2026年中考数学一轮复习考点训练：第16讲 等腰三角形与直角三角形

第16讲 等腰三角形与直角三角形 夯基对点练 考点1 等腰三角形 1．[2025江苏扬州]在如图所示的房屋人字梁架中,,点在上,下列条件不能说明的是（ ） A． B． C． D．平分 2．[2025安徽]如图，在中， ，，边的中点为，边上的点满足.若，则的长是（ ） A． B．6 C． D．3 3．[2024山东泰安]如图，直线，等边三角形的两个顶点，分别落在直线，上，若 ，则的度数是（ ） A． B． C． D． 4．[2025四川凉山州]如图，，，点在上，， ，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．[2024湖南]若等腰三角形的一个底角的度数为 ,则它的顶角的度数为_ _ _ _ . 6．[2024贵州]如图，在中，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，连接.若，则的长为_ _ _ _ . 考点2 直角三角形 7．[2025陕西]如图，在中， ， ，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．[2024四川眉山]如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ） 图1 图2 A．24 B．36 C．40 D．44 9．[2024江苏南京校级模拟]下列各组数中是勾股数的为（ ） A．,, B．1,1, C．7，8，9 D．13，84，85 10．[2025江苏扬州]如图,在中,点,分别是边,的中点,点在线段的延长线上,且 .若,,则的长是_ _ _ _ . 11．[2025江苏扬州]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究,提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出,不仅简化了勾股数的生成过程,也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:,4,5;,12,13;,24,25;,40,41;……根据上述规律,写出第⑤组勾股数为_ _ _ _ _ _ _ _ . 12．[2025广西]如图,点,在同侧,,,则_ _ _ _ _ _ . 综合提升练 13．[2025四川德阳]如图，在中， ，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点，连接，若，则（ ） A．3 B．2 C．1 D． 14．[2025黑龙江龙东地区]如图，在中， ，点、分别在边和上，且，，连接，点，分别是，的中点，连接，则的长度为（ ） A． B． C．2 D． 15．[2024四川自贡]如图，等边钢架的立柱于点，长.现将钢架立柱缩短成， ,则新钢架减少用钢（ ） A． B． C． D． 16．[2025四川遂宁]如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点处，沿圆柱的侧面爬到点处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ） A． B． C． D． 17．[2025江苏淮安一模]如图，在中， ， ，，分别以，为边作正三角形，，连接，交于点，则的长是（ ） A．2 B．3 C． D． 18．某社区为了让居民享受“开窗见景，推门见绿”的环境，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场.图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，， ，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（ ） 图1 图2 A．40 800元 B．91 600元 C．60 800元 D．48 000元 19．[2024重庆B卷]如图，在中，， ，平分交于点.若，则的长度为_ _ _ _ . 20．[2025四川广安]如图，在等腰中， ，，是边上的一个动点，连接，则的最小值为_ _ _ _ _ _ . 21．[2025四川南充]如图, ,在射线上取一点,以点为圆心,长为半径画弧;再以点为圆心,长为半径画弧,两弧在的内部相交于点,连接并延长交射线于点.设,则的长是_ _ _ _ . 22．[2025江苏苏州]如图,在中,,, ,是线段上一点（不与端点,重合）,连接.以为边,在的右侧作等边三角形,线段与线段交于点,则线段长度的最大值为_ _ _ _ _ _ . 23．[2024甘肃临夏州]如图，等腰中，， ，将沿其底边上的中线向下平移，使的对应点满足，则平移前、后两三角形重叠部分的面积是_ _ _ _ _ _ . 24．[2025四川德阳]等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是_ _ _ _ . 25．[2024湖北武汉]如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.直线交正方形的两边于点,,记正方形的面积为,正方形的面积为.若,则用含的式子表示的值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 26．[2023江苏苏州]如图, ,.过点作,延长到,使，连接,.若,则_ _ _ _ _ _ .（结果保留根号） 27．[2024黑龙江大庆]如图①，直角三角形的两个锐角分别是 和 ，其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：以两个小正方形的边为斜边向外分别作锐角为 和 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为_ _ _ _ . 图① 图② 图③ 28．[2024黑龙江齐齐哈尔]如图，数学活动小组在用电脑软件绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限， .将沿轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后，点的对应点为，点的对应点为，与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心；点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，滚动2 024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 29．[2025河南]定义:有两个内角的差为 的三角形叫作“反直角三角形”.如图,在中,,,点为边上一点,若为“反直角三角形”,则的长为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 30．[2025湖南]已知，，是的三条边长，记，其中为整数. （1） 若三角形为等边三角形，则_ _ _ _ ; （2） 下列结论正确的是_ _ _ _ .（写出所有正确结论的序号） ①若，，则为直角三角形； ②若，，，则； ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7. 31．[2025福建]如图,是等边三角形,是的中点,,垂足为,是由沿方向平移得到的.已知过点,交于点. （1） 求的大小； （2） 求证:是等边三角形. 32．[2025江西]图1是一种靠墙玻璃淋浴房,其俯视示意图如图2所示,与两处是墙,与两处是固定的玻璃隔板,处是门框,测得, ,处是一扇推拉门,推动推拉门时,两端点,分别在,对应的轨道上滑动.当点与点重合时,推拉门与门框完全闭合；当点滑动到限位点处时,推拉门推至最大,此时测得 . 图1 图2 （1） 在推拉门从闭合到推至最大的过程中, ① 的最小值为_ _ _ _ 度,最大值为_ _ _ _ 度； ② 面积的变化情况是（ ） A．越来越大 B．越来越小 C．先增大后减小 （2） 当 时,求的面积. 33．[2025北京]在中, , ,点在射线上,连接,将线段绕点逆时针旋转 得到线段（点不在直线上）,过点作,交直线于点. 图1 图2 （1） 如图1, ,点与点重合,求证:； （2） 如图2,点,都在的延长线上,用等式表示与的数量关系,并证明. 夯基对点练 考点1 等腰三角形 1．B 2．B 3．B [解析]过点作在右侧， 直线，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， . 4．C 5．100 6．5 考点2 直角三角形 7．C 8．D [解析]如图1，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为， 图1 图2 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ，， 图2中大正方形的面积为. 9．D 10．6 11．11，60，61 [解析]设第⑤组勾股数中最小的数为，通过观察得,则另外两个数分别为,. 12． 综合提升练 13．B 14．A [解析]连接，取的中点，连接，， 点，分别是，的中点， ，分别是和的中位线， ，，，， ，， ，， ， ， ， ， . 15．D [解析]是等边三角形， ，， ,，， ， ，， 新钢架减少用钢. 16．B 17．D [解析]如图所示，过作于， 和是等边三角形， ，，， ， ， ，， 在中，， ， ，，，， ，,， 又, ， ， ， . 18．A [解析]连接， ，， ， ， 又，， ， ， 四边形的面积， （元）. 19．2 [解析]，， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ，. 20． 21． 22． [解析]如图,过点作于, 在中, , ,, , 是等边三角形, , 又,, ,, 当取最小值时,取最小值, , 当取最小值时,取最大值. 当时,取最小值,此时点与点重合, 的最小值为, 的最小值为, 的最大值为. 23． [解析]， ， . 又是的中线， . 在中， ， ， ， ， . 设与的交点为，与的交点为， 由平移可知， ， ，, 在中，， . ， ， . 24． [解析]是等边三角形，且， ， ， 依题意得弧的圆心为，半径为1， 弧的长为， 同理可得弧的长为，弧的长为， 这个等宽曲线的周长是 . 25． [解析]作于点，不妨设，. 四边形是正方形， ， ， . 在和中，， ， ，. ， . ，. 由题意可知，， ， . ， ， . 正方形的面积， 正方形的面积. . ，，. 26． [解析]过点作于点， 在中，， ，. 设，，则，. 在中，， 即， 在中，， 即， ，得，即，解得，（舍去），. 27．48 [解析]如图，把题图②中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为. 正方形的面积为，正方形的面积为. 由题意得正方形的边长为2，并且是直角三角形的斜边长. 正方形的面积为4. 根据勾股定理可得. 正方形的面积正方形的面积, 题图①中所有正方形的面积和为. 同理可得正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积正方形的面积. 题图②中所有正方形的面积和题图①中所有正方形的面积和， 即1次操作后所有正方形的面积和. 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4. 次操作后所有正方形的面积和. 次操作后所有正方形的面积和. 28．， [解析]由题意可知， ，， ， 点在的垂直平分线上. 连接,则. 点的坐标为， ， 在中，， ， 点的坐标为,. 易知, 点的坐标为,， 点的坐标为,， …… 点的坐标为,为正整数. 又 从开始，每滚动三次，出现下一个花心， ， ， 滚动2 024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心为点. 当时， 点的坐标为，， 即滚动2 024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心的坐标为，. 29．或 [解析]， ， ， ， . 为“反直角三角形”， ①当 时，如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当 时，如图，过点作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ； ③当 时， ，，且， ， ， 若 ，则 ，即， 此种情况不存在； ④当 时， 若点与点重合，则最小，此时 ， 同③可证，此种情况不存在. 综上可知，的长为或. 30．（1） 2 [解析]是等边三角形， ， . （2） ①② [解析]①当，时， ， ， ， ， 为直角三角形，故①正确. ②当，，时， ， . .当时， ， ; .当时， ， . 综上，. ， 随的增大而增大， 当时，，当时，， ，故②正确. ③当时，， ，， . ，，是三个连续正整数，且， 不妨设，则，为正整数， ， ， 解得， 符合题意的的值有2,3,4,5,6,7，共6个， 符合题意的,,的取值一共有6组， 满足条件的的个数为6，故③错误. 31．（1） 解:是等边三角形, . 是的中点, . , , . （2） 证明：由平移可知, , 又 , , , , 又, 垂直平分, , 由（1）知, , , , 是等边三角形. 32．解：（1） ① 0； 39. ② C. （2） 如图,过点作交的延长线于点, 依题意可知，. , , . , ， ， . , . 答:当 时,的面积为. 33．（1） 证明： ， ， ， 线段绕点逆时针旋转 得到线段，点与点重合， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， . （2） 解：. 证明：如图，在上取一点，使得，连接，， ，， 则 ， ， 将线段绕点逆时针旋转 得到线段， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， . 学科网（北京）股份有限公司 $