第五章 复数（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【江苏专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章复数的单元测试卷，主要考查复数的概念、复数的混合运算，一元二次方程复数解。 第五章 复数 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2．已知复数（其中i为虚数单位），则实部和虚部分别是（    ） A．5和4 B．5和 C．4和 D．和 3．已知是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 4．已知复数为纯虚数，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 5．已知与是共轭复数，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 6．设复数，则下列命题正确的是（   ） A．z的实部为2 B． C． D． 7．若复数，则（    ） A． B． C．7 D．1 8．若复数，则（    ）. A． B． C． D．0 9．设复数满足，则的共轭复数的模长为（   ） A． B．1 C． D．2 10．若是关于x的实系数一元二次方程的一个复数根，则c＝（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11．计算： ． 12．在复平面内，若复数对应的点为，则 ． 13．若，则 ， 14．已知，，，计算 ． 15．若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 ． 3、 解答题（本大题共8小题，前3小题每题10分，后5小题每题12分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．求下列各复数的模和共轭复数. (1)；(2)；(3). 17．如图所示，平行四边形的顶点，对应复数分别为0，，，试求 (1)所表示的复数，所表示的复数； (2)对角线所表示的复数； (3)对角线所表示的复数及的长度． 18．已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数以及模. 19．当实数m为何值时，复数. (1)为实数？ (2)为虚数？ (3)为纯虚数？ 20．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若，求此方程的根； (2)求n的取值范围． 21．已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围． 22．已知复数，且，复平面中所对应的点在第二象限． (1)若复数是方程的两个根，求的值； (2)若为纯虚数，求的值． 23．在①，且的虚部是2；②；③，为的共轭复数．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作出解答． 注：选择不同条件，结果可能不同． 已知为虚数单位，复数满足______，设，，在复平面上的对应点分别为，，，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【江苏专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第五章复数的单元测试卷，主要考查复数的概念、复数的混合运算，一元二次方程复数解。 第五章 复数 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共轭复数的概念求解即可. 【详解】复数的共轭复数实部相等，虚部互为相反数，即. 故选：B. 2．已知复数（其中i为虚数单位），则实部和虚部分别是（    ） A．5和4 B．5和 C．4和 D．和 【答案】B 【分析】根据复数虚部和实部的概念，即可求解. 【详解】因为复数， 所以实部为5，虚部为， 故选：B. 3．已知是虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的乘法运算即可得解. 【详解】. 故选：B. 4．已知复数为纯虚数，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列式求解即可. 【详解】∵复数为纯虚数， ∴，解得， ∴实数的值是1. 故选：B. 5．已知与是共轭复数，则实数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共轭复数的定义列方程求解即可. 【详解】已知为实数，与是共轭复数， 可得， 所以. 故选：C. 6．设复数，则下列命题正确的是（   ） A．z的实部为2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数，根据复数的概念，复数的模和复数的运算法则即可求解. 【详解】因为复数， 对A：的实部为，故A项错误； 对B：，故B项错误； 对C：复数，故C项错误； 对D：，故D项正确. 故选：D. 7．若复数，则（    ） A． B． C．7 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，先求得复数z的共轭复数，结合复数的乘法运算，即可求解. 【详解】因为复数，所以， 所以. 故选：C. 8．若复数，则（    ）. A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算与模的公式依次计算即可得解. 【详解】因为， 所以，， 则. 故选：C. 9．设复数满足，则的共轭复数的模长为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】设出复数，根据复数的相等列出方程组求出的值，结合共轭复数的定义及模长公式即可得解. 【详解】设复数，， 则， 所以，解得， 所以，，则， 故选：. 10．若是关于x的实系数一元二次方程的一个复数根，则c＝（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据实系数方程的根求解参数即可； 【详解】因为是关于x的实系数一元二次方程的一个复数根， 所以其另一个根为， 所以，解得, 故选：C 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11．计算： ． 【答案】 【分析】先根据复数运算法则求出的幂次的规律，再利用周期性来计算的值. 【详解】因为 所以， 即的幂次每四项的和等于0， 因为，，， 所以. 故答案为：. 12．在复平面内，若复数对应的点为，则 ． 【答案】 【分析】根据复数的几何意义可知. 【详解】由题可知：复数对应的点为，则. 故答案为： 13．若，则 ， 【答案】 /0.5 【分析】根据复数相等的条件：实部和虚部分别相等，求解即可. 【详解】由可得： ，解得：， 故答案为：；. 14．已知，，，计算 ． 【答案】 【分析】利用复数的加减运算法则即可得解. 【详解】因为，，， 所以． 故答案为： 15．若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 ． 【答案】 【分析】首先由复数的除法运算法则化简，再使其虚部等于0，列方程求解即可. 【详解】已知复数 ， 因为复平面内对应的点位于实轴上，即虚部等于0， 所以，解得， 故答案为：. 3、 解答题（本大题共8小题，前3小题每题10分，后5小题每题12分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．求下列各复数的模和共轭复数. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】根据复数的模的公式以及共轭复数求解. 【详解】（1）； 因为，，所以，共轭复数为 （2）； 因为，，所以，共轭复数为 （3）， 因为，，所以，共轭复数为 17．如图所示，平行四边形的顶点，对应复数分别为0，，，试求 (1)所表示的复数，所表示的复数； (2)对角线所表示的复数； (3)对角线所表示的复数及的长度． 【答案】(1)所表示的复数为，所表示的复数为 (2) (3)， 【分析】（1）根据向量的表示方法及复数的几何意义求解. （2）根据向量的表示方法及复数的几何意义求解. （3）根据向量的表示方法及复数的几何意义，以及复数的模的公式求解即可. 【详解】（1），所表示的复数为． ，所表示的复数为． （2），所表示的复数为． （3）对角线，它所对应的复数，． 18．已知复数，且为纯虚数. (1)求复数； (2)若，求复数以及模. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将代入，根据复数的代数运算及纯虚数的概念可得结果； （2）由（1）根据复数的代数运算及复数模的定义可得结果； 【详解】（1）将代入得 . 因为为纯虚数， 所以，解得，即复数； （2）由（1）知， 所以，. 19．当实数m为何值时，复数. (1)为实数？ (2)为虚数？ (3)为纯虚数？ 【答案】(1). (2)且. (3). 【分析】（）根据题意使虚部为零且即可得解. （）使虚部不为零且即可得解. （）使实部为零，虚部不为零且即可得解. 【详解】（1）复数为实数， 则，解得， 所以当时，复数z是实数. （2）复数为虚数， 则且，解得且， 所以当的取值范围为且，复数z是虚数. （3）复数为纯虚数， 则，解得， 所以当时，复数z是纯虚数. 20．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)若，求此方程的根； (2)求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，将代入一元二次方程，结合求根公式，即可求解； （2）根据题意，结合一元二次方程根的判别式，即可求解. 【详解】（1）若，则一元二次方程为， 因为， 所以， 即； （2）因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以，解得， 即n的取值范围是. 21．已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若z是纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据复数是纯虚数列出方程和不等式即可得解. （）根据题意结合复数对应的点在第三象限的条件列出不等式组即可得解. 【详解】（1）复数， 由z是纯虚数，则， 解得，故． （2）由z在复平面内对应的点在第三象限， ，解得，即， 故m的取值范围为． 22．已知复数，且，复平面中所对应的点在第二象限． (1)若复数是方程的两个根，求的值； (2)若为纯虚数，求的值． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据复数模公式结合题意求出的值，结合实数系一元二次方程的复数根互为共轭复数，利用韦达定理即可得解. （）根据复数的运算法则，结合纯虚数的定义即可得解. 【详解】（1）复数， ， ∴由得，解得：， 又∵所对应的点在第二象限，∴，， 又∵复数是方程的两个根，∴方程的另一个根为， ∴由韦达定理知，解得， 所以. （2）， ∵为纯虚数，∴，则， ∴. 23．在①，且的虚部是2；②；③，为的共轭复数．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作出解答． 注：选择不同条件，结果可能不同． 已知为虚数单位，复数满足______，设，，在复平面上的对应点分别为，，，求的面积． 【答案】见解析 【分析】由已知发现①②③三个条件的共同特征是均可求出复数，然后再求出，，进而求出，，的坐标，即可求出的面积． 【详解】选①：设，则， 由题意得且，解得或， 所以或． 当时，，， 所以，，，所以． 当时，，， 所以，，，所以． 综上，的面积为1． 选②：，，， 所以，，，所以． 选③：，其共轭复数为， 故，，， 所以，，，所以． 【点睛】本题是一道开放题，选择一个条件即可求解，学生可根据自己对复数内容的掌握情况选择，从而大大降低的难度，主要考查复数的概念、运算、共轭复数及复数的几何意义，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $