江苏省南京市秦淮区2025-2026学年九年级上学期期中数学模拟试卷

江苏省南京市秦淮区2025-2026学年九年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共2分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，没有实数根的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、方程整理得， 则，方程有两个不相等的实数根，所以选项不合题意； 、， 则，方程没有实数根，所以选项符合题意； 、， 则，方程有两个相等的实数根，所以选项不合题意； 、， 则，方程有两个不相等的实数根，所以选项不合题意． 故选： 分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 2.如图，为的直径，弦，垂足为，，，则半径的长为(    ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】C  【解析】解：连接，设的半径为，则， 弦，过圆心，， ，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即的半径是， 故选： 连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理得出关于的方程，再求出方程的解即可． 本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦． 3.对某条路线的长度进行次测量，得到个结果单位：，，，，如果用作为这条路线长度的近似值，要使的值最小，那么应选取这次测量结果的(    ) A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】C  【解析】略 4.某商场为吸引顾客，设计了如图所示的转盘，转动转盘，转盘停止时，若指针指向阴影部分，顾客可获奖品一份，那么顾客获奖的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 5.如图，张大叔从市场上买了一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多米，现已知购买这种铁皮每平方米需元钱，则张大叔购买这张矩形铁皮共花费(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B  【解析】设长方体箱子宽为米，则长为米依题意，有整理得，解得舍去，，这种长方体箱子底部长为米，宽为米由长方体展开图可知，所购买矩形铁皮面积为平方米，购买这张矩形铁皮共花费元故选B． 6.如图，是等腰直角三角形，，以斜边上的点为圆心的圆分别与，相切于点，，与交于点，，且的延长线和的延长线交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】提示：连接，，因为，是的切线，所以，因为是等腰直角三角形，，所以，所以是等腰直角三角形，所以因为，所以四边形是矩形．因为，所以四边形是正方形．所以因为，所以所以是等腰直角三角形，所以，所以，所以是的中点．所以因为，所以因为，所以因为，所以所以，所以． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.已知一组数据，，，，，的众数是和，则这组数据的中位数是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义． 先根据众数的定义求出，再根据中位数的定义求解可得． 【解答】 解：数据，，，，，的众数是和， ， 则数据为、、、、、， 这组数据为， 故答案为：． 8.一个不透明的袋中装有一些除颜色外其他完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，摸出黑球的概率是          ． 【答案】  【解析】略 9.如图，正八边形的边长为，对角线、相交于点，则的长为          ． 【答案】  【解析】略 10.若，则代数式的值为          ． 【答案】  【解析】提示：设，则原方程可化为，解得，又因为，所以，即． 11.如图，在中，，，若以点为圆心，为半径作圆，则当所作的圆与斜边所在的直线相切时，的值为          ． 【答案】  【解析】略 12.在等腰三角形中，、、的对边分别是、、，已知，和是关于的方程的两个实数根，则的周长为          ． 【答案】或  【解析】、、是等腰三角形的三边，或或当或时，是方程的一个根，，即，，，，此时的周长为当时，，，当时，原方程可化为，解得，不符合实际情况，舍去当时，原方程可化为，解得，此时的周长为综上，的周长为或． 13.定义新运算：例如：，若，则的值为          ． 【答案】或  【解析】当时，，解得或舍去；当时，，解得综上所述，的值是或，故答案为或． 14.如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则线段扫过的图形阴影部分的面积为          ． 【答案】  【解析】略 15.如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，，则的度数为          ． 【答案】  【解析】连接，，，，．是切线，，即．，，四边形是的内接四边形，． 16.在中，，，，点从点出发，沿射线以的速度移动，移动过程中始终保持，点，分别在射线，上以点为圆心，为半径作，若上恰好只有两个点到直线的距离为，设点移动的时间为，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】  提示：如图，作直线，由题意可得，，，，当与相切时，上恰好有一个点到的距离为因为，，所以令，即，解得当与相切时，令，即，解得所以． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.用适当的方法解下列一元二次方程           【答案】解：  或， ，即， ，  ； 解：原方程可化为． ， 即 ，或． ，  【解析】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 用配方，求解即可； 用因式分解法，使每一因式为，求解即可． 18.本小题分 某班名学生身高的数据信息如图所示． 请回答以下问题： 从图中你能看出这名学生身高的平均数、中位数和众数吗 一定有身高为的学生吗一定有身高为的学生吗 依身高将同学们排序，中间的学生其身高处于哪个范围 高于的学生在全班学生中占比多少 【答案】解：平均数：从所给的统计图无法直接得出这名学生身高的平均数 中位数：结合箱线图，中位数是 众数：从所给的统计图无法直接得出众数，只能得出众数所在的组 对于箱线图中最大值是，说明这组数据中最高身高是，但不一定有学生的身高恰好是，可能是这组数据的最大值 对于从给出的频数分布直方图和箱线图来看，没有身高为的相关信息，所以一定没有身高为的学生 中间的学生，即从第个数据到第个数据的范围， 结合箱线图，下四分位数是，上四分位数是，所以中间的学生其身高处于到这个范围 高于的学生人数：身高在的有人，的有人，的有人，共有人． 全班共人，所以占比为．  【解析】根据平均数、中位数和众数的定义进行求解即可 根据图象进行判断即可 根据图象进行判断即可 先求出高于的学生人数，然后进行计算即可． 本题主要考查了平均数、中位数、众数的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义． 19.本小题分 图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． 分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． 请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于中求得的概率． 如果把纸板上的虚线去掉，、中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 【答案】(1)，；  (2)只要保证涂上阴影部分的面积是网格纸板面积的即可；  (3)不变，  【解析】 略  略  略 20.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实数根 若方程有一个根为负数，求的取值范围． 【答案】(1)由于=-4(m-1)=0, 方程总有两个实数根;   (2)由于(x+1)(x+m-1)=0, x=-1或x=-m+1, 此方程有一个根是负数, ​​​​​​​-m+10,m的取值范围是m.   【解析】 略  略 21.本小题分 如图，是的直径，是的一条弦，，连接、、． 求的度数 若，求的半径． 【答案】(1)BAD=  (2)O的半径为4  【解析】 略  略 22.本小题分 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙墙的长度为，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为如图． 若矩形养殖场的总面积为，求此时的值； 当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)根据题意知，较大矩形的宽为2x m，长为，∴(x+2x)×(8-x)＝36，  解得x＝2或x＝6，  经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，∴x＝2．  故此时x的值为2 m．  (2)设矩形养殖场的总面积是y m2，∵墙的长度为10，∴．  由题意，得y＝(x+2x)×(8-x)＝-3x2+24x＝-3(x-4)2+48，∵-3＜0，∴当时，y取最大值，最大值为．  故当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．  【解析】 略  略 23.本小题分 如图，，是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点，且． 用直尺和圆规作出该圆的圆心；保留作图痕迹，不写作法 求证． 【答案】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点， 则点即为所求． 证明：由图可得，， ． ，， ≌， ．  【解析】分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 由圆周角定理可得，则根据全等三角形的判定证明≌，可得． 本题考查作图复杂作图、垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24.本小题分 如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． 求的度数； 求正六边形与正方形的面积比． 【答案】解：连接，如图所示： 在圆内接六边形中，是正三角形， ， ； 设正六边形的边长为， 则三角形的边上的高， 则正六边形的面积为：， 正方形的面积为：， 正六边形与正方形的面积比：．   【解析】本题考查了正多边形和圆，求得三角形的面积是解题的关键． 根据正六边形的边长等于外接圆的半径，可得出是正三角形，继而可得为等腰三角形，即可得出答案； 设正六边形的边长为，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求比值即可． 25.本小题分 某商店销售一批数学实验用具，零售价每件元如果一次购买超过件，那么每多购件，购买的所有实验用具的单价均降低元，但单价不能低于元小明和几位同学购买这种实验用具支付了元，他们共买了多少件？ 【答案】解：设小明和几位同学共买了件， 元，， ， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：他们共买了件．  【解析】设小明和几位同学共买了件，根据小明和几位同学购买这种实验用具支付了元，列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 26.本小题分 如图，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点． 求证：是等边三角形； 能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； 若的半径为，则面积的最大值是          ． 【答案】(1)证明：连接，， ∵劣弧的度数为， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形；   (2)解：如图，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴在上， ∵为等边三角形， ∴， ∵为等腰三角形，此时， ∴， 如图，当重合时，，为等腰三角形， ∴同理可得：， ∴， 如图，当时，连接， ∴， 同理：在上， ∵， ∴， 综上：的度数为，，．   (3)  【解析】  连接，，证明，，从而可得结论；   如图，连接，，由为等边三角形，，结合，可得，如图，当重合时，，为等腰三角形，可得，如图，当时，连接，由，可得，   解：如图，连接，证明，可得，取的中点，连接，，，，，过作于，当过时，最大，可得最大，则最大，再进一步解答即可． 解：如图，连接， 是的垂直平分线， 在上，， ，， ， ， 取的中点，连接，，，，， 由等边三角形可得， ， 在以为圆心，为半径的上， ， ， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， 在上， 过作于，当过时，最大， 最大，则最大， 此时，， ， ， ， ， 的最大面积为． 27.本小题分 “等弦”的探究． 【尝试发现】 如图，在中，，是弦，且由此，你能发现什么？从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． 【问题解决】 如图，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等． 在图中，用直尺和圆规作出一个满足条件的保留作图痕迹，写出必要的文字说明 若，，，的半径为，则的取值范围是______． 【应用设计】 如图，某城市有一个圆形人工湖，已知直线型道路穿过人工湖，其中弦为湖中桥现规划利用段修建四边形观湖路，新修建的三条道路，，均穿过人工湖，被所截得的弦为湖中桥三条弦互不相交，且湖中桥长度均与相等在图中，用直尺和圆规作出周长最短的观湖路要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明 【答案】证明详见解析；   作图详见解析；；   作图详见解析．  【解析】选择小明． 证明：如图，过点分别作，，垂足分别为、，连接、， ，且过圆心， ， 在中，， 同理，， ， ， 又， ， 即到、的距离相等； 选择小红． 证明：如图，连接， ， ， ， 即， ， ． 如图所示， 作法：Ⅰ，作和的角平分线交于点， Ⅱ，以为圆心，适当长度为半径作，与相交； 即为所求． 如图，过作于点， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得， ， ， ， 如图，过分别作，，，垂足分别为、、，                                    ， ， 设，则，， ， ， 解得， ， ， ， 又因为得满足与三边相交， 综上，的范围是． 故答案为：． 作法一：如图四边形即为所求； 作法：过点作于点，垂足为，以点为圆心，长为半径作小； 以点为圆心，长为半径作弧交小于点，以点为圆心，长为半径作弧交小于点； 连接、并延长交于点，连接，交小于点； 过点作的垂线，分别交、于点、； 则四边形即为所求． 作法二：如图，四边形即为所求； 作法：以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点； 连接，交于点，连接； 过点作于点，垂足为点，在线段上截取； 过点作的垂线，分别交、于点、； 则四边形即为所求． 小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对等边即可得证； 利用中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作角平分线的交点即可； 因为得满足与三边相交，所以找临界值相切时值，再看、、最短的，就作为另一个临界值，先通过勾股方程求出的面积，再利用等面积求出相切时的值，然后利用切线长定理求出、、即可得解． 过作于点，然后以为半径作小圆，再作、、与小圆相切即可得解． 本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、切线长定理、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第8页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市秦淮区2025-2026学年九年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，没有实数根的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，为的直径，弦，垂足为，，，则半径的长为(    ) A. B. C. D. 无法确定 3.对某条路线的长度进行次测量，得到个结果单位：，，，，如果用作为这条路线长度的近似值，要使的值最小，那么应选取这次测量结果的(    ) A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 4.某商场为吸引顾客，设计了如图所示的转盘，转动转盘，转盘停止时，若指针指向阴影部分，顾客可获奖品一份，那么顾客获奖的概率为(    ) A. B. C. D. 5.如图，张大叔从市场上买了一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多米，现已知购买这种铁皮每平方米需元钱，则张大叔购买这张矩形铁皮共花费(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 （第2题） （第4题） （第5题） （第6题） 6.如图，是等腰直角三角形，，以斜边上的点为圆心的圆分别与，相切于点，，与交于点，，且的延长线和的延长线交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.已知一组数据，，，，，的众数是和，则这组数据的中位数是          ． 8.一个不透明的袋中装有一些除颜色外其他完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出个球，摸出红球的概率是，摸出白球的概率是，摸出黑球的概率是          ． 9.如图，正八边形的边长为，对角线、相交于点，则的长为          ． 10.若，则代数式的值为          ． 11.如图，在中，，，若以点为圆心，为半径作圆，则当所作的圆与斜边所在的直线相切时，的值为          ． 12.在等腰三角形中，、、的对边分别是、、，已知，和是关于的方程的两个实数根，则的周长为          ． 13.定义新运算：例如：，若，则的值为          ． 14.如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，，则线段扫过的图形阴影部分的面积为          ． 15.如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，，则的度数为          ． （第9题） （第11题） （第14题） （第15题） 16.在中，，，，点从点出发，沿射线以的速度移动，移动过程中始终保持，点，分别在射线，上以点为圆心，为半径作，若上恰好只有两个点到直线的距离为，设点移动的时间为，则的取值范围是          ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.用适当的方法解下列一元二次方程           18.本小题分 某班名学生身高的数据信息如图所示． 请回答以下问题： 从图中你能看出这名学生身高的平均数、中位数和众数吗 一定有身高为的学生吗一定有身高为的学生吗 依身高将同学们排序，中间的学生其身高处于哪个范围 高于的学生在全班学生中占比多少 19.本小题分 图、、是正方形的网格纸板，现进行投针试验，分别随意向三个纸板上投一针． 分别求出投中纸板、上的阴影部分的概率． 请在图中选取部分方格涂上阴影，使得投中阴影部分的概率等于中求得的概率． 如果把纸板上的虚线去掉，、中求得的概率发生变化吗？你能总结出投中阴影部分概率的公式吗？ 20.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：方程总有两个实数根 若方程有一个根为负数，求的取值范围． 21.本小题分 如图，是的直径，是的一条弦，，连接、、． 求的度数 若，求的半径． 22.本小题分 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙墙的长度为，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为如图． 若矩形养殖场的总面积为，求此时的值； 当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 23.本小题分 如图，，是一个圆的两条弦，它们的延长线相交于点，且． 用直尺和圆规作出该圆的圆心；保留作图痕迹，不写作法 求证． 24.本小题分 如图，的半径为，六边形是圆内接正六边形，四边形是正方形． 求的度数； 求正六边形与正方形的面积比． 25.本小题分 某商店销售一批数学实验用具，零售价每件元如果一次购买超过件，那么每多购件，购买的所有实验用具的单价均降低元，但单价不能低于元小明和几位同学购买这种实验用具支付了元，他们共买了多少件？ 26.本小题分 如图，在中，劣弧的度数为，点是优弧上的动点，且不与点重合，弦的垂直平分线分别交射线，弦于点． 求证：是等边三角形； 能否为等腰三角形？如果能，求此时的度数；如果不能，请说明理由； 若的半径为，则面积的最大值是          ． 27.本小题分 “等弦”的探究． 【尝试发现】 如图，在中，，是弦，且由此，你能发现什么？从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． 【问题解决】 如图，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等． 在图中，用直尺和圆规作出一个满足条件的保留作图痕迹，写出必要的文字说明 若，，，的半径为，则的取值范围是______． 【应用设计】 如图，某城市有一个圆形人工湖，已知直线型道路穿过人工湖，其中弦为湖中桥现规划利用段修建四边形观湖路，新修建的三条道路，，均穿过人工湖，被所截得的弦为湖中桥三条弦互不相交，且湖中桥长度均与相等在图中，用直尺和圆规作出周长最短的观湖路要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $null