第六单元多边形的面积【从新情境到新素养】-2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列（原卷版+解析版）人教版

nullnull 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 ——宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第六单元多边形的面积【从新情境到新素养】 【典型例题】 【新情境·实际应用主题】张师傅在杭州开店，一次他承接了一个小区一批相同的铝合金窗户工程，共计个，形状如下图。一个窗户的面积是多少平方米？每平方米的报价是元，张师傅一共可以收到多少工程款？（单位：分米） 【答案】平方米；元 【分析】 如图一个窗户的面积梯形的面积正方形的面积，梯形的上底为，下底为，高为分米；正方形的边长为分米，最后利用面积公式解答即可。 【详解】一个窗户的面积： （平方分米）平方分米平方米 工程款：                              （元） 答 ：一个窗户的面积是平方米，张师傅一共可以收到元工程款。 【点睛】本题考查了梯形的面积，正方形的面积，面积单位换算，分割法求不规则图形的面积，学会运用分割法求不规则图形的面积是解题的关键。 【对应练习】 1．【新情境·实际应用主题】学校在校园围墙外设置了5个停车位（如下图），每个停车位占地面积是多少平方米？ 【答案】12.96平方米 【分析】根据平行四边形面积＝底×高，先求出5个停车位的面积和，再除以5即可。 【详解】12×5.4÷5＝12.96（平方米） 答：每个停车位占地面积是12.96平方米。 2．【新情境·实际应用主题】山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，其载体可以是纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮、革等片状材料。如图，小明计划用一张长方形的彩色卡纸，剪出一个小树，他是这样设计的：小树的树干和树冠一样长，树冠由两个完全相等的三角形组成，树干宽是4厘米。这棵“小树”的面积是多少呢？ 【答案】149.5平方厘米 【分析】树干和树冠一共长26厘米，树干和树冠一样长，因此树干的长度等于26÷2，树干是长方形，树干的面积＝长×宽，宽是4厘米，代入数据即可计算。树冠是两个完全相同的三角形，三角形的底是15厘米，三角形的高是树冠高的一半，树冠的高和树干的长一样等于26÷2。根据三角形的面积＝底×高÷2计算。小树的面积＝树干的面积＋三角形的面积×2。 【详解】26÷2＝13（厘米） 13×4＝52（平方厘米） 13÷2＝6.5（厘米） 15×6.5÷2 ＝97.5÷2 ＝48.75（平方厘米） 52＋48.75×2 ＝52＋97.5 ＝149.5（平方厘米） 答：这棵“小树”的面积是149.5平方厘米。 3．【新情境·实际应用主题】在一块梯形草坪（如下图）中修了一条平行四边形的小路，求草坪的实际面积是多少平方米？ 【答案】142.5平方米 【分析】根据题意，用梯形的面积－平行四边形的面积＝草坪的实际面积，平行四边形的高刚好等于梯形的高，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2；平行四边形面积＝底×高，将数值代入计算即可。 【详解】（8＋17）×15÷2－3×15 ＝25×15÷2－3×15 ＝375÷2－3×15 ＝187.5－45 ＝142.5（平方米） 答：草坪的实际面积是142.5平方米。 【典型例题】 【新素养·几何直观能力】求组合图形的面积，至少用两种方法解决，并在图中用虚线表示出自己的割补过程。（单位：厘米） 【答案】见解析 【分析】可以将组合图形分成梯形和长方形，也可以将组合图形分成长方形和三角形，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，长方形面积＝长×宽，三角形面积＝底×高÷2，据此列式计算。 【详解】 方法一：（5＋10）×（12－6）÷2＋5×6 ＝15×6÷2＋30 ＝45＋30 ＝75（平方厘米） 方法二：5×12＋（10－5）×（12－6）÷2 ＝60＋5×6÷2 ＝60＋15 ＝75（平方厘米） 答：组合图形的面积是75平方厘米。 【对应练习】 1．【新素养·几何直观能力】在探究梯形的面积公式时，同学们找到了2种转化方法。（如下图） （1）下面方格纸中的图形是乐乐用方法①画出的转化后的图形，原梯形可能是怎样的？请你在下面的方格中画出来，这个梯形的面积是（    ）平方厘米。（每个小方格的面积是1平方厘米） （2）欢欢用方法②的转化方法推导出梯形的面积公式，请你写出他的推导过程。 【答案】（1）12；图见详解； （2）见详解 【分析】（1）梯形的分割的方法有很多种，给了以下两种，将平行四边形转化为两个一模一样的梯形，每个梯形的面积＝平行四边形的面积÷2＝底×高÷2。 （2）把梯形割补成一个三角形，在割补和拼接的过程中图形的面积没有变，即三角形的面积＝梯形的面积，三角形的面积＝底×高÷2，三角形的底对应了梯形的上下底之和，而高是原来梯形的高，据此分析即可。 【详解】画法1： 画法2： 8×4÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） （2）把梯形割补成一个三角形，它们面积不变，三角形的底a＋b等于梯形的上底＋下底，高不变，大三角形的面积＝（a＋b）×h÷2所以梯形的面积＝（a＋b）×h÷2或（上底＋下底）×高÷2。 2．【新素养·几何直观能力】李叔叔要建造一个花圃，花圃的一边靠墙，围花圃的篱笆长40米，他设计了两种方案（如图，单位：米） （1）这两种方案所围成的花圃，面积相差多少平方米？                                              （2）如果按面积大的方案建成花圃，在花圃中种上玫瑰花，每平方米可以种20棵，每棵玫瑰花从种植到成品需要4元，种这些玫瑰花一共需要多少元？ 【答案】（1）30平方米 （2）12000元 【分析】（1）图①腰是10米，则上下底的和是40米与10米的差，高是8米。图②上下底的和是40米与10米的差，高是10米。梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此计算两种方案的面积并求差； （2）根据（1）可以得到面积大的花圃是哪个方案，用该花圃的面积乘20是种植玫瑰花的棵数，再用种植每棵玫瑰花的钱数4元乘棵数，即可解答。 【详解】方案① （40－10）×8÷2 ＝ 30×8÷2 ＝240÷2 ＝120（平方米） 方案② （40－10）×10÷2 ＝ 30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（平方米） 150－120＝30（平方米） 答：两种方案的面积差是30平方米。 （2）因为120平方米＜150平方米，所以花圃是按照②建造的。 150×20×4 ＝3000×4 ＝12000（元） 答：种这些玫瑰花一共需要12000元。 3．【新素养·几何直观能力】在梯形中（如图），剪去一个最大的平行四边形，怎样剪？（请用虚线在图中画出）剪去的平行四边形面积是（    ）cm2，剩下部分是一个（    ）形，它的面积是（    ）cm2。 【答案】6；三角；2 【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以减去的最大的平行四边形一组对边长度3cm，高是2cm，沿着3cm边长的一段剪。剩下的应该是三角形。平行四边形面积＝底×高，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，剩下的面积＝梯形面积－平行四边形面积。据此解答。 【详解】由分析可作图： 3×2＝6（cm2） （3＋5）×2÷2 ＝8×2÷2 ＝8（cm2） 8－6＝2（cm2） 剪去的平行四边形面积是6cm2，剩下部分是一个三角形，它的面积是2cm2。 【典型例题】 【新趋势·思维与拓展】求下列图形中阴影部分的面积。（单位：m） 【答案】12×7－（12－5）×7÷2＝59.5（m2） 【分析】结合图形，阴影部分的面积＝长方形的面积－三角形的面积，由此解答。三角形的底为12-5=7m，高为长方形的宽7m，由三角形面积公式求出三角形的面积。 【详解】 【对应练习】 1．【新趋势·思维与拓展】剪纸是一项非常精美的非遗技艺。奇奇将一张正方形彩纸折成图①的形状，剪去两个相同的小等腰直角三角形后展开得到图形②，求图形②的面积。（单位：厘米） 【答案】288平方厘米 【分析】观察图形可知，图形①的面积＝大三角形的面积－两个小等腰直角三角形的面积，图形②的面积＝4×图形①的面积，三角形面积＝底×高÷2，据此列式解答。 【详解】大三角形的面积： （12＋3×2）×9÷2 ＝（12＋6）×9÷2 ＝18×9÷2 ＝162÷2 ＝81（平方厘米） 两个小三角形的面积和： 3×3÷2×2 ＝9÷2×2 ＝9（平方厘米） 图形①的面积：81－9＝72（平方厘米） 图形②的面积：72×4＝288（平方厘米） 答：图形②的面积是288平方厘米。 【点睛】要计算图形②的面积，需要先明确它与正方形彩纸以及折叠后图形①的关系，能准确记忆三角形的面积公式并进行正确计算。 2．【新趋势·思维与拓展】如图所示，正方形ABCD的边长是8厘米，四边形EFGH的面积是5平方厘米，求图中阴影部分的面积。 【答案】22平方厘米 【分析】 EF与CG相交AB与M，DG与EH相交AB与N，连接DM，依据题意结合图示可得：，三角形DEM的面积等于三角形DEN的面积，阴影部分的面积＝三角形DMC的面积－2个四边形EFGH的面积，由此解答本题。 【详解】EF与CG相交AB与M，DG与EH相交AB与N，连接DM，如图： 8×8÷2－5×2 ＝64÷2－10 ＝32－10 ＝22（平方厘米） 答：阴影部分的面积是22平方厘米。 【点睛】敏锐发现三角形DEM和三角形DEN的面积相等，利用三角形面积公式得出二者面积即三角形DMC的面积，这是解题关键；明确在计算三角形面积时，四边形EFGH被重复计算，需减去2倍其面积来得到阴影部分面积 。 3．【新趋势·思维与拓展】如图，已知长方形ABCD的长是8厘米，宽是4厘米，阴影三角形GEC的面积是10平方厘米，求OF的长。 【答案】3厘米 【分析】如图：连接OA，OB。三角形AEO与三角形GEO同底等高，它们的面积相等；三角形BEO与三角形CEO的面积也相等，因此阴影部分的面积与三角形ABO的面积相等，那么三角形ABO的面积也是10平方厘米。EO是三角形ABO的高，根据三角形的面积＝底×高÷2，可知三角形的面积×2÷底＝高，据此求出OE的长，再用8减去OE的长就是OF的长。 【详解】10×2÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 8－5＝3（厘米） 答：OF的边长是3厘米。 【点睛】连接OA，OB，利用三角形AEO与三角形GEO同底等高，把阴影部分的面积转化为三角形ABO的面积是解题的关键。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。 ——宋·晏殊《蝶恋花·槛菊愁烟兰泣露》 2025-2026学年五年级数学上册书山培优系列「2025秋」 第六单元多边形的面积【从新情境到新素养】 【典型例题】 【新情境·实际应用主题】张师傅在杭州开店，一次他承接了一个小区一批相同的铝合金窗户工程，共计个，形状如下图。一个窗户的面积是多少平方米？每平方米的报价是元，张师傅一共可以收到多少工程款？（单位：分米） 【对应练习】 1．【新情境·实际应用主题】学校在校园围墙外设置了5个停车位（如下图），每个停车位占地面积是多少平方米？ 2．【新情境·实际应用主题】山西剪纸是最古老的传统民间艺术之一，作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受，其载体可以是纸张、金银箔、树皮、树叶、布、皮、革等片状材料。如图，小明计划用一张长方形的彩色卡纸，剪出一个小树，他是这样设计的：小树的树干和树冠一样长，树冠由两个完全相等的三角形组成，树干宽是4厘米。这棵“小树”的面积是多少呢？ 3．【新情境·实际应用主题】在一块梯形草坪（如下图）中修了一条平行四边形的小路，求草坪的实际面积是多少平方米？ 【典型例题】 【新素养·几何直观能力】求组合图形的面积，至少用两种方法解决，并在图中用虚线表示出自己的割补过程。（单位：厘米） 【对应练习】 1．【新素养·几何直观能力】在探究梯形的面积公式时，同学们找到了2种转化方法。（如下图） （1）下面方格纸中的图形是乐乐用方法①画出的转化后的图形，原梯形可能是怎样的？请你在下面的方格中画出来，这个梯形的面积是（    ）平方厘米。（每个小方格的面积是1平方厘米） （2）欢欢用方法②的转化方法推导出梯形的面积公式，请你写出他的推导过程。 2．【新素养·几何直观能力】李叔叔要建造一个花圃，花圃的一边靠墙，围花圃的篱笆长40米，他设计了两种方案（如图，单位：米） （1）这两种方案所围成的花圃，面积相差多少平方米？                                              （2）如果按面积大的方案建成花圃，在花圃中种上玫瑰花，每平方米可以种20棵，每棵玫瑰花从种植到成品需要4元，种这些玫瑰花一共需要多少元？ 3．【新素养·几何直观能力】在梯形中（如图），剪去一个最大的平行四边形，怎样剪？（请用虚线在图中画出）剪去的平行四边形面积是（    ）cm2，剩下部分是一个（    ）形，它的面积是（    ）cm2。 【典型例题】 【新趋势·思维与拓展】求下列图形中阴影部分的面积。（单位：m） 【对应练习】 1．【新趋势·思维与拓展】剪纸是一项非常精美的非遗技艺。奇奇将一张正方形彩纸折成图①的形状，剪去两个相同的小等腰直角三角形后展开得到图形②，求图形②的面积。（单位：厘米） 2．【新趋势·思维与拓展】如图所示，正方形ABCD的边长是8厘米，四边形EFGH的面积是5平方厘米，求图中阴影部分的面积。 3．【新趋势·思维与拓展】如图，已知长方形ABCD的长是8厘米，宽是4厘米，阴影三角形GEC的面积是10平方厘米，求OF的长。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $