精品解析：北京市广渠门中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

北京市广渠门中学2025—2026学年度第一学期期中试题 高一年级数学学科 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】因为，所以， ，故A对，BCD都错. 故选：A. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定直接写出结论即得. 【详解】根据特称命题的否定为全称命题， 命题“，”的否定为，. 故选：A 3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性及单调性判断即可. 【详解】对于A，函数为奇函数， 且在和上为增函数，故A错误； 对于B，函数为偶函数，故B错误； 对于C，函数为奇函数，且在上为增函数，故C正确； 对于D，函数为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 4. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质求解即可. 【详解】由时，，且是定义在上的奇函数， 则时，，所以，即. 故选：C 5. 计算的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得解. 【详解】 . 故选：A 6. 若实数，满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用不等式的性质和作差法，由充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为，，若，则，所以， 由不等式的性质知，即可以推出， 若，则， 又，，则，所以，即， 所以可以推出，则“”是“”的充分必要条件， 故选：C. 7. 下列四组中给出的两个函数，不是同一个函数的是（ ） A. ；， B. ； C. ，；， D. ； 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数的定义判断各选项即可. 【详解】对于A，由，解得 则函数的定义域为， 而的定义域为，且，所以为同一函数； 对于B，由，解得且， 则函数的定义域为， 由，解得且， 则函数的定义域为， 且，所以为同一函数； 对于C，函数和的定义域均为， 且，所以为同一函数； 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：D 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将解不等式转化为与的图像比较，进而观察两个函数图象的特征，从而求出不等式的解集． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以的图像关于原点对称，由此画出函数在上的图象， 在同一坐标系内画出的图象， 因为，，所以， 又，， 所以的图象与的图象交于和两点，如图， 所以结合图像可知，的解集为. 故选：C. 9. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中数量级上与最接近的是（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件有，利用对数的运算性质得到，即可求解. 【详解】由题知，则， 又，所以，所以， 故选：D. 10. 设A，B是中两个子集，对于，定义：，.在这一定义下，若，，则A，B满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，或，.分两种情况讨论可得，，，即可得到答案. 【详解】由已知，和都只能取0和1. 又，所以，或，. 当，时，可知，；当，时，可知，. 即，又，，所以. 所以，. 故选：B. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知幂函数的图象过点，则________，________. 【答案】 ①. ②. 27 【解析】 【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值． 【详解】设幂函数，由图象过点，有，解得， ∴；∴． 故答案为：；27． 12. 函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数有意义列出不等式组，求解即可 【详解】由题意，，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 若函数的图象恒在函数图象的上方，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可转化问题为对于恒成立，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，不等式对于恒成立， 则对于恒成立， 当时，不等式为，不恒成立， 当时，由，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知，若且，都有，则实数的一个取值为________；的最大值为________. 【答案】 ①. 1（答案不唯一） ②. 【解析】 【分析】根据一次函数，反比例函数及分段函数的图象与性质计算即可. 【详解】易知在上单调递减，且， 要符合题意结合一次函数与分段函数的性质，需，即， 所以实数的一个取值可以为1，最大值为. 故答案为：1；. 15. 已知函数，其定义域记为集合，且.以下所有正确结论的序号是________. ①； ②是减函数： ③若，则； ④对任意，都存在使得. 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据函数有意义求解判断①；根据复合函数的单调性判断②；由，可得，，，进而得到，结合指数函数的值域及不等式的性质可判断③；取，可得，即可判断④. 【详解】由，得，则，故①正确； 由， 因为函数在和上为增函数， 且在和上为减函数， 则函数在和上为减函数，故②错误； 对于③，由，则，，， 则 ， 由，则且，所以且， 则或，即或， 所以，故③正确； 对于④，当时，， 对任意的，， 则，故④错误. 故答案为：①③. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集，补集，交集运算即可； （2）分和两种情况进行讨论得解. 【小问1详解】 当时，， ， 或，； 【小问2详解】 若，则当时，，解得； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或. 17. 已知函数的图象过坐标原点. （1）求的值； （2）证明为奇函数； （3）直接写出的值域（不需要证明）. 【答案】（1）2 （2） 由（1）知，，定义域为， 而， 所以函数为奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式即可求解； （2）根据函数的奇偶性的定义求证即可； （3）根据指数函数的性质及不等式的基本性质求解即可. 【小问1详解】 由题意，，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由， 因为，则，即， 所以，则， 所以函数的值域为. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）若在区间上的最小值为，求实数的值. 【答案】（1）1 （2） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （3）4 【解析】 【分析】（1）由题意可得2和4为方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法求解即可； （3）结合开口方向及对称轴讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意，不等式的解集为， 则2和4为方程的根，且， 所以，解得. 【小问2详解】 由，则，， 则. 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为， 若，即时，解得或； 若，即时，不等式为，解得； 若，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【小问3详解】 函数的对称轴为， 当时，函数开口向下，且对称轴为， 则函数在上单调递减， 所以，不满足题意； 当时，函数开口向上，且对称轴为， 若，即时，函数在上单调递减， 则，不满足题意； 若，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 解得（舍去）或. 综上所述，. 19. 学校将举办第十二届“星光杯”班级合唱比赛.高一某班为了筹集合唱节采购的费用，决定开展爱心义卖，销售同学们亲手制作的纪念品.考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素，根据以往爱心义卖的数据分析，预计累计总净利润）（单位：百元）与销售天数（）满足 （1）为保证累计总净利润不为负，求最多销售的天数； （2）销售多少天时，能使每天的平均净利润最大？（每天的平均净利润） 【答案】（1）18 （2）6 【解析】 【分析】（1）令，解不等式即可求解； （2）由题意得每天的平均净利润为，进而根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，令， 则，即，解得， 由于，则为保证累计总净利润不为负，最多销售18天. 【小问2详解】 由题意，每天的平均净利润为， 而，当且仅当，即时等号成立， 则， 所以销售6天时，能使每天的平均净利润最大. 20. 已知函数. （1）求的值； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）； （2） 当时，，且函数在上为增函数，理由如下： 任取、且，即， 则 ， 因为，则，，，， 故，即， 故函数在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）代入计算可得出的值； （2）判断出函数在上为增函数，然后、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）分析可知，函数为偶函数，且在上为增函数，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 因为，则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对任意的，，故函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 因为，则，所以，则， 由（2）知，函数在上为增函数， 由，可得， 所以，则有或，可得或， 可得或， 解不等式，即，解得或， 解不等式，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 21. 记集合的元素个数为.对于集合且，如果且，均，使得，那么就称是集合的一个“平衡数” （1）当时，直接判断和是否为的“平衡数”； （2）若为集合的“平衡数”，求证：； （3）求集合的“平衡数”的最小值（用表示）. 【答案】（1） 不是的“平衡数”，是的“平衡数”； （2） ，， 若，取，显然其中六个元素不存在两个元素之和为13， 即不是的“平衡数”，同理，更不满足定义； 事实上，中的元素满足和为13的有六组， 而当时，由抽屉原理，在上述六组数中取7个数，必有2个在同一组，其和为13， 所以若为集合的“平衡数”，则； （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义结合集合的子集可一一判定； （2）利用反证法集合抽屉原理证明即可； （3）利用抽屉原理结合定义计算即可. 【小问1详解】 当时，，， 若，取，显然，所以不是的“平衡数”， 若，则P可以为， 以上四个集合，含元素或的各两个，， 均可满足定义，所以是的“平衡数”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对于集合， 能组成和为的有，共组， 根据抽屉原理，要保证任取k个元素，都至少有一对的和为，则k至少为， 假设，同上道理，取，在P中找不到两个不同的数， 使得， 所以集合的“平衡数”的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2025—2026学年度第一学期期中试题 高一年级数学学科 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则时的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 计算的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 25 6. 若实数，满足，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 下列四组中给出的两个函数，不是同一个函数的是（ ） A. ；， B. ； C. ，；， D. ； 8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中数量级上与最接近的是（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 10. 设A，B是中两个子集，对于，定义：，.在这一定义下，若，，则A，B满足（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知幂函数的图象过点，则________，________. 12. 函数的定义域为________. 13. 若函数的图象恒在函数图象的上方，则实数的取值范围是________. 14. 已知，若且，都有，则实数的一个取值为________；的最大值为________. 15. 已知函数，其定义域记为集合，且.以下所有正确结论的序号是________. ①； ②是减函数： ③若，则； ④对任意，都存在使得. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数的图象过坐标原点. （1）求的值； （2）证明为奇函数； （3）直接写出的值域（不需要证明）. 18. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）解关于的不等式； （3）若在区间上的最小值为，求实数的值. 19. 学校将举办第十二届“星光杯”班级合唱比赛.高一某班为了筹集合唱节采购的费用，决定开展爱心义卖，销售同学们亲手制作的纪念品.考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素，根据以往爱心义卖的数据分析，预计累计总净利润）（单位：百元）与销售天数（）满足 （1）为保证累计总净利润不为负，求最多销售的天数； （2）销售多少天时，能使每天的平均净利润最大？（每天的平均净利润） 20. 已知函数. （1）求的值； （2）判断在区间上的单调性，并用定义证明； （3）求关于的不等式的解集. 21. 记集合的元素个数为.对于集合且，如果且，均，使得，那么就称是集合的一个“平衡数” （1）当时，直接判断和是否为的“平衡数”； （2）若为集合的“平衡数”，求证：； （3）求集合的“平衡数”的最小值（用表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $