精品解析：安徽省六安第一中学2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

六安一中2026届高三年级第三次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，再根据复数的除法得到即可． 【详解】由，则， ，， 所以的虚部为． 故选：A． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由可得：， 由可得：， 则， 故选：C 3. 已知平面向量和满足，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的公式求解即可. 【详解】由题设，在方向上的投影向量为； 故选：D 4. 在中，设，若点满足，点为中点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，结合平面向量的线性运算求解. 【详解】根据题意， . 故选：B 5. 在中，角的对边分别为．若，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理直接求解. 【详解】根据余弦定理， ， 所以. 故选：B 6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的取值为（ ） A. 1 B. C. 或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换求出函数的解析式，根据可求出的取值范围，根据在上只有一个极大值点，可得出关于的不等式，从而可得出正整数的值. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的， 得到函数的图象，则， 当时，， 因为在上只有一个极大值点，则，解得， 因为，故正整数的值为1或. 故选：D. 7. 若不等式对恒成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用导数求得，根据题意可得，设，利用导数求得的最大值，分析即可得. 【详解】设，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 由题意，，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以的最大值为. 故选：B 8. 在中，角的对边分别为，已知，且的取值范围是，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，然后由三角函数和差化积公式可得， 然后可得，然后结合三角形正弦定理和面积公式可得答案. 【详解】的内角，，满足， ， ， ， ， 化为， ． 设外接圆的半径为， 由正弦定理可得：， 由可得：， 则，即，则 由，及正弦定理得， 即， 面积满足， 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 在中，．则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为3 D. 的外接圆半径为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量线性运算来判断A，利用余弦定理来求解并判断B和C，利用直角三角形来求外接圆半径可判断D. 【详解】由，所以，故A错误； 由， 因为，所以为锐角， 则由， 结合余弦定理可得：， ，故B正确； 由余弦定理得：，则， 所以三角形面积为，故C错误； 根据直角的外接圆半径为，故D正确； 故选：BD. 10. 设为复数，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. C. 若均为纯虚数，则为实数 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】设复数，可得，结合复数的运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】设复数，可得， 对于A，取，则，，故A错误； 对于B，， ，则，故B正确； 对于C，由均为纯虚数，得，， 则是实数，故C正确； 对于D，由 ，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数有且只有三个零点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题设等价于和有且只有三个交点，再利用中心对称性并结合题意判断A；利用单调性与周期性结合反证法判断B；易得和相切时才满足题意，结合图象即可判断C，利用导数的几何意义得到，进而求出判断D即可. 【详解】对于A，由， 若有且只有三个零点， 则有且只有三个解， 即和有且只有三个交点， 而，则是的零点，即是两个函数的一个交点 由正弦函数性质得是的一个对称中心， 由一次函数性质得是的一个对称中心， 则两个函数的交点关于中心对称，得到，故A正确， 对于B，若，则， 可得， 而，则单调递增，且， 可得， 而是和的交点横坐标， 得到，， 即，发生矛盾，故B错误； 对于CD，由图可知，当和相切时才满足题意， 则，故C正确， 由，则， 因为，所以，且， 消去a得， 则， 又，则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由向量的坐标表示向量共线和垂直，解出，再计算模长可得. 【详解】设，则， 由，可得，解得， 则，所以. 故答案为：. 13. 求值：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数的平方关系，辅助角公式，二倍角公式以及诱导公式计算. 【详解】 . 故答案为：. 14. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形边长的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理得到，设，，由正弦定理得到，，故，其中，故. 【详解】因为，，，所以， 设，， 则，，， 在中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以，所以 （其中）， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且是边长为4的正三角形． （1）求ω与a的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用降幂公式、辅助角公式，可得，根据正三角形边长及周期公式，可得的值，求得正三角形的高，可得a值. （2）由题意，可得，根据的范围，可得，代入所求，结合两角差的正弦公式，化简计算，即可得答案. 【小问1详解】 由已知得， ，， 由图象可知，正三角形的高即为函数的最大值a， 解得. 【小问2详解】 由（1）知，即， ，， ， . 16. 设函数． （1）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； （2）过坐标原点作曲线的切线，求切点的横坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，对任意的，恒成立，即得，求出函数在上的最小值，即得实数a的取值范围； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义写出切线的方程，将原点的坐标代入切线方程，可得出，令，利用导数分析该函数的单调性，结合解方程，求出即可． 【小问1详解】 因为函数在区间上是减函数， 则对任意的，恒成立， 故对任意的恒成立， 令，其中， 因为函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数， 所以，， 故实数的取值范围是． 【小问2详解】 设切点坐标为， ，则切线斜率为， 所以，函数在处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程并化简得， 令，其中，则， 故函数在上为增函数，且， 由，可得， 因此，切点的横坐标为． 17. 已知向量，，函数． （1）求的最小正周期及值域． （2）设函数． ①求图象的对称中心； ②当时，函数的图象与直线有两个交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）最小正周期，值域为 （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角和辅助角公式可化简，根据正弦型函数最小正周期求法可求得周期，利用正弦函数性质求解值域即可. （2）①根据对称关系可求得，采用五点作图对应法可构造方程求得对称中心； ②将问题转化为与恰有两个交点的问题，结合正弦型函数图象可求得结果即可. 【小问1详解】 ， ， ， 的最小正周期，值域为． 【小问2详解】 因为， 所以与的图象关于直线对称， ； ①令，解得，此时， 图象的对称中心为； ②当时，， 则当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减； 而，，， 可得在的大致图象，如下图所示， 而有两个零点等价于与有两个交点， 由上图可知. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记，． （1）若，，求向量夹角的余弦值； （2）若向量共线． ①求证：角为直角； ②求的取值范围． 【答案】（1） （2）① 证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据向量的夹角公式即可求解； （2）①首先根据向量共线得出，再利用二倍角公式，弦化切即可证明；②由正弦定理边化角得到，然后令，把问题转化二次函数值域问题即可求解. 【小问1详解】 若，，则，， 则，所以向量夹角的余弦值为 . 【小问2详解】 ①若向量共线，则，即， 可得，则， 因为，则，可知，， 可得，即，可得， 又，则，可得，则． ②由①可知： ，． 令，因为，则，， 可得，且， 则， 令，在区间内单调递增，且，， 可得，即的取值范围为． 19. 已知函数，为函数的导函数． （1）令，若在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； （2）讨论函数在上的单调性； （3）令，若在上有零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为有解，再分离参数转化为最值问题求解； （2）由求解得单调增区间，求解得单调减区间； （3）由单调性结合零点存性定理判断求解. 【小问1详解】 ，由已知，在上有解， 则只需，， 当时，最小值为，所以；． 【小问2详解】 由题意知， 求导得， 当时，，， 当，则， 解得，即时，， 当，则，解得，即时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；． 【小问3详解】 ，则， ①当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增．所以在区间上恒成立，即在区间上无零点． ②当时，令，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，即． （ⅰ）时，，在区间上单调递增， 即在区间上恒成立，所以在区间上无零点． （ⅱ）当时，，又，所以存在，使得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，即当时，取得最小值，因为，所以．因为，所以当时，，此时，在区间上恒成立，在区间上无零点． 当时，，故存，使得． 综上所述，实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2026届高三年级第三次月考 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量和满足，且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，设，若点满足，点为中点，则=（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角的对边分别为．若，为中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上只有一个极大值点，则的取值为（ ） A. 1 B. C. 或 D. 1或 7. 若不等式对恒成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 在中，角对边分别为，已知，且的取值范围是，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 在中，．则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的面积为3 D. 的外接圆半径为 10. 设为复数，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. C. 若均为纯虚数，则为实数 D. 若，则 11. 已知函数有且只有三个零点，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，且，则_________. 13. 求值：_________． 14. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形边长的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且是边长为4的正三角形． （1）求ω与a的值； （2）若，且，求的值． 16. 设函数． （1）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； （2）过坐标原点作曲线的切线，求切点的横坐标． 17 已知向量，，函数． （1）求的最小正周期及值域． （2）设函数． ①求图象的对称中心； ②当时，函数图象与直线有两个交点，求实数的取值范围． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记，． （1）若，，求向量夹角的余弦值； （2）若向量共线． ①求证：角直角； ②求的取值范围． 19. 已知函数，为函数的导函数． （1）令，若在上存在单调递增区间，求实数的取值范围； （2）讨论函数在上的单调性； （3）令，若在上有零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $