的边长为3，， ∴， ∴该“莱洛三角形”的周长， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键． 【变式5-1】如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（     ） A．2π+2 B．3π C． D．+2 【答案】C 【分析】利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，     点O的运动路径的长＝的长+O1O2+的长＝+ +＝， 故选：C． 【点睛】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式5-2】在矩形中，如果以为直径的沿着滚动一周，点恰好与点C重合，那么 的值等于 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长以及线段的比．解题的关键是弄懂的长就是的周长．由题意可知：的长就是的周长，列式即可得出结论． 【详解】解：∵以为直径的沿着滚动一周，点恰好与点C重合， ∴的长就是的周长， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】点P是外一点，分别与相切于点A，B，连结，已知的半径为1，，则劣弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，四边形内角和，求弧长等知识，掌握切线的性质是关键．先画出图形，由切线性质得，由四边形内角和得，由弧长公式即可求解． 【详解】解：画图如下： 分别与相切， ， 由四边形内角和得， 则劣弧的长为； 故答案为：． 【变式5-4】如图，在中，是两条弦，的半径长为，弧的长度为，弧的长度为，当时，求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧长的计算，三角形全等的判定和性质，根据弧长公式求得，然后利用证得，即可证得结论． 【详解】解：设， 由题意，得 ，， ∵， ∴， ∴，即， ∵都是的半径， ∴， ∵， ∴ ∴． 题型6 求扇形半径 例6在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 【变式6-1】已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用弧长公式计算扇形半径，扇形的半径为，然后用弧长公式即可求解，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】设扇形的半径为， ∴， 解得：， 故选：． 【变式6-2】已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式：，其中是弧长，是扇形的半径，是扇形的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：设这个扇形的半径是， 则， 解得， 所以这个扇形的半径是2， 故答案为：2． 【变式6-3】马面裙是中国古代汉族女子主要裙式之一，随着传统服饰日益受到关注，马面裙也强势“出圈”．如图1为马面裙的一种经典款式，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中长为0.6米，弧长为米，圆心角，则弧长为 米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，熟知扇形弧长的计算公式是解题的关键，根据弧长BC为米及的度数，可求出的长，再求出的长，然后利用弧长公式计算即可得解． 【详解】解：∵弧长为米，， ， 解得： ∵长为0.6米，， 的长为1米， ∴弧长为：(米)， 故答案为：． 题型7 求圆心角 例7一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算． 本题理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算，然后即可求解． 【详解】解：重物上升即是弧长， 所以根据弧长公式可求得旋转的度数， ， 解得． 故选：C． 【变式7-1】将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长公式，根据弧长公式（n为圆心角的度数，r为扇形的半径）求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角的度数为n， 根据题意，得， 解得， 故选：C． 【变式7-2】一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 【变式7-3】“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型8 求某点的弧形运动路径长度 例8如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物上升的高度为 ． 故选：B． 【变式8-1】如图，中，，，点是重心，将绕着点按顺时针方向旋转，使点A落在BC延长线上的处，此时点B落在点，点G落在点.联结CG、、、.在旋转过程中，下列说法：①；②与相似；③；④点所经过的路程长是.其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据旋转的性质即判断①，由旋转的性质可得，进而可得，，即可判断②，根据相似三角形的性质可以判断③，根据弧长公式计算即可判断④． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形， ， ， 由旋转的性质可得，故①正确； 如图，联结， ，，点是重心， ， ， 由旋转的性质可得， ， ，， 与相似； 故②正确； ， 故③正确， ④点所经过的路程长是，故④错误， 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，重心的性质，相似三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式8-2】在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ．（结果保留π）    【答案】 【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可． 【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2， ∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°， 由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°， ∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键． 【变式8-3】如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1； （2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2； （3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）． 【分析】（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离． （2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度． （3）利用勾股定理和弧长公式求点B经过（1）、（2）变换的路径总长． 【详解】解：（1）如答图，连接AA1，然后从C点作AA1的平行线且A1C1=AC，同理找到点B1，分别连接三点，△A1B1C1即为所求． （2）如答图，分别将A1B1，A1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，得到B2，C2，连接B2C2，△A1B2C2即为所求． （3）∵，， ∴点B所走的路径总长=． 【点睛】本题考查了网格作图和勾股定理、弧长计算，解题关键是准确作图，熟练计算． 题型9 求扇形面积 例9扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在圆面积的（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：60°÷360°=， 答：扇形的面积占圆面积的． 故选∶B 【变式9-1】扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ∴， ∴， ∴是的正比例函数， ∵， ∴它的图像是过原点的一条射线． 故选：C． 【变式9-2】荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是： ， 故答案为： 【变式9-3】若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，根据扇形的面积公式计算即可．，其中n是圆心角的度数，R是扇形的半径． 【详解】∵， ∴． 故答案为：． 【变式9-4】如图，已知扇形，过点作，垂足为点，如果，那么扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了解三角形和扇形面积的计算，先根据在中，，得出扇形的圆心角度数，进而根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴扇形的面积， 故答案为． 题型10 求图形旋转后扫过的面积 例10如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 【变式10-1】如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不规则图形面积的计算．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ， 故选：A． 【变式10-2】某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，部分扫过的图形面积=， 故答案为：． 【变式10-3】如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积．由旋转可得，，进而得到，据此解答即可求解． 【详解】解：∵是绕点旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段扫过的图形面积为， 故答案为：． 【变式10-4】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位． （1）把△ABC绕着点C逆时针旋转 90°，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）求△ABC旋转到△A1B1C时线段AC扫过的面积． 【答案】（1）见解析；（2）2π 【分析】（1）根据旋转角度、旋转中心、旋转方向找出各点的对称点，顺次连接即可； （2）根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】（1）如图所示，△A1B1C即为所求； （2）∵CA=， ∴S==2π． 【点睛】本题考查旋转作图的知识，难度不大，注意掌握旋转作图的三要素，旋转中心、旋转方向、旋转角度． 题型11 求弓形面积 例11如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【变式11-1】如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求得，得到，因为，根据，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，    ∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、扇形的面积公式、三角形的面积公式、根据转化思想求图形面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式11-2】如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 结果保留．    【答案】/ 【分析】连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点，     由题意可知：， ， 为等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 阴影部分的面积为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是扇形的面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键． 【变式11-3】如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得解． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查求阴影部分的面积．熟练掌握割补法求面积，是解题的关键． 【变式11-4】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田． （1）计算弧田的实际面积． （2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7） 【答案】（1）弧田的实际面积为；（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差． 【分析】（1）先利用勾股定理及含的直角三角形的性质求解AO与AB的长度，接着算出的面积，再通过扇形面积公式求解扇形AOB的面积，最后利用割补法求解弧田面积． （2）利用题中的公式求解出弧田面积，然后让该结果与题（1）中的结果相减，求出两者之差． 【详解】（1）解：弦AB， 由垂径定理可知：平分AB，并且OD还平分． ， 在中，对应的角的为 设，则． 由勾股定理可知： 解得（舍去） ，． ，扇形AOB的面积为 弧田实际面积为． （2）解：由题（1）可得圆心到弦的距离等于1，故矢长为1． 按照题中弧田的面积公式得：弧田面积为， ∴两者之差面积之差为． 【点睛】本题主要是考查了扇形面积公式以及圆和直角三角形的相关性质，注意此题利用了割补法求解弧田面积，这是初中数学求解面积常用的方法之一，一定要熟练掌握． 题型12 求其他不规则图形的面积 例12在中，，，，点D是边的中点．以分别以A、B为圆心，为半径画弧，分别与的边相交于点D、E、F、G（如图所示），那么图中的阴影面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，先解直角三角形得到，再由线段中点的定义得到，由，得到等于一个圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积之和，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 由作图方法可知， ∵， ∴等于一个圆心角度数为90度，半径为2的扇形面积之和， ∴ ， 故答案为：． 【变式12-1】如图，中，，将绕顶点C按顺时针方向旋转方向至的位置，则图中阴影部分的面积为 （结果保留） 【答案】 【分析】根据勾股定理求出，分别求出扇形的面积、扇形的面积,根据旋转可得的面积等于的面积，即可求出答案． 【详解】在中，， 扇形的面积为：， 扇形的面积为：． 根据旋转可得的面积等于的面积， 故 = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理、扇形的面积计算等知识点，能分别求出每部分的面积是解此题的关键． 【变式12-2】如图，半径为 2 的⊙O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 C，F，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接OF，OC，过点O作于点H，交FC于点P，在四边形OCDH中，可求出，在四边形OFEH中，可求出，由题意得OP垂直平分FC，在中，根据直角三角形的性质可得OP=1，根据勾股定理得，则，过点D作，过点E作，根据角之间的关系可得，则，，则，，又因为是正六边形，所以，即可得，根据勾股定理可得，则，用多边形OFEDC的面积减去扇形OFC的面积即可得阴影部分的面积． 【详解】解：连接OF，OC，过点O作于点H，交FC于点P， 在四边形OCDH中，，，， ∴，， ∴， 在四边形OFEH中，，，， ∴，， ∴， ∵OC=OF， ∴OP垂直平分FC， 在中，，，OC=2， ∴， ∴， ， ∴， 过点D作，过点E作， ∴， ∵，，， ∴, 同理可得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵EF=DE=CD=NM， ∴， ， ∴， 则， ∴， ， ∴阴影部分的面积= ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形与圆，扇形的面积，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点和求出正多边形的边长． 【变式12-3】如图Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，点E在AB上，以AE为直径的⊙O经过点D． (1)求证：直线BC是⊙O的切线． (2)若AC=6，∠B=30°，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)阴影部分的面积为π-4． 【分析】（1）连接OD，由AD平分∠BAC，可知∠OAD=∠CAD，易证∠ODA=∠OAD，所以∠ODA=∠CAD，所以OD∥AD，由于∠C=90°，所以∠ODB=90°，从而可证直线BC是⊙O的切线； （2）根据含30度角的直角三角形性质可求出AB的长度，然后求出∠AOD的度数，然后根据扇形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠CAD， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠ODA=∠CAD， ∴OD∥AC， ∵∠C=90°， ∴∠ODB=90°， ∴OD⊥BC， ∴直线BC是⊙O的切线； （2）解：由∠B=30°，∠C=90°，∠ODB=90°， 得：AB=2AC=12，OB=2OD，∠AOD=120°， ∠DAC=30°， ∵OA=OD， ∴OB=2OA， ∴OA=OD=4， 由∠DAC=30°，得DC=2， ∴S阴影=S扇形OAD-S△OAD = =π-4． 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及角平分线的性质，平行线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形面积公式等，需要学生灵活运用所学知识． 2 / 37 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 正多边形与圆的12类高频考法 目 录 题型1 求正多边形的中心角 1 题型2 已知正多边形的中心角求边数 3 题型3 正多边形和圆的综合 6 题型4 尺规作图--正多边形 10 题型5 求弧长 12 题型6 求扇形半径 15 题型7 求圆心角 16 题型8 求某点的弧形运动路径长度 18 题型9 求扇形面积 22 题型10 求图形旋转后扫过的面积 25 题型11 求弓形面积 28 题型12 求其他不规则图形的面积 32 题型1 求正多边形的中心角 例1如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 【变式1-1】边长为a的正十边形的半径是（   ） A．； B． C． D． 【变式1-2】一个正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-3】正十边形的中心角的度数为 ． 【变式1-4】周长相等的正方形与正六边形的面积分为，则的值为 ． 题型2 已知正多边形的中心角求边数 例2如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【变式2-1】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式2-2】如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如果将一个正多边形绕它的中心旋转后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形的边数是 ． 【变式2-4】如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ． 【变式2-5】如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的，那么n的值是 ． 题型3 正多边形和圆的综合 例3下列命题正确的是（    ） A．平分弦的直径垂直于弦 B．过三点可以确定一个圆 C．两圆的公共弦垂直平分连心线 D．等边三角形外接圆的面积是内切圆面积的4倍 【变式3-1】如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】正三角形外接圆和内接圆的周长之比为 【变式3-3】边心距为2的正六边形面积是 ． 【变式3-4】已知正多边形的边长为a，且它的一个外角是其内角的一半，那么此正多边形的边心距是 ． 题型4 尺规作图--正多边形 例4如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为 ． 【变式4-1】补全下面的步骤并依照下面的步骤制作八角星． 步骤1：任意画一个圆； 步骤2：以圆心为顶点，连续画 度的角，与圆相交于 个点； 步骤3：连接每隔一个点的两个点； 步骤4：擦去多余的线，就得到八角星，再把它剪下来． 请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出图形．（要求：保留画图痕迹，不写画图过程） 【变式4-2】如图，已知AC为的直径．请用尺规作图法，作出的内接正方形ABCD．（保留作图痕迹．不写作法） 题型5 求弧长 例5“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（     ） A．2π+2 B．3π C． D．+2 【变式5-2】在矩形中，如果以为直径的沿着滚动一周，点恰好与点C重合，那么 的值等于 【变式5-3】点P是外一点，分别与相切于点A，B，连结，已知的半径为1，，则劣弧的长为 ． 【变式5-4】如图，在中，是两条弦，的半径长为，弧的长度为，弧的长度为，当时，求证． 题型6 求扇形半径 例6在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知扇形的弧长为，该所对圆心角为，则此扇形的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知扇形的弧长是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【变式6-3】马面裙是中国古代汉族女子主要裙式之一，随着传统服饰日益受到关注，马面裙也强势“出圈”．如图1为马面裙的一种经典款式，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中长为0.6米，弧长为米，圆心角，则弧长为 米． 题型7 求圆心角 例7一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ． 【变式7-3】“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 题型8 求某点的弧形运动路径长度 例8如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【变式8-1】如图，中，，，点是重心，将绕着点按顺时针方向旋转，使点A落在BC延长线上的处，此时点B落在点，点G落在点.联结CG、、、.在旋转过程中，下列说法：①；②与相似；③；④点所经过的路程长是.其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-2】在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为 ．（结果保留π）    【变式8-3】如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1； （2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2； （3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长． 题型9 求扇形面积 例9扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在圆面积的（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是 ． 【变式9-3】若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为 ． 【变式9-4】如图，已知扇形，过点作，垂足为点，如果，那么扇形的面积为 ．（结果保留） 题型10 求图形旋转后扫过的面积 例10如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为 ．（结果保留） 【变式10-3】如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为 ． 【变式10-4】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 个单位． （1）把△ABC绕着点C逆时针旋转 90°，画出旋转后对应的△A1B1C； （2）求△ABC旋转到△A1B1C时线段AC扫过的面积． 题型11 求弓形面积 例11如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，已知内接于，为直径，的平分线交于点D，连接，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式11-2】如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 结果保留．    【变式11-3】如图，在扇形中，，，则阴影部分的面积是 ． 【变式11-4】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为，弦长的弧田． （1）计算弧田的实际面积． （2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米?（取近似值为3，近似值为1.7） 题型12 求其他不规则图形的面积 例12在中，，，，点D是边的中点．以分别以A、B为圆心，为半径画弧，分别与的边相交于点D、E、F、G（如图所示），那么图中的阴影面积为 ． 【变式12-1】如图，中，，将绕顶点C按顺时针方向旋转方向至的位置，则图中阴影部分的面积为 （结果保留） 【变式12-2】如图，半径为 2 的⊙O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 C，F，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式12-3】如图Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，点E在AB上，以AE为直径的⊙O经过点D． (1)求证：直线BC是⊙O的切线． (2)若AC=6，∠B=30°，求图中阴影部分的面积． 2 / 37 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $