3.2.1双曲线及其标准方程 过关检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程过关检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第三章（2019）人教A版） 一、单选题 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 3．以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是 A． B． C． D． 5．已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 6．已知点，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线（非坐标轴）相交于点，则点的轨迹方程为（　　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是双曲线，其焦点在轴上 C．若，则是圆 D．若，，则是两条直线 8．设为坐标原点，为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，分别是椭圆的左、右焦点，则（    ） A．与的焦点相同 B． C． D． 三、填空题 9．已知某双曲线的一个焦点为，且，则双曲线的标准方程为 ． 10．已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为 . 四、解答题 11．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点． 12．已知圆，圆，动圆与、都外切.求圆心的轨迹方程. 13．若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线C的方程； (2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积. 14．已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上． 解析 一、单选题 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：由双曲线定义可得的值，进而求出，即可得到结果. 解析：由双曲线的定义可得，，即，， 由题意得双曲线焦点在轴上，所以双曲线的方程为． 故选：A. 2．已知方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 答案：D 分析：对双曲线的焦点位置进行分类讨论，得出关于的不等式组，解出即可. 解析：法1：若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得； 若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选D. 法2：根据双曲线方程的形式可得： 因此，实数的取值范围是. 故选D. 点睛：本题考查双曲线的方程，解题时要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用. 3．以椭圆长轴的两个端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析：根据椭圆方程写出长轴端点和焦点坐标，从而求得双曲线的a和c，再代入双曲线标准方程即可. 解析：椭圆长轴的两个端点为，，焦点为，， 所以双曲线的焦点坐标为，，顶点为，， 则双曲线的焦点在轴上，且，，所以， 所以双曲线的方程为. 故选：C. 4．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是 A． B． C． D． 答案：B 解析：设双曲线的标准方程为 法1：由的中点为知，，即， 双曲线方程为，故选B. 法2：设点,因为线段的中点坐标为，且， ,解得：即, ,, 解得：,双曲线方程为，故选B. 5．已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（　　） A．5 B．7 C．9 D．11 答案：C 分析：据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的定义，整理，利用三角形三边关系，可求解. 解析：由双曲线，则，即，且， 由题意，, ， 当且仅当共线时，等号成立. 故选：C. 6．已知点，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线（非坐标轴）相交于点，则点的轨迹方程为（　　　） A． B． C． D． 答案：A 分析：先由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）． 解析：由题意画图如下 可得|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|， 那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|， 所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外）， 且2a=2，c=3，则a=1，b2=9﹣1=8，所以点P的轨迹方程为． 故选A． 点睛：本题主要考查双曲线的定义与标准方程，属于中档题． 二、多选题 7．已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是双曲线，其焦点在轴上 C．若，则是圆 D．若，，则是两条直线 答案：AB 分析：根据各曲线的标准方程分别判断即可. 解析：对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确， 对于B，因为，所以可化为，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故B正确； 对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，若，不是圆，故C错误； 对于D，若，，则可化为，当时，无意义，当时，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D错误； 故选：AB. 8．设为坐标原点，为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，分别是椭圆的左、右焦点，则（    ） A．与的焦点相同 B． C． D． 答案：ABD 分析：根据椭圆和双曲线的方程可确定焦点判断A；利用椭圆、双曲线定义可判断BC；判断为直角，可判断D. 解析：对于A，椭圆的焦点坐标为，双曲线的焦点坐标也为，，A正确； 对于B，对于双曲线，其实半轴长，P点在双曲线右支上，则，B正确； 对于C，对于椭圆，有，结合，则，C错误； 对于D，结合C的分析可得，则， 即为直角，故，D正确， 故选：ABD 三、填空题 9．已知某双曲线的一个焦点为，且，则双曲线的标准方程为 ． 答案： 分析：由题意可以依次先求出的值，然后注意焦点在轴上，由此即可得解. 解析：由题意双曲线的一个焦点为在轴上，故， 又，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 10．已知椭圆与双曲线共焦点（记为，），点是该椭圆与双曲线的一个公共点，则的面积为 . 答案： 分析：根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 解析：因为椭圆与双曲线共焦点， 所以有， 因为该椭圆与双曲线是中心对称图形和轴对称图形， 所以不妨设点是在第一象限，左、右焦点分别为，， 设，由椭圆和双曲线的定义可知：， 由余弦定理可知：， 所以有， 因此的面积为， 故答案为： 四、解答题 11．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点． 分析：（1）根据题意可得，求出结合焦点位置得出双曲线方程； （2）由焦点坐标及双曲线上点，利用双曲线定义求出，即可得出双曲线方程. 解析：（1）由已知得5，．因此，且． 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是． （2）由已知得双曲线的焦点在y轴上，且，所以另一个焦点坐标为. 因为点在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为 ， 因此，从而．因此，所求双曲线的标准方程是． 12．已知圆，圆，动圆与、都外切.求圆心的轨迹方程. 分析：设圆的半径为，根据圆与圆的位置关系得出，，可得出，则点的轨迹是以点、为焦点的双曲线的右支，求出、、的值，即可得出其轨迹方程. 解析：设圆的半径为，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆、圆都外切， 则，，所以，， 所以，点的轨迹是以点、为焦点的双曲线的右支， 设双曲线的标准方程为，则， 可得，，则， 所以，， 所以，圆心的轨迹方程为. 13．若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2. (1)求双曲线C的方程； (2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积. 分析：（1）根据双曲线的定义和条件求解； （2）先求出 和 ，再根据余弦定理求出与夹角，运用三角形面积公式计算. 解析：（1）令分别是左右焦点，则，得， 双曲线的方程为 ，将点 代入上式，得： ， 双曲线的标准方程为 ； （2）不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知： ， ，解得 ， 在△中，， 设与的夹角为 ，由余弦定理得：， ； 综上，双曲线的标准方程为，△的面积为 . 14．已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上． 分析：（1）根据双曲线的定义可求的方程； （2）利用点差法可证点在直线. 解析：（1）因为， 所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支， 由，得， 所以的方程为． （2）证明：设两点的坐标分别为，则 两式相减并整理得，， 设，依题意可得 所以，即，所以， 即，所以点在直线上． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $